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小升初奥数思维之典型应用题精讲精练讲义（通用版）
专题02 接力问题
【第一部分：知识归纳】
一、接力问题基本概念
1、接力问题是工程问题中的特殊类型，特点是多个工作主体按照特定顺序依次完成工作，每个主体只工作一段时间。这类问题在现实生活中常见于生产流水线、团队接力工作等场景。
2、核心特点：
顺序性：工作主体按固定顺序接力工作
周期性：工作模式往往呈现周期性重复
效率叠加：需要考虑不同主体的效率转换
二、接力问题核心公式
1. 基本关系式
周期工作量 = ∑(每个工作者的效率×工作时间)
总周期数 = 总工作量 ÷ 周期工作量（有余数时需单独计算）
总时间 = 周期数×周期时间 + 剩余工作时间
2. 效率转换公式
当不同工作者效率不同时：
工作量比 = 效率比 × 时间比
三、常见题型与解题方法
1. 基础接力问题
例题：甲乙丙三人轮流挖渠，甲挖1小时完成1/10，乙挖1小时完成1/12，丙挖1小时完成1/15。按照甲→乙→丙的顺序循环工作，完成整个工程需要多少时间？
解答：一个周期（3小时）工作量：
1/10 + 1/12 + 1/15 = 6/60 + 5/60 + 4/60 = 15/60 = 1/4
完成整个工程需要：1 ÷ (1/4) = 4个周期 = 12小时
2. 含余数的接力问题
例题：上题中如果工程总量为1，工作7小时后完成了多少？
解答：每个周期3小时完成1/4
7小时=2个周期（6小时）+1小时
完成量：2×(1/4) + 1/10 = 0.5 + 0.1 = 0.6 = 60%
3. 效率变化的接力问题
例题：甲乙两人接力完成工作，甲工作2小时效率为1/6，乙工作1小时效率为1/8。若按甲→乙→甲→乙...的顺序工作，完成工作需要多少时间？
解答：一个周期（3小时）工作量：
(2×1/6) + (1×1/8) = 1/3 + 1/8 = 11/24
2个周期（6小时）完成：22/24 = 11/12
剩余1/12需要甲工作：(1/12)÷(1/6)=0.5小时
总时间：6 + 0.5 = 6.5小时
四、解题技巧
1、确定工作周期：明确每个周期包含哪些工作者及其工作时间
2、计算周期效率：统计一个周期完成的工作量
3、处理余数问题：当总工作量不是周期工作量的整数倍时，单独计算剩余部分
4、画时间轴：用时间轴标注各工作者的工作时间段
5、列表计算：用表格整理各周期的工作量累计
【第二部分：能力提升】
1．蓄水池装有甲、乙两根进水管和丙出水管。单开甲进水管，注满空蓄水池需要5小时；单开乙进水管，注满空蓄水池需要6小时。单开丙出水管，排光一池水要4小时。现知池内有池水，如果按甲、乙、丙的顺序轮流各开1小时，多少小时后，第一次有水溢出水池？
2．某工地用3种型号的卡车运送土方。已知甲、乙、丙三种卡车的载质量之比为10：7：6，速度比为6：8：9，运送土方的路程之比为15：14：14，三种车的辆数之比为10：5：7。工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到10天后，另一半甲种车才投入工作，一共用了25天完成任务。那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？
3．一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成。若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，……两人如此交替工作，问：完成任务时，共用了多少小时？
4．一项工程，甲、乙合做10天，完成了全部工程的乙、丙接着合做10天，这10天完成了全部工程的甲、丙又接着合做15天，这15天完成了全部工程的，接下来甲、乙、丙合做完成了剩余的工程，他们共得到工资36000元，如果甲、乙、丙按完成的工程量来分配工资， 那么乙分得的工资是多少元？
5． (工程问题)一项工程甲、乙合作完成了全工程的 ，剩下的由甲单独完成，甲一共做了 21 天，这项工程由甲单独做需 30 天， 如果由乙单独做，需多少天？
6．一项工程，甲队单独修要20天完成，乙队单独修要30天完成，乙队先修几天后，甲队再用8天就能正好修完？
7．(工程问题)修一条水渠，甲、乙两队合修10天完成。两队合修4天后，余下的由甲队单独修还需12天，那么乙队单独修这条水渠需要多少天？
8．甲、乙、丙三个队要完成A、B两项工程，B工程的工作量比A工程的工作量.甲、乙、丙三队单独完成A工程所需时间分别是20天、24天、30天，先派甲队独做A工程，乙、丙两队共同做B工程：经过几天后，又调丙队与甲队共同做A工程，这样两项工程同时完工，那么丙队与乙队合做了多少天。
9．如果单独完成某项工作，甲需24天，乙需36天，丙需48天，现在甲先做，乙后做，最后由丙完成。甲、乙工作的天数比为1：2，乙、丙工作的天数比为3：5。完成这项工作一共用了多少天？
10．（工程问题）阳阳家有A，B两个相同的仓库，搬运一个仓库的货物，爸爸需要10小时，妈妈需要12小时，阳阳需要15小时。爸爸、妈妈同时开始分别运A，B两仓库的货物，阳阳先帮妈妈，再帮爸爸，结果同时搬运完两个仓库。那么阳阳帮妈妈运了多少小时？
11．(工程问题)一件工程甲独做6天后，乙又独做5天，还剩下这件工程的。已知乙独做需要30天才能完成这件工程，请问甲独做这件工程需要多少天？
12． 一项工程，甲队单独做10天完工，乙队单独做15天完工。现在甲、乙两队合作，中途甲队因有其他任务曾经离开过若千天，这样共用了9天才完成全部工程。甲队中途离开了多少天？
