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小升初奥数思维之典型应用题精讲精练讲义（通用版）
专题01 工程问题
【第一部分：知识归纳】
一、基本概念
1、工程问题是研究工作效率、工作时间和工作总量之间关系的数学问题。这类问题通常涉及多人或多单位合作完成某项工程的情况。
2、核心要素：
工作总量：通常设为"1"（表示整个工程）
工作效率：单位时间内完成的工作量
工作时间：完成工程所需的时间
二、核心公式
1. 基本公式
工作总量 = 工作效率 × 工作时间
工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间
工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率
2. 合作公式
合作效率 = 各工作效率之和
合作时间 = 工作总量 ÷ 合作效率
三、常见题型与解题方法
1. 单人工程问题
例题：一个工人单独完成某项工作需要20天，他的工作效率是多少？
解答：工作效率 = 1 ÷ 20 = 1/20（每天完成工程的1/20）
2. 多人合作问题
例题：甲单独完成需要15天，乙单独完成需要10天。两人合作需要多少天？
解答：甲效率 = 1/15
乙效率 = 1/10
合作效率 = 1/15 + 1/10 = 1/6
合作时间 = 1 ÷ (1/6) = 6天
3. 交替工作问题
例题：甲单独完成需12小时，乙单独完成需8小时。两人交替工作，甲先做1小时，乙做1小时，如此反复，完成工程需要多少时间？
解答：甲效率 = 1/12
乙效率 = 1/8
2小时完成量 = 1/12 + 1/8 = 5/24
4个周期(8小时)完成 = 4×5/24 = 20/24 = 5/6
剩余1/6由甲完成需要 (1/6)÷(1/12)=2小时
总时间 = 8 + 2 = 10小时
四、解题技巧
1、设工作总量为1：简化计算
2、列表整理数据：清晰列出各参与者的效率
3、分段计算：对复杂的工作安排分段处理
4、单位统一：确保时间单位一致
5、检验合理性：验证计算结果是否符合常理
【第二部分：能力提升】
1．一项工程，甲、乙两人合作需要8天完成，如果由乙单独做需要12天完成。两人开始合作一段时间后，乙离开另有任务，余下的工作由甲来完成，用了3天。两人合作了几天？
2． (工程问题)加工一批零件，甲单独做20天完成，乙单独做每天完成这批零件的。现在两人合作完成这批零件的加工任务，甲中途休息了3天，乙也休息了若干天，这样用了15天才完成任务，求乙休息的天数。
3．小明站着不动乘电动扶梯上楼需30秒，如果在乘电动扶梯的同时小明继续向上走需12秒，那么电动扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需多少秒？
4．一堆货物，甲车独运4小时运完，乙车独运6小时运完．现在有甲、乙两车合运这堆货物的 ，需要多少小时？
5．果园里一共有300棵桃树，如果甲队单独种需要8天，乙队需要10天，现在两队合种，5天能种完吗？
6．某工程先由甲独做63天，再由乙独做28天即可完成，如果甲、乙两人合作，需48天完成。现在甲先单独做42天，然后由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？
7．某农场有一千亩小麦地，采用无人机喷洒农药，一台无人机6小时可以完成，另一台无人机10小时可以完成。两台无人机同时工作，几小时可以喷洒完
？
8． 打一份稿件，有甲、乙两名打字员，但只有一台电脑，若让甲来打，14小时可以完成，若让乙来打20小时完成。现在两人轮流打，每人每次打1小时，先由甲打1小时，乙休息，接着再由乙打1小时，甲休息，再由甲接着打1小时……那么打完这份稿件一共要多少小时？
9．一天，师、徒二人接到一项加工零件的任务，先由师傅单独做6小时，剩下的任务由徒弟单独做，4小时做完．第二天，他们又接到一项加工任务，工作量是第一天接受任务的2倍.这项任务先由师、徒二人合做10小时.剩下的全部由徒弟做完.已知徒弟的工作效率是师傅的，师傅第二天比徒弟多做32个零件．问：
（1）第二天徒弟一共做了多少小时；
（2）师徒二人两天共加工零件多少个；
10．三项工程的工作量之比为，由甲、乙、丙三队分别承担。三个工程队同时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量。那么甲、乙、丙三队每天的工作量之比是多少？
11． (工程问题)甲工程队修一条长1600米的公路，施工12天后修好这条公路的75% ，此后甲工程队采用新技术每天比原来可多修1倍的公路，修完这条公路甲工程队一共用了几天？
12．一项工程，甲队单独做需要8天，乙队单独做需要12天。如果甲乙两队合作，那么多少天可以做完这项工程的 ？
13．(工程问题)一项工程， 甲独做 6 小时只完成这项工程的一半， 甲和乙合做 2 小时也完成这项工程的一半。甲独做 3 小时后， 由甲、乙合做完成这项工程。这项工程的报酬为 1200 元， 按．工．作量分配报酬，甲、乙分别可得多少钱？
14．某摩托车厂本周计划每日生产 250 辆摩托车， 由于工人实行轮休， 每日上班人数不一定相等， 实际每日的生产量与计划生产量相比情况如表 (增加的辆数为正， 减少的辆数为负)。
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减/加 -5 +7 -3 +4 +10 -9 -25
根据记录回答：
（1）本周实际生产了多少辆摩托车？
