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小升初奥数思维之典型应用题精讲精练讲义（通用版）
专题05 合作问题
【第一部分：知识归纳】
一、合作问题基本概念
1、合作问题研究多个工作主体共同完成一项工程时的效率、时间和工作量的关系，是工程问题中最常见的类型。
2、核心要素：
合作效率：各参与者效率之和
工作时间：共同完成工程的时间
工作量分配：各参与者的贡献比例
二、合作问题核心公式
1. 基础公式
合作效率 = ∑个体效率
合作时间 = 总工作量 ÷ 合作效率
个体工作量 = 个体效率 × 工作时间
2. 效率转换
当工作时间不同时：
等效合作效率 = ∑(个体效率×工作时间) ÷ 总工作时间
三、五大合作问题类型精讲
类型1：基础合作问题
例题：甲单独完成需10天，乙单独完成需15天。两人合作需要多少天？
解答：甲效率=1/10，乙效率=1/15
合作效率=1/10 + 1/15=1/6
合作时间=1 ÷ 1/6=6天
类型2：先后合作问题
例题：甲单独完成需12天，乙单独完成需8天。现甲先做3天，然后两人合作，还需多少天？
解答：甲3天完成：3×1/12=1/4
剩余工作量：1-1/4=3/4
合作效率：1/12 + 1/8=5/24
需要时间：3/4 ÷ 5/24=3.6天
类型3：交替合作问题
例题：甲单独完成需6小时，乙单独完成需4小时。两人轮流各工作1小时，完成工程需要多少时间？
解答：一个周期（2小时）完成：1/6 + 1/4=5/12
2个周期（4小时）完成：10/12=5/6
剩余1/6由甲完成需要：(1/6)÷(1/6)=1小时
总时间：4+1=5小时
类型4：效率变化合作
例题：甲乙合作8天完成，甲单独做需12天。合作3天后，甲效率提高50%，乙效率降低50%，完成工程还需多少天？
解答：合作效率=1/8，甲效率=1/12 → 乙效率=1/8 -1/12=1/24
前3天完成：3×1/8=3/8
新甲效率：1/12×1.5=1/8，新乙效率：1/24×0.5=1/48
新合作效率=1/8 +1/48=7/48
剩余工作量：1-3/8=5/8
需要时间：5/8 ÷7/48=30/7≈4.29天
类型5：复杂条件合作
例题：
甲乙合作10天完成，乙丙合作15天完成，甲丙合作12天完成。若三人合作需多少天？
解答：设甲乙丙效率分别为a,b,c
a+b=1/10，b+c=1/15，a+c=1/12
三式相加：2(a+b+c)=1/4 → a+b+c=1/8
合作时间=1 ÷1/8=8天
四、合作问题解题四步法
1、确定个体效率：将单独完成时间转换为效率
2、计算合作效率：求各参与者效率之和
3、分析工作阶段：明确各阶段的工作模式
4、建立等量关系：总工作量=各阶段工作量之和
五、易错点与技巧
1、常见错误
混淆"单独效率"与"合作效率"
忽略工作时间不同的影响
错误计算效率变化后的新效率
2、解题技巧
列表法：整理各参与者的效率和时间
图示法：用条形图表示工作进度
设"1"法：将总工作量设为1简化计算
方程法：复杂问题设未知数求解
【第二部分：能力提升】
1．A、B、C三项工程的工作量之比为1：3：4，由甲、乙、丙三队分别承担、三个工程队同时开工。若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量。则甲、乙、丙队的工作效率的比是多少
2．一件工作甲、乙合作 4 天完成， 乙、丙合作 5 天完成， 现在先由甲、丙合作 2 天，余下的乙还需 7 天完成， 乙单独做这件工作需要多少天？
3．(工程问题)一项工程，由甲先做a小时后甲、乙合作，完成时甲做了这项工程的。如果由乙先做a小时后甲，乙两人合作，完成时甲能做这项工作的。这项工程由甲独做需20小时完成。问：由甲，乙两人同时开工合作需几小时完成？
4．甲、乙两人加工一批零件，由甲单独加工要用15小时，乙每小时能加工30个零件，现在由甲、乙两人同时加工，完成任务时，乙加工的个数是甲的 。这批零件共有多少个？
5．甲、乙合作一件工作，由于配合的好，甲的工作效率比单独做时提高，乙的工作效率比单独做时提高，甲、乙两人合作6小时，完成全部工作的，第二天乙又单独做了6小时，还剩下这件工作的未完成，如果这件工作始终由甲一人单独完成，需要多少小时？
6．(工程合作)甲、乙合作完成一项工作， 由于配合得好， 甲的工作效率比单独做时提高 ， 乙的工作效率比单独做时提高 ， 甲、乙合作 6 小时完成了这项工作。如果甲单独做需要 11 小时， 那么乙单独做需要几小时？
7．羊毛衫厂要生产756件羊毛衫，甲车间有19人，乙车间有17人，两个车间同时生产，平均每人每天生产3件，多少天可以完成？
8．某工程，若由甲乙两建筑队合作6个月可完成，若由甲乙两队单独做，甲队比乙队少做五个月时间完成。
（1）甲、乙两队单独完成这项工程各需要几个月的时间？
（2）已知甲队每个月施工费用为15万元，比乙队多多6万，按要求该工程的总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工。为了确保经费和工期，采取甲队a个月，乙队b个月(a、b均为整数)分工合作完成此项工程，问有几种施工方案？
