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小升初奥数思维之典型应用题精讲精练讲义（通用版）
专题04 变速问题
【第一部分：知识归纳】
一、变速工程问题特点
1、变速工程问题是指工作效率随时间变化的特殊工程问题，主要分为三种类型：
规律性变速：工作效率按固定规律变化
阶段性变速：不同阶段有不同工作效率
条件性变速：工作效率受特定条件影响而变化
2、核心要素：
初始效率：工作开始时的效率
效率变化规律：工作效率如何随时间变化
累计工作量：不同时间段完成的工作量总和
二、三大变速类型精讲
类型1：规律性变速问题
例题：一个工人第一天完成工程的1/10，之后每天的工作效率是前一天的2倍。完成整个工程需要多少天？
解答：工作效率序列：1/10, 2/10, 4/10...
累计工作量：1/10 + 2/10 + 4/10 + ... = 1
等比数列求和：1/10 × (2 - 1) = 1
解得：n ≈ 4天（第4天累计完成15/10 > 1，实际需要3天半）
类型2：阶段性变速问题
例题：某工程队前3天每天完成1/8，后因设备更新，每天完成1/4。完成整个工程需要多少天？
解答：前3天完成：3 × 1/8 = 3/8
剩余工作量：1 - 3/8 = 5/8
后期需要天数：5/8 ÷ 1/4 = 2.5天
总时间：3 + 2.5 = 5.5天
类型3：条件性变速问题
例题：甲乙合作时每天完成1/6，甲单独工作时每天完成1/12，乙单独工作时每天完成1/18。若先合作2天，后由甲单独工作若干天，最后乙单独工作1天完成。求甲单独工作的天数。
解答：合作2天完成：2 × 1/6 = 1/3
乙最后1天完成：1/18
中间甲完成：1 - 1/3 - 1/18 = 11/18
甲单独工作天数：11/18 ÷ 1/12 = 22/3 ≈ 7.33天
三、变速问题解题四步法
步骤1：确定效率变化规律
分析题目描述，明确效率如何变化
绘制效率变化表（如：第n天的效率）
步骤2：分段计算工作量
按不同效率阶段分别计算
注意阶段转换的时间点
步骤3：建立等量关系
总工作量 = 各阶段工作量之和
必要时设未知数建立方程
步骤4：验证计算结果
检查各阶段时间是否合理
确认总工作量是否满足
四、易错点与技巧
1、易错点警示
忽略效率变化方向：效率可能递增也可能递减
阶段转换点错误：未准确判断效率变化的时间点
无限接近陷阱：某些变速问题可能永远无法完成
2、解题技巧
列表法：按时间序列出每天效率
图形法：绘制效率-时间曲线
极限思维：对无限接近问题考虑极限值
单位化处理：将总工作量设为1简化计算
【第二部分：能力提升】
1． (工程问题)一个无水的观赏池中放有一块高 28 厘米， 体积为 4200 立方厘米的假山石。如果以每分钟 8 立方分米的水量向池内注水，那么至少需要多长时间才能将假山石完全淹没？
2．(工程问题)要加工900个零件，李师傅单独做3小时完成，刘师傅单独做4小时完成，方师傅单独做6小时完成。李师傅先单独做了1小时后，剩下的任务由刘师傅和方师傅两人一起做，还要几小时才能完成？完成任务时，三人各做了多少个零件？
3．工厂生产一批产品，原计划15天完成，实际生产时改进了生产工艺，每天生产产品的数量比原计划每天生产产品数量的多10件，结果提前4天完成了生产任务，则这批产品有多少件？
4． (工程问题)某工厂生产某种零件， 原计划每天生产 500 个， 则刚好能在规定时间完成任务。但实际每天比原计划多生产了 60 个零件，结果在规定时间还剩 3 天时完成了任务，并多生产了 1200 个零件。该工厂原计划生产多少个零件？
5．甲、乙两人合作为400米的环形花坛铺设草坪；两人同时从同一地点背向而行各自铺设，最初甲铺设草坪的速度比乙快，后来乙用了10分钟去调换工具，回来继续铺设，但工作效率比原来提高了一倍。结果从甲、乙开始铺设时间算起，经过1小时，就完成了铺设草坪工作，并且两人铺设的草坪距离一样长，问乙换了工具后又工作了多少分钟？
6． (工程问题)李师傅加工一批零件， 原计划每小时加工 30 个，6 小时可以完成， 实际每小时比原计划多加工 ， 实际加工这批零件比原计划提前几小时完成？
7．一项挖土工程， 如果甲队单独做， 16 天可以完成， 乙队单独做， 20 天可以完成。现在两队同时施工， 工作效率提高 。当工程完成 时， 突然遇到了地下水， 影响了施工进度，使得每天少挖了 47.25 方土， 结果共用了 10 天完成工程。整个工程要挖多少方土？
8．一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮流做。原计划按甲队、乙队、丙队的顺序轮流做，恰好整数天完成。如果按乙队、丙队、甲队的顺序轮流做，比原计划多用 天完成；如果按丙队、甲队、乙队的顺序轮流做，比原计划多用 天完成。已知这项工程有甲、乙、丙三个工程队一起做，需 天完成， 且三个工程队的工效各不相同。这项工程由甲队单独做需几天才能完成？
9．(工程问题)某T)生产某种零件，原计划每天生产500个，则刚好能在规定时间完成任务。但实际每天比原计划多生产了60个零件，结果在规定时间还剩3天时完成了任务，并多生产了1200全零件。该工下原计划生产多少个零件？
10．一项工程， 甲队独做 15 天完成， 乙队独做 12 天完成， 若两队合作， 甲队每天提高效率的 ，乙队每天提高效率的 ， 现在两队合作， 途中甲队休息了若干天， 这样前后共用 6 天完成任务。甲队休息了多少天
11．某工程，由甲、乙两队承包，2.4天可以完成，需支付1800元；由乙、丙两队承包，天可以完成，需支付1500元；由甲、丙两队承包，天可以完成，需支付1600元．在保证一星期内完成的前提下，选择哪个队单独承包费用最少？