（2）本周实际总生产量与计划量相比是增加了还是减少了？ 增加或减少了多少辆？
（3）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少辆？
15． 一项工程。甲单独做要12小时，乙单独做要18小时。若甲做1小时后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时……，两人交替工作，问完成任务共需要多少小时？
16．(工程问题)一件工程甲、乙合作 12 天完成，结果甲干了 3 天，乙干了 1 天，完成了全工程的 ，如果甲单独干多少天就可以完成？
17．一项工程，甲、乙两队合干需 天，需支付工程款 元；乙、丙两队合干需 天，需支付工程款 元；甲、丙两队合干需 天，需支付工程款 元．如果要求总工程款尽量少，应选择哪个工程队？
18． (工程问题)某工厂生产某种零件， 原计划每天生产 500 个， 则刚好能在规定时间完成任务。但实际每天比原计划多生产了 60 个零件，结果在规定时间还剩 3 天时完成了任务，并多生产了 1200 个零件。该工厂原计划生产多少个零件？
19．羊毛衫厂要生产756件羊毛衫，甲车间有19人，乙车间有17人，两个车间同时生产，平均每人每天生产3件，多少天可以完成？
20．一项工程， 甲先做 8 天， 乙再做 5 天可以全部完成； 甲先做 4 天， 乙再做 10 天也可以全部完成， 如果现在乙先做两天半， 甲再开始做， 还需要多少天完成？
21．工厂生产一批产品，原计划15天完成，实际生产时改进了生产工艺，每天生产产品的数量比原计划每天生产产品数量的多10件，结果提前4天完成了生产任务，则这批产品有多少件？
22．甲、乙两个工程队给一条长3000米的公路铺路，各从公路的一端施工，4天铺完。甲队每天铺365米，乙队每天铺多少米？
23．在露天游泳池内有一根进水管和一根排水管，如果单开进水管5小时才能灌满一池水，如果单开排水管，要3小时才能排完。大雨过后，游泳池的水占了泳池的一半，现按进水，排水，进水，排水…的顺序轮流各开一小时，多长时间后水池的水刚好排完？
24．修一段路， 甲队单独做需要 16 天完成，乙队单独做需要 24 天完成，两队合修 6 天后， 剩下的由甲队单独修完。甲队每天的工资为 1500 元， 乙队每天的工资为 1200 元， 修完这段路给两队一共付了多少工资？
25．工程队修一条1200米长的公路，第一周完成了全工程的 ，第二周完成了全工程的 ，再修全工程的几分之几就完成了全部任务？（请画出线段图并列式解答）
26．一项工程，甲独做要10小时，乙独做要15小时．现在甲乙合做，多少小时可以完成？
27．一项工程，甲队单独做需要8天完成，乙单独做需要12天完成。现在两队合做3天后，完成了工程的几分之几
28．某工程，甲单独完成需要40天，乙单独完成需要30天，丙单独完成需要20天，甲、乙、丙三人合作三天后，乙、丙因事离开若干天，已知乙离开的天数比丙离开的天数多3天，此项工程共用了14天完成。问乙、丙各离开了几天？
29．某工程队挖一条地铁隧道，原计划每天挖5.4m，25天挖完，实际每天比原计划多挖1.35m，实际多少天挖完？
30．某工程，由甲、乙两队承包，2.4天可以完成，需支付1800元；由乙、丙两队承包，天可以完成，需支付1500元；由甲、丙两队承包，天可以完成，需支付1600元．在保证一星期内完成的前提下，选择哪个队单独承包费用最少？
31．某工程队修筑一段公路．第一周修了这段公路的 ，第二周修了这段公路的 ．第二周比第一周多修了2千米．这段公路全长多少千米？
32．一部书稿，甲单独打字需 60 天完成，乙单独打字需50 天完成，已知甲每周日休息，乙每周六、周日休息。如果两人合作，从2023年4月24日(周一)开始打字，那么几月几日可以完成这部书稿？
33．甲、乙、丙三个队要完成A、B两项工程，B工程的工作量比A工程的工作量多，甲、乙、丙三队单独完成A工程所需时间分别是20天、24天、30天。先派甲队独做A工程，乙、丙两队共同做B工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同做A工程。这样两项工程同时完工。那么丙队与乙队合做了多少天？
34．用电脑打一份稿件，甲单独打要8小时，乙单独打要10小时，现在甲、乙合打，几小时完成这份稿件的
35．甲、乙两个水管同时注两个同样大小的水池，速度比是7：5。小时后， 两个水池的水量和是一个水池的水量。这时，甲水管的速度提高，乙水管的速度降低，甲水管注满水池后，乙水管还要多少才能注满水池？
36．有一项工程，甲单独做要11小时完成，乙单独做要的时间是甲的，现在甲乙先合做3小时后再由甲单独做，还需多少小时完成？
37．（工程问题）小冰和小华主办学校以毕业为主题的黑板报，两人合作6天可以完成，小冰做了2天后小华接着做了1天，这时共完成了黑板报的，如果小华一个人办完这期黑板报，需要多少天
38．录入一份稿件，甲单独完成需要12小时，乙单独完成需要8小时。乙先录三小时后，剩下的由甲单独录，还需要几小时完成？
39．一项工程，甲、乙两人合作8天可以完成，乙、丙两人合作6天可以完成，丙、丁两人合作12天可以完成，那么甲、丁两人合作多少天可以完成？
40．加工年批零件，甲单独做20天可以完工，乙单独做30天可以完工。现两队合作来完成这个任务，合作中甲休息了1天，乙休息了若干天，这样一共用了15天完工，那么乙休息了多少天？