9．甲、乙、丙三人完成一件工作(他们的工作效率各不相同)，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，正好整数天完成，若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用天；若按丙、甲、乙的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用天，已知甲单独完成这件工作需10.75天，问：甲、乙、丙一起做这件工作，完成工作要用多少天 (工程问题)
10．一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮流做。原计划按甲队、乙队、丙队的顺序轮流做，恰好整数天完成。如果按乙队、丙队、甲队的顺序轮流做，比原计划多用天完成；如果按丙队、甲队、乙队的顺序轮流做，比原计划多天完成。已知这项工程由甲、乙、丙三个工程队一起做，需天完成，且三个工程队的功效各不相同。这项工程由甲队单独做需几天才能完成
11．一件工作甲独做 8 天完成， 乙独做 8 天只能完成这件工作的 . 甲乙合作， 多少天能完成这件工作的
12．某项工程，由甲乙两队承包，天可以完成，需支付2208元；由乙丙两队承包，天可以完成，需支付2400元；由甲丙两队承包，天可以完成，需支付2400元。如果要求总工程款尽最少，选哪一个队？
13．（工程问题）小冰和小华主办学校以毕业为主题的黑板报，两人合作6天可以完成，小冰做了2天后小华接着做了1天，这时共完成了黑板报的，如果小华一个人办完这期黑板报，需要多少天
14．一条公路，甲队单独修24天完成，乙队单独修需30天完成。甲、乙两队合作若干天后，乙队停工休息，甲队继续修6天完成。乙队修了多少天
15． 甲、乙两人合作完成一项工作。由于配合默契，甲的效率比单独做时提高了，乙的效率比单独做时提高了，甲、乙合作6小时就完成了此项工作。已知甲单独做需要12小时，则乙单独做需要多少小时？
16．甲、乙、丙三人进行电脑打字比赛。当甲打了 1000 字时，乙打了 900 字，丙打了 810 字，如果乙、丙打字的速度不变，那么甲比乙多打 1000 字时，乙比丙多打了多少字？
17．两个工程队同时相对修一条长222.6米的公路，甲队每天修12.6米，乙队每天修15.4米，甲队提前1天开始工作，第二天两队开始合作，合作几天可以修完这条路？
18．加工一批零件，甲、乙二人合作需12天完成；现由甲先工作3天，然后由乙工作2天还剩这批零件的没完成。已知甲每天比乙少加工4个，问这批零件共有多少个？
19．加工一批零件，甲独做20天完成，乙独做每天完成这批零件的现在两人合作完成这批零件的加工任务，甲中途休息了5天，乙也休息了若干天，这样用了19天才完成任务，求乙休息的天数。
20．一项工程甲单队独做16小时完成，甲乙两队合作6小时后，甲队临时被抽调高开，由乙队又独做84小时完成，这项工作由乙队单独去做几小时完成？
21．一项工程，甲队单独做45天完成，乙队单独做60天完成：现在甲、乙两队合作，中途乙队因故请假了几天，完成全部工程共用了30天，那么乙队请假多少天？
22．甲、乙合作完成一项工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高，乙的工作效率比单独做时提高1/5，甲、乙合作6小时完成了这项工作，如果甲单独做需要13小时，那么乙单独做需要多久
23．一项工程，甲、乙合作要12天完成，若甲先做3天后，再由乙做8天，共完成这项工程的 若这项工程由乙单独做，需要几天完成？
24．一件工作有A、B两道工序，上午在A工序工作的人数是在B工序工作人数的；，为了提高工作效率，下午从B工序上调1人到A工序上，这时A工序人数是B工序人数的A、B两个工序共有多少人在工作
25．甲、乙、丙三人合作修一条路，她们约定两人两人地轮流做，首先甲、乙合修5天完成了，然后乙、丙二人合修2天完成了余下的，最后甲、丙二人台修5天完成全部工程，整条路的维修费用是32000元，按工作量算，甲应得工钱多少元？
26．单独完成一件工作，甲按规定时间可提前2天完成。乙则要超过规定时间3天才能完成。如果甲、乙二人合做2天后，剩下的继续由乙单独做，那么刚好在规定时间完成，问：甲、乙二人合做留多少天完成
27．甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务，甲车单独清扫需要10小时，乙车单独清扫需要15小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米，问东、西两城相距多少千米
28．甲、乙、丙三人合作完成一项工程.甲、乙合修6天完成 乙、丙合修2 天完成余下工程的 剩下的再由甲、乙、丙三人合修5天完成，现在共领工资36000元，依工作量分配，甲、乙、丙应各得多少元？
29．一项工程，甲、乙两组的工作量之比是3：4，甲、乙两组的人数之比是5：6(甲、乙两组每个工人的效率都相同)。工作2天后，乙组恰好完成任务，甲组超额完成2个人干1天的工作量。甲、乙两组共有多少人？
30．两个玩具厂合作完成一批玩具．第一天，甲厂完成了全部任务的25%，乙厂休息；第二天乙厂完成了剩下任务的，甲厂休息．第三天两厂合力完成了剩下的任务，且甲厂第三天完成玩具数量是乙厂第三天完成玩具数量的3倍．结果甲厂总共比乙厂多做300件，那么这批玩具共有多少件？