12．(工程问题)一件工程甲、乙合作 12 天完成，结果甲干了 3 天，乙干了 1 天，完成了全工程的 ，如果甲单独干多少天就可以完成？
13．搬运一个仓库的货物，甲需要10 小时，乙需要12 小时，丙需要15 小时。有同样的仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库同时搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运，最后两个仓库货物同时搬完，问丙帮助甲比帮助乙少多少小时？
14．某工程先由甲独做63天，再由乙独做28天即可完成，如果甲、乙两人合作，需48天完成。现在甲先单独做42天，然后由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？
15．一项工程，按甲、乙、丙各一天的顺序循环工作，恰需要整数天完成。如果按丙、甲、乙各一天的顺序循环工作，比原计划晚0.5天完成。如果按乙、丙、甲各一天的顺序循环工作，比原计划晚1天完成。乙单独完成这项工程需要30天。甲、乙、丙三人同时做，需要多少天完成？
16．前进路桥公司承担建新农村公路加宽硬化工程，甲工程队单独做需要15天，乙工程队单独做需要10天。甲、乙两队合作4天后，甲工程队另有任务离开，留下的乙工程队至少还需几个整天才能把这项工程做完
17．一项土方工程， 甲工程队单独完成要 30 天，乙工程队要 20 天。两个工程队合作， 完成任务时乙比甲多完成了 60 立方米， 该工程一共有多少立方米？
18．甲、乙两项工程分别由一、二两队来完成。在晴天，一队完成甲工程需 12 天，二队完成乙工程需 15 天 ； 在雨天，一队的工作效率要下降 ，二队的工作效率要下降 。两队同时开工，结果同时完成这两项工程。那么，在施工的日子里有几天是雨天？
19．甲、乙两项工程分别由一、二队来完成。在晴天，一队完成甲工程需要12天，二队完成乙工程需要15天；在雨天，一队的工作效率要下降40%，二队的工作效率要下降10%。结果两队同时完成这两项工程，那么，在施工的日子里，雨天有多少天
20．一件工作有A、B两道工序，上午在A工序工作的人数是在B工序工作人数的；，为了提高工作效率，下午从B工序上调1人到A工序上，这时A工序人数是B工序人数的A、B两个工序共有多少人在工作
21．一项工程，甲先做若干天后由乙继续做，且丙在工程已完成 时前来帮忙，待工程完成 时离去，结果恰好按计划完成任务，其中乙做了工程总量的一半。如果没有丙的参与，仅由乙接替甲后一直做下去，那么将比计划推迟 天完成；如果全由甲单独做，则可比计划提前6天完成。还知道乙的工作效率是丙的3倍，问计划规定的工期是多少天？
22．某项工程计划在 80 天内完成。开始由 6 人用 35 天完成了全部工程的 工程， 随后再增加 6 人一起完成这项工程， 那么这项工程提前多少天完成任务？
23．（工程问题）一项工程，甲15天做了后，乙加入进来，甲、乙一起又做了，这时丙也加入进来，甲、乙、丙一起做完。已知乙、丙的工作效率之比为3：5，整个过程中，乙、丙工作的天数之比为2：1，请问这种情形下做完整个工程用多少天
24．甲乙两队合修一条路，因甲队另有工作安排，合修10天后，剩下的由乙队单独完成。原来计划 20 天修完，实际25天才完成。请问乙队共修了全程的几分之几？
25．一项工程，甲、乙合作要12天完成。若甲先做3天后，再由乙工作8天，共完成了这项工作的一半。若这件工作由甲单独做完需要几天？
26．甲、乙两个工程队完成一项工程，并按工作量分配70万元工资，按两队原计划的工作效率，乙队应获42万元。实际上从第6天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原计划多获得9万元。那么两队原计划完成这项工程任务要几天？
27． 一个水池可以容水36立方米，有两个注水管注水，如果单开甲管6小时可以注满，如果单开乙管4小时可以注满，现在同时打开两个注水管向这个水池注水，几小时后可以注满这个水池的？此时，甲管注水多少立方米
28．实验小学举办春季运动会，准备了一批气球发给观众席的同学，如果全部平均分给四年级的班级，每个班可以分得24个气球：如果全部平均分给五年级的班级，每个班可以分得20个气球；如果全部平均分给六年级的班级，每个班可以分得30个气球，如果将这批气球平均分给三个年级的所有班级，那么每个班级可以分得多少个气球？
29．(工程问题)甲、乙合做一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高，乙的工作效率比单独做时提高。甲、乙两人合做6小时，完成全部工作的，第二天乙又单独做了6小时，还留下这件工作的尚未完成。如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？
30．工程队用 3 天修完一段路， 第一天修的是第二天的 ， 第三天修的是第二天的 倍， 已知第三天比第一天多修 240 米， 这段路长多少米 (8 分)
31．工程队用3天修完一段路，第一天修的是复二天的倍，第三天修的是第二天的
已如第三天比第一天多修270米，何这段路长多少来？
32．某工程可由若干台机器在规定时间内完成.如果增加2台机器，则只需要用规定时间的就可以完成；如果缺少2台机器，就要推迟小时完成.如果由1台机器完成这项要程，需要多少小时
33．（周期工程）一项工程，乙单独做20天完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替做也恰好用整数天完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替做结果比上次交替做多用半天才能完成。这项工程由甲单独做需要几天可以完成
