资源简介

2.1　有理数的加法与减法
2.1.1　有理数的加法
第1课时　有理数的加法
1.了解有理数加法的意义，理解有理数的加法法则的合理性.
2.能运用该法则准确进行有理数的加法运算.
3.经历探索有理数的加法法则的过程，理解并掌握有理数的加法法则，体会分类和归纳的思想方法.
重点：有理数的加法法则的理解和运用.
难点：异号两数相加的法则.
在太空行走时需要身穿厚厚的太空服，一个重要的原因就是飞船舱外温度太低，只有－100℃，而舱内的最低温度比舱外温度约高118℃.要想知道舱内的最低温度，该怎样计算呢？
探究点一　有理数的加法法则
【例1】计算：
（1）（＋15）＋（－17）；（2）（－39）＋（－21）；
（3）＋3.
【解析】运用有理数的加法法则时，一般先观察两个数的符号是同号还是异号，然后确定用哪条法则，最后求出结果.
【解】（1）（＋15）＋（－17）＝－（17－15）＝－2.
（2）（－39）＋（－21）＝－（39＋21）＝－60.
（3）＋3＝0.
探究点二　有理数加法的应用
类型一　有理数加法在实际生活中的应用
【例2】足球循环赛中，红队胜黄队的比分为4∶1，黄队胜蓝队的比分为1∶0，蓝队胜红队的比分为1∶0，计算各队的净胜球数.
【解】每个队的进球总数记为正数，失球总数记为负数，这两数的和为这队的净胜球数.
三场比赛中，红队共进4球，失2球，
净胜球数为（＋4）＋（－2）＝＋（4－2）＝2.
黄队共进2球，失4球，
净胜球数为（＋2）＋（－4）＝－（4－2）＝－2.
蓝队共进1球，失1球，
净胜球数为（＋1）＋（－1）＝0.
类型二　和有理数性质相关的计算问题
【例3】已知｜a｜＝5，b的相反数为4，则a＋b的值为　　　　.
【解析】因为｜a｜＝5，所以a＝－5或5.因为b的相反数为4，所以b＝－4，则a＋b＝－9或1.
【解】－9或1
1.下列各式中，计算结果为正数的是（　　）
A.（－7）＋（－4） B.（＋2.7）＋（－3.4）
C.（ －）＋ D.0＋（ －）
2.温度由－4℃上升7℃后的温度为（　　）
A.－3℃ B.3℃ C.－11℃ D.11℃
第1课时　有理数的加法
1.有理数的加法法则
2.有理数加法的运算
3.有理数加法的应用
本节课我们了解了有理数加法的意义，学习了有理数的加法法则，并学会运用该法则进行有理数的加法运算.
　　本节课利用情境教学、解决问题等方法进行授课，使学生在情境中提出问题，并寻找解决问题的方法，因此不知不觉地进入学习氛围，使学生从被动学习变为主动探究.
答案
课堂训练
1.C　2.B
第2课时　有理数的加法运算律
1.能概括出有理数的加法交换律和加法结合律.
2.灵活熟练地运用加法交换律、结合律简化运算.
3.经历探索有理数的加法运算律的过程，体验探索归纳的数学方法.
重点：灵活运用加法运算律，解决实际问题.
难点：运用加法运算律简化运算及加法在实际生活中的应用.
有一架直升机从海拔1000m的高原上起飞，第一次上升了1500m，第二次上升了－1200m，第三次上升了2100m，第四次上升了－1700m，此时这架直升机距离海平面多少米？在计算时有没有使用简便方法？
探究点一　加法运算律
【例1】计算：（1）31＋（－28）＋28＋69；
（2）16＋（－25）＋24＋（－35）.
【解析】（1）（2）小题均可运用加法交换律和加法结合律简化运算.
【解】（1）原式＝31＋69＋[（－28）＋28]
＝100＋0＝100.
（2）原式＝16＋24＋（－25）＋（－35）
＝（16＋24）＋[（－25）＋（－35）]
＝40＋（－60）
＝－20.
探究点二　有理数加法运算律的应用
【例2】某出租车司机某天下午营运全是在东西走向的人民大道上进行的.如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程如下（单位：km）：＋15，＋14，－3，－11，＋10，－12，＋4，－15，＋16，－18.
他将最后一名乘客送到目的地时，该司机距下午出发点的距离是多少千米？
【解析】首先把题目的已知数据相加，然后根据结果的正负即可确定.
【解】＋15＋（＋14）＋（－3）＋（－11）＋（＋10）＋（－12）＋（＋4）＋（－15）＋（＋16）＋（－18）＝[15＋（－15）]＋（14＋10＋4＋16）＋[（－3）＋（－11）＋（－12）＋（－18）]＝0（km），
所以将最后一名乘客送到目的地时，该司机仍在下午的出发点处.
1.计算：
（1）＋（－0.75）＋（＋0.5）＋＋1；
（2）18.56＋（－5.16）＋（－1.44）＋（＋5.16）＋（－18.56）.
2.一位新股民上星期五买进某公司股票1000股，每股35元，下表为本星期内每日股票的涨跌情况（单位：元）：
星期 一 二 三 四 五
每股涨跌 ＋4 ＋4.5 －1 －2.5 －6
在星期五收盘时，每股的价格是多少？
第2课时　有理数的加法运算律
本节课我们进一步掌握了有理数的加法法则，学习了有理数的加法运算律，并能运用加法运算律简化运算及体验了加法在实际生活中的应用.