41．有一个蓄水池装有9根水管，其中一根为进水管，其余8根为相同的出水管．进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池注水，后来有人想打开出水管，使池内的水全部排光，这时池内已注有一些水．如果8根出水管全部打开，需3小时把池内的水全部排光；如果5根出水管全部打开，需6小时把池内的水全部排光．要想在4.5小时内把水全部排光，需要同时打开几根出水管？
42．有四项同样的工程， 前三项已经完工．第一项工程由甲， 乙两个队承包， 20 天完成任务， 承包费是 360 万元；第二项工程由乙、两两个队承包， 36 天完成任务，承包势 504 方元：第三项工程由甲、丙两个队承包， 22.5 天完成任务， 承包费 360 万元。由于某些原因， 第四项工程只能给一个工程队承包， 70 天内完成， 承包替尽可能少一些， 三个工程队比较后， 哪个队更适合？承包费用是多少万元？
43．某工程可由若干台机器在规定时间内完成。如果增加2台机器，则只需要用规定时间的就可以完成；如果减少2台机器，就要推迟小时完成。如果由1台机器完成这项工程，需要多少小时？
44．乐乐妈妈手机通常一直开着。 如果她手机开着而不通话，电池可维持24小时：如果她连续使用手机通话，电池只能持续3小时，从她最后一次充满电算起，她手机已经持续开机9小时，在这段期间内，她通话用了60 分钟。如果她不再使用手机通话，而让手机持续开着，该手机还能再持续待机多少小时？
45．公园水池每周需换一次水， 水池有甲、乙、丙三根进水管。第一周小杨按甲、乙、丙、甲、乙、丙……的顺序轮流打开1小时，恰好在打开某根进水管1小时后灌满空水池；第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲．．的顺序轮流打开1小时，灌满一池水比第一周少用了15分钟；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的顺序轮流打开1小时，比第一周多用了15分钟：第四周他三个管同时打开，灌满一池水用了2小时20分，第五周他只打开甲管，那么灌满一池水需用多少小时？
46．一件工作，甲独做需10天，乙需15天，丙需20天，现由三人合作，中途甲因事停工几天，结果6天将工程完成。问：甲停工几天？
47．油罐有 两条进油管， C、D、E三条出油管。要灌满空罐，单独开 A 管要 1.5 小时，单独开 B 管要 2 小时， 要排完一灌油， 单独开 C 管要 3 小时， 单独开 D 管要 4 小时， 单独开 管要 4.5 小时，现在罐内有 壦油，按 A、E、C、D、B 的顺序打开油管，每次每管单独开 1 小时，循环进行，多少小时后将油罐灌满？
48．一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？
49．一个自行车的新轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000千米后轮胎将报废，若将它安装在后轮，则自行车行驶3000千米后轮胎将报废。自行车在使用过程中，行驶一定时间后可以将它的前、后轮互换。如果交换自行车前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆自行车将行驶多少千米？
50． 油罐有A、B两条进油管，C、D、E三条出油管、要灌满空罐，单独开A管要1.5小时，单独开B管要2小时，要排完一罐油， 单独开C管要3小时，单独开D管要4小时，单独开E管要4.5小时，现在罐内有罐油，按A、E、C、D、B的顺序打开油管，每次每管单独开1小时，循环进行，多少小时后将油罐灌满？
参考答案及试题解析
1．【答案】解：甲的工作效率为，设两人合作了x天，则
x=7
答：两人合作了7天。
【解析】假设整个工程为“1”，则乙单独的工作效率就是， 两人合作需要8天完成，则甲的工作效率为，甲单独需要24天完成。假设两人合作了x天，则共同完成，剩下的甲单独做了3天，则是完成了，这时整个工程全部完成，因此列式，作答求解即可。
2．【答案】解：×（15-3）=，
=×25
=10（天）
15-10=5(天)
答：乙休息了 5 天。
【解析】用甲的工作效率乘（15-3）即可求出甲完成的工作量，用1减去甲完成的工作量就是乙完成的工作量。用乙完成的工作量除以乙的工作效率即可求出乙完成的天数，进而求出乙休息的天数即可。
3．【答案】解：电梯每秒完成 ，电梯加小明徒步上楼每秒完成，小明徒步上楼每秒完成 ，所以小明徒步上楼需 （秒）。
答：小明徒步沿扶梯上楼需20秒。
【解析】上楼总路程设为1，电梯速度为1÷30=，小明徒步上楼+电梯的速度为1÷12=，小明徒步上楼速度为：-=，小明徒步上楼的时间：1÷=20（秒）
【分析】此题很类似于”工程问题“，设总的为单位1，速度就=1÷时间，再利用速度和一个速度=另一个速度，最后利用时间=路程÷速度，由此得解。
4．【答案】解：甲的工作效率是 ，乙的工作效率是 ，
÷（ ）
= ，
=2（小时）；
答：需要2小时
【解析】把这堆货物的总量看成单位“1”，甲的工作效率就是 ，乙的工作效率就是 ，二者的和就是合运的工作效率，用工作量除以合运的工作效率就是工作时间．
5．【答案】解：（ ）×5
= ×5
=
因为 ＞1
所以5天能种完．
答：5天能种完
【解析】首先根据工作效率=工作量÷工作时间，分别用1除以两队独立完成的时间，求出他们的工作效率；然后再求出他们的工作效率之和，乘以5，和1比较大小即可．
6．【答案】解：甲乙合作每天完成：，
甲工作一天完成：，
乙工作一天完成：，
乙还需要做：（天）
答：乙还需要做56天。