31．有一项工程，由三个工程队每天轮做，原计划按甲、乙、丙的次序轮做，恰好用整数天完成．如果按乙、丙、甲的次序轮做，则比原计划多用天完成．如果按丙、甲、乙的次序轮做，比原计划多用天完成．已知甲单独做用13天完成，且三个工程队的工效各不相同．请问：这项工程由甲、乙、丙三队合作要多少天完成？
32．某地要建筑一条公路，甲工程队单独做需要10天完成，乙工程队单独做需要15天完成，如果两队合作他们的工作效率要降低，甲队只能完成原来的，乙队只能完成原来的，现在计划8天完成这项工程，且要求两队合作天数尽可能少，那么两队要合作多少天？
33． (工程问题)现在要修筑一条公路 ，甲、乙两个工程队同时施工，20天可以完成。如果两队合作15天后，剩下的全都由乙队来完成，则还需要15天才能完成，那么这条路全部由甲队来修，需要多少天才能完成？
34．甲、乙两个义工团队义务清理某景区垃圾，甲队每天工作8小时，7天半可以完成；乙队每天工作8小时，5天可以完成。若甲、乙两队合作，每天工作6小时，几天可以完成？
35．一项工程，如果第一天甲做，第二天乙做，轮流交替，恰好整数天完成，如果第一天乙做，第二天甲做，这里要多花2/5天完成，如果两人合作，只要天就可以，现在乙单独几天才能完成？
36．一项工程甲、乙两人合作一天半可完成工程的，然后甲休息5天，继续与乙合作，已知甲、乙的工作效率之比为2：3，则修完这条路需要多少天？
37．（找等量关系）2022年9月，某市受台风的影响后，部分街道的路面积水严重。为了改善这一状况，市政公司决定将一总长为1200米的排水工程承包给甲、乙两工程队来施工。甲、乙两队合作需12天完成此项工程；若甲队先做了8天后，剩下的由乙队单独做还需要18天才能完成。问甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天
38．一项工程，由甲、乙两人合作完成全部工程的后，乙请假离开，剩下的由甲单独完成，甲一共工作了10天，已知甲甲单独完成这项工程需要15天，求乙单独完成这项工程的时间。
39．加工一批零件，甲做2天和乙做3天可完成总数的，甲做1天和乙做2天可完成总数的，甲、乙合做需几天完成？
40．甲、乙两车间生产同一种零件，若按4：1向甲、乙车间分配生产任务。这两个车间能同时完成任务。实际生产时，乙车间每天生产15个零件。 由于甲车间抽调一部分工人去完成另外的任务，实际每天生产50个零件，若千天后，乙车间完成了任务，甲车间还剩一部分未完成，这时，甲、乙两车间合作，2天后全部完成。问：这批零件有多少个？
41．一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的 倍，上午去甲地的人数是去乙工地人数的 3 倍， 下午这批工人中有 的人去了甲工地，其他工人到乙工地。到傍晚时， 甲工地的工作已做完， 乙工地的工作还需 4 名工人再做 1 天， 那么这批工人有多少人？
42． (工程问题)甲、乙、两三人去完成植树任务，已知甲植一棵树的时间，乙可以植两棵树，丙可以植三棵树。他们先一起工作了5天，完成全部任务的。然后丙休息了8天，乙休息了3天，甲没休息，最后一起完成任务。从开始植树算起，共用了多少天才完成任务？
43．甲乙两个电视机厂合作生产一批彩色电视机，甲厂先生产4天，完成了生产计划的。接着甲乙两厂合作生产8天，完成了全部任务。已知乙厂每天生产50台，求这批彩色电视机的总台数。
44．加工一批零件，甲先加工了这批零件的，接着乙加工了余下的，已知乙加工的个数比甲少200个，这批零件共有多少个？
45．在今年的“6·18”促销活动中，某网店需要12000个包装箱。由甲工厂单独完成，需要10天，由乙工厂单独完成，需要15天。
（1）如果由两个工厂同时合作完成，需要多少天？
（2）由于时间比较充足，两个工厂都想独自承担全部任务，分别给出了如表报价：
甲工厂 单价1.5元/个，如果达到或超过1万个，全部打八折。
乙工厂 5000 个以内(含5000个)单价1.5元/个，超过5000个的部分，单价1元/个。
若你是该网店负责人，从节省费用的角度，你认为由哪个工厂单独承包合适？(先计算后判断)
46．一项工程，甲15天做了后，乙加入进来，甲、乙一起又做了，这时丙也加入进来，甲、乙、丙一起做完。已知乙、丙的工程效率之比为3：5，整个过程中，乙、丙工作的天数之比为2：1，请问这种情形下做完整个工程多少天
47．单独完成一项工程，甲队需要24天，乙队需要30天，现在甲乙合作4天，丙队参加进来又过了7天完成工程。则如果一开始就三队一起工作，完成该项工程一共需要多少天？
48．（工程问题）一项工程，甲先做若干天后由乙继续做，丙在工程完成一半时前来帮忙，待工程完成时离去，结果恰好按计划完成任务，其中乙做了工程总量的一半；如果丙不来帮忙，仅由乙接替甲一直做下去，就会比计划推迟天完成；如果全由甲单独做，就会比计划提前6天完成。已知乙的工作效率是丙的3倍。请问：原计划工期是多少天
49．一件工程，乙队先做4天，继而甲、丙两队合作6天，剩下的工程甲队独做9天完成，已知乙队完成的是甲队完成的，丙队完成的是乙队完成的2倍，甲、乙、丙三队独做各需要多少天？