　　本节课教学以故事引入，在学生已有的知识基础上建构新知，让学生主动探索有理数的加法交换律和结合律，从而激发他们学习的兴趣，使他们由被动接受学习变成主动探索并获取知识.课堂中学生通过自主互动交流，不断地总结规律、方法和解题技巧.
答案
课堂训练
1.解：（1）原式＝0.
（2）原式＝－1.44.
2.解：根据题意，得35＋（＋4）＋（＋4.5）＋（－1）＋（－2.5）＋（－6）＝34（元）.
故在星期五收盘时，每股的价格是34元.
2.1.2　有理数的减法
第1课时　有理数的减法
1.理解、掌握有理数的减法法则，会将有理数的减法运算转化为加法运算.
2.通过把有理数的减法运算转化为加法运算，渗透转化思想，培养运算能力.
重点：有理数的减法法则.
难点：有理数的减法法则的探究.
在我国，勾股定理的叙述最早见于公元前1120年的《周髀算经》.在西方，希腊著名数学家毕达哥拉斯大约在公元前580年对勾股定理有研究叙述.请问：公元前1120年比公元前580年早多少年？
探究点一　有理数的减法法则
【例1】计算：
（1）－；（2）（－2）－（＋10）；
（3）－；（4）0－（－6.3）.
【解析】先根据有理数的减法法则，将减法转化为加法，再根据有理数的加法法则计算即可.
【解】（1）原式＝＋＝＋＝.
（2）原式＝（－2）＋（－10）＝－12.
（3）原式＝＋＝－1.
（4）原式＝0＋6.3＝6.3.
【方法总结】减法计算“两变”“两不变”：
（1）两变：①改变运算符号——减号变加号；②改变减数的性质符号，正数变负数，负数变正数.
（2）两不变：①被减数不变；②减数的绝对值不变.
探究点二　有理数减法在实际生活中的应用
【例2】世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔高度约为8848m.我国的吐鲁番盆地的海拔高度约为－154m，两者的海拔高度大约相差多少米？
【解析】先根据题意列出算式，再运用有理数的减法法则解答.
【解】8848－（－154）＝8848＋154＝9002（m）.
答：两者的海拔高度大约相差9002m.
探究点三　应用有理数的减法法则判定正负性
【例3】已知有理数a＜0，b＜0，且｜a｜＞｜b｜，试判定a－b的符号.
【解析】判定a与b差的符号，可能不好理解，不妨先把它转化为加法a＋（－b），再利用加法法则进行判定.
【解】因为b＜0，所以－b＞0.又因为a＜0，a－b＝a＋（－b），所以a与－b是异号两数相加，那么它们和的符号由绝对值较大的加数的符号决定.因为｜a｜＞｜b｜，即｜a｜＞｜－b｜，所以取a的符号，而a＜0，因此a－b的符号为负号.
1.有下列各式：①3.2－（－1.2）＝2；②0－（－4）＝4；③－2－2＝0；④7.3－11.3＝4.其中，正确的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.若水面以上记为正，水面以下记为负，一艘潜水艇的高度是－50m，一条鲨鱼的高度是－5m，一座灯塔的高度是＋20m，则鲨鱼在潜水艇上面　　　　m，灯塔的位置比潜水艇高　　　　m.
第1课时　有理数的减法
1.减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数.
2.减法法则的应用：把减法运算转化成加法运算.
3.减法运算的应用
本节课我们学习了有理数的减法法则，学会了应用有理数的减法法则计算有理数的减法，并把实际问题转化为有理数的减法进行解决.
　　本节课从实际问题出发，创设教学情境，有效调动学生的学习兴趣和积极性.通过实例计算，激发学生的探索精神.通过大量的数学练习，让学生亲身体验知识的形成过程，感悟数学的转化思想.
答案
课堂训练
1.A　2.45　70
第2课时　有理数的加减混合运算
1.理解加减法统一成加法的意义，能熟练地进行有理数加减法的混合运算.
2.通过加减法的相互转化，培养学生的应变能力、计算能力.
3.能根据具体问题，适当运用运算律进行简化运算.
重点：熟练掌握有理数的加减混合运算.
难点：省略加号与括号的代数和的计算，在运算中灵活地使用运算律.
一口深3.5m的井，一只青蛙从井底沿井壁往上爬.第一次往上爬了0.7m又下滑了0.1m，第二次往上爬了0.42m又下滑了0.15m，第三次往上爬了1.25m又下滑了0.2m，第四次往上爬了0.75m又下滑了0.1m，第五次往上爬了0.65m.青蛙爬出井了吗？
探究点一　加减混合运算统一成加法运算
【例1】将下列式子写成省略括号和加号的形式，并用两种读法将它读出来.
（－13）－（－7）＋（－21）－（＋9）＋（＋32）
【解析】先把加减法统一成加法，再省略括号和加号；读有理式，式子中第一项的符号要作为这一项的符号读出正负来，式子中的符号就读作加或减.
【解】（－13）－（－7）＋（－21）－（＋9）＋（＋32）
＝（－13）＋（＋7）＋（－21）＋（－9）＋32
＝－13＋7－21－9＋32.
读法一：负13、正7、负21、负9、正32的和；
读法二：负13加7减21减9加32.
【方法总结】把减法运算转化为加法运算后，把每个加数和它前面的性质符号看作一个整体，然后省略所有加号（若第一个加数前面有正号，则这个正号也省略）并同时去掉所有括号，这样就写成了省略算式中的括号和加号的形式.