【解析】本题考查了工程问题和分数乘除法的应用，关键是求出甲乙两人每天的工作量。根据题意，甲乙两人合作48天完成，可以求出甲乙两人合作一天的工作量，然后再求出甲乙两人分别做一天的工作量，最后求出甲先单独做42天后剩余的工作量，再除以乙每天的工作量，即可求出乙还需要做多少天。
7．【答案】解： ÷（ + ）
＝ ÷
＝ （小时）
答： 小时可以喷洒完 。
【解析】喷洒完需要的时间=工作总量÷工作效率和。
8．【答案】解：两人合作完成需要的时间是：
=
=
两人轮流打字8小时后完成的工作量是：
=
=
剩余的工作量由甲完成需要的时间是：
（小时）
总的时间是：
（小时）
答：打完这份稿件需要小时
【解析】首先，我们需要求出两人合作完成这份稿件需要的时间，然后我们可以计算出甲和乙两人轮流打字8小时后完成的工作量。最后，我们需要计算剩余的工作量由甲完成需要的时间，这样我们就可以得到总的时间。
9．【答案】（1）解：师傅单独完成这项工作需要时间：
（小时），
徒弟单独完成这项工作需要时间：
=
=（小时），
=
=
=
=
这批零件个数：
=
=
=184（个），
=
=
=10.5×2，
=21（小时），
答：第二天徙弟一共做了21小时；
（2）解：184×3=552（个），
答：师徙二人两天共加工零件552个．
【解析】把第一天加工零件个数看作单位“1”，那么第二天完成零件个数就是“2”，根据徙弟的工作效率是师傅的，可得：徒弟干4小时，相当于师傅干小时，那么师傅单独完成这项工作需要小时，再根据工作总量一定，工作时间和工作效率成反比可得：徒弟单独完成这项工作需要小时，然后根据工作效率=工作总量÷工作时间，分别求出师徒二人的工作效率，根据工作总量=工作效率×工作时间，求出第二天师徒二人合作完成的工作总量，最后求出第二天师傅比徒弟多完成的工作量，最后根据分数除法意义，求出这批零件个数，
（1）依据工作时间=工作总量÷工作效率×2即可解答，
（2）根据师徙二人两天共加工零件个数=第一天加工零件个数×3即可解答．
10．【答案】解：设三个队的工作效率分别为、、，三项工程的工作量分别为1、2、3，若干天为k天。
则k天后，甲完成的工作量为，未完成的工作量为
乙完成的工作量为，未完成的工作量为
丙完成的工作量为，未完成的工作量为
根据题意可得：
即：
所以：，即
因为：，
所以：，即
所以
答：甲、乙、丙三个队的工作效率之比是4：6：3。
【解析】设三个队的工作效率分别为、、，三项工程的工作量分别为1、2、3，若干天为k天，求出k天后甲乙丙已完成的工作量和未完成的工作量，根据题意：甲完成的工作量是乙未完成工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量。用a、b、c、k表示出等量关系后并联立，然后进一步分析解答即可。
11．【答案】解：甲工程队原来的工作效率为：
采用新技术后甲工程队的工作效率为：
剩余的工作量为：
剩余的工作量需要的时间为：
所以，修完这条公路甲工程队一共用了12+2=14（天）
答： 修完这条公路甲工程队一共用了14天。
【解析】甲工程队施工12天后修好这条公路的75%，也就是说12天的工作量为，求出每天的工作量，求出甲工程队采用新技术后每天的修路速度，根据工作总量=工作时间×工作速度，求出时间即可。
12．【答案】=2（天）
答：2天 可以做完这项工程的。
【解析】需要的天数=工作总量÷甲乙两队的效率和。
13．【答案】解：由题意可得：乙的工效为：，
甲的工效为：，
设甲和乙合做小时完成这项工程，
则
甲的工作量为：，乙的工作量为：，
则甲的报酬为：（元），乙的报酬为：（元）。
答： 按工作量分配报酬，甲、乙分别可得1000，200元。
【解析】先把工程总量看作单位“1”，乙独做6小时只完成这项工程的一半，可计算乙的工作效率，甲和乙合做2小时也完成这项工程的一半，求出甲的工作效率；接着假设甲、乙合做x小时完成这项工程，算出甲、乙分别占的工程总量的分率；最后根据已知给他们的工资是1200元，用按比例分配的方法即可求出甲、乙各得多少钱。
14．【答案】（1）解： 本周实际总共生产了250×7+（-5+7-3+4+10-9-25）=1729（辆）
（2）解：本周实际总生产量为：250×7+（-5+7-3+4+10-9-25）=1729
本周计划生产量为：250×7=1750
故实际生产量比计划生产量少了：1750-1729=21（辆）
（3）解：本周生产最多的是周五，生产最少的是周日
故 生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产 ：10-（-25）=35（辆）
【解析】（1）用计划数×7+（每日增减数的和）即为总产量；
（2）用这一周实际生产的摩托车数量减去计划数量，即可得到结论；
（3）用生产量最多的一天减去生产量最少的一天即可得到结论．
15．【答案】解：1÷(+)
=1÷
=
1-(+)×7
=1-×7
=1-
=
÷=(小时)
7×2+=(小时)
答：完成任务共需要小时。
【解析】把工作总量看作单位“1”，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，把2个小时的工作量看作一个循环，用工作总量除以甲乙的工作效率之和求出循环的次数，再用工作总量减去完整的循环次数完成的工作量，求出余下的工作量，再计算余下的工作量完成所用的时间，最后用循环次数乘2再加上完成剩下工作量所用时间即可解答。
16．【答案】解：甲乙合作一天完成的：
加单独干一天完成：=
加单独干30天完成：=30（天）
答： 甲单独干多30天就可以完成.