50．一个自行车的新轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000千米后轮胎将报废，若将它安装在后轮，则自行车行驶3000千米后轮胎将报废。自行车在使用过程中，行驶一定时间后可以将它的前、后轮互换。如果交换自行车前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆自行车将行驶多少千米？
参考答案及试题解析
1．【答案】解：设甲完成的工作量为x，则乙队3x，丙队4x。
1-x=3x-2x
甲完成：
乙完成：
丙完成：
甲：乙：丙
答：甲、乙、丙队的工作效率的比是6：15：2。
【解析】首先设定未知数，即A、B、C三项工程的工作量分别为多少，以及甲、乙、丙已经完成的工作量为多少。根据题目中的条件列出一组等式，解得甲、乙、丙已经完成的工作量。由于工作时间一定，工作量之比与工作效率之比相等，可以得出甲、乙、丙三个队的工作效率的比。
2．【答案】解：设甲单独完成工作需要天，乙需要天，丙需要天。
根据题目中的信息，我们可以得到以下三个方程：
（甲和乙合作需要4天）
（乙和丙合作需要5天）
（甲、丙先合作2天，然后乙再单独工作7天完成）
解得：
答：乙单独完成这件工作需要30天。
【解析】本题是一个典型的工程问题，涉及三个人物和他们之间的合作与单独工作。为了解决这个问题，首先设定三个未知数，分别代表三个人单独完成这项工作所需的时间。然后，根据题目给出的合作工作时间，建立三个方程。通过解这三个方程，可以找到乙单独完成这项工作所需的时间。
3．【答案】解：甲完成 时， 甲做了 (小时)，
第一种情况： 乙做了 小时，完成工作的 ；
甲做了 时， 则甲做了 (小时)；
第二种情况： 乙做了 小时， 完成工作的 ，
，
解得 ；
则乙的工效： ；
甲、乙两人同时开工合作需要时间： (小时)。
答： 甲，乙两人同时开工合作需12小时完成。
【解析】甲完成 时， 甲做了 (小时)，第一种情况： 乙做了 小时，完成工作的 ；甲做了 时， 则甲做了 (小时)；第二种情况： 乙做了 小时， 完成工作的 ， 可得由工作效率一定，工作总量与工作时间成正比，则有 ， 据此求出a的值，再用乙完成的工作量除以乙对应的工作时间求出乙的工作效率，最后用工作总量除以两人的工作效率之和即可求出两人同时开工完成需要的工作时间。
4．【答案】解：根据题意，可得
甲、乙的工作效率之比为：9：5
甲每小时加工的零件个数为：(个)
这批零件总数为：15×54=810(个)
答： 这批零件共有810个
【解析】①甲、乙合作完成任务时，甲、乙工作时间相同，时间一定，工作效率与工作量成正比，据此可得出甲、乙的工作效率之比；②工作总量=工作效率×工作时间，据此可算出零件总数。
5．【答案】解：乙单独做6小时完成：
1--
=-
=
乙单独做的工作效率为：÷6=
甲、乙两人合作时乙的工作效率为：
×（1+）
=×
=
甲、乙合作时的工作效率和为：÷6=
甲、乙两人合作时甲的工作效率为：-=
甲单独做的工作效率为：
÷（1+）
=÷
=
1÷=33（小时）
答：如果这件工作始终由甲一人单独完成，需要33小时。
【解析】已知甲乙两人合作6小时，完成全部工作的，第二天乙又单独做了6小时，还留下这件工作的尚未完成，乙单独做的工作效率为：（1--）÷6=；已知甲的工作效率比单独做时提高，乙的工作效率比单独做时提高了，甲的工作效率是[×（1+）÷6-]÷（1+），进而根据时间=工作量÷工作效率即可求出所需时间。
6．【答案】解：甲乙合作的工效是： ，
甲在合作时的工效是： ；
乙在合作时的工效是： ，
乙在单独工作时的工效是：
乙单独做需要：（小时）；
答：乙单独做需要18小时．
【解析】根据题目给出的信息，计算出甲单独工作时的工作效率。根据甲在合作时的工作效率提高了的信息，可以计算出甲在合作时的工作效率。利用甲乙合作完成工作的时间，可以计算出甲乙合作时的工作效率。通过从甲乙合作的工作效率中减去甲在合作时的工作效率，可以得到乙在合作时的工作效率。根据题目给出的乙的工作效率在合作时提高了1/5的信息，可以计算出乙单独工作时的工作效率。利用工作效率与工作时间的反比关系，可以计算出乙单独完成工作所需的时间。
7．【答案】解：756÷[(19+17)×3]
=756÷[36×3]
=756÷108
=7(天)
答：7天可以完成。
【解析】本题属于应用题中的工程问题。从已知条件可以看出， 甲车间有19人，乙车间有17人，两个车间同时生产，平均每人每天生产3件，可以计算得出每天的产量(19+17)×3=108（件）。这时，题目就可以变化为生产756件羊毛衫，每天生产108件，几天可以完成？列式756÷108=7（天）。
8．【答案】（1）解：设乙队需要x个月完成，则甲队需要(x-5)个月完成。
根据题意，可得
解得x=15。
将x=15代入原方程，检验得知x=15是原方程的解。
答：甲队需要10个月完成，乙队需要15个月完成。
（2）解：设甲队作a个月，则乙队做(12-a)个月。
根据题意，甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，总费用不超过141万元，所以有方程和不等式：
解得：a≤4，b≥9。
因为a、b都是整数，所以有两种施工方案：a=4，b=9或a=2，b=12。