34．（工程问题）学校修了一条进校的新路，已知第一天完成了全长的25%，第二天完成了全长的，第三天修了100米恰好修完。这段新路全长为多少米
35．一项工程，计划8个月完成。第一个月完成了计划的平均进度，第二个月完成了这项工程的，工作两个月后还剩下这项工程的几分之几？
36．甲、乙、丙三名搬运工同时分别在三个条件和工作量完全相同的仓库工作， 搬完货物甲用时 10 小时， 乙用 12 小时， 丙用 15 小时. 第二天三人又到两个较大仓库搬运货物， 这两个仓库的工作量也相同， 甲在 A 仓库， 乙在 B 仓库， 丙先帮甲后帮乙，结果干了 16 小时后同时搬运完毕， 问丙在 A 仓库做了多长时间
37． 某工程队抢修一段公路，原计划每天修47.25 千米，计划 13天修完，实际提前4 天完成任务。实际每天比原计划多抢修多少千米？
38．（工程问题）工厂要装配一批电脑，已经装好625台，如果以后每天比原来多装配2台，还需要40天完成。但是最后一天要少装配5台；如果仍按原来的工作效率装配，就需要多工作3天，工厂一共要装配多少台电脑
39．某工程队20天能修1200米的公路，实际上前3天就完成了20%，照这样的速度，可提前几天完成任务？
40． (工程问题)甲工程队修一条长1600米的公路，施工12天后修好这条公路的75% ，此后甲工程队采用新技术每天比原来可多修1倍的公路，修完这条公路甲工程队一共用了几天？
41．把加工一批零件的任务，原计划按1：3分配给甲.乙两人，如果他们同时开工就可以同时完成任务。实际由于某种原因，二人同时一开工，乙的工作效率就比原计划降低了50％，甲的工作效率不变。这样，当甲完成了自己的任务后，立即帮助乙一起加工，又经过2小时完成了全部任务，如果这批零件全部由甲单独加工，需要多少小时完成？
42．(量率对应)重庆名校中学新建教学楼挖地基，甲队单独做16 天完成，乙队单独做 20天完成，现在两队同时施工，工作效率提高 20%。当工程完成时，突然遇到了地下水，影响了施工进度，使得每天少挖了 47.25立方米的土，结果共用了 10天完成工程。问整个工程要挖多少立方米的土？
43．（工程问题）甲、乙合作一项工程，由于配合得好。甲的工作效率比单独做时提高，乙的工作效率比单独做时提高甲、乙两人合作6小时，完成全部工程的第二天乙又单独做了6小时，还留下这项工程的尚未完成。如果这项工程始终由甲单独来做，需要多少小时
44．蓄水池有一条进水管甲和一条排水管乙， 要住满一池水， 单开进水管甲需 5 小时；排光一池水， 单开排水管乙需 3 小时， 现在池内有半池水， 如果按进水、排水、进水、排水……的顺序轮流各开 1 小时。问： 多长时间后水池的水刚好排完？
45．（工程问题）一队和二队两个施工队的人数之比为3：4，每人工作效率之比为5：4，两队同时分别接受两项工作量与条件完全相同的工程，结果二队比一队早完工9天。后来，由一队工人的与二队工人的组成新一队，其余的工人组成新二队。两支新队又同时分别接受两项工作量与条件完全相同的工程，结果新二队比新一队早完工6天。试求前后两次工程的工作量之比。
46． (工程问题)甲、乙、两三人去完成植树任务，已知甲植一棵树的时间，乙可以植两棵树，丙可以植三棵树。他们先一起工作了5天，完成全部任务的。然后丙休息了8天，乙休息了3天，甲没休息，最后一起完成任务。从开始植树算起，共用了多少天才完成任务？
47．因工作需要，对甲、乙、丙三个小组的人员进行三次调整，第一次丙组不动，甲、乙两组中的一组调出7人给另一组；第二次乙组不动，甲、丙两组中的一组调出7人给另一组；第三次甲组不动，乙、丙两组中的一组调出7人给另一组，三次调整后，甲组有5人，乙组有13人，丙组有6人。则各组原有人数为多少？
48．（工程问题）一项工程，甲先做若干天后由乙继续做，丙在工程完成一半时前来帮忙，待工程完成时离去，结果恰好按计划完成任务，其中乙做了工程总量的一半；如果丙不来帮忙，仅由乙接替甲一直做下去，就会比计划推迟天完成；如果全由甲单独做，就会比计划提前6天完成。已知乙的工作效率是丙的3倍。请问：原计划工期是多少天
49．(工程问题)某工地用3种型号的卡车运送土方，已知甲、乙、丙三种卡车的载重量之比为10：7：6，速度比为6：8：9，运送土方的路程之比为15：14：14，三种车的辆数之比为10：5：7。工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到10天后，另一半甲种车才投入工作，共干了25天完成任务。求甲种车完成的工作量与总工作量之比。
50．（周期工程问题）一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮流做。原计划按甲队、乙队、丙队的顺序轮流做，恰好整数天完成。如果按乙队、丙队、甲队的顺序轮流做，比原计划多用天完成；如果按丙队、甲队、乙队的顺序轮流做，比原计划多用天完成。已知这项工程由甲、乙、丙三个工程队一起做，需天完成，且三个工程队的工效各不相同。这项工程由甲队单独做需几天才能完成
参考答案及试题解析
1．【答案】解：8立方分米＝8000立方厘米
(46×25×28-4200)÷8000
=(32200-4200)÷8000
=3.5（分钟）
答：至少需要3.5分钟才能将假石山完全淹没。
【解析】 依据长方体的体积公式，用高为28厘米的长方体体积减去假山的体积，即可求出加入水的体积；然后用水的体积除以每分钟注的体积，即可求出至少需要的时间。
2．【答案】解：李师傅的工作效率：900÷3=300（个/时）
刘师傅的工作效率：900÷4=225（个/时）
方师傅的工作效率：900÷6=150（个/时）
剩下的零件的数量：900-300×1=900-300=600（个）