13．修筑一条高速公里。若甲、乙、丙合作，90天可完工：若甲、乙、丁合作，120天可完工；若丙、丁合作，180天可完工，若甲、乙合作36天后，剩下的工程由甲、乙、丙、丁合作。还需多少天可完工？
14．有一条公路，甲队单独修需要 20 天，乙队单独修需要 24 天，丙队单独修需要 30 天，现在让三个队合修，但中间甲队撤出去到另外工地，结果共用了 12 天才把这条公路修完。那么当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了多少天才能完成？
15．甲、乙、两三人合修一堵墙，甲、乙合修 6 天完成了 ，乙、丙合修 2 天完成了余下工程的 ，剩下的再由甲、乙、丙三人合修 5 天完成，现在领工资 18000 元，依工作量分配，甲、乙、丙应各得多少元？
16． 一件工程甲独做6天后，乙又独做5天，还剩下这件工程的，已知乙独做需要30天才能完成这件工程，请问甲独做这件工程需要多少天？
17．一部书稿，甲单独打字要14 小时完成，乙单独打字要 20小时完成。如果先由甲打1小时，然后由乙接替甲打1小时，再由甲接替乙打1小时，……两人如此交替工作．那么，打完这部书稿时，甲、乙二人共用了多少小时？
18．一项工程，甲单独完成30天，乙单独完成要45天，丙单独完成要90天。现由甲、乙、丙三人合作成此工程，在工作过程中甲休息了2天，乙休息了3天，丙没有休息，最后把这项工程完成了，问工程前后一共用了多少天？
19．小兵和小华主办学校第11期黑板报，两人合作6天可以完成.小兵做了2天后小华接着做了一天，这时共完成了黑板报的 如果小华一个人办这期黑板报，需要多少天
20．学校要建一段围墙，由甲、乙、丙三个班完成，已知甲班单独干需要20小时完成，乙班单独干需要24小时完成，丙班单独干需要28小时完成，如果先由甲班工作1小时，然后由乙班接替甲班干1小时，再由丙班接替乙班干1小时，再由甲班接替丙班干1小时，…三个班如此交替着干，那么完成此任务共用了多少时间？
21． 打一份稿件，有甲、乙两名打字员，但只有一台电脑，若让甲来打，14小时可以完成，若让乙来打20小时完成。现在两人轮流打，每人每次打1小时，先由甲打1小时，乙休息，接着再由乙打1小时，甲休息，再由甲接着打1小时……那么打完这份稿件一共要多少小时？
22．甲、乙、丙合作一项工程，合作4天完成了整个工程的，在4天以后，甲先休息2天，乙休息3天，丙未休息，接着三人继续完成工程。已知甲的效率是丙的3倍，乙的效率是丙的2倍。请问完成该工程前后一共用了多少天？
23．抗洪抢险中修补一段大堤，甲队单独施工12天完成，乙队单独施工8天完成。现在由甲队先工作两天，剩下的由两队合做完成，还需几天才能完成？
24．加工一批零件，张师傅单独加工需要40天完成，李师傅单独加工需要60天完成．现在由于工作需要，张师傅先单独加工了10天，李师傅接着单独加工了30天后，剩下的部分由张、李二位师傅合作完成，这样完成这批零件一共用了多长时间？
25．一项工程， 甲先做 8 天， 乙再做 5 天可以全部完成； 甲先做 4 天， 乙再做 10 天也可以全部完成， 如果现在乙先做两天半， 甲再开始做， 还需要多少天完成？
26．(工程问题)一批零件共有 1800 个， 甲、乙两人合作 40 天就可以完成。如果先由甲干 45 天，再由乙干 36 天，也可以完成这批零件。如果这批零件由乙独自完成，需要多少天？
27． (工程问题)现在要修筑一条公路 ，甲、乙两个工程队同时施工，20天可以完成。如果两队合作15天后，剩下的全都由乙队来完成，则还需要15天才能完成，那么这条路全部由甲队来修，需要多少天才能完成？
28． 一项工程，甲、乙合作要12天完成，若甲先做3天后，再由乙工作8天，共完成了这项工作的一半，若这件工作由甲独做完需要几天？
29．甲乙两人合作完成一批零件要 8 天。甲先做 3 天后， 乙又独做 1 天， 还剩总数的 还未完成。已知甲比乙每天多做 70 个零件， 求这批零件的总数。
30．一段路，如果甲、乙两队合作40天可以修完。开工时，因乙队临时任务变动，这段路先由甲队单独修48天，再由乙队单独修 30天就完成修建。如果先由甲队单独修36天，再由乙队单独修，还要多少天能够修完？
31． 一项工程，甲单独做要 20 天完成，乙单独做要12 天完成。这项工程先由甲做了若干天，然后由乙接着做完，从开始到做完共用了14天。这项工程甲做了多少天？
32． (工程问题)一项工程，甲先做8天，乙再做5天可以全部完成；甲先做4天，乙再做10天也可以全部完成。如果现在乙先做两天半，甲再开始做，还需要多少天完成？
33．学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动、已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：
①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；
②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序：
③各道工序所需时间如表所示：
工序 A B C D E F G
所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要多少分钟？若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要多少分钟？
34．某工程需修一段隧道，甲工程队单独完成全部工程需要12天，甲、乙两队合作完成需要8天，如果乙工程队先工作16天，剩下的工程全部由甲队完成，甲工程队还需要多少天？