答：施工方案为a=4，b=9或a=2，b=12
【解析】（1）设定未知数来表示甲队和乙队单独完成工程所需的时间。根据题目给出的合作完成工程的时间，建立一个方程来表示甲队和乙队的工作效率之和。通过解这个方程，即可求解
（2）需要考虑甲队和乙队在不同时间下的施工费用，以及整个工程的费用限制。设定未知数来表示甲队和乙队的工作时间。据题目给出的施工费用信息，建立一个不等式来表示整个工程的费用不超过141万元。需要考虑到甲队和乙队合作完成工程的时间限制，还需要建立一个方程来表示甲队和乙队的工作时间之和等于工程合作完成的时间。
通过解这个方程和不等式，可以得到甲队和乙队的工作时间的所有可能解。需要检查这些解是否满足题目给出的所有条件，包括施工费用的限制和工程完成的时间限制。即可确定所有满足条件的施工方案。
9．【答案】解：设甲乙丙的工作效率分别为：a、b、c，
则a+b=b+c+a=a+c+b，
整理，得b=a，c=a；
10.75÷（1++）
=
=
=（天）．
答：甲、乙、丙一起做这件工作，完成工作要用天．
【解析】 由题意可知，无论按什么顺序做，一个完整循环的工作量是一样的，所以只需要看最后一个循环即可：甲、乙、丙次序轮做，恰好用整数天完成，并且结束工作的是乙．若按乙、丙、甲的顺序轮流去做，则比计划多用天，若按丙、甲、乙的顺序轮流去做，则比计划多用天，则甲+乙=乙+丙+甲×=丙+甲+乙×，由此等式求出乙、丙与甲的效率比后，即能求出乙丙的效率，进而求出三人合作需要多少时间即可．
10．【答案】解：设甲、乙、丙的工作效率分别为x、y和z；
①按甲、乙、丙次序轮做，以乙结束：
x+y=y+z+x=z+x+y，
则z=x，y=x；
设甲的工作效率x=1，则y=，z=；
×（1++）
=×
=31（天）
②按甲、乙、丙次序轮做，甲结束：
x=y+z=z+x
则z=x，y=x，z=y；
说明丙和乙的工作效率相同，与题意不符，排除这种可能性。
答：甲单独工作需要31天完工。
【解析】设定三个工程队的工作效率分别为x天、y天和z天，根据题目中给出的不同施工顺序对工程完成时间的影响，可以列出一些代数式，对代数式进行化简可以得出三个工程队的工作效率之间的关系，据此计算即可。
11．【答案】解：甲的工作效率为。
乙的工作效率为。
。
答：甲乙合作完成工作所需的时间为天
【解析】先计算出乙完成全部工作所需的时间，然后再计算乙的每日工作效率。最后，我们将甲和乙的工作效率相加，得到他们合作的每日工作效率。然后计算甲和乙合作完成工作4/5所需的时间。
12．【答案】解：甲、乙一天完成工程的，乙、丙一天完成工程的，甲、丙一天完成工程的
所以，甲的工效为，乙的工效为，丙的工效为
甲、乙一天需工程款（元），乙、丙一天需工程款（元），甲、丙一天需工程款
（元）．
所以，甲一天的工程款为（920+840﹣640）÷2＝560（元），乙一天的工程款为920﹣560＝360（元），丙一天的工程款为840﹣560＝280（元）．
单独完成整个工程，甲队需工程款560×4＝2240（元），乙队需工程款360×6＝2160（元），丙队需工程款280×10＝2800（元），所以应该选择乙队．
【解析】把甲乙丙的工作效率分别表示出来，然后分别求出甲乙丙的工程款每天的支付是多少．进一步求出哪个工程队总工程款尽量少．
13．【答案】解：(-×1)÷(2-1)
=÷1
=
1÷(-)
=1÷
=12(天)
答：如果小华一个人办完这期黑板报，需要12天。
【解析】把工作总量看作单位“1”，由题意可知，两人的工作效率之和为，“ 小冰做了2天后小华接着做了1天”可以看作是两人合作1天，加上小冰单独做2-1=1(天)，两人合作一天完成了工作总量的×1，两人一共完成了，所以小冰单独做1天完成了-=，小冰的工作效率就是÷1=；那么小华的工作效率就是-=；最后用工作总量除以小华的工作效率即可求出小华单独完成需要的天数。
14．【答案】解：（1－×6）÷（＋）
＝÷
＝10（天）
答：乙队修了10天。
【解析】把这条公路的工程量看成单位“1”，那么甲的工作效率就是，乙的工作效率就是，合作的工作效率就是二者的和，用总工作量减去甲独干的工作量就是合干的工作量，用合干的工作量除以合作的工作效率就是合干的时间，也就是乙队干的时间。
15．【答案】解：合作时甲的效率：
合作时乙的效率：
乙单独做时效率：
乙单独做用时： （小时）
答：乙单独做需要小时。
【解析】将甲单独做的效率看作单位“1”，则甲单独做的效率两人合作时甲的效率；两人合作的效率和一两人合作时甲的效率=两人合作时乙的效率；两人合作时乙的效率=乙单独做的效率；工作总量÷乙单独做的效率=乙单独做需要的时间。
16．【答案】解：1000÷（1000-900）
=1000÷100
=10
10×（900－810）
=10×90
=900（字）
答：乙比丙多打了900字。
【解析】根据题意可知：把甲打1000字，乙打900字，丙打810字所用的相同时间看作一个单位时间，则一个单位时间内甲比乙多打了1000-900=100字，那么甲比乙多打的1000字就需要：1000÷（1000-900）=10个这样的单位时间；而一个单位时间内乙比丙多打了900-810=90字，则10个这样的单位时间乙就比丙多打了：10×（900-810）=900字，据此解答即可。