探究点二　有理数的加减混合运算
【例2】计算：
（1）－24＋3.2－16－3.5＋0.3；
（2）0－21＋－－（＋0.25）.
【解】（1）原式＝－24－16＋3.2＋0.3－3.5
＝－40＋3.5－3.5
＝－40＋0
＝－40.
（2）原式＝0－21＋＋＋
＝－21＋＋3－
＝－21＋3
＝－18.
【方法总结】有理数加减混合运算的一般步骤：（1）将减法转化为加法；（2）省略括号和加号；（3）运用加法交换律和结合律进行计算.使用运算律的原则：正数与负数相结合，小数与分数相结合，互为相反数的数相结合，和为整数的数相结合，分母相同或易于通分的分数相结合.注意在使用加法交换律交换加数的位置时，要连同它前面的符号一同交换；（4）按有理数的加法法则计算.
探究点三　利用有理数加减运算解决实际问题
【例3】甲、乙两商场上半年经营情况如下表（“＋”表示盈利，“－”表示亏损，以百万元为单位）.
月份 1 2 3 4 5 6
甲商场 ＋0.8 ＋0.6 －0.4 －0.1 ＋0.1 ＋0.2
乙商场 ＋1.3 ＋1.5 －0.6 －0.1 ＋0.4 －0.1
　　（1）6月份甲商场比乙商场多盈利多少？
（2）甲、乙两商场上半年分别盈利（或亏损）多少？
【解】（1）（＋0.2）－（－0.1）＝0.2＋0.1＝0.3（百万元）.
故6月份甲商场比乙商场多盈利0.3百万元.
（2）（＋0.8）＋（＋0.6）＋（－0.4）＋（－0.1）＋（＋0.1）＋（＋0.2）＝1.2（百万元），
（＋1.3）＋（＋1.5）＋（－0.6）＋（－0.1）＋（＋0.4）＋（－0.1）＝2.4（百万元）.
故甲、乙两商场上半年分别盈利1.2百万元和2.4百万元.
【方法总结】解决实际问题时常用的思路：通过正负数的实际意义将问题数学化，并列式计算，然后结合计算结果确定实际问题的答案.
1.下列各式的结果为－3的是（　　）
A.－2－（－9）＋（＋3）－（－3）
B.0－1＋2－3＋4－5
C.4.5－2.3＋2.5－3.7＋2
D.－2－（－7）＋（－6）＋0＋（＋3）
2.－2，－6，4这三个数的和比它们的绝对值的和小（　　）
A.16 B.8 C.0 D.－16
第2课时　有理数的加减混合运算
1.有理数的加减混合运算
（1）将减法转化为加法，然后去掉括号和加号.
（2）运用加法法则和运算律进行计算.
2.加法运算律
（1）加法交换律：a＋b＝b＋a.
（2）加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）.
本节课我们学习了在进行有理数的加减混合运算时，写成省略括号和加号的和的形式，学会了有理数加减法统一成加法，结合运算律简化计算.
　　通过本节课的学习，学生知道所有含有有理数的加减混合运算的式子都可以化为有理数的加法的形式，并能熟练掌握有理数的加减混合运算及其运算顺序.同时让学生在自主探究的过程中，掌握有理数的加减混合运算的两种读法，真正理解混合运算的含义.
答案
课堂训练
1.B　2.A
2.2　有理数的乘法与除法
2.2.1　有理数的乘法
第1课时　有理数的乘法法则
1.理解并熟练掌握有理数的乘法法则.
2.会利用法则进行有理数的乘法运算并解决实际问题.
重点：有理数乘法法则的理解和运用.
难点：有理数乘法运算中积的符号的确定.
如图所示的是两水库的水位变化情况，甲水库的水位每天升高3cm，乙水库的水位每天下降3cm.如果用正数表示水位上升的高度，用负数表示水位下降的高度，那么4天后，甲水库水位的变化量怎样表示？乙水库水位的变化量又如何表示呢？你能找到更简洁的表示方法吗？
探究点一　有理数的乘法法则
【例1】计算：
（1）（－3）×7；（2）（－8）×（－2）；
（3）×；（4）×0.
【解】（1）原式＝－（3×7）＝－21.
（2）原式＝＋（8×2）＝16.
（3）原式＝－＝－.
（4）原式＝0.
【方法总结】计算两个有理数相乘的一般思路：（1）若有零因数，则积为零；（2）若有小数或带分数的因数，一般先化为分数或假分数；（3）计算时，先确定积的符号，然后求两个因数绝对值的积.
探究点二　倒数
类型一　直接求某一个数的倒数
【例2】求下列各数的倒数：
（1）－；（2）2；（3）－1.25；（4）5.
【解】（1）－的倒数是－.
（2）2＝，故2的倒数是.
（3）－1.25＝－，故－1.25的倒数是－.
（4）5的倒数是.
【方法总结】求倒数的技巧：（1）求分数的倒数时，只要把这个分数的分子、分母颠倒位置即可（整数看成是分母为1的分数）；（2）求带分数的倒数时，要先将其化成假分数；（3）求小数的倒数时，要先将其化成分数.
类型二　与相反数、倒数、绝对值有关的求值问题
【例3】已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值为6，求－cd＋｜m｜的值.
【解析】根据相反数的概念和倒数的概念，可得a与b，c与d的等量关系，再由m的绝对值为6，可求m的值，把所得的等量关系整体代入可求出代数式的值.