35．修筑一 条高速公路。若甲、乙、丙合作，90天可完工：若甲、乙、丁合作，120天可完工；若丙、丁合作，180天可完工。若甲、乙合作36天后，剩下的工程由甲、乙、丙、丁合作，还需多少天可完工？
36．一项工程，甲乙合作天完成 ，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天完成，如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多半天才能完成 . 这项工程由甲单独做要多少天才能完成
37．一件工程，甲单独做要6小时，乙单独做要10小时、如果按甲、乙、甲、乙……顺序交替工作，每次1小时，那么需要多长时间完成？
38． 一项工程甲乙两队合作10天完成，现在甲先做3天，然后乙加入，两人一起做2天，随后甲撤出，乙维续再做9天，也完成了工作。那么，如果甲单独做这项工作，要花多少天
39．一间房，由甲、乙两个工程队合盖，需要24天完成。现在由甲队先盖6天，再由乙队盖2天，这样共完成工程的，如果从开始就由甲队单独盖，需要多少天？
40．某专业清洁公司为清扫小雁塔，派出甲、乙两个清洁团队，甲、乙两队合作12天可以完成清洁任务，两队合作若干天后，因业务需要，乙队被调往其他景区工作，乙队这时只完成了总任务的甲队继续做，从开始到完成任务用了14天，请问：甲队比乙队多工作几天
41．一条公路，甲队独修24天可以完成，乙队独修30天可以完成。先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成。如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路几天可以完成
42．一个水池有两根进水管和一根出水管，单开甲管18小时注满空水池，单开乙管12小时注满空水池，单开丙管20小时排空水池。现在甲、乙、丙管轮流打开，甲管打开1小时，乙管打开1小时，丙管打开1小时，甲管打开1小时……重复交替下去，那么注满空水池共需要几个小时
43．某厂接到长沙市一所中学的冬季校服订做任务，计划用A、B两台大型设备进行加工，如果单独用A型设备需要90天做完，如果单独用B型设备需要60天做完，为了同学们能及时领到冬季校服，厂决定由两台设备同时赶制，若两台设备同时加工30天后，B型设备出了故障，暂时不能工作，如果由A型设备单独完成剩下的任务，请问A型设备还需工作多少天才能完成任务？
44．(工程问题)一项工程，甲、乙两人合作8天可完成，甲单独做需要12天完成，现两人合作几天后，余下的工程由乙独自完成，使乙前后两段所用时间比为1：3，这个工程实际工期为多少天？
45． 油罐有A、B两条进油管，C、D、E三条出油管、要灌满空罐，单独开A管要1.5小时，单独开B管要2小时，要排完一罐油， 单独开C管要3小时，单独开D管要4小时，单独开E管要4.5小时，现在罐内有罐油，按A、E、C、D、B的顺序打开油管，每次每管单独开1小时，循环进行，多少小时后将油罐灌满？
46．（工程问题）端午节，中国四大传统节日之一，是集祈福禳灾、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节，端午食粽之习俗，自古以来在中国各地盛行不衰，已成为中华民族影响最大、覆盖面最广的民间饮食习俗之一。端午节当日，小明、爸爸和妈妈一起包粽子。假设三个人每分钟各自包的粽子数不变。当小明包三分钟后，爸爸才开始动手包；当爸爸包三分钟后，妈妈才开始动手包。已知爸爸包了12分钟时，所包的粽子数与小明所包的粽子数相同，妈妈包了20分钟时，所包的粽子数与小明所包的粽子数相同，则妈妈包多少分钟，妈妈和爸爸所包的粽子数相同
47． 一项工程甲单独做要12小时，乙单独做要18小时，若甲做1小时后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时…‥两人交替工作，问完成任务共需多少小时
48．甲、乙、丙三人合修一围墙．甲、乙合修6天修好围墙的，乙、丙合修2天修好余下的，剩下的三人又合修了5天才完成．共得工资180元，按各人所完成的工作量的多少来合理分配，每人应得多少元？
49．甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，刚好整天数做完；若按乙、丙、甲的顺序去做，则比计划多用半天；若按丙、甲、乙的顺序轮流做，也比原计划多用半天；已知甲单独做需要10天，且三个人的工作效率各不相同，那么这项工作由甲、乙、丙三人一起做，需要多少天完成？
50． (工程问题)一项工程，甲、乙、丙三人做。原计划按甲、乙、丙各一天的顺序循环工作，恰好整数天做完；若按乙、丙、甲各一天的顺序循环工作，则比原计划晚天完成；若按丙、甲、乙各一天的顺序循环工作，则比原计划晚天完成。已知甲、乙合作同时做需要k天完成，且k为整数，20≤k≤29。请写出k的所有取值。
参考答案及试题解析
1．【答案】解：设水池总量为60
甲管每小时进水60÷5＝12
乙管每小时进水60÷6＝10
丙管每小时进水60÷4＝15
已经有水60×＝20
甲、乙各开1小时，进水12＋10＝22
甲、乙、丙各开1小时，进水22－15＝7
为保证最后的周期里甲、乙先各开1小时后水是未溢出的，从需要注入的水量里扣除。
（60－20－22）÷7
＝18÷7
＝2……4
剩余水量为4，说明是可以注水3个周期的，这时水池还差的水量是
60－20－7×3
＝60－20－21
＝19
甲再开1小时后还差19－12＝7
乙还需再开7÷10＝0.7（小时）
一共需要的时间：
3×3＋1＋0.7
＝9＋1＋0.7
＝10.7（小时）。
答：10.7小时后，第一次有水溢出水池。