【解析】先计算出甲乙合作一天的工作效率，再算出加单独干一天的工作效率，然后利用工作总量÷工作效率=工作时间即可求出。
17．【答案】解：甲、乙一天完成工程的 ；乙、丙一天完成工程的 ；甲、丙一天完成工程的 ．所以，甲的工效为 ；乙的工效为 ；丙的工效为 ．甲、乙一天需工程款 （元）；乙、丙一天需工程款 （元）；
甲、丙一天需工程款 （元）．所以，甲一天的工程款为 （元）；乙一天的工程款为 （元）．丙一天的工程款为 （元）．单独完成整个工程，甲队需工程款 （元）；乙队需工程款 （元）；丙队需工程款 （元）．所以应该选择乙队．
【解析】解：1÷=
1÷=
1÷=
甲的工效：（++）÷2=
乙的工效：-=
丙的工效：-=
2208÷=920（元）
2400÷=640（元）
2400÷=840（元）
甲一天的工程款：（920+840-640）÷2=560（元）；
乙一天的工程款为920-560=360（元）；
丙一工程款为840-560=280（元）。
单独完成整个工程，甲队需工程款560×4=2240（元）；
乙队需工程款360×6=2160（元）；
丙队需工程款280×10=2800（元）。
答：应选择乙工程队。
【分析】根据三个队合干需要的天数，可以分别求得甲、乙、丙三个工程队各自的工效；
根据两个队合干一天需工程款=这两个队合干一共需支付的工程款÷这两个队合干需要的天数，可以分别得出甲、乙、丙一天的工程款，那么某个队单独完成整个工程需要的工程款=这个队一天的工程款÷这个队的工效，然后找出最少的即可。
18．【答案】解：设原计划生产个零件，由题意可得：
答：该工厂原计划生产24000个零件。
【解析】设原计划生产个零件，由题意列式：零件任务÷原计划每天生产的零件个数-（零件任务+1200）÷实际每天生产的个数=3，据此计算即可。
19．【答案】解：756÷[(19+17)×3]
=756÷[36×3]
=756÷108
=7(天)
答：7天可以完成。
【解析】本题属于应用题中的工程问题。从已知条件可以看出， 甲车间有19人，乙车间有17人，两个车间同时生产，平均每人每天生产3件，可以计算得出每天的产量(19+17)×3=108（件）。这时，题目就可以变化为生产756件羊毛衫，每天生产108件，几天可以完成？列式756÷108=7（天）。
20．【答案】解：设甲工效为，乙工效为，
根据题意可得：，解得，
则如果现在乙先做两天半， 甲再开始做， 还需要天完成。
答： 现在乙先做两天半， 甲再开始做， 还需要10天完成。
【解析】设甲工效为，乙工效为，根据题意可得：，求得甲、乙的工效，即可求解。
21．【答案】 解：15-4=11（天）
=110÷（1-）
=110÷
=165（件）
答：这批商品共有165件。
【解析】 原计划15天完成，结果提前4天完成了生产任务，即共有了15-4=11天，又实际天生产产品的数量比原计划每天生产产品数量的多10件，原计划每天生产全部的，则实际每天生产了全部的×多10件，则11天完成全部的××11又10×11件，则这10×11件占全部的1-××11，根据分数除法的意义，全部产品共有件。
22．【答案】解：3000÷4﹣365
＝750﹣365
＝385（米）
答：乙队每天铺385米。
【解析】先根据“工作量÷合作时间=工作效率和”，用3000除以4，求出两队每天共铺多少米；再用两队每天共铺的米数减去365，即可求出乙队每天铺多少米。
23．【答案】解：(周期)
3×(1+1)=6(小时)
(小时)
(小时)
答：小时后水池的水刚好排完。
【解析】周期工程，一注一排为一周期，每周期排水量为总量的 要排完半池水，所用周期数为 周期，3个整周期用时为6 小时，余下周期对应总量为 此时应先注1小时再排，先注 后为 然后再排 小时，所以共 小时。
24．【答案】解：
甲队修了6+6=12天
乙队修了6天
1500×12+1200×6=25200（元）
答： 修完这段路给两队一共付工资25200元。
【解析】甲队的工作效率为，乙队的工作效率为，两队合修6天完成的工作量为，还剩，甲队单独修完需要天，所以甲队一共修了6+6=12天，乙队修了6天最后计算出付的工资即可。
25．【答案】根据题意，画线段图如下：
1--
=-
=-
=
答：再修全工程的就完成了全部任务.
【解析】根据题意可知，先画一条线段表示全长“1”，然后平均分成3份，其中的一份表示第一周完成的占全工程的，再把这条线段平均分成5份，其中的两份是它的，也就是第二周完成的占全工程的，要求剩下的，用单位“1”-第一周完成的占的分率-第二周完成的占的分率=剩下的分率，据此列式解答.
26．【答案】解：1÷（ + ）
＝1÷
＝6（小时）
答：现在甲乙合做6小时可以完成。
【解析】此题主要考查了工程问题，把这项工程的总量看作单位“1”，用工作总量÷工作时间=工作效率，然后用工作总量÷合作的工作效率=合作的时间，据此列式解答。
27．【答案】解：
【解析】（+）×3
=×3
=
答：现在两队合做3天后，完成了工程的.
【分析】根据题意，把这项工程的工作总量看作单位“1”，用工作总量÷工作时间=工作效率，据此分别求出甲队和乙队的工作效率，然后用（甲队的工作效率+乙队的工作效率）×合作的时间=一共完成了工程的几分之几，据此列式解答.