【解】由题意，得a＋b＝0，cd＝1，｜m｜＝6，m＝±6.
①当m＝6时，原式＝0－1＋6＝5；
②当m＝－6时，原式＝0－1＋6＝5.
故－cd＋｜m｜的值为5.
探究点三　有理数的乘法的应用
【例4】某粮食加工厂从生产的粮食中抽出20袋进行质量检查，以每袋50kg为标准，将超过的部分记为正数，不足的部分记为负数，偏差结果记录如下：
偏差/kg －0.7 －0.5 －0.2 0 ＋0.4 ＋0.5 ＋0.7
袋数 1 3 4 5 3 3 1
　　这20袋大米共超重或不足多少千克？总质量为多少千克？
【解析】求出偏差的和，依据和的正负即可判断是超重还是不足.以每袋50kg为标准，计算出总质量，再加上偏差即可得实际总质量.
【解】－0.7×1－0.5×3－0.2×4＋0×5＋0.4×3＋0.5×3＋0.7×1＝0.4（kg），即这20袋大米共超重0.4kg，
这20袋大米的总质量为50×20＋0.4＝1000.4（kg）.
1.下列计算中正确的个数是（　　）
①3×（－4）＝－12；②（－4）×5＝－20；③（－4）×（－6）＝24；④（－5）×0＝0.
A.1 B.2 C.3 D.4
2.下列各组数中互为倒数的是（　　）
A.2与－｜－2｜ B.－（＋2）与｜－｜
C.－（－2）与－｜＋｜ D.－｜－｜与＋（－2）
第1课时　有理数的乘法法则
1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.
2.任何数与0相乘都得0.
本节课我们主要学习了有理数的乘法法则，并会运用有理数的乘法法则进行计算，一般计算步骤如下：先确定积的符号，再求两个因数绝对值的积.
　　通过对算式和结果的规律的观察、分析和探究，引导学生通过加法的计算和数字的规律变化，进而得出两个负数相乘的结果，得到有理数的乘法法则.推导的过程揭示了有理数运算中加法与乘法的关系，让学生体会转化的数学思想.
答案
课堂训练
1.D　2.D
第2课时　有理数的乘法运算律
1.掌握乘法的分配律，并能灵活运用.
2.掌握有理数的乘法运算律，并利用运算律简化乘法运算.
3.经历探索有理数的乘法运算律的过程，使学生感受从特殊到一般、从一般到特殊的认知规律.
重点：使学生理解有理数的乘法依然满足交换律、结合律、分配律，并会利用它们进行简化计算.
难点：利用分配律的逆运算来简化计算.
上节课我们学习了有理数的乘法，下面我们做几道题.计算下列各题，并比较它们的结果：
1.（－7）×8与8×（－7）；
2.×与×.
让学生先进行计算，然后在组内交流，验证答案的正确性.
探究点一　利用运算律简化计算
【例1】计算：
（1）×（－3）×（－4）××（－25）×5；
（2）×（－24）.
【解】（1）原式＝×[（－4）×（－25）]×（－3）×5＝1×100×（－3）×5＝－1500.
（2）原式＝×（－24）＋×（－24）＋×（－24）＝－16－18＋21＝－13.
【方法总结】运用乘法交换律或结合律时要考虑能约分的、凑整的、互为倒数的数要尽可能地结合在一起.
探究点二　逆用乘法的分配律
【例2】计算：－32×＋（－11）×－（－21）×.
【解】原式＝－×（32－11－21）＝0.
【方法总结】将分配律a（b＋c）＝ab＋ac等号左右两边交换位置即得公式ab＋ac＝a（b＋c）.当计算几个积的和时可考虑用以上公式简化计算，此公式的特点是各个积中含有一个相同的因数.
1.计算15×的最简便的方法是（　　）
A.（ 15＋）× B.（ 16－）×
C.× D.（ 10＋5）×
2.计算：
（1）8××；
（2）－×1.4－3.2×＋×.
第2课时　有理数的乘法运算律
乘法交换律：ab＝ba.
乘法结合律：（ab）c＝a（bc）.
乘法分配律：（a＋b）c＝ac＋bc.
本节课我们学习了有理数的乘法运算律，并学会熟练利用运算律简化乘法运算.
　　通过计算复习乘法法则，部分同学使用了交换律和结合律，为新课的引入提供了恰当的时机，在此基础上通过问题引导、结果验证，让学生感受到运算律在有理数范围内的应用.新课程理念要求把学生“学”数学放在教师“教”之前，“导学”是教学的重点.因此，本节课的教学重点是引导学生从大量的实例中寻找解决问题的方法.
答案
课堂训练
1.B
2.解：（1）原式＝×
＝×（5－6－4）
＝×（－5）＝－3.
（2）原式＝－×
＝－×5
＝－4.
第3课时　多个有理数相乘的乘法法则
1.掌握多个有理数连续相乘的运算方法.
2.正确理解乘法交换律、结合律和分配律，能用字母表示运算律的内容.
3.能运用运算律熟练地进行乘法运算.
重点：会确定多个因数相乘时积的符号，并会用法则进行多个因数的乘积运算.
难点：掌握多个有理数相乘的积的符号法则.
要将－1，－2，－3，4，5，6，7，8，9这9个数填入如图所示的九宫格中，使横线、竖线、斜线上的积都为负数，应如何填？
探究点一　多个因数相乘
【例1】计算：
（1）×××（－0.3）；
（2）××（－15）×0×（－2020）.