【解析】假设水池总量为整数（计算方便），计算出甲、乙进水管的注水效率及丙出水管的排水效率。把按甲、乙、丙的顺序轮流各开1小时看作一个周期，计算一个周期的注水量是多少。假设最后一个周期内甲乙注水后没有溢出，用总水量的减掉甲乙各开1小时注入的水除以一个周期的注水量计算出需要几个这样的周期是否还有剩余的水量。根据周期数计算按照完整周期注水后，剩余的水量，甲乙丙依次工作所需的时间，据此解答。
2．【答案】解：根据题意，可得
相同时间内，三种车各一辆完成的工作量之比：
=28：28：27
甲、乙、丙三种车完成的工作量之比：
（28×10×4）：（28×5×5）：（25×7×5）=32：20：27
所以，甲种车完成的工作量：总工作量
=32：（32+20+27）
=32：79
答：甲种车完成的工作量与总工作量之比是32：79
【解析】甲种车的一半干25天，另一半干15天，相当于所有甲种车都干20天，所以甲、乙、丙三种车工作时间之比为 20：25：25=4：5：5，相同时间内，三种车各一辆完成的工作量之比为 =28：28：27，甲、乙、丙三种车完成的工作量之比为（28×10×4）：（28×5×5）：（25×7×5）=32：20：27，则总工作量为：32+20+27=79，用甲种车完成的工作量比上总工作量即可
3．【答案】解：根据题意，可得
=，
=，
=（轮）．
=，
=（小时）．
=
=（小时）．
答：完成任务还要小时．
【解析】由题意可知，甲乙合作1小时能完成全部工作的，则两人合作1小时后，还剩下全部的，然后由甲工作1小时，再由乙工作1小时，则每两个小时两人完成全部的轮，即6×2=12小时后，两人合作还要小时完成，即此时还剩下全部的，此是轮到甲做了，则甲还要小时完成．将后所用时间相加即得还需要多少时间．
4．【答案】解：根据题意，可得
=
=
=
=
=
=
10+10+12=32(天)
答：乙分得的工资是6400元
【解析】甲乙组合每天的工作效率为： ，乙丙组合每天的工作效率为： ，甲丙组合每天的工作效率为：，甲乙丙三人合做每天的工作效率：，乙的工作效率：，剩余的工作量：，乙的总工作时间：10+10+12=32(天)，乙完成的总工作量：，乙应分得的工资：
5．【答案】解：
=
=9（天）
21-9=12（天）
=
=
=
=
=40（天）
答： 如果由乙单独做，需40天
【解析】把这项工程的量看作单位“1”，先求出甲单独完成的工作量，再依据工作效率＝工作总量÷工作时间，求出甲的工作效率，进而求出乙的工作效率，最后依据工作时间＝工作总量÷工作效率解答。
6．【答案】解：甲队的工作效率为1÷20＝，乙队的工作效率为1÷30＝
=
=
=18（个）
答：乙队先修18天后，甲队再用8天就能正好修完。
【解析】将这项工程看成单位“1”，甲队的工作效率为1÷20＝，乙队的工作效率为1÷30＝；甲队先修8天，完成这项工程的，还剩下，乙队再修即可。
7．【答案】解：根据题意，可得
=
=
=
=
答：乙队单独修这条水渠需要20天。
【解析】把总工作量看作单位“1”，根据工作总量＝工作效率×工作时间，可得甲、乙两队的效率和为，两队合修4天后，剩下的工作量是，根据工作总量＝工作效率×工作时间，可求甲队的效率，再求乙队的效率，最后利用工作时间＝工作总量÷工作效率，据此解答即可。
8．【答案】解：A工程为[20，24，30]=120份工作量，B工程为份工作量.甲工效120÷20=6（份），乙工效120÷24=5（份），丙工效120÷30=4（份）。
三队完成A、B两项工程共要：
（120+150）÷（6+5+4），
=270÷15，
=18（天）；
乙工作量是5×18=90份，丙在B工程工作了（150-90）÷4=15（天），即乙、丙合做了15天.
答：丙队与乙队合做了15天。
【解析】 根据题意，A工程为[20，24，30]=120份工作量．B工程为120×（1+）=150份工作量．甲工效120÷20=6（份），乙工效120÷24=5（份），丙工效120÷30=4（份）．所以，三队完成A、B两项工程共要（120+150）÷（6+5+4）=18（天），乙工作量是5×18=90份，求出丙在B工程工作的天数，就是乙、丙合做的天数，即（150-90）÷4，解决问题．
9．【答案】解：设甲工作了3x天，则乙工作了6x天，丙工作了10x天。
则
x=2
(3+6+10)×2=38(天)
答：完成这项工作共用了38天。
【解析】甲乙丙的工作天数比为3∶6∶10，设甲工作了3x天，则乙工作了6x天，丙工作了10x天，根据工作总量＝工作效率×工作时间，分别求出甲、乙、丙完成的工作量，再根据甲、乙、丙完成的工作量之和为单位“1”，列方程解答。
10．【答案】解：3人共同完成两个仓库需要的时间为：
（小时）
妈妈完成的工作量为：
阳阳完成的工作量为：
阳阳帮妈妈的时间为：（小时）
答：阳阳帮妈妈运了5小时。
【解析】首先将每个仓库的货物看作单位“1”，则爸爸每小时完成，妈妈每小时完成，阳阳每小时完成。计算3个人共同完成两个仓库需要的总时间，然后计算妈妈完成的工作量，剩余的由阳阳完成，再根据阳阳的工作时间计算其完成的工作量，最后计算阳阳帮妈妈的时间。
11．【答案】解：甲每天可以完成工程的：
=
=
=
所以，甲单独完成这项工程需要的天数为=9（天）
答：甲单独完成这项工程需要9天。
【解析】我们可以先根据乙独做需要30天完成这项工程，来计算出乙每天可以完成工程的。接着，我们可以根据甲独做6天，乙独做5天，工程还剩下 的情况，计算出乙在5天内可以完成工程的。这样我们就能知道甲在6天内完成的工作是，即甲每天可以完成工程的。最后，我们可以通过除法计算出甲单独完成这项工程需要的天数。
12．【答案】解：设甲队中途离开x天，则乙工作了9天，甲工作了9-x天，由题意得：
解得：x=5．
答：甲队中途离开了5天．