17．【答案】解：222.6-12.6=210（米）
210÷（12.6+15.4）
=210÷28
=7.5（天）
答：合作7.5天可以修完这条路。
【解析】两队合修的长度=公路的长度-甲队1天修的长度，那么合作的天数=两队合修的长度÷甲乙两队每天一共修的长度，据此代入数值作答即可。
18．【答案】解：甲每天完成这批零件的：
乙每天完成这批零件的：
这批零件共有：（个）
答： 这批零件共有240个。
【解析】把这批零件的数量看作单位“1”，甲、乙二人合作需12天完成；甲、乙二人每天完成这批零件，分别求出甲、乙单独做每天完成这批零件的几分之几；再根据工作量、工作时间、工作效率之间的关系解答。
19．【答案】解：1÷20=
（天）
（天）
答：乙休息了天。
答：乙休息天数为9天。
【解析】根据甲的工作效率和天数算出甲的工作量。用1减去甲的工作量算出乙的工作量，然后用乙的工作量÷乙的工作效率=乙实际工作的天数，然后用19减去乙工作的天数得到乙休息的时间。
20．【答案】解：根据题意，可得
甲的工作效率：1÷16=
甲6小时完成的工作量：
乙完成的工作量：
乙的工作效率：
乙单独完成这项工程需要的时间：
答：这项工作由乙队单独去做144小时完成。
【解析】根据题意，把这项工程的总量看作单位“1”，那么甲的工作效率为，6小时完成的工作量为，还剩，这是由乙用6＋84=90小时完成的，那么乙的工作效率为，再根据工作总量÷工作效率=工作时间，求出乙独做这项工程需要的时间。
21．【答案】解：(1-×30)÷
=(1-)×60
=20(天)
30-20=10(天)
答：乙队请假10天。
【解析】把工作总量看作单位“1”，由题意可知，甲乙的工作效率分别为和；甲工作了30天，根据工作效率×工作时间=工作总量，计算出甲30天完成的工作量，则剩下的工作量由乙完成，再用乙完成的工作量除以乙的工作效率即可求出乙工作的时间，最后用总时间减去乙工作的时间得到乙请假的时间。
22．【答案】解：合作时甲的效率：
合作时乙的效率：
乙独做的效率：
乙独做完成： （小时）
答： 乙单独做需要小时
【解析】合作时甲的效率：
合作时乙的效率：
乙独做的效率：
即可求出 乙单独做需要的时间。
23．【答案】解：根据题意，可得
=
=
=
答：这件工作由乙独做完需要30天。
【解析】根据甲先做3天后，再由乙工作8天，共完成这项工作的，则可看成甲、乙合作3天后，乙独做5天，共完成这项工作的。可先求出甲、乙合作3天能完成这项工作的几分之几，再求出乙独做5天完成了这项工作的几分之几，即可求出乙每天完成这项工作的几分之几，最后利用工作时间=工作量÷工作效率即可求出乙独做完这项工作所需的时间。
24．【答案】解：设A工序x人，B工序y人.
解得
所以，x+y=6+36=42（人）
答： A、B两个工序共有42人在工作。
【解析】设A工序x人，B工序y人，根据题干信息，列方程即可求解
25．【答案】解：甲乙两人工作效率之和为：，
乙丙两人工作效率之和为：，
丙甲两人工作效率之和为：，
甲乙丙三人工作效率之和为：，
甲的工作效率为：，
甲完成的工作量为：，
（元），
答：甲应得工钱15200元。
【解析】首先根据题意，分别求出甲乙两人的工作效率之和，乙丙两人的工作效率之和，以及丙甲两人的工作效率之和，再用它们的和除以2，求出三人的工作效率之和是多少；然后根据工作量＝工作效率×工作时间，分别求出甲乙、乙丙、丙甲合修的工作量，最后求出甲完成了这条路的几分之几，按工作量算，再用整条路的维修费用乘以甲完成的工作量，求出甲应得工钱多少元即可。
26．【答案】解： 2+3=5（天）
5×2=10（天）
5×3=15（天）
1÷（）
=1÷
=6（天）
答：甲、乙二人合做需要6天完成。
【解析】分析已知可知：甲工作2天的量，乙需要3天，所以甲与乙的工作时间之比是2：3，因此甲的工作时间占2份，乙的工作时间占3份；甲比规定时间少2天，乙比规定时间多3天，所以甲乙的时间差是5天，这5天就是乙比甲多做的1份的工作量，因此，甲的工作时间=5×2=10（天），乙的工作时间=5×3=15（天）；把工作总量看作单位“1”，则甲的工作效率=工作总量÷工作时间=1÷10=，同理，乙的工作效率=1÷15=；甲、乙合作需要的工作时间=工作总量÷（甲的工作效率+乙的工作效率），据此可以解答。
27．【答案】解：1÷（）
＝1÷
＝1×6
＝6（小时）
＝12÷（）
=12÷（）
＝12÷
＝12×5
＝60（千米）
答：东西大街全长60千米．
【解析】把总路程看作单位“1”，由题干可知，甲车的速度为，乙车速度为，求得相遇时间，进一步求出甲车比乙车多清扫的占总路程的几分之几，并由此列式解决问题．
28．【答案】解：
（元）
（元）
（元）
答：甲应得6600元，乙应得18200元，丙应得11200元。
【解析】把这项工程看作单位“1”，先根据工作效率=工作总量÷工作时间，求出甲乙的合干工作效率，乙丙的合干工作效率，以及三人的合干工作效率，再求出甲乙丙三人的工作效率和，然后求出甲乙丙三人的工作效率，再根据工作总量=工作效率×工作时间，求出甲乙丙三人的工作总量，最后根据按比例分配的方法求出甲、乙、丙应各得多少元即可。
29．【答案】解：设乙组工作量为单位“1”，则甲组工作量为
=
=