28．【答案】解：设丙离开了x天，则乙离开了（x+3）天。
[1-（++）×3-x-（+）×3]÷（++）+3+x+3=14
[1------x]÷+6+x=14
[1-（++++）-x]÷+6+x=14
[1--x]÷+6+x=14
×-×x+x=14-6
+x=8
x=（8-）÷
x=×
x=5
x+3=5+3=8（天）
答：乙离开了8天，丙离开了5天。
【解析】把这项工程的工作总量看作单位“1”，则甲、乙、丙的工作效率分别是、、；甲乙丙工作效率之和×合作的三天=合作三天完成的工作总量，甲丙工作效率之和×乙没有在的三天时间=甲丙合作三天完成的工作总量，甲的工作效率×乙丙都没有在时的时间=甲独自完成工作总量，总的工作总量－甲乙丙工作效率之和×合作的三天-甲的工作效率×乙丙都没有在时的时间-甲丙工作效率之和×乙没有在的三天时间=剩下时间中甲乙丙合作完成的工作总量，（总的工作总量－甲乙丙工作效率之和×合作的三天-甲的工作效率×乙丙都没有在时的时间-甲丙工作效率之和×乙没有在的三天时间）÷甲乙丙的工作效率之和=剩下工作总量三人合作的工作时间，（总的工作总量－甲乙丙工作效率之和×合作的三天-甲的工作效率×乙丙都没有在时的时间-甲丙工作效率之和×乙没有在的三天时间）÷甲乙丙的工作效率之和+前合修的三天+甲独修的时间+乙没有在的三天=总的工作时间，根据关系式设丙离开了x天，列方程解答即可。
29．【答案】解：25×5.4÷（5.4+1.35）=20（天）
答：实际20天挖完。
【解析】 原计划每天挖的长度×挖的天数=隧道长度；实际每天挖的长度=原计划每天挖的长度+每天多挖的长度；隧道长度÷实际每天挖的长度=实际挖完的天数。
30．【答案】解：
甲乙合作一天完成1÷2.4＝，支付1800÷2.4=750（元）
乙丙合作一天完成1÷(3+)=，支付1500 x=400（元）
甲丙合作一天完成1÷(2+)=，支付1600 x＝560（元）
三人合作一天完成（++)÷2=，
三人合作一天支付（750+400+560)÷2=855元
甲单独做每天完成，支付855-400=455（元）
乙单独做每天完成，支付855-560=295（元）
丙单独做每天完成，支付855-750=105（元）
所以通过比较
选择乙来做，在天完工，且只用295x6=1770（元）
答：在保证一星期内完成的前提下，选择乙队单独承包费用最少．
【解析】 由题意我们想到通过计算甲乙丙合干的速度及费用，减去其中两队合作时的用时和费用，就等于另外一个队单独干时的用时和费用，来分别求出他们各自单干时的用时和费用．
31．【答案】解： - =
2÷ =56（千米）
答：这段公路全长56千米．
【解析】把这段公路看成单位“1”，要求全长就是求单位“1”，只要找到分数和他对应的量就可以用除法求出单位“1”；第二周比第一周多修了2千米，只要求出第二周比第一周多修了全长的几分之几就可以了．此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，解答时要注意从问题出发，找出已知条件与所求问题之间的关系，再已知条件回到问题即可解决问题．
32．【答案】解：
7×5-1=34(天)
30-24+1=7(天)
34-7=27(天)
答：5月27 日可以完稿。
【解析】把这部书稿的页数看作单位“1”，甲每天打，乙每天打，两人合打每天的工作效率是＋；因为2023年5月是小月，有31天，所以从4月24日到5月31日经过的时间是30天，在这30天中，甲工作了24天，乙工作了21天，完成的工作量是（×24＋×21），求出剩余的工作量，再根据工作量÷工作效率＝工作时间，列式解答即可。
33．【答案】解：A工程的工作量为甲、乙、丙三队单独完成A工程所需时间的最小公倍数，即20、24、30的最小公倍数，得到120份工作量。
B工程的工作量比A工程的工作量多1/4，因此B工程的工作量为120×(1+1/4)=150份工作量。
甲队的工作效率为120÷20=6份/天，
乙队的工作效率为120÷24=5份/天，
丙队的工作效率为120÷30=4份/天。
计算完成两项工程所需的总时间：
三队完成A、B两项工程共需要的时间为(120+150)÷(6+5+4)=270÷15=18天。
计算乙队的工作量和丙队在B工程上工作的时间：
乙队的工作量为5×18=90份，丙队在B工程上工作的时间为(150-90)÷4=15天，即乙、丙合做了15天。
答：丙队与乙队合做了15天。
【解析】需要确定A、B两项工程各自的工作量。接着计算甲、乙、丙三队各自的工作效率。有了这些信息，可以计算出完成两项工程所需的总时间。最后，通过分析乙队的工作量，可以推算出丙队在B工程上工作的时间，从而得出丙队与乙队合做的天数。
34．【答案】解：÷（＋）
=÷
=（小时）
答：小时完成这份稿件的。
【解析】完成这份稿件的需要的时间=工作总量÷工效和。
35．【答案】解：第一次甲注水量：=
第一次乙注水量：=
甲注水速度：
乙注水速度：
变化后甲注水速度：
变化后乙注水速度：
甲第二次注水时间：
乙第二次注水时间：
答： 甲水管注满水池后， 乙水管要 小时才能注满水池。
【解析】将一个水池的容量看作单位“1”，由题意可知，甲小时的注水量为=，乙小时的注水量为=；再分别用两个水管的注水量除以注水时间求出两个水管的注水速度，接着再求出两个水管变化后的注水速度，用两个水管剩下的注水量分别除以两个水管变化后的注水速度求出两个水管第二次的注水时间，最后用乙的注水时间减去甲的注水时间即可求出甲注满水池后，乙注满水池还需要的时间。