【解析】（1）是几个非0的有理数相乘，应先确定积的符号，然后再把它们的绝对值相乘；（2）的五个因数中有一个是0，所以积为0.
【解】（1）原式＝3×11×1×0.3
＝×××
＝15.
（2）原式＝0.
【方法总结】几个非0的有理数相乘，计算的关键是确定积的符号，而积的符号只与负因数的个数有关，与正因数的个数无关.
探究点二　多个因数相乘的应用
【例2】在一次团体操排练中，某班45名学生面向老师站成一列横队，老师每次让6名学生向后转（不论原来的方向如何）.问：若干次后，能否使全体学生都背向老师站立？如果能，请设计一种方案；如不能，请说明理由.
【解析】这里涉及向后转，变成了反方向，因此，可借助数的性质符号，向后转一次，就相当于这个数改变了一次符号.
【解】不能.理由如下：
设学生面向老师站立记为“＋”，背向老师站立记为“－”.45名学生面向老师站立，有45个“＋1”，乘积为“＋1”.每改变6名学生的方向，即6个“－1”相乘，积仍为“＋1”，不改变45个数的积的符号.而45个“－1”的积为“－1”，所以无论转多少次，都不可能使全体学生都背向老师站立.
1.下列各式中，运算结果为正数的是（　　）
A.2×3×（－4）×5
B.2×（－3）×（－4）×（－5）
C.2×0×（－4）×（－5）
D.（－2）×（－3）×（－4）×（－5）
2.如果三个非零有理数的积为正数，那么下列结论：
①这三个数同号；②若其中一个数是正数，则另外两个数同号；③若其中一个数是负数，则另外两个数同号；④若其中一个数是负数，则另外两个数异号.其中必定成立的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
第3课时　多个有理数相乘的乘法法则
1.几个不等于0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.
2.几个有理数相乘，有一个因数为0，积就为0.
本节课我们学习了几个不是0的有理数相乘，积的符号与负因数的个数之间的关系，还学习了因数含0时的特殊规律.
　　通过本节课的学习，学生知道了计算多个有理数相乘时，先看因数中有没有0，当有一个因数为0时，结果就为0；当没有因数为0时，先确定积的符号，再算各因数的绝对值的积.实际计算时掌握如下计算技巧：是小数的先化成分数；是带分数的先化成假分数；用约分的方法计算正分数相乘的积.
答案
课堂训练
1.D　2.B
2.2.2　有理数的除法
第1课时　有理数的除法
1.认识有理数的除法，经历除法的运算过程.
2.理解除法法则，体验除法与乘法的转化关系.
3.掌握有理数的除法及乘除混合运算.
重点：熟练进行有理数的除法运算.
难点：会根据不同情况来选取方法进行除法运算.
前面我们学习了“有理数的乘法”，那么自然会想到有理数有除法吗？如何进行有理数的除法运算呢？比如“（－12）÷（－3）＝？”.回忆小学里乘法与除法互为逆运算，并提问：被除数、除数、商之间有何关系？
探究点一　有理数的除法及分数化简
类型一　直接判定商的符号进行除法运算
【例1】计算：
（1）（－15）÷（－3）；（2）12÷（－4）；
（3）（－0.75）÷0.25.
【解析】采用有理数的除法：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除解答.
【解】（1）原式＝＋（15÷3）＝5.
（2）原式＝－（12÷4）＝－3.
（3）原式＝－（0.75÷0.25）＝－3.
类型二　将除法转化为乘法进行计算
【例2】计算：（1）÷1；
（2）（－6）÷÷.
【解析】应用法则除以一个不等于0的有理数，等于乘这个有理数的倒数.如果被除数或除数中有小数或带分数，要化小数为分数，化带分数为假分数.
【解】（1）原式＝×＝－.
（2）原式＝（－6）××
＝－＝－1.
类型三　分数的化简
【例3】化简下列分数：
（1）；（2）；（3）.
【解析】采用有理数的除法：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除解答.
【解】（1）原式＝（－42）÷（－7）＝＋（42÷7）＝6.
（2）原式＝÷3＝×＝－.
（3）原式＝0.3÷＝0.3×（－2）＝－0.6.
探究点二　有理数的乘除混合运算
【例4】计算：
（1）－2.5÷×；
（2）÷×.
【解析】（1）把小数化成分数，同时把除法变成乘法，再根据有理数的乘法法则进行计算即可；（2）首先把乘除混合运算统一成乘法，再确定积的符号，然后把绝对值相乘，进行计算即可.
【解】（1）原式＝－××＝××＝1.
（2）原式＝（－）×（－）×（－）＝－（××）＝－4.
1.下列运算结果错误的是（　　）
A.÷（－3）＝3×（－3）＝－9
B.－5÷（ －）＝5×2＝10
C.8÷（－2）＝－（8÷2）＝－4
D.0÷（－3）＝0
2.下列计算正确的是（　　）
A.－3.5÷×（ －）＝－3
B.－2÷3×3＝－
C.（－6）×（ －）÷（ ＋）＝
D.－÷（ ÷）＝－1
第1课时　有理数的除法
1.任何数除以一个不为0的有理数，等于乘这个有理数的倒数，即a÷b＝a×（b≠0）.
2.两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
3.0除以任何一个不为0的有理数，都得0.
本节课我们学习了有理数的除法运算，学会根据题目的特点，恰当地选择有理数的除法法则进行计算.