乙组有：(人)
甲组有：12÷6×5=10（人）
12+10=22（人）
答：甲、乙两组共22人。
【解析】设乙组工作量为单位“1”，则甲组工作量为 每人每天的工作效率相同，所以当乙组完成时，甲组应完成 ，可求出每人每天的工效： 乙组有 (人) ；甲组有 )(人)； (人)；故甲、乙两组共22人。
30．【答案】解：设这批玩具共有x件。
25%x+[x-25%x-（x-25%x）]-（x-25%x）-[x-25%x-（x-25%x）]=300
=300
x=300
x=300÷
x=1200
答：这批玩具共有1200件。
【解析】把这批玩具的总数看作单位“1”，这批玩具的总数×甲完成的百分比=甲第一天做的；
这批玩具的总数-这批玩具的总数×甲完成的百分比=甲做了后还剩下的玩具总数，把甲做了后还剩下的玩具总数看作单位“1”，（这批玩具的总数-这批玩具的总数×甲完成的百分比）×乙完成的分率=乙第二天做的；
因为甲厂第三天完成玩具的数量是乙厂第三天完成数量的3倍，所以第三天做的玩具总量就是（3+1）=4份，则甲占第三天玩具总量的，乙占第三天玩具总量的；这批玩具的总数－这批玩具的总数×甲完成的百分比-（这批玩具的总数-这批玩具的总数×甲完成的百分比）×乙完成的分率=第三天玩具总量，因此[这批玩具的总数－这批玩具的总数×甲完成的百分比-（这批玩具的总数-这批玩具的总数×甲完成的百分比）×乙完成的分率]×=甲第三天做的，[这批玩具的总数－这批玩具的总数×甲完成的百分比-（这批玩具的总数-这批玩具的总数×甲完成的百分比）×乙完成的分率]×=乙第三天做的；
这批玩具的总数×甲完成的百分比+[这批玩具的总数－这批玩具的总数×甲完成的百分比-（这批玩具的总数-这批玩具的总数×甲完成的百分比）×乙完成的分率]×=甲总共做的，这批玩具的总数×甲完成的百分比+[这批玩具的总数－这批玩具的总数×甲完成的百分比-（这批玩具的总数-这批玩具的总数×甲完成的百分比）×乙完成的分率]×-（这批玩具的总数-这批玩具的总数×甲完成的百分比）×乙完成的分率-[这批玩具的总数－这批玩具的总数×甲完成的百分比-（这批玩具的总数-这批玩具的总数×甲完成的百分比）×乙完成的分率]×=甲总共比乙总共多做的，据此关系式设这批玩具共有x件，列方程即可解答。
31．【答案】解：设工程量为1，则
甲的效率为：
乙的效率为：
丙的效率为：
甲、乙、丙三队合作需
答：这项工程由甲、乙、丙三队合作要天完成。
【解析】按甲乙丙次序轮做，恰好整数天完工，其余两个方案都不是整天完工，那么甲乙丙的方案，一定是甲或乙结尾，不可能是丙结尾，丙结束就无论哪个顺序都是整数周期了。所以根据甲结尾或者乙结尾，推导得出甲乙丙工作效率之间的关系。再根据工作时间=工作量÷工作效率进行解答。
32．【答案】解：设两队合作x天，则甲单独做（8-x）天完成此工程
x=5
答：两队合作5天。
【解析】甲工程队单独做需要10天完成，乙工程队单独做需要15天完成，甲做的快。要求合作天数尽可能少，应安排甲单独。甲单独做的工作效率×甲单独做的天数+（合作后甲的工作效率+合作后乙的工作效率）×合作天数=单位“1”，据此列出方程求解。
33．【答案】解：
(天)
答：这条公路全部由甲队来修，需要30天才能完成。
【解析】确定甲乙两队的合作效率，剩余的工作量，通过已知的乙队单独完成剩余工作所需的时间确定乙队的效率，通过甲乙两队的合作效率减去乙队的效率来确定甲队的效率。即可通过甲队的效率来确定甲队单独完成工作所需的时间。
34．【答案】解：甲队的每小时工效为 ，
乙队的每小时工效为 ，
甲乙合作每天完成的工作量，
(天)。
答：4天可以完成。
【解析】先求出甲乙两队每小时的工效，再计算两队每天的工作量，即可求解。
35．【答案】解：1÷=
×=
1÷=7天
答：现在乙单独做7天才能完成。
【解析】把这项工程看作单位“1”，1÷合作时间=甲乙的工作效率之和；分析已知可知第一天甲做，第二天乙做，轮流交替做是甲结尾，而如果第一天乙做，第二天甲做，轮流交替做是乙做一天后，甲还要做天，因此甲做一天的工作总量=乙做一天的工作总量+甲的，即甲的天做的=乙一天做的，从而确定甲和乙的工作效率之比是5：3，利用按比分配的方法即可求出乙的工作效率：甲乙的工作效率之和×乙占甲乙工作效率之和的分率=乙的工作效率，然后根据工作总量÷工作效率=工作时间即可解答。
36．【答案】解：根据题意，可得
=
=
=
甲的工作效率：
=
=
乙的工作效率：
=
=
乙单独工作5天的工程量：
甲乙合作完成剩余工程所需天数：
=
=19.5（天）
修完这条路需要的总天数为：
1.5+5+19.5=26（天）
答：修完这条路需要26天
【解析】根据“甲乙两人合作一天半可以完成工程的”，用除以1.5，求出甲乙两人合作的工作效率，然后用1除以工作效率，求出甲乙合作完成整个工程需要的天数；再根据“甲、乙的工作效率之比为2：3”，用甲乙的工作效率之和乘以和，分别求出甲和乙单独完成的工作效率；再用乙的工作效率乘以5，求出乙单独工作5天的工程量；用1减去甲乙合作1.5天的工作量减去乙单独完成5天的工作量，然后再除以甲乙合作的工作效率之和，求出完成剩余工程的天数，最后将各个时间加起来即可求解
37．【答案】解：设甲单独每天完成x米 ，乙单独每天完成y 米 ，
依题意可得
解得
甲： （天），乙： （天）。