还要：600÷（225+150）=600÷375=1.6（小时）
300×1=300（个）
225×1.6=360（个）
150×1.6=240（个）
答：还要1.6小时才能完成，完成任务时，李师傅做了300个零件，刘师傅做了360个零件，方师傅做了240个零件。
【解析】首先根据工作效率=工作量÷工作时间，分别求出李师傅、刘师傅和方师傅的工作效率是多少；然后根据工作量=工作效率×工作时间，求出李师傅1小时加工的零件的数量是多少，进而求出剩下的零件的数量是多少；最后根据工作时间=工作量÷工作效率，用剩下的零件的数量除以刘师傅和方师傅的工作效率之和，求出还要几小时才能完成即可。
3．【答案】 解：15-4=11（天）
=110÷（1-）
=110÷
=165（件）
答：这批商品共有165件。
【解析】 原计划15天完成，结果提前4天完成了生产任务，即共有了15-4=11天，又实际天生产产品的数量比原计划每天生产产品数量的多10件，原计划每天生产全部的，则实际每天生产了全部的×多10件，则11天完成全部的××11又10×11件，则这10×11件占全部的1-××11，根据分数除法的意义，全部产品共有件。
4．【答案】解：设原计划生产个零件，由题意可得：
答：该工厂原计划生产24000个零件。
【解析】设原计划生产个零件，由题意列式：零件任务÷原计划每天生产的零件个数-（零件任务+1200）÷实际每天生产的个数=3，据此计算即可。
5．【答案】解：1小时 分钟
设乙原来铺设速度为 ， 可得：
设乙换工具后又铺设了 分钟， 由此可得：
答： 换工具后， 乙又工作了 30 分钟
【解析】首先，我们需要确定甲和乙两人各自铺设草坪的总时间。甲工作了整整1小时，而乙因为去调换工具，实际工作时间少于1小时。
然后，我们需要根据题目条件，即两人铺设的草坪距离一样长，我们可以根据甲和乙的工作时间和速度，计算出他们各自铺设的草坪面积，并设立等式。
最后，我们可以通过解这个等式，求出乙换工具后又工作了多少分钟。
6．【答案】解：实际每小时加工的零件数：
（个）
实际完成这批零件需要的时间：
30×6÷36=5（小时）
提前完成的时间：
（小时）
答： 实际加工这批零件比原计划提前1小时完成。
【解析】 需要计算出实际每小时加工的零件数，这是原计划每小时加工零件数的120%。然后，用总零件数除以实际每小时加工的零件数，得到实际完成任务的时间。最后，将原计划的时间与实际时间进行比较，得出提前完成的时间。
7．【答案】解：（天）。
（天）。
（天）。
，
（方）土。
答： 整个工程要挖1100方土
【解析】根据甲队和乙队单独完成工程的时间，计算出他们合作完成整个工程的理论时间。然后计算出原计划完成剩余工程的时间。接下来，根据实际完成剩余工程所需的时间，计算出时间比和工效比。最后，利用时间比、工效比和每天少挖的土方量，可以计算出整个工程要挖的土方量。
8．【答案】【解答】根据条件可从如下两种情况进行分析：
第一种情况是按甲、乙、丙次序轮做，甲结束：
甲 丙 丙 + 甲 ，
丙 甲，
乙 甲，
这样丙、乙的工作效率就相同了，
据题意， 三队的工作效率各不相同， 从而排除第一种情况；
第二种情况是按甲、乙、丙次序轮做， 乙结束：
甲＋乙＝乙＋丙＋甲 =丙＋甲＋乙，
丙＝甲 =乙，
丙＝甲，
乙＝甲
所以甲单独做的时间是
答：这项工程由甲单独敳需 31 天才能完成。
【解析】 据题意可知，按甲、乙、丙次序轮做，恰好整天完工，其余两个方案都不是整天完工，那么甲乙丙的方案，一定是甲或乙结尾，不可能是丙结束，丙结束就是整数周期．所以按两种情况分析：第一种情况是甲结束，甲＝乙＋丙＝丙＋甲，丙＝甲，乙＝ 甲，这样丙、乙的工作效率就相同了，据题意，三队的工作效率各不相同，从而排除第一种情况。第二种情况，乙结束，甲＋乙＝乙＋丙＋甲 =丙＋甲＋乙，丙＝甲 =乙，丙＝甲， 乙＝甲 ，所以三个工程队合作的时间是甲单独工作天数÷(1+)=（天），甲单独工作天数＝x(1+)，据此得解。
9．【答案】解：设原计划生产的零件总数为个，实际生产的零件总数为个。
。
解：x=24000
答：该工厂原计划生产24000个零件。
【解析】首先需要明确问题的关键在于理解实际生产提前完成任务的原因。即实际每天的生产量高于计划生产量，因此实际生产的时间比计划生产的时间少，且还多生产了一定量的零件。根据题意，我们设原计划生产的零件总数为x，通过原计划每天的生产量和实际每天的生产量，可以建立等量关系式来解决此问题。
10．【答案】解：设甲队工作了 x 天，
x =5
9-5=4（天）
答：甲队休息了4天．
【解析】 把总工作量看作单位"1"，先分别求出甲、乙两队提高效率后的工作效率，设甲队工作了 x 天，根据"甲乙合作的工作量＋乙队独作的工作量＝1"列方程解答．
11．【答案】解：
甲乙合作一天完成1÷2.4＝，支付1800÷2.4=750（元）
乙丙合作一天完成1÷(3+)=，支付1500 x=400（元）
甲丙合作一天完成1÷(2+)=，支付1600 x＝560（元）
三人合作一天完成（++)÷2=，
三人合作一天支付（750+400+560)÷2=855元
甲单独做每天完成，支付855-400=455（元）
乙单独做每天完成，支付855-560=295（元）
丙单独做每天完成，支付855-750=105（元）
所以通过比较
选择乙来做，在天完工，且只用295x6=1770（元）
答：在保证一星期内完成的前提下，选择乙队单独承包费用最少．
【解析】 由题意我们想到通过计算甲乙丙合干的速度及费用，减去其中两队合作时的用时和费用，就等于另外一个队单独干时的用时和费用，来分别求出他们各自单干时的用时和费用．
12．【答案】解：甲乙合作一天完成的：
加单独干一天完成：=
加单独干30天完成：=30（天）
答： 甲单独干多30天就可以完成.