　　让学生深刻理解除法是乘法的逆运算，对学好本节内容有比较好的作用.教学设计是可以采用课本的引例作为探究除法法则的导入.让学生自己探索并总结除法法则，同时也让学生对比乘法法则和除法法则，加深印象.
答案
课堂训练
1.A　2.C
第2课时　有理数的加减乘除混合运算
1.能熟练地运用有理数的运算法则进行有理数的加减乘除混合运算.
2.能运用有理数的运算律简化运算.
3.能利用有理数的加减乘除混合运算解决简单的实际问题.
4.会用计算器进行有理数的加减乘除混合运算.
重点：熟练进行有理数的除法运算.
难点：有理数的四则混合运算.
明代南海才子伦文叙为苏东坡《百鸟归巢图》题的数学诗：
天生一只又一只，三四五六七八只.
凤凰何少鸟何多，啄尽人间千万石！
诗中数字：一只又一只，三四五六七八只.在这些数中加上适当的运算符号就能得到100.
你能说出小学的四则混合运算的顺序是怎样的吗？
探究点一　有理数的加减乘除混合运算
【例1】计算：
（1）÷（－4）×；
（2）×＋×＋（＋196）÷5－÷5.
【解】（1）原式＝××
＝.
（2）原式＝［（－13）＋（－6）＋196－76］×
＝（－20＋120）×
＝100×
＝20.
【方法总结】有理数的加减乘除四则混合运算应注意以下顺序：（1）先算乘除，再算加减；（2）同一级运算，从左到右依次进行；（3）如有括号，先算括号里的运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序依次进行.
探究点二　利用计算器进行有理数的混合运算
【例2】用计算器计算：－25÷5－15×.
【解】按键顺序为（－）25÷5－15×（－）2÷3＝就可得结果为5.
探究点三　有理数混合运算的应用
【例3】已知海拔每升高1000m，气温下降6℃.某人乘热气球旅行，在地面时测得温度是8℃，当热气球升空后，测得高空温度是－1℃.求热气球的高度.
【解析】分析题意，可先求出地面与高空的温差，再求出气温下降1℃海拔升高多少米，接下来用地面与高空的温差乘气温下降1℃海拔升高的高度列式计算即可.
【解】根据题意，得[8－（－1）]×（1000÷6）＝1500（m）.
答：热气球的高度为1500m.
1.计算12÷（－3）－2×（－3）的结果是（　　）
A.－18 B.－10 C.2 D.18
2.下列运算正确的是（　　）
A.－9÷2×＝－9 B.6÷（ －）＝－1
C.1－1÷＝0 D.－÷÷＝－8
第2课时　有理数的加减乘除混合运算
1.有理数的加减乘除混合运算的顺序：
先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的，同级运算从左到右依次进行.
2.利用运算律简化运算
3.利用计算器进行有理数的混合运算
4.有理数混合运算的应用
本节课我们学习了在进行有理数的加减乘除混合运算时，应注意有理数混合运算的运算顺序：先乘除，后加减，有括号的先算括号里的.
　　本节课主要讲授了有理数的加减乘除混合运算.“先乘除后加减”的运算顺序学生早已熟练掌握，让学生学会分析题目中所包含的运算是本节课的重难点.在教学时，要注意结合学生平时练习中出现的问题，及时纠正和指导，培养学生良好的解题习惯.
答案
课堂训练
1.C　2.D
2.3　有理数的乘方
2.3.1　乘方
第1课时　有理数的乘方
1.理解并掌握有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及意义.
2.能够正确进行有理数的乘方运算.
3.能利用数学知识解决实际问题，激发学生学习的兴趣，树立解决问题的信心.
重点：理解有理数的乘方的意义，会进行有理数的乘方运算.
难点：有理数的乘方的运算及幂的符号法则，认识并理解a2的非负性.
从前，有个“聪明的乞丐”，他要到了一块面包.他想，天天要饭太辛苦，如果我第一天吃这块面包的一半，第二天再吃剩余面包的一半，……依次每天都吃前一天剩余面包的一半，这样下去，我就永远不用去要饭了！请你们交流讨论，他的想法合理吗？再算一算，如果把整块面包看成整体“1”，那第七天，将吃到面包的　　　　.
学生合作探究：小组交流、合作探索解决问题的数学方法.
探究点一　乘方的意义
【例1】把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么.
（1）（－3.14）×（－3.14）×（－3.14）×（－3.14）×（－3.14）；
（2）×××××.
【解析】由乘方的定义可知，n个相同的因数a相乘，记作an，其中a为底数，n为指数.
【解】（1）原式＝（－3.14）5，其中底数是－3.14，指数是5.
（2）原式＝，其中底数是，指数是6.
探究点二　有理数的乘方运算
【例2】计算：
（1）53；（2）（－3）4；（3）.
【解析】可根据乘方的意义，先把乘方转化为乘法，再根据乘法的运算法则来计算.
【解】（1）原式＝5×5×5＝125.
（2）原式＝（－3）×（－3）×（－3）×（－3）＝81.
（3）原式＝××＝－.
探究点三　乘方在实际生活中的应用
【例3】当把纸对折1次时，就得到2层；当把纸对折2次时，就得到4层，照这样折下去.