【解析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
把工作总量看作“1”，根据“工作效率=工作量÷工作时间”，设甲队中途离开x天，则乙完成了9天，甲完成了9-x天，由题意可得：乙9天的工作总量+甲完成了9-x天的工作总量=1，由此列出方程，解方程即可．
13．【答案】解：根据题意，可得
甲＋乙＋丙的工作效率为：
甲＋乙＋丁的工作效率为：
丙+丁的工作效率为：
那么甲＋乙的工作效率为：
=
甲＋乙＋丙＋丁的工作效率为：
因此剩下的工程还需要：
=
（天）
答：还需60天可完工。
【解析】设这项工程为单位“1”。则甲+乙+丙的工作效率为，甲+乙+丁的工作效率为。丙+丁的工作效率为据此可以求出甲和乙的工作效率之和，然后求出甲、乙合作36天后，剩下的工程量是多少，再除以甲、乙、丙、丁的工作效率之和即可。
14．【答案】解：根据题意，可知
=
=
=
=10（天）
答：当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了10天才完成．
【解析】由题意可知，乙丙两队共合作了12天，则可完成全部的，则剩下的是甲队完成的，所以甲队共做了天，则用总天数减去甲做的天数，即得当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了多少天才完成．
15．【答案】解：甲、乙、丙三人工效：
乙、丙的工效：
甲的工效：
丙的 工效：
甲分得的钱： (元)；
丙分得的钱： (元)
乙分得的钱： (元)
答：依工作量分配，甲、乙、丙分别应得3300元、9100元、5600元。
【解析】要求每人分得的钱数，因为按各人所完成的工作量的多少来合理分配工资，所以必须知道每人完成的工作量．要求每人完成的工作量，就要知道每人的工作效率；由题意得甲、乙、丙工作效率之和为：，乙、丙合修2天修好余下的，乙、丙工作效率之和为：，甲的工作效率为：，同理可求出乙、丙的工作效率．然后求出各自的工作量．
16．【答案】解：甲每天完成的工作量是：
所以甲需要的天数是：
（天）
答：甲单独完成这项工程需要9天。
【解析】我们可以把这项工程的完成看作是一个单位“1”。乙独自完成这项工程需要30天，所以他每天完成的工作量是。他工作了5天，所以完成了的工作，然后剩下的工作没有完成。这表示甲在6天内完成了剩余的的工作。所以我们可以通过将甲的工作量除以甲的工作天数来得到甲每天完成的工作量，然后将1除以甲每天的工作量，就能得到甲完成这项工程需要的天数。
17．【答案】解：甲乙的工效和：
两人合作做8小时后，还剩下的工作量：
甲单独完成剩余工作的时间：
甲乙两人共用的时间：
答：打完这部书稿时，甲、乙二人共用了
【解析】计算甲乙两人的工效：甲单独打字要14小时完成，乙单独打字要20小时完成，所以甲每小时完成，乙每小时完成，两人的工效和为：
计算两人合作做8小时后，还剩下的工作量：两人合作做8小时后，两人合作的话还要小时，即还有全部工作量的
计算甲单独完成剩余工作的时间：此时轮着甲单独来做，
计算甲乙两人共用的时间：所以那么轮流打完这部书稿时，甲乙两人共需
18．【答案】解：设全部完成共有了x天，可得：
解得，x=17
答：工程前后一共用了17天。
【解析】根据题意可知：甲、乙、丙三人的工作效率分别为、、，设全部完成共有了x天，则甲工作了x－2天，乙工作了x－3天，丙工作了x天，由此可得方程；，解此方程即得这项工程前后一共用了多少天。
19．【答案】解：两人合作的工作效率是：1÷6=
小兵做了2天后小华接着做了1天，即合作了1天，合作一天的工作量是：×1=
小兵1天的工作量是：-=-=，即小兵的工作效率是：
小华的工作效率是：-=
小华单独完成需要的天数是：1÷=1×12=12（天）
答： 如果小华一个人办这期黑板报，需12天。
【解析】将黑板报的总工作量看作单位“1”，两人合作的工作效率是，小兵做了2天后小华接着做了1天，可以看做两人先合作1天，小兵再单独做1天，一共完成了的工作量，这个工作量减去合作一天的工作量就是小兵1天的工作量，进而求出小兵的工作效率；
再用合作的工作效率减去小兵的工作效率，就能得到小华的工作效率；再根据工作效率=工作量÷工作时间，即工作时间=工作量÷工作效率，得到小华的工作天数。
20．【答案】解：
=
=
即三个班交替一共做了（小时）还余下
=
=
余下再由丙做需要：
所以一共需要：（小时）
答： 三个班如此交替着干，那么完成此任务共用了.
【解析】先求出周期个数并确定出整周期的时间，然后用余下周期乘工效和求出余下总量，再按甲、乙、丙依次递推，看余下总量
需要多长时间，再加上整周期时间就是总共用时。

21．【答案】解：两人合作完成需要的时间是：
=
=
两人轮流打字8小时后完成的工作量是：
=
=
剩余的工作量由甲完成需要的时间是：
（小时）
总的时间是：
（小时）
答：打完这份稿件需要小时
【解析】首先，我们需要求出两人合作完成这份稿件需要的时间，然后我们可以计算出甲和乙两人轮流打字8小时后完成的工作量。最后，我们需要计算剩余的工作量由甲完成需要的时间，这样我们就可以得到总的时间。
22．【答案】解：甲的效率是丙的3倍，乙的效率是丙的2倍，所以三人的效率比是3：2：1。
4天完成了整个工程的，其中丙完成了这4天内所做工程的，即完成了全部工程的，所以丙每天能完成全部工作的
甲每天完成全部工程的，乙每天完成全部工程的
甲在休息期间完成了全部工程的，乙在休息期间完成了全部工程的，丙在休息期间完成了全部工程的
此时还剩下全部工程的
三人的效率和是，所以此后三人合作还需要天完成。
则将此工程前后共用了：4+2+3+5=14（天）
答： 完成该工程前后一共用了14天.
