资源简介

第七章 复数
7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
1.了解复数的乘、除运算的三角表示及其几何意义;
2.会用三角形式进行复数乘、除运算;
3.复数三角形式的乘、除运算的几何意义的运用；
4.在知识的探究过程和发现中,感受数形结合、化归与转化、类比等数学思想方法，提升直观想象、逻辑推理和数学运算核心素养.
重点：复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
难点：对复数乘、除运算的三角表示及其几何意义的理解
（一）创设情境
回顾：
复数的两种形式
代数形式 三角形式
z=a+bi z=r(cosθ+isinθ)
实部a 虚部b 辐角θ
辐角主值
复数的三角形式和代数形式可以根据需要进行转化
思考：前面，我们学习了复数代数形式的乘、除运算与复数的三角表示，你能根据所学知识研究复数的乘、除运算及其几何意义吗？
设计意图：激活学生已有的认知基础，为本节课研究复数乘法运算的三角表示进行铺垫.
（二）探究新知
任务1：探索复数乘法运算的三角表示及其几何意义
思考：如果把复数分别写成三角形式，你能计算并将结果表示成三角形式吗？
根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到
即
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．
简记：模数相乘，辐角相加
师生活动：师生充分自主探究讨论后得出：一般来说复数的加法不便表示成三角形式；复数乘法能表示成三角形式，其三角表示公式为
教师板书复数乘法三角形式公式.
设计意图：教师引导，学生思考，联系三角函数知识，经历复数乘法运算三角表示的形成过程，培养学生数学运算和逻辑推理的核心素养. 通过复数乘法运算三角表示的文字表述，帮助学生进一步加深对复数乘法运算三角表示的理解.同时对复数三角形式的乘法法则进行推广，拓宽学生视野，培养学生逻辑推理能力.
探究：由复数乘法运算的三角表示，你能得到复数乘法的几何意义吗？
两个复数相乘时，可以像图那样，先分别画出与对应的向量，然后把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量表示的复数就是积．这是复数乘法的几何意义．
师生活动：学生用纸笔画出草图，分组讨论交流.教师借助信息工具画出图像，师生一起归纳出复数乘法运算三角表示的几何意义.
设计意图：让学生借助图形进行分析，探究得出复数乘法运算三角表示的几何意义，体会数形结合思想，同时培养学生自主学习能力和合作意识.
思考：你能解释和的几何意义吗？
可以写成，其几何意义是：将对应的向量绕点按逆时针方向旋转，得到对应的向量.
可以写成，其几何意义是：将对应的向量绕点按逆时针方向旋转，得到1对应的向量.
设计意图：进一步加深对复数乘法运算的几何意义的理解.
任务2：探索复数除法运算的三角表示及其几何意义
探究：复数的除法运算是乘法运算的逆运算，根据复数乘法运算的三角表示，你能得出复数的除法运算的三角表示吗？
设且，因为
所以根据复数除法的定义，有
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．
简记：模数相除，辐角相减
师生活动：师生充分自主探究讨论后得出复数除法能表示成三角形式.
教师板书复数除法三角形式公式，文字表述为：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数辐角所得的差.
设计意图：在复数乘法的基础上，引导学生借助已有的知识和运算技巧推导复数除法的三角表示，体会转化与化归和类比的数学思想，提升数学运算素养.
探究：类比复数乘法的几何意义，由复数除法运算的三角表示，你能得出复数除法的几何意义吗？
两个复数相除时，可以像图那样，先分别画出与对应的向量，然后把向量绕点按顺时针方向旋转角（如果，就要把绕点按逆时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量表示的复数就是商．这是复数除法的几何意义．
师生活动：教师引导,进而由学生自己画图并观察图形，得出复数除法运算的几何意义，教师借助信息技术演示.
设计意图：通过除法三角表示的几何意义的自主探究，让学生进一步感受乘法和除法相互转化的关系，感受向量与复数之间的联系，同时感受数形结合、化归与转化思想在研究数学问题中的作用.
（三）应用举例
例1 已知求，请把结果化为代数形式，并作出几何解释．
解：
i
首先作与对应的向量，然后把向量绕点按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为原来的2倍，这样得到一个长度为3，辐角为的向量．即为积所对应的向量．
总结：
运用复数乘法的三角表示式进行运算的前提是给出的复数必须都是三角形式，然后才能利用“模相乘，辐角相加”的算法进行运算.当不要求把计算结果化为复数的代数形式时，也可以直接用三角形式表示结果.
师生活动：学生独立完成例1，代表回答.教师纠正指导.
设计意图：及时巩固新知，学生通过例题,巩固复数的三角形式的乘法法则.
例2 如图，向量对应的复数为，把绕点按逆时针方向旋转，得到．求向量对应的复数（用代数形式表示）．
分析：根据复数乘法的几何意义，向量对应的复数是复数与的积，其中复数的模是1，辐角的主值是．
解：向量对应的复数为
师生活动：先由学生思考发言，师生共同分析解题的基本思路.
设计意图：让学生了解利用复数乘法的几何意义可以解决某些与向量旋转、伸缩有关的复数运算问题，体会利用复数乘法几何意义解决问题的便捷性.
例3 计算，并把结果化为代数形式．
解：原式
师生活动：学生独立完成，教师巡视并给予个别指导，学生完成后进行展示交流.
设计意图:让学生利用复数除法运算三角表示及其几何意义解题，进一步理解熟悉的除法运算的基本结论.
总结：直接利用复数三角形式的除法运算法则进行运算，即两个复数相除，所得的结果是模相除，辐角相减.
例4 如图所示，已知平面内并列八个全等的正方形，利用复数证明：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝ .
证明：如图，建立平面直角坐标系(复平面)．
．
所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4就是乘积的辐角．
而，所以，
又因为∠1，∠2，∠3，∠4均为锐角，于是，
所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝.
总结：复数乘、除运算的几何意义是数形结合的体现，利用复数的几何意义解题要充分挖掘题目中的已知条件．
设计意图： 通过例题，引导学生借助已有知识和运算技巧解决实际问题，体会化归与转化和类比的数学思想，提升数学运算素养.
（四）课堂练习
1.复数的三角形式为( )
　　A. B.
　　C. D.
　　解：，
　
　 ．
　 故选B．
2.若复数，，，则 ( )
A. B. C. D.
解：由题意知
，
故选D．
3.设复数对应的向量分别为为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则( )
A. B. C. D.
　　解：由题意知，
　　，
　　所以把绕原点顺时针旋转，旋转后对应的复数，
　　由，
　　所以
　　故选B．
4.求证：
；
．
证明：左边
右边．
原等式成立．
左边
右边．
原等式成立．
5.如图，复平面内的是等边三角形，它的两个顶点，的坐标分别为，，求点的坐标．
解：
则向量对应的复数的三角表示为，
向量是由向量顺时针旋转得来的，
则对应的复数为
，
则向量，
则
点的坐标为．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固复数乘除运算的三角表示及其几何意义，能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？

展开更多......

收起↑