（1）你能发现层数和折纸的次数有什么关系吗？
（2）计算当把纸对折6次时，层数是多少？
（3）如果每张纸的厚度是0.1mm，那么把纸对折10次时，总的厚度是多少？
【解析】本题是一道乘方的实际应用题，可以看出每折1次，层数增加一倍，即层数＝原层数×2，这样对折1次得到2层，即21层；对折2次得到2×2＝4（层），即22层；对折3次得到4×2＝8（层），即23层；对折4次得到8×2＝16（层），即24层；……；于是对折n次得到2n层.对折6次，即n＝6时，得到26层；对折10次的厚度为0.1×210＝0.1×1024＝102.4（mm）.
【解】（1）设折纸的次数是n，则折得的层数为2n.
（2）当把纸对折6次时，n＝6，层数为26＝64.
（3）当把纸对折10次时，总厚度为0.1×210＝0.1×1024＝102.4（mm）.
1.（－3）4的意义是（　　）
A.－3×4 B.4个（－3）相加
C.4个（－3）相乘 D.3个（－4）相乘
2.下列等式成立的是（　　）
A.－3×23＝－32×2 B.－32＝（－3）2
C.－23＝（－2）3 D.－32＝－23
第1课时　有理数的乘方
1.有理数的乘方的意义
2.有理数的乘方运算的符号法则：
（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（2）正数的任何次幂都是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0.
3.与乘方有关的探求规律问题
本节课我们学习了有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及意义，还认识并理解了a2的非负性.
　　本节课的教学以故事引入，提出问题，引导学生积极思考，并得出答案，由答案的表现形式向学生提出问题，激发学生的求知欲望.在教师的启发诱导下自然过渡到新知识的学习，接着层层设问，
引出乘方以及与乘方有关的概念，采用归纳类比的方法把新旧知识联系起来，既有利于复习巩固旧知识，又有利于新知识的理解和掌握.
答案
课堂训练
1.C　2.C
第2课时　有理数的混合运算
1.进一步掌握有理数的运算法则和运算律.
2.熟练地按有理数运算顺序进行混合运算.
重点：有理数的混合运算.
难点：正确而合理地进行有理数的混合运算.
前面我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方运算，对各种运算的法则、运算律和运算技巧已经比较熟悉.如果遇到有理数的混合运算，你有信心进行准确地计算吗？如图所示的是小玲和小亮的对话，你同意小亮的说法吗？
探究点一　有理数的混合运算
【例1】计算：［－32×（－）2－0.2］×4÷（－2）.
【解】原式＝××
＝×
＝×（－2）
＝.
【方法总结】有理数的混合运算的三个顺序：（1）同级运算，按照从左到右的顺序计算；（2）按照先乘方，再乘除，最后加减的顺序计算；（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
探究点二　数字规律探索
【例2】为了求1＋2＋22＋23＋24＋…＋22024的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22024，则2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22025，因此2S－S＝22025－1，所以1＋2＋22＋23＋…＋22024＝22025－1.仿照以上推理，那么1＋5＋52＋…＋52026＝　　　　.
【解析】观察等式，可发现规律，根据规律即可进行解答.设S＝1＋5＋52＋53＋…＋52026，5S＝5＋52＋53＋54＋…＋52027，5S－S＝52027－1，所以S＝.
【解】
1.计算÷×的值为（　　）
A.－ B. C. D.
2.定义一种新的运算“ ”，规定它的运算法则：a b＝a2＋2ab.例如，3 （－2）＝32＋2×3×（－2）＝－3，则（－2） 3的值为　　　　.
第2课时　有理数的混合运算
有理数的混合运算顺序：
先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的.
本节课我们学习了有理数的混合运算的法则，并能进行有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算，学会了在运算过程中合理地使用运算律简化运算.
　　有理数的运算是数学中很多其他运算的基础，培养学生正确迅速的运算能力，是数学教学中的一项重要目标.在这个过程中，教师重点引导学生发现自己的错误，规范学生的解答过程，让学生养成良好的解题习惯.
答案
课堂训练
1.A　2.－8
2.3.2　科学记数法
1.了解科学记数法的意义.
2.会用科学记数法表示较大的数.
3.能将用科学记数法表示的数还原为原数.
重点：正确使用科学记数法表示大于10的数.
难点：探究用科学记数法表示大于10的数的方法.
生活中，我们还常会遇到一些比较大的数.例如：
（1）第七次人口普查数据显示全国总人口为1443497378人；
（2）光的速度约为300000000m/s；
（3）地球平均半径约为6371000m；
（4）地球离太阳约有一亿五千万千米；
（5）地球上煤的储量估计在15万亿吨以上.
像这些较大的数据，书写和阅读都有一定的难度，那么有没有这样一种表示方法，使得这些大数易写、易读、易于计算呢？
探究点一　用科学记数法表示大数
【例1】为加快推进“十四五”期间“双一流”建设，全面提升高等教育内涵发展水平，江西省下达2023年“双一流”建设资金8.82亿元，统筹用于“双一流”建设，推动相关高校加强内涵建设、提升学校综合实力、核心竞争力和影响力，不断提升江西省高等教育服务的能力和水平.8.82亿这个数据用科学记数法表示（）
A.8.82×108 B.88.2×107
C.0.882×109 D.8.82×109
【解析】8.82亿＝882000000＝8.82×108.
【答案】A
【方法总结】对带“万”“千万”“亿”等单位的数用科学记数法表示时，要先化成不带单位的数，再用科学记数法表示.
探究点二　将用科学记数法表示的数转换为原数
【例2】下列用科学记数法表示的数，原数是什么？
（1）中华民族的母亲河黄河，发源于巴颜喀拉山脉北麓，注入渤海，流域面积约为7.5×105km2；
（2）一套《辞海》大约有1.7×107个字.