【解析】先计算出甲乙合作一天的工作效率，再算出加单独干一天的工作效率，然后利用工作总量÷工作效率=工作时间即可求出。
13．【答案】解：三人搬完仓库用时： (小时)
甲搬运了A仓库的：
则丙搬运了 仓库的
丙帮助甲搬运：
丙帮助乙搬运： (小时)
答：丙帮助甲 3 小时，帮助乙5 小时。
【解析】把搬运一个仓库的货物这项工程看做单位“1”，根据题干可得：甲乙丙的工作效率分别为：，，；两个同样的仓库，货物一样多，工程一样，假设同时完成的时间为T，丙帮助甲的时间为t，则帮助乙的时间为T-t，根据“甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库同时搬完”可以列出两个等式，解方程组，即可得解。
14．【答案】解：甲乙合作每天完成：，
甲工作一天完成：，
乙工作一天完成：，
乙还需要做：（天）
答：乙还需要做56天。
【解析】本题考查了工程问题和分数乘除法的应用，关键是求出甲乙两人每天的工作量。根据题意，甲乙两人合作48天完成，可以求出甲乙两人合作一天的工作量，然后再求出甲乙两人分别做一天的工作量，最后求出甲先单独做42天后剩余的工作量，再除以乙每天的工作量，即可求出乙还需要做多少天。
15．【答案】设甲、乙、丙三人的工作效率分别为x，y，z，则
又知乙的工作效率为 ③
联立①②③解得
甲、乙、丙三人同时做需要
(天)
【解析】按甲、乙、丙各一天的顺序循环工作，所需天数一定不是3的倍数，否则按其他顺序循环工作，所需天数应该和原计划一样。同理按其他顺序循环工作，所需天数也不是3的倍数。将甲、乙、丙三人的工作效率分别设为x，y，z。对比各顺序下工作的时间可得x=z+0.5x，x=y+z，且 求解即可。
16．【答案】解： 由题可知：甲工程队的工效为：，
乙工程队的工效为：，
甲乙两队合作4天，剩下的工作量为： ，
乙工程队还需施工 （天），即留下的乙工程队至少还需4个整天才能把这项工程做完。
答： 留下的乙工程队至少还需4整天才能把这项工程做完。
【解析】将新农村公路加宽硬化工程看成单位“1”，计算甲、乙工程队的单独做的工效，再计算甲、乙两队合作4天，剩下的工作量，用工作量除以工效即可求得留下的乙工程队至少还需几个整天才能把这项工程做完。
17．【答案】解：将整个一项土方工程看作单位“1”
甲的工作效率：1÷30=
乙的工作效率：1÷20=
完成工程需要天数为：
=12（天）
乙比甲多干了：
则该工程一共有：
答： 工程一共有300 立方米。
【解析】先将整个一项土方工程看作单位“1”，分别计算出甲、乙的工作效率，然后计算出这项工程的实际完成天数：，在计算出乙比甲多干的份数，再用60除份数，即可得出总工程。
18．【答案】解：雨天一队效率
雨天二队效率
设在施工的日子里有x天是雨天，
解得x=10
答： 在施工的日子里有10天是雨天。
【解析】工作总量=工作时间×工作效率，根据公式先求出雨天一二队效率，设在施工的日子里有x天是雨天，因为两队同时开工，同时完工，所以两队工作中雨天的天数相等，晴天的天数也相等，据此列出等式求解即可。
19．【答案】解：
设雨天共有x天，可得方程：
x=10．
答：雨天共有10天．
【解析】 一队完成甲工程需要12天，二队完成乙工程需要15天，则两队的工作效率分别为，；一队的工作效率要下降40%，二队的工作效率要下降10%，则在雨天两队的效率分别为 ，，设雨天共有x天，则两队在不是雨天完成的工作量分别为，，又结果两队同时完成这项工程，即两队在不是雨天的工作时间也是一样的，由此可得方程：
20．【答案】解：设A工序x人，B工序y人.