36．【答案】解：11×=33（小时）
[1-（）×3]÷
=（1-）÷
=×11
=7（小时）
答：还需7小时完成。
【解析】根据分数乘法的意义先求出乙单独做需要的时间。把这项工程看作单位“1”，用分子为1的分数分别表示出两队的工作效率。用两队的工作效率和乘3求出3小时完成的工作量，用1减去3小时完成的工作量求出剩下的工作量，用剩下的工作量除以甲的工作效率即可求出甲完成任务还需要的时间。
37．【答案】解：(-×1)÷(2-1)
=÷1
=
1÷(-)
=1÷
=12(天)
答：如果小华一个人办完这期黑板报，需要12天。
【解析】把工作总量看作单位“1”，由题意可知，两人的工作效率之和为，“ 小冰做了2天后小华接着做了1天”可以看作是两人合作1天，加上小冰单独做2-1=1(天)，两人合作一天完成了工作总量的×1，两人一共完成了，所以小冰单独做1天完成了-=，小冰的工作效率就是÷1=；那么小华的工作效率就是-=；最后用工作总量除以小华的工作效率即可求出小华单独完成需要的天数。
38．【答案】解： （1-3× ）÷
=（1-）÷
=÷
=7.5（小时）
答：还需要7.5小时完成。
【解析】根据题意可知，把这份稿件的总量看作单位“1”，工作总量÷工作时间=工作效率，（单位“1”-乙的工作效率×乙先录的时间）÷ 甲的工作效率=还需要的时间，据此列式解答。
39．【答案】解：甲、乙的工作效率和：1÷8＝
乙、丙的工作效率和：1÷6＝
丙、丁的工作效率和：1÷12＝
甲、丁的工作效率和：
=
＝
甲、丁的工作时间：
（天）
答：甲、丁两人合作24天可以完成。
【解析】根据题意可知，一件工程，甲、乙两人合作8天可以完成，乙、丙两人合作6天可以完成，丙、丁两人合作12天可以完成。求甲、丁两人合作多少天可以完成。首先把这件工程看作单位“1”，然后根据工作总量＝工作效率×工作时间，以及工作时间＝工作总量÷工作效率，据此解答即可。
40．【答案】解：甲工作了：15-1=14(天)
甲工作量：
乙工作量：
乙工作： (天)
乙休息：15-9=6(天)
答：乙休息了6天。
【解析】根据题意，可知，甲一共工作了15-1=14天；用甲的工作效率乘以甲单独完成的天数，求出甲的工作量；将这批零件看做单位“1”，用1减去甲的工作量，求出乙的工作量，然后用乙的工作量除以乙的工作效率，求出乙完成的时间；然后用乙一共完成的天数减去乙工作的时间，即可求出乙休息的时间。
41．【答案】解：假设开一根出水管每小时可排出水“1份”。
（5×6）-（8×3）
=30-24
=6（份）
6÷（6-3）
=6÷3
=2（份）
8×3+（4.5-3）×2
=24+3
=27（份）
27÷4.5=6（根）
答：需要同时打开6根出水管。
【解析】假设开一根出水管每小时可排出水“1份”，则根据题意可知：8根3小时共排出水8×3=24份，5根6小时共排出水5×6=30份，因此在6-3=3小时内共进水30-24=6份，所以进水管每小时进水6÷3=2份；因此，4.5-3=1.5（小时），1.5×2则表示比8根全开多进1.5小时的水量，所以4.5小时需要排出的总水量=8×3+（4.5-3）×2=27（份），4.5小时需要排出的总水量÷时间4.5小时=需要同时打开的水管数量，据此可以解答。
42．【答案】解：
=×
=
甲：-=，1÷=30（天）；
乙：-=，1÷=60（天）；
丙：-=，1÷=90（天）；
丙队90天超过70天，不行；
360÷20=18（万元），504÷36=14（万元），360÷22.5=16（万元）
设乙一天的承包费是x万元，则甲一天的承包费是（18-x）万元，丙一天的承包费是（14-x）万元。
18-x+14-x=16
2x=32-16
x=16÷2
x=8
甲一天的承包费：18-8=10（万元）
甲队承包费：10×30=300（万元），乙队承包费：8×60=480（万元）
300<480
答：甲队更合适，承包费用是300万元。
【解析】分析已知：把工作总量看作单位“1”，甲乙的工作效率之和=1÷20=，乙丙的工作效率之和=1÷36=，甲丙的工作效率之和=1÷22.5=；
因为三个工作效率之和相加，甲、乙、丙就都被重复加了两次，所以，甲乙丙三个工程队的工效和=（甲乙的工作效率之和+乙丙的工作效率之和+甲丙的工作效率之和）÷2=（++）÷2=；
所以，甲的工作效率=甲乙丙工作效率之和－乙丙的工作效率之和=，则甲独做工作时间=工作总量÷甲的工作效率=1÷=30（天）；
乙的工作效率=甲乙丙工作效率之和－甲丙的工作效率之和=，则乙独做工作时间=工作总量÷乙的工作效率=1÷=60（天）；
丙的工作效率=甲乙丙工作效率之和－甲乙的工作效率之和=，则丙独做工作时间=工作总量÷丙的工作效率=1÷=90（天）；
又因为工程要在70天内完成，而丙队独自完成的时间超过了70天，所以工程不能承包给丙队；
甲乙承包费÷工作时间=甲乙一天的承包费，乙丙的承包费÷工作时间=乙丙一天的承包费，甲丙的承包费÷工作时间=甲丙一天的承包费；
甲一天的承包费=甲乙一天的承包费－乙一天的承包费，丙一天的承包费=乙丙一天的承包费－乙一天的承包费，甲乙一天的承包费－乙一天的承包费+乙丙一天的承包费－乙一天的承包费=甲丙一天的承包费，据此关系设乙一天的承包费是x万元，则甲一天的承包费是（18-x）万元，丙一天的承包费是（14-x）万元，列方程即可求乙一天的承包费，再代入关系式甲一天的承包费=甲乙一天的承包费－乙一天的承包费算出甲一天的承包费；