【解析】根据题目信息求出甲、乙、丙的工作效率比。然后，通过前4天的工作量，算出丙的工作效率。利用甲、乙、丙的效率比，求出甲和乙的工作效率。再计算出甲、乙、丙在休息期间完成的工作量，并从总工程量中减去这部分工作量。计算剩余工作量和三人的效率和，即可求出完成剩余工作所需的时间，从而得到完成整个工程所需的总时间。
23．【答案】解：设工作总量为单位“1”，则甲队的工作效率为，乙队的工作效率为。
甲队先工作两天，完成的工作量为：
因此，剩余的工作量为：
设甲、乙两队合作还需要x天完成剩余工作，则根据工作效率和工作量的关系，可得
解得：x=4
答：甲、乙两队合作还需要4天完成剩余工作。
【解析】设工作总量为单位“1”，并据此计算甲、乙两队的工作效率。设甲乙两队合作完成剩余工作的天数，根据题目描述列出关于这个未知数的方程。解这个方程即可求解。
24．【答案】解：设完成这批零件一共需要x天。
答：这样完成这批零件一共用了46天。
【解析】设完成这批零件一共需要x天，把工作总量看作”1“，张师傅的工作效率为，李师傅的工作效率为。则张师傅单独加工了10天加工了， 李师傅着单独加工了30天加工了，利用”效率×时间=总量“列出方程。
25．【答案】解：设甲工效为，乙工效为，
根据题意可得：，解得，
则如果现在乙先做两天半， 甲再开始做， 还需要天完成。
答： 现在乙先做两天半， 甲再开始做， 还需要10天完成。
【解析】设甲工效为，乙工效为，根据题意可得：，求得甲、乙的工效，即可求解。
26．【答案】解：甲的工作效率：
=
=
=
乙的工作效率：
乙独自完成这批零件需要的天数：
答：如果这批零件由乙独自完成，需要72天。
【解析】我们可以把这批零件的总数看作单位“1”。甲和乙两人合作需要40天，那么他们的工作效率和就是。然后，我们可以通过计算甲单独工作45天，乙单独工作36天的工作量，得出甲的工作效率。接着，我们再用工作效率和减去甲的工作效率，就可以得出乙的工作效率。最后，我们用单位“1”除以乙的工作效率，就可以得出乙独自完成这批零件需要的天数。
27．【答案】解：
(天)
答：这条公路全部由甲队来修，需要30天才能完成。
【解析】确定甲乙两队的合作效率，剩余的工作量，通过已知的乙队单独完成剩余工作所需的时间确定乙队的效率，通过甲乙两队的合作效率减去乙队的效率来确定甲队的效率。即可通过甲队的效率来确定甲队单独完成工作所需的时间。
28．【答案】解：乙的工作效率：
甲单独做需要的时间：（天）
答：甲独做完需要30天.
【解析】 本题考查了分数的计算。根据题意，甲乙合作要12天完成，甲先做3天后，再由乙工作8天，相当于甲乙合作3天，乙再单独做5天，用减去甲乙合作3天的工作量，就是乙单独做5天的工作量，用乙单独做5天的工作量除以5就是乙的工作效率，再用1除以甲乙的总工作效率和乙的工作效率之差，就是甲单独完成需要的天数。
29．【答案】解：
答： 这批零件的总数是1120个
【解析】需要分析甲乙两人合作与独立完成工作部分的比例，再根据甲比乙每天多做的零件数，求出这批零件的总数。
30．【答案】解：设修建这段路的总长度为单位“1”。
甲乙两队合作一天的工作效率为：
甲乙两队合作30天后，甲队单独修18天完成修建。所以甲队的工作效率为：
乙队的工作效率为：
甲队单独修36天后，剩下的工作量为：
乙队还要修的天数为：
综上，乙队还需要45天才能完成修建。
【解析】理解题目中的工程问题，并利用工作效率的公式来求解。先计算出甲乙两队合作的工作效率，通过甲队单独工作的信息，反推出甲队的工作效率。利用甲乙两队的工作效率和甲队的工作效率，求出乙队的工作效率。根据剩余的工作量和乙队的工作效率，计算出乙队还需要多少天才能完成修建。
31．【答案】解：假设这14 天都由乙来做。
完成的工作总量：
与原工作总量之间的差：
甲的工作天数： （天）
答：这项工程甲做了5天。
【解析】可以用假设法解题，假设这14天都由乙来做。因为甲、乙的工作效率不同，所以得出的工作总量与原工作总量不同，用工作总量之间的差除以甲、乙工作效率的差，即可求得甲做的天数。
32．【答案】解：设甲的效率为x，乙的效率为y，根据题意有
解得
现在乙先做两天半，甲再开始做，还需要：
=
=
=10(天)
答： 如果现在乙先做两天半，甲再开始做，还需要10天完成.
【解析】 设甲的效率为x，乙的效率为y，根据题意有，求出甲乙的效率，即可得出结论．
33．【答案】解：因为工序C，D须在工序A完成后进行，
工序E须在工序B，D都完成后进行，
工序F须在工序C，D都完成后进行，
所以由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，
需要的先后顺序为A，B，C，D，E，F，G，
所需的时间为9+9+7+9+7+10+2=53分钟．
由两名学生完成此木艺艺术品的加工，
学生甲按照A，C，E，G进行，
需要的时间为9+7+7+2=25分钟．
学生乙按照B，D，F进行，
需要时间为9+9+10=28分钟．
所以两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要28分钟．
【解析】由工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行，可知工序A，B，C，D，E，F，G先后完成，再由表中的时间求解即可.