解得
所以，x+y=6+36=42（人）
答： A、B两个工序共有42人在工作。
【解析】设A工序x人，B工序y人，根据题干信息，列方程即可求解
21．【答案】解：
（天)
20-6=14(天)
(天)
24+6=30(天)
答： 计划规定的工期是30天。
【解析】先看丙帮忙阶段，从工程完成到，完成量为，因乙效率是丙的3倍，把这段乙丙工作量1看成4份，丙占1份，得丙工作量为÷4=，这也是乙3天的工作量。算出乙效率。再求乙丙工作量之和。根据乙效率和完成一半工作量，得乙工作时间。结合甲单独做比计划提前6天，算出甲做工程时间。进而得甲单独完成全部工程时间，最后推出计划工期。
22．【答案】解：
天
因此提前的天数为80-35-35=10天
答：这项工程提前10天完成任务。
【解析】6人用35天完成了全部工程的工程，那么每人每天完成的工程为，那么增加6人后，每天可以完成的工程，剩余的1-的工程，需要的天数为天，因此提前的天数为80-35-35=10天。
23．【答案】解：假设甲的工作效率为，乙的工作效率为3x，丙的工作效率为5x，
乙工作的天数为：，
丙工作的天数为：，
由于乙、丙工作的天数之比为2：1，
所以，
解得x=
所以乙的工作效率为：3x=，丙的工作效率为：5x=，
这种情形下完成整个工程需要的时间为：=27（天）。
答：所以，在这种情形下，完成整个工程需要27天。
【解析】假设甲的工作效率为，乙的工作效率为3x，丙的工作效率为5x，那么乙工作的天数为：，丙工作的天数为：，由于乙、丙工作的天数之比为2：1，所以，通过解这个方程我们得到：x=，然后将x的值代入乙、丙的工作效率，再根据甲、乙、丙合作完成整个工程的时间等于甲先完成的部分加上乙丙合作完成的时间，就能得出答案。
24．【答案】解：
答：乙队共修了全程的.
【解析】根据题意可知，把这条路的工作总量看作单位“1”，那么甲队的工作效率为，甲队单独修10天的工作总量为x10=，乙队完成剩下的工作总量为1-=，剩下的工作量乙队用了(25-10)天，那么乙队的工作效率为，根据工作效率x工作时间=工作总量，求出乙队一共修了全程的几分之几即可。
25．【答案】解：
=
=
=
＝30（天）
答：若这件工作由甲独做完需要30天.
【解析】把完成这项工程的工作总量看作“1”，根据“工作效率＝”即可求出甲、乙合作的工作效率，乙队工作8天看作前3天，后（8-3）天，前三天与甲合作，根据“工作量＝工作效率×工作时间”即可求出甲、乙合作3天完成的工作量，用减甲、乙合作3天完成的工作量就是乙后（8-3）天完成的工作量，进而可以求出乙每天完成的工作量，即乙的工作效率。用甲、乙的工作效率之和减乙的工作效率就是甲的工作效率，再根据“工作时间＝工作量÷工作效率”即可求出这件工作由甲独做完需要几天.
26．【答案】解：设两队原计划完成这项工程任务要x天，根据题意，可知
甲队原计划每天的工资是万元，乙队原计划每天的工资是万元。
从第6天开始，甲队的工作效率提高了1倍，所以甲队最终的工资是：
由于甲队最终比原计划多获得9万元，所以可建立方程：
解得：x=20
所以，两队原计划完成这项工程任务要20天。
【解析】根据题目给出的信息，设定未知数。这里，我们设定两队原计划完成这项工程任务的天数为x。根据题目中给出的工资分配和工作效率变化的信息，建立方程。考虑到甲队在第6天开始工作效率提高1倍，以及甲队最终比原计划多获得9万元的情况。解这个方程，求出未知数x的值。根据求出的x的值，得出两队原计划完成这项工程任务的天数，并作答。
27．【答案】解：＝＝2（小时）
36××2＝12（立方米）
答：2小时后可以注满这个水池的，此时，甲管注水12立方米。
【解析】将水池容水量看作单位“1”，用工作量除以甲乙效率和即可求出注水时间，用甲的效率乘时间即可求出甲管注水体积。
28．【答案】解：1÷(++)
=1÷
=8（个）
答：每个班级可以分得8个气球。
【解析】 把气球的总数看作"1"，那么四、五、六年级的班级数分别是、、，
根据平均数＝总数量÷班级数的和解答即可。
29．【答案】解：乙的工作效率：
甲和乙合作时乙的工作效率：
甲和乙合作时甲的工作效率：
单独由甲做需要：（小时）
答：如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要33小时。
【解析】乙单独工作6小时，完成了全部工作的，乙的工作效率为；甲和乙合作时，乙的工作效率为，甲的工作效率为，所以，单独由甲做需要（小时）。
30．【答案】解：设第二天修了x米
x-90%x=240
0.3x=240
x=800
第一天：90%×800=720（米）
第三天：×800=960（米）
800+720+960=2480（米）
答：这段路长2480米。
【解析】首先根据题意，设第二天修了x米，则第一天修了90%x米，第三天修了x米，进而根据第三天比第一天多修240米，列出方程x-90%x=240，解方程得到第二天修的长度，再根据第一天、第三天与第二天的关系，分别求出这两天所修的长度，最后相加即可。
31．【答案】解：设第二天修的路长为米。根据题意，第一天修的路长为米，第三天修的路长为米。
得：
米
第二天修路长度为900米，因此：
第一天修的长度为米
第三天修的长度为米
这段路的长度：米
答： 这段路长2790米。
【解析】由题目可知，工程队用3天时间修完一段路，其中第一天修的路长是第二天的倍，第三天修的是第二天的倍，同时已知第三天比第一天多修了270米。先需要找到第二天修路的长度，然后利用第二天的长度分别计算出第一天和第三天的长度，最后加总得到整段路的长度。
32．【答案】解：原来机器的台数：2÷(1÷-1)=14台，