【解析】将科学记数法a×10n表示的数还原成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数.
【解】（1）7.5×105＝750000.
（2）1.7×107＝17000000.
1.－268000用科学记数法表示为（）
A.－268×103 B.－268×104
C.－26.8×104 D.－2.68×105
2.党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位.将2800000000000用科学记数法表示为（）
A.0.28×1013 B.2.8×1011
C.2.8×1012 D.28×1011
3.已知有理数M有8位整数.若M＝a×10n，则n＝　　　　.
2.3.2　科学记数法
科学记数法：
（1）把大于10的数表示成a×10n的形式；
（2）a的范围是1≤｜a｜＜10，n是正整数；
（3）n比原数的整数位数少1.
本节课我们学习的是科学记数法以及理解和掌握把一个数写成科学记数法的形式的方法，并能将用科学记数法表示的数转换为原数.
　　本节课的特点是实际性强，和我们的日常生活联系紧密，从学生的生活经验和已有的知识出发，创设生动有趣的情境，引导学生开展观察、讨论、交流等活动.把学生被动接受知识的过程变为主动探究发现的过程，使知识的发生与发展在每一位学生各自的体验和自主学习中逐渐展现，培养学生的思维能力.
答案
课堂训练
1.D　2.C　3.7
2.3.3　近似数
1.理解近似数的意义.
2.能按照精确度的要求，用四舍五入法求出近似数.
3.体验转化的数学思想，形成全面分析问题的哲学观.
重点：近似数和精确度的意义.
难点：由给出的近似数求其精确度，按给定的精确度求一个数的近似数.
阅读报道：中国是世界国土面积第3大国；中国有世界第一高峰珠穆朗玛峰，海拔为8848.86m；中国共划分为34个省级单位，包括23个省，5个自治区，4个直辖市和2个特别行政区；中国共有56个民族，少数民族人口最多的是壮族，约有1957万人.你能找出这篇报道中的精确数据和近似数据吗？
探究点一　准确数与近似数
【例1】下列各题中的数据，哪些是准确数？哪些是近似数？
（1）某字典共有1234页；
（2）我们班级有45人，买门票大约需要800元；
（3）小红测得数学书的长度大约是21.0cm.
【解】（1）1234是准确数.（2）45是准确数，800是近似数.（3）21.0是近似数.
探究点二　确定近似数的精确度
【例2】下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？
（1）600万；（2）5.8亿；（3）3.30×105.
【解析】（1）600万＝6000000，600最右边的数在万位，故精确到万位；（2）5.8亿＝580000000，其中8在千万位，故精确到千万位；（3）3.30×105＝330000，330最右边的数在千位，故精确到千位.
【解】（1）600万，精确到万位.
（2）5.8亿，精确到千万位.
（3）3.30×105，精确到千位.
【方法总结】精确度的确定方法：
（1）普通数直接判断；（2）对于科学记数法形式（形如a×10n）的数，先将其还原成普通数，再看a最右边的数字处在哪个数位上，则其就精确到了哪个数位；（3）带有“文字单位”的近似数，在确定它的精确度时，分两种情况：当“文字单位”前面的数是整数时，则近似数精确到“文字单位”；当“文字单位”前面的数是小数时，则先将近似数还原成原来的数，再看小数中最右边的数字在原数中的位置.
探究点三　求近似数
【例3】用四舍五入法将下列各数按括号中的要求取近似数.
（1）0.6328（精确到0.01）；
（2）7.9122（精确到个位）；
（3）47155（精确到百位）.
【解析】（1）0.6328精确到0.01为0.63；（2）7.9122精确到个位为8；（3）47155精确到百位为47200.
【解】（1）0.6328≈0.63.
（2）7.9122≈8.
（3）47155≈47200.
探究点四　根据近似数求原数或原数的取值范围
【例4】近似数1.70所表示的准确值a的范围是（　　）
A.1.700＜a≤1.705 B.1.60≤a＜1.80
C.1.64＜a≤1.705 D.1.695≤a＜1.705
【解析】若近似数是a四舍五入时向前进1得到的，那么a≥1.695；若近似数是a四舍五入时舍去下一位得到的，那么a＜1.705，所以1.695≤a＜1.705.
【答案】D
1.用四舍五入法按要求对0.64247分别取近似值，其中正确的是（　　）
A.0.643（精确到百分位）
B.0.64（精确到百分位）
C.0.5（精确到0.1）
D.0.6424（精确到0.0001）
2.下列说法正确的是（　　）
A.近似数3.6与3.60的精确度相同
B.数2.9954精确到百分位为3.00
C.近似数1.3×104是精确到十分位
D.近似数3.61万是精确到百分位
2.3.3　近似数
1.近似数的定义：在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数称为近似数.
2.求近似数
3.确定近似数的精确度
本节课主要学习了近似数的意义，掌握按照精确度的要求，用四舍五入法求出近似数，并能确定近似数的精确度.
　　本节课学习难点在于确定用科学记数法表示的数的精确度，因此要通过科学记数法的意义对其讲解，让学生理解为什么要这样做.学生已经初步掌握近似数的概念，并能准确地说出某些近似数的精确度，但对于用科学记数法表示的数的精确度的理解不是很准确，应在今后的教学中着重讲解，在练习中加强训练.
答案
课堂训练
1.B　2.B

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