34．【答案】解：根据题意，可得
=
=
（天）
答：甲工程队还需要4天
【解析】根据题目描述，甲队单独完成全部工程需12天，所以甲的工效为。甲、乙两队合作完成需要8天，所以甲、乙合作的工效为。因此，乙的工效为。乙队先工作16天，完成的工作量为。剩下的工作量为。甲队完成剩下的工作需要的时间为天。
35．【答案】解：甲、乙、丙、丁四的效率总和：
甲、乙的效率和：
剩下的工程需要的时间：
答：剩下的工程由甲、乙、丙、丁合作，还需要60天完工．
【解析】通过将甲、乙、丙的效率和甲、乙、丁的效率以及丙、丁的效率相加，然后除以2得到甲、乙、丙、丁四人的效率总和，通过将四人的效率总和减去丙、丁的效率和得到甲、乙的效率和；通过将1减去甲、乙合作36天完成的工作量，然后除以四人的效率总和得到剩下的工程需要的时间。得到剩下的工程由甲、乙、丙、丁合作，即可求出四人合作还需要的时间。
36．【答案】解：1÷=
乙先比甲先要多用半天，说明甲先时，完成的天数一定是奇数．于是可表示为：
说明乙做一天等于甲做半天，可以求出甲乙两人的工作效率之比是2：1
1÷=40（天）
答：这项工程由甲单独做要40能完成．
【解析】 甲乙两人合作 天完成，可以求出两人的工作效率之和为1÷=；如果两人轮流做完的天数是偶数，那么不论甲先还是乙先，两种轮流做的方式完成的天数必定相同．现在乙先比甲先要多用半天，说明甲先时，完成的天数一定是奇数．于是可表示为：
竖线左边的工作量相同，右边的工作量也相同，说明乙做一天等于甲做半天，可以求出甲乙两人的工作效率之比是2：1，从而可以求出甲的工作效率，再求工作时间即可
37．【答案】解：根据题干分析可得，因为按甲、乙、甲、乙…顺序交替工作，每次1小时，
所以前6小时所完成的工作量是：+++++=
还剩下：1-=
所以第7小时还是由甲工作，还剩下：-=
则剩下的由乙完成需要：÷=（小时）
所以完成任务一共要：6+1+=7+=（小时）
答：需要小时完成。
【解析】 把这项工程的总量看做单位“1”，由此即可得出甲乙的工作效率分别为：、，根据题干分析可利用工作时间=工作总量÷工作效率即可求得交替工作所用的时间，由此即可解决问题 。
38．【答案】解：由题意可知，乙单独完成这项工程需要12天，则乙的工作效率是1÷12=；
甲乙两队合作10天完成，甲乙合作工作效率是1÷10=；
甲的工作效率=甲乙合作工作效率-乙的工作效率，即；
甲单独完成这项工作所需时间：1÷=60（天）。
答： 如果甲单独做这项工作，要花 60天。
【解析】首先将整个工作过程进行合理的拆分与组合，通过题意可知，甲撤出时，工程已完成一半，乙用6天完成剩下一半工程，可知乙单独完成这项工程需要12天，乙的工作效率是；甲乙合作需要10天，即工作效率为，由此可知，甲的工作效率=-。将工作总量看作1，即可求出甲单独完成工作的时间。
39．【答案】解：根据题意，可得
=
=
=60（天
答：从开始就由甲队单独盖，需要60天。
【解析】首先根据甲乙两个工程队合盖，需要24天完成，求出甲乙的工作效率之和；然后根据甲队先盖6天，再由乙队盖2天，这样共完成工程的，可以看做甲乙合作2天，甲盖4天，共完成工程的，求出甲乙合作2天的工作量，进而求出甲4天的工作量，然后根据工作效率=工作量÷工作时间，求出甲的工作效率，最后求出从开始就由甲队单独盖，需要多少天即可。
40．【答案】解：根据题意，可得
=
=
=
=
（天）
甲队比乙队多做的天数：14-9=5(天)
答：甲队比乙队多工作5天。
【解析】甲、乙两队合作12天可以完成1份工作，因此两队的工作效率为；由题意知，乙队离开时完成了总任务的3/10，因此甲队单独完成的任务比例为，甲队的工作效率为，乙队的工作效率为，乙队的工作时间为，甲队比乙队多工作的天数为14-9=5（天）。
41．【答案】解：4×（＋）
=4×
=
（1-）÷7
=÷7
=
1÷=10（天）
答：如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路10天可以完成。
【解析】甲、乙、丙合修需要的天数=工作总量÷工作效率的和；其中，工作效率的和=（1-甲、乙合作4天工作效率的和）÷7。
42．【答案】解：3 小时可注水 ：甲开1小时，乙开1 小时，丙开1小时。
（共需11个3小时，即33小时）
（小时）
（小时）
答：注满水池需要时间33小时。
【解析】，甲每小时注入，乙每小时注入，丙每小时放，一个周期（各开一小时）注入，根据工作总量÷工作效率=工作时间，列式，说明各工作小时。实际甲乙丙各工作11小时水池水占整个水池的，剩下有甲单独注入，需要时间，所以注满水池需要时间33小时。
43．【答案】解：∵如果单独用A型设备，需要45天做完；如果单独用B型设备，需要30天做完，
∴A型设备的工作效率是这批冬季校服数量的，B型设备的工作效率是这批冬季校服数量的．
设还需要x天完成，
依题意得：
解得：x=20．
答：还需要20天完成．
【解析】利用工作效率=工作总量÷工作时间，可得出A，B两台设备的工作效率；设还需要x天完成，利用A型设备完成的工作量+B型设备完成的工作量=总工作量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
44．【答案】解：乙单独完成工程的效率是：
设两人合作了x天，那么乙单独做的时间为3x天，
那么：
x=4
乙单独做的时间为4×3=12（天），
所以这个工程实际工期为4+12=16（天）。
答：这个工程的实际工期是16天。