减少两台时间为原来的：1÷[(14-2)÷14]=1÷=，
增加-1=，
原来的时间：÷=4小时
需要 14×4=56小时。
答： 需要 56小时。
【解析】工作总量=工作效率×工作时间，总量不变，时间是，效率就是，比原来多出了，据此求出原来有多少台机器，再根据减少的台数，推出14台机器原来要花的时间，最后乘14即为一台花的时间。
33．【答案】解：
（天）
这项工程由甲单独做需10 天可以完成。
【解析】根据两种轮流交替做的情况可得出：当甲先做时，用的时间就少，而乙先做时，用的时间就多.据此可得第一种情况甲乙的工作顺序是：甲，乙，甲，乙…甲(最后一天是甲做的，若是乙做的，则第二种情况不会出现多做半天的时间）；而第二种情况甲乙的工作顺序就是：乙，甲，乙，甲…乙，甲， 乙；把两种情况对照可得：甲一天的工作效率=乙一天的工作效率+甲半天工作效率，即甲半天工作效率=乙一天工作效率，也就是说甲的工作效率是乙工作效率的 2 倍，于是可得甲单独做需要几天。
34．【答案】（米）
这段新路全长为1200米。
【解析】根据题意，把这条公路的总长看作单位“1”，单位“1”的量是未知的，先求出两天完成了单位“1”的几分之几，再求出第三天修了100米对应的分率，进一步求得单位“1”的量，即这条公路的全长．
35．【答案】解：根据题意，可得
=
=
所以，工作两个月后还剩下这项工程的
【解析】把一项工程看作单位“1”，根据工作效率=工作总量÷工作时间，知道第一个月完成了计划的平均进度，就是，用1分别减去第一个月和第二个月完成的分率，即可解答。
36．【答案】解：设丙给甲帮了 x 小时，则给乙帮了(16- x ）小时．
96+4x=144-4x
x =6
答：丙在 A 仓库做了6小时．
【解析】 把整项工作看作单位"1"，根据工作效率，工作时间，工作总量之间的关系得甲的工作效率是，乙的工作效率是，丙的工作效率是，根据"丙先帮甲后帮乙，结果干了16小时后同时搬运完毕"可以设丙给甲帮了 x 小时，则给乙帮了（16- x ）小时．可以列出方程进而解题．
37．【答案】解：47.25×13÷(13-4)=68.25(千米)
68.25-47.25=21(千米)
答：实际每天比原计划多抢修21千米
【解析】先用原计划每天修的长度×天数，算出这段公路的总长度，再用这段公路的总长度÷实际修的天数，就是实际每天修的长度，最后用实际每天修的长度减去原计划每天修的长度即可。
38．【答案】解：设原来每天装配x台。
（40＋3）x＝40（x＋2） 5
43x＝40x＋80 5
43x＝40x＋75
43x 40x＝40x＋75 40x
3x＝75
3x÷3＝75÷3
x＝25
一共装配：
625＋25×（40＋3）
＝625＋25×43
＝625＋1075
＝1700（台）
答：工厂一共要装配1700台。
【解析】根据题意，剩下还没有装配的电脑台数一定，由此得出等量关系：原来每天装配电脑的台数×（40＋3）＝（原来每天装配电脑的台数＋2）×40-5，据此列出方程，求出原来每天装配电脑的台数；再用已装好的电脑台数加上没有装配的电脑台数，即可求出一共要装配的电脑台数。
39．【答案】解：
20-3÷20% =20-15=5(天)
答： 可提前5天完成任务。
【解析】实际3天完成20%，则实际完成天数为 15(天)，而计划用20天，所以可提前 (天)。
40．【答案】解：甲工程队原来的工作效率为：
采用新技术后甲工程队的工作效率为：
剩余的工作量为：
剩余的工作量需要的时间为：
所以，修完这条公路甲工程队一共用了12+2=14（天）
答： 修完这条公路甲工程队一共用了14天。
【解析】甲工程队施工12天后修好这条公路的75%，也就是说12天的工作量为，求出每天的工作量，求出甲工程队采用新技术后每天的修路速度，根据工作总量=工作时间×工作速度，求出时间即可。
41．【答案】解：甲的工作量记作1份，乙的工作量记作3份，则总的工作量是4份
根据以上分析，可得
=
=
=
=（小时）
答：需要小时完成
【解析】甲的工作量记作1份，乙的工作量记作3份。正常情况下，甲、乙的工作效率之比是1：3。3- 3×50%=1.5，实际情况下甲、乙的工作效率之比是1 ： 1.5=2 ： 3，甲完成自己的任务时，乙完成了1.5份，还剩1.5份，甲、乙合作需2小时，可以完成1.5份，且甲、乙的工作效率之比是2： 3，那么甲2小时完成(份)；甲1小时完成0.6÷2=0.3(份)；总的工作量是4份，(小时)，
42．【答案】解：，
。
天。
。
立方米。
答： 整个工程要挖 1100 立方米 的土。
【解析】首先根据题目给出的信息，计算出甲队和乙队合作时的工作效率。然后利用这个效率和工程完成的1/4比例，来计算完成这部分工作所需的天数。接下来，根据题目描述，遇到地下水后，工程进度受到影响，通过剩余工程量、剩余天数和每天少挖的土量，来计算出遇到地下水后每天的实际工作效率。最后利用这个效率和每天少挖的土量，来计算出整个工程需要挖掘的土的总量。
43．【答案】解：
答：需要33小时。
【解析】根据题意先求出乙单独做的工作效率，进而求出甲、乙两人合作时乙的工作效率，再根据甲、乙合作时的工作效率和，求出甲、乙两人合作时甲的工作效率，然后求出甲单独做的工作效率，进而求出甲独做需要的时间。
44．【答案】解：
=3.75（小时）
进水3小时，排水3小时剩余的水量：=，
进水1小时的水量：，
排水的需要的时间：=0.9（小时）
总时间：3+3+1+0.9=7.9（小时）
答：7.9小时后水池的水刚好排完。
