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教学设计
教学课题 反比例函数的应用（教学设计）-2024-2025学年北师大版数学九年级上册
教学目标 （1）会用数学的眼光观察现实世界：通过实际问题，如气球气压与体积的关系、拉面长度与横截面积的关系，引导学生观察现实生活中的反比例函数现象，理解数学在现实世界中的应用。 （2）会用数学的思维思考现实世界：通过建立反比例函数模型，分析实际问题中的变量关系，培养学生运用数学思维解决实际问题的能力。 （3）会用数学的语言表达现实世界：通过反比例函数的表达式和图象，引导学生用数学语言描述和解释实际问题，提升数学表达能力。
重难点 （1）能够从实际问题中抽象出反比例函数模型，并理解其数学意义，培养数学建模的核心素养。 （2）运用反比例函数的性质解决实际问题，特别是结合其他学科知识（如物理中的压强问题），提升跨学科综合应用能力。
教学方式与策略 讲授法、案例分析法、实验法、合作探究法
教学活动设计 一、情景导入 老师：我们都知道，气球内可以充满一定量的气体。如果保持温度不变，那么气球内的气体压力 （kPa）与气体体积 （m ）之间有怎样的关系？你们有没有想过气球在什么条件下会爆炸呢？ （学生：是不是反比例函数的关系？） 老师：说得对！这个关系可以用一个反比例函数来描述。今天我们就来学习如何利用反比例函数解决实际问题。 二、合作探究 探究点一：实际问题与反比例函数 活动 1：拉面中的反比例函数 老师：在制作拉面的过程中也蕴含着反比例函数的知识。假设有一个固定体积的面团用来做拉面，面条的总长度 （m）和面条的横截面积 （mm ）之间存在反比例关系，其图像如下所示： （出示图像） 问题 1：写出 与 之间的函数表达式。 （生：设 与 之间的函数关系为 ） 老师：非常好！我们知道图像上有一点 P（4, 32），我们可以通过代入这个点来求解 值。 （板书：） （生：） 老师：非常正确！因此， 与 之间的函数表达式为 。 问题 2：当面条的横截面积为 1.6 mm 时，面条的总长度是多少米？ （生：把 代入表达式中，得 m） 老师：回答完全正确！所以，当面条的横截面积为 1.6 mm 时，面条的总长度是 80 米。 问题 3：要使面条的横截面积不多于 1.28 mm ，面条的总长度至少应该是多少米？ （生：把 代入表达式中，得 m） 老师：很好！从图象上可以看出，要使面条的横截面积不多于 1.28 mm ，面条的总长度至少应为 100 米。 方法总结： 老师：解决问题的关键在于仔细阅读题目，理解题意，明确变量与常量的关系，抽象出实际问题中的反比例函数模型，然后通过反比例函数的图象和性质来解决问题。 （学生点头表示理解） 探究点二：反比例函数与其他学科知识的综合 活动 2：木板压强与面积的反比例关系 老师：某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地。为了安全且迅速通过这片湿地，他们铺设了若干木块，构筑成一条临时通道。木板对地面的压强 （Pa）与木板面积 （m ）成反比例关系，其图像如下所示： （出示图像） 问题 1：请直接写出这一函数表达式和自变量的取值范围。 （生：设 与 之间的函数关系为 ，因为图像经过点 A（1.5, 400），代入求解 值） 老师：很好！ （生：） 老师：非常好！因此，反比例函数的关系式为 （）。 问题 2：当木板面积为 0.2 m 时，压强是多少？ （生：把 代入表达式中，得 Pa） 老师：回答正确！所以当木板面积为 0.2 m 时，压强是 3000 Pa。 问题 3：如果要求压强不超过 6000 Pa，木板的面积至少要多大？ （生：由题意知 ，解得 m ） 老师：很好！所以木板面积至少要有 0.1 m 。 方法总结： 老师：本题涉及物理学中压强、压力与受力面积之间的关系 。当压力 一定时， 与 成反比例。此外，利用反比例函数的知识解决实际问题时，我们需要善于发现实际问题中变量之间的关系，并建立反比例函数模型。 （学生表示理解并记笔记） 三、课堂小结 老师：今天我们学习了如何根据实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，并利用反比例函数解决实际问题。希望大家能够理解并掌握反比例函数在实际生活中的应用。 （生：理解了反比例函数的应用） 老师：很好！希望大家课后继续练习，巩固所学知识。
课后作业 （1）根据教材中的探究点一，选取一个生活中的实际问题，尝试自己建立反比例函数模型，并解答问题。 （2）选取教材中探究点二的任意一题，尝试运用所学的反比例函数知识，结合物理中压强与面积的关系，解决实际问题。

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