【解析】此题考查了工程问题的解决能力，解题的关键是找出题目中隐含的数量关系，根据数量关系进行列式计算。根据题目计算乙单独完成工程的效率：根据题干信息，我们知道，甲、乙两人合作8天可完成工程，甲单独做需12天完成，所以，我们可以通过乙与甲合作完成项目的速度和甲单独完成项目的速度，计算出乙单独完成项目的速度。这个速度可以通过公式：计算得出。这意味着乙单独做需要24天可以完成工程。设立方程求解：设两人合作了x天，那么乙单独做的时间为3x天，我们可以通过他们以各自的速度工作的时间和工程的总量设置等式。即，可以化简为，求解得到x=4。计算乙单独工作的时间并找出工程的实际工期：由于乙前后两段所用时间比为1：3，所以乙单独做的时间为4×3=12（天）。加上两人合作的4天，所以这个工程实际工期为4+12=16（天）。
45．【答案】解：A管工作效率：=
B管工作效率：
C管工作效率：
D管工作效率：
E管工作效率：=
A管开1小时后水量：+=
E、C、D管各开1小时后水量：-(++)
=-
=
B管开1小时后水量：+=
还剩：1-=
开A管需要：÷=(小时)
共需：5×1+=5(小时)
答：5小时后水池灌满水。
【解析】把工作总量看作单位“1”，则A、B、C、D、E的工作效率分别为、、、、；再按照打开油管的顺序，先用池子现有的水量加上A管的工作效率，看是否能灌满水池，如果不能，再用打开A管后的水量减去E、C、D管的工作效率之和，得到开完出水管后剩下的水量，再用剩下的水量加上B管的工作效率，看是否能灌满水，如果不能，再用1减去打开B管后的水量求出剩下的水量，比较剩下的水量与A管的工作效率，发现剩下的水量小于A管的工作效率，就用剩下的水量给出一A管的工作效率求出A管注满剩下水量所用时间，再加上前面的时间即可得到灌满水池的时间。
46．【答案】解：设小明每分钟包x个粽子，妈妈包y分钟，妈妈和爸爸所包的粽子数相同，则爸爸每分钟包x=x个粽子，妈妈每分钟包x=x个粽子。
×(3+y)=×y
(3+y)=y
+y=y
y=
y=75
答：妈妈包75分钟，妈妈和爸爸所包的粽子数相同。
【解析】可以设小明每分钟包x个粽子，妈妈包y分钟，则爸爸每分钟包x个粽子，妈妈每分钟包x个粽子，根据爸爸和妈妈所包的粽子数相同，即可得出关于y的方程，即可解答。
47．【答案】解：
1÷=7……1
（1-7×）÷
=÷
=（小时）
7×2+
=14+
=14（小时）
答：完成任务共需要14小时。
【解析】把工作总量看作单位“1”，根据题意可得：甲的工作效率=工作总量÷工作时间=1÷12=，同理可知乙的工作效率是；
一个循环2小时完成的工作总量是：+=，工作总量÷一个循环完成的工作总量=循环次数……剩下的工作总量；工作总量－需要次数×一个循环完成的工作总量=剩下的工作总量，（工作总量－循环次数×一个循环完成的工作总量）÷甲的工作效率=还需要的工作时间，循环次数×一个循环的时间2小时+还需要的工作时间=完成任务共需要的时间，据此解答即可。
48．【答案】解：甲+乙的工作效率：；丙+乙的工作效率：
甲+乙+丙的工作效率：
所以甲的工作效率为：；乙的工作效率为：；丙的工作效率为：
甲工作6+5=11天，乙工作6+2+5=13天，丙工作2+5=7天
各人所完成的工作量 之比为：甲：乙：丙=
一份：180÷（33+91+56）=1（元）
甲得：33元，乙得：91元，丙得：56元
答：甲得33元，乙得91元，丙得56元。
【解析】先求出每个人得工作效率，再看每个人工作几天，再求出各人所完成的工作量 之比，最后按比例分配。
49．【答案】解：设甲、乙、丙的工作效率分别为： a，b，c，①当原计划时间为天时，则有：
整理得：
则甲、乙、丙合作时，所需时间为 ： ②
当原计划时间为 天时，则有 ： 整理，得 ：
，因三人工作效率各不相同，故不合题意，舍去。
答：甲、乙、丙三人一起做这项工作，需要 天完成。
【解析】由题意可知，原计划的天数若是3的整数倍，则无论按什么顺序做，所用时间将是一样的，所以原计划所用的时间为3n+1天或3n+2天（n为正整数）；分类讨论，只看最后一个循环。
50．【答案】解：甲乙丙各工作一天完成的工作量与乙丙甲各工作一天，丙甲乙各工作一天相同。做完完整周期后。
情况1：第一方案，甲1天。第二方案是乙1天，丙天，第三方案丙1天甲天。
甲 丙 丙 甲
甲： 乙： 丙
假设甲一天做 3 份， 一共做了 个完整的周期， 则 .
由于k为整数，且 20≤k≤29 即，
n的取值范围是14、15、16、17、18、19、20，只有当n=16时，k为整数23.
情况2做完完整周期后：第一方案，甲1天乙1天。第二方案是乙1天丙甲天，第三方案丙1天甲1天乙天
甲 丙 甲 丙 + 甲
甲： 乙： 丙
假设甲一天做 4 份， 一共做了 个完整的周期， 则 +3)
由于k为整数，且20≤k≤29 即，
n的取值范围是15、16、17、18、19、20，21，22，23，24，25，26，27，28只有当n=21时，k为整数238
综上所述 取 23 或 28。
【解析】甲乙丙各工作一天完成的工作量与乙丙甲各工作一天，丙甲乙各工作一天相同。三种方案工作顺序不同，分为不同的情况：
情况1做完完整周期后，：第一方案，甲1天。第二方案是乙1天，丙天，第三方案丙1天甲天。即甲一天的工作量=乙一天的工作量+丙天的工作量=丙一天的工作量+甲天的工作量.他们的工作量比是甲： 乙： 丙 。假设工作n个完整周期
相对甲来说，（3+2+2）n+3=(3+2）K.，由于k为整数，且 0≤k≤29 即，
n的取值范围是14、15、16、17、18、19、20，只有当n=16时，k为整数23.
情况2做完完整周期后，：第一方案，甲1天乙1天。第二方案是乙1天丙甲天，第三方案丙1天甲1天乙天，仿照情况1的思路可以求出K值。
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