【解析】用分子为1的分数分别表示出进水和排水的效率，用排水效率减去进水效率求出1小时的总排水量。用剩下的水量除以1小时的总排水量求出总的排水时间是3.75小时。应该是进水管开了3小时，排水管开了3小时，用剩下的水量减去3小时的总排水量求出剩下的水量。剩下的水量先开1小时的进水管，求出此时水量，然后再开排水管，用此时的水量除以排水管的效率即可求出排完水的时间。然后把所有时间相加即可。
45．【答案】解：原来一、二队工作效率分别为：
一队：3×5=15
二队：4×4=16
设第一次工作量为x。
解得x=2160
新一、二队工作效率分别为：
新一队：
新二队：
设第二次工作量为y。
解得y=4324
所以前后两次工程的工作量之比为2160：4324=540：1081。
【解析】本题考查的是工程问题的求解。解题的关键在于利用比例关系和时间关系来推算工作量之比。
46．【答案】解：甲的工率：乙的工率：丙的工率=1：2：3
三人工效和=÷5=
甲的工效=÷（1+2+3）=÷6=
乙的工效=×2=
丙的工效=×3=
（1+×3+×8）÷=（1++）÷=÷=20 (天)
答：从开始植树算起，共用 20 天完成任务。
【解析】工程问题，个数比就等于工效比，则甲、乙、丙工效比为1：2：3，而三人工效和为÷5=，进而可求出各自工效，然后假设乙、丙都不休息，则共完成总量1+×3+×8=，再用工作总量除以三人工效和，商就是共同的时间。
47．【答案】解：假设第一次从甲组调出7人给乙组，那么第三次乙组应比丙组多7＋（13－7－6）＋7＝10（人），与结果矛盾，所以第一次应从甲组调出7人给乙组，第二次应从丙组调出7人给甲组，第三次应从乙组调出7人给丙组，
则三次调整后：
甲组：5人
乙组：13人
丙组：6人
原甲组：5＋7－7＝5（人）
原乙组：13－7＋7＝13（人）
原丙组：6＋7－7＝6（人）
答：甲组原有5人，乙组原有13人，丙组原有6人。
【解析】假设第一次从甲组调出7人给乙组，那么此时丙组人数比乙组少（13－7－6）人，第二次从丙组调出7人给甲组，这样丙组还比乙组少（13－7－6）＋7＝7（人），第三次从乙组调出7人给丙组，这时丙组应比乙组少7＋（13－7－6）＋7＝10（人），与结果矛盾，所以第一次应从甲组调出7人给乙组，第二次应从丙组调出7人给甲组，第三次应从乙组调出7人给丙组，据此解答。
48．【答案】解：乙完成工作总量的 需要的时间：
（天）
甲单独干完整个工程需要的时间：
（天）
原计划工期： （天）
答：原计划工期是30天。
【解析】把这项工程的总量看作单位“1”，依据题意可得：若丙不来帮忙，乙完成工作总量的（）÷4=需要天，那么乙完成工作总量的就需要=20天.若甲单独干后面的就需要（20-16=4）天。即甲单独完成工程就需要14÷=24（天），此时间应该比计划工期提前6天，最后依据计划需要的时间=甲单干需要的时间+6天即可解答。
49．【答案】解：设甲种车载重量为10吨，乙种车载重量为7吨，丙种车载重量为6吨。甲种车速度为60千米/时，乙种车速度为80千米/时，丙种车速度为90千米/时。运送土方往返一次的路程分别为甲种车15千米，乙种车14千米，丙种车14千米。甲种车10辆，乙种车5辆，丙种车7辆。每辆车每天工作7小时。
甲种车每天的工作量为60×7÷15×10＝280（吨），
因为甲种车前10天只有一半投入，所以前10天的工作量为280×（10×12）×10＝33600（吨），
后15天的工作量为280×10×（25－10）＝33600（吨）。
所以甲种车总的工作量为33600＋33600＝67200（吨）。
乙种车每天的工作量为80×7÷14×7＝280（吨），
总的工作量为280×5×25＝35000（吨）。
丙种车每天的工作量为90×7÷14×6＝270（吨），
总的工作量为270×7×25＝47250（吨）。
甲种车完成的工作量与总工作量之比为67200：（67200＋35000＋47250）＝32：79。
答：甲种车完成的工作量与总工作量之比为32：79。
【解析】设甲种车载重量为10吨，乙种车载重量为7吨，丙种车载重量为6吨。甲种车速度为60千米/时，乙种车速度为80千米/时，丙种车速度为90千米/时。运送土方往返一次的路程分别为甲种车15千米，乙种车14千米，丙种车14千米。甲种车10辆，乙种车5辆，丙种车7辆。每辆车每天工作7小时。甲种车每天的工作量为60×7÷15×10＝280（吨），因为甲种车前10天只有一半投入，所以前10天的工作量为280×（10×12）×10＝33600（吨），后15天的工作量为280×10×（25－10）＝33600（吨）。所以甲种车总的工作量为33600＋33600＝67200（吨）。乙种车每天的工作量为80×7÷14×7＝280（吨），总的工作量为280×5×25＝35000（吨）。丙种车每天的工作量为90×7÷14×6＝270（吨），总的工作量为270×7×25＝47250（吨）。最后即可求出甲种车完成的工作量与总工作量之比。
50．【答案】解： （丙的工效是甲的 ）
（乙的工效是甲的 ）
（甲、乙、丙工效和）
（甲队工效）
（天）（甲队单独做需31天完成）
答：这项工程由甲队单独做需31天才能完成。
【解析】按甲队、乙队、丙队的顺序轮流做，恰好整数天完工。其余两个方案都不是整天完工，那么甲乙丙的方案，一定是甲或乙结尾，不可能是丙结尾，因为丙结束就是完整的周期。所以要考虑两种情况，一种是甲结束，此时甲=乙+丙×=丙+甲×，即丙=甲，乙=甲，这样乙、丙两人的工作效率相同，不符合题意。考虑第二种情况，乙结束，甲+乙=乙+丙+甲×=丙+甲+乙×，所以丙=甲=乙，则乙的工作效率是甲的。然后求出甲队的工作效率，进而求出甲单独完成需要的天数。
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