甲一天的承包费×甲独自完成需要的工作时间=甲总的承包费，乙一天的承包费×乙独自完成需要的工作时间=乙总的承包费，最后比较两队的总承包费即可判断。
43．【答案】解：设一台机器a小时可以单独完成工程，原来总共有x台机器，则需要小时完成。
当增加2台机器时，
，变形为，因为a﹥0，所以a可以约分，变形为8x=7x+14，解得x=14。
当减少2台机器时，，将x=14代入并变形为，解得a=56。
答：如果由1台机器完成这项工程，需要56小时。
【解析】本题可以从问题设未知数，“设一台机器a小时可以单独完成工程”，但是还需要有另一个位置数x，即原来总共有x台机器，这时就可以用a和x来表示原来状态下完成工程需要多长时间了（小时），在此基础上，分别列出增加2台机器和减少2台机器的等式方程，然后逐次求解即可。
44．【答案】解：1÷24=
1÷3=
-=
×9＋
=＋
=
（1-）÷
=÷
=8（小时）
答：该手机还能再持续待机8小时。
【解析】把手机电量的总量看作单位“1”，那么待机的工作效率是1÷24=，通话的工作效率是1÷3=，-=；还能待机的时间=（1-待机的工作效率×9-通话的工作效率）÷待机的工作效率。
45．【答案】解：甲、乙、丙三根进水管，每小时分别进水1份，2份，3份。
三周轮流打开一小时，第一周共进水6份；
第二周共进水7份，甲管1小时后的丙管多进1份；
第三周共进水7份，乙管多进1份；
甲管每小时比乙管多进1份，比丙管多进2份，那么甲管单独进水需7小时。
答：第五周他只打开甲管，那么灌满一池水需用7小时。
【解析】题考查了轮流问题，根据丙管甲管多进1份，乙管多进1份，那么甲管比乙管多进1份，比丙管多进2份。甲、乙、丙三根进水管，每小时分别进水1份，2份，3份。三周轮流打开一小时，第一周共进水6份；第二周共进水7份，甲管1小时后的丙管多进1份；第三周共进水7份，乙管多进1份；第四周三管同时打开，需3小时，共进水9份；甲管每小时比乙管多进1份，比丙管多进2份，那么甲管单独进水需7小时。
46．【答案】解：设甲停工x天。
×（6-x）+×6+×6=1
-x++=1
-x=1
x=-1
x=
x=3
答：甲停工3天。
【解析】甲独做需10天，乙需15天，丙需20天，三人的工作效率依次是、、；
工作效率×工作时间=工作量，甲干的工作量+乙干的工作量+丙干的工作量=总工作量1，据此列方程，根据等式性质解方程。
47．【答案】解：A管：1÷1.5=（罐）
B管：1÷2=（罐）
C管：1÷3=（罐）
D管：1÷4=（罐）
E管：1÷4.5=（罐）
+---+
=+
=（罐）
1-=（罐）
÷=（小时）
1×5+=5（小时）
答： 小时后油罐灌满。
【解析】根据题意把灌（排）满一罐油的工作总量看作单位“1”，则A管的工作效率=工作总量÷工作时间=1÷1.5=罐，同理可得B管的工作效率是罐，C管的工作效率是罐，D管的工作效率是罐，E管的工作效率是罐；因此一个循环后油罐中的油量=现有的油+A管的工作效率-E管的工作效率-C管的工作效率-D管的工作效率+B管的工作效率，总的工作总量－一个循环后油罐中的油量=还需要灌注的油量，还需要灌注的油量÷A管的工作效率=单独开A管还需要的工作时间，前一个循环一共用去的时间=每管开1小时×5个油管，每管开1小时×5个油管+单独开A管还需要的工作时间=油罐灌满总的需要的时间，据此可以解答。
48．【答案】解：假设甲做了1天，乙就做了3天，丙就做了3×2=6天，完成的工作量：
=
=
1÷=2
甲：1×2=2（天），乙：3×2=6（天），丙：6×2=12（天）
2+6+12=20（天）
答：总共用了20天。
【解析】可以采用假设法，假设甲做了1天，乙就做了3天，丙就做了3×2=6天，然后把三人完成的工作量相加求出完成的工作总量是，这样就能确定甲、乙、丙实际完成的天数，把三人实际工作的天数相加就向总共用的天数。
49．【答案】解：
答：这辆自行车将行驶3750千米。
【解析】本题可以把前轮和后轮看做两个工程队，即前轮每千米报废看做前轮工作效率为，后轮每千米报废看做前轮工作效率为，因此每千米的磨损（工作效率）合计为，；两轮胎同时“工作”，并且是行驶一定时间后可以将它的前、后轮互换，因此总工程量为2，由此列式。
50．【答案】解：A管工作效率：=
B管工作效率：
C管工作效率：
D管工作效率：
E管工作效率：=
A管开1小时后水量：+=
E、C、D管各开1小时后水量：-(++)
=-
=
B管开1小时后水量：+=
还剩：1-=
开A管需要：÷=(小时)
共需：5×1+=5(小时)
答：5小时后水池灌满水。
【解析】把工作总量看作单位“1”，则A、B、C、D、E的工作效率分别为、、、、；再按照打开油管的顺序，先用池子现有的水量加上A管的工作效率，看是否能灌满水池，如果不能，再用打开A管后的水量减去E、C、D管的工作效率之和，得到开完出水管后剩下的水量，再用剩下的水量加上B管的工作效率，看是否能灌满水，如果不能，再用1减去打开B管后的水量求出剩下的水量，比较剩下的水量与A管的工作效率，发现剩下的水量小于A管的工作效率，就用剩下的水量给出一A管的工作效率求出A管注满剩下水量所用时间，再加上前面的时间即可得到灌满水池的时间。
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