答：甲单独完成工程需20天 ，乙单独完成工程需30天。
【解析】“总长为1200米的排水工程”这个工程量不变，分别设甲和乙的工作效率为x和y，根据“ 甲、乙两队合作需12天完成此项工程 ”和“ 若甲队先做了8天后，剩下的由乙队单独做还需要18天才能完成 ”这两个等量关系，根据工程量=工作效率×工作时间，可以分别列出方程组，进而求出甲、乙各自完成所需要的时间。
38．【答案】解：10-（1-）÷
=10-÷
=10-6
=4（天）
1÷[（-×4）÷4]
=1÷[（-）÷4]
=1÷[÷4]
=1÷
=12（天）
答：乙单独完成这项工程的时间是12天。
【解析】把这项工程看作单位“1”，甲的工效为，剩下甲单独完成的部分为（1-），甲单独工作（1-）÷，用10天减去甲单独工作的天数，即为甲乙合作的天数；用减去甲4天完成的工程量，求出乙4天完成的工程量，除以4即可得到乙的工效，用总工程量除以乙的工效即可得到乙单独完成这项工程的时间。
39．【答案】解：1÷（）
=1÷
=8（天）
答：甲、乙合做需要8天完成。
【解析】把这批零件总量即工作总量看作单位“1”。分析两次工作总量及两人的工作时间发现：甲和乙正好都是少做一天，所以用第一次工作总量－第二次工作总量=甲乙两人合做一天的工作总量，即两人的工作效率之和，工作总量÷（第一次工作总量－第二次工作总量）=合做的天数，据此可以解答。
40．【答案】解：甲车间如果不抽调人出去的话每天能生产：
15×4=60（个），
原计划完成任务所需的时间是：
（50+15）×2÷（60-50），
=130÷10，
=13（天）；
则这批零件共有：
（60+15）×13
=75×13，
=975（个）．
答：这批零件共有975个．
【解析】根据甲乙车间按4：1的比例分配生产任务和乙车间每天生产15个零件的条件，计算出甲车间原计划每天的生产量。利用甲车间实际每天生产50个零件，乙车间每天生产15个零件，以及两车间合作2天后全部完成的条件，计算出原计划完成任务所需的时间。利用甲乙车间原计划每天的生产量和原计划完成任务所需的时间，计算出这批零件的总数。
41．【答案】解：设这批工人有12x人。
计算甲乙两地的工人数：上午有9x人在甲工地，有3x人在乙工地；下午有7x人在甲工地，有5x人在乙工地。
计算甲乙两地的工作量：甲工地的工作量相当于(9x + 7x) ÷2 = 8x人做了一整天；乙工地的工作量相当于(3x + 5x) ÷ 2 = 4x人做了一整天。
设甲工地的工作量为3份，那么乙工地的工作量为2份。
8x人做一整天完成3份，那么4x人做一整天完成份，
所以乙工地还剩下2 - =份；
这份需要4名工人做一整天，所以甲工地的3份需要4 × (3 ÷) = 24人做一整天，即8x=24，可得x = 3；
那么这批工人有12×3=36人。
答：这批工人有36人。
【解析】本题的关键在于将工人数量和工作量的关系进行数学建模。首先，根据题目给出的条件，我们设定这批工人的总人数为12x，其中x是未知数。接着，我们根据上午和下午工人的分配情况，计算出甲乙两地一天内的平均工作人数。然后，根据题目中给出的甲乙两地工作量的比例关系，我们设定了工作量的具体数值，并计算出乙工地剩余工作量的具体数值。最后，我们根据剩余工作量和所需工人数的关系，反推出这批工人的总人数。
42．【答案】解：甲的工率：乙的工率：丙的工率=1：2：3
三人工效和=÷5=
甲的工效=÷（1+2+3）=÷6=
乙的工效=×2=
丙的工效=×3=
（1+×3+×8）÷=（1++）÷=÷=20 (天)
答：从开始植树算起，共用 20 天完成任务。
【解析】工程问题，个数比就等于工效比，则甲、乙、丙工效比为1：2：3，而三人工效和为÷5=，进而可求出各自工效，然后假设乙、丙都不休息，则共完成总量1+×3+×8=，再用工作总量除以三人工效和，商就是共同的时间。
43．【答案】解：÷4=
（1-）÷8
=÷8
=
50÷（-）
=50÷
=800（台）
答：这批彩色电视机共800台。
【解析】这批彩色电视机共有的台数=乙厂每天生产的台数÷（甲、乙工作效率的和-甲的工作效率） ；其中，甲的工作效率=÷4=，甲、乙工作效率的和=（1-甲计划完成的分率）÷甲、乙合作的天数。
44．【答案】解：乙加工这批零件的分率：
（个）
答：这批零件共有1500个。
【解析】把这批零件总数看作单位“1”，分别算车甲、乙二人分别加工了这批零件的几分之几，再用减法算出甲比乙多加工了这批零件的几分之几，用200除以乙比甲少加工这批零件的分率，即可求出这批零件共有多少个。
45．【答案】（1）(天)
（2）甲工厂： (元)
乙工厂： I
(元)
由甲工厂单独承包合适。
【解析】（1）工作效率=工作总量÷工作时间，先分别求出甲的工作效率，乙的工作效率，再用工作总量除以两厂合作的工作效率，就能得到两厂合作完成需要的时间。
（2）已知总任务为12000个包装箱，根据甲乙的报价，分别算出甲承包的费用，乙承包的费用，比较大小，费用小的工厂单独承包合适。
46．【答案】 解：乙，丙工作量比为：（3×2）：（5×1）=6：5；
第二期甲乙合作做了 ，那么第三期甲乙也是共同完成了，
1---
=--
=-
=；
根据乙，丙的工作量比是6：5，也就是乙完成了丙的，
乙完成了总量的×=；
那么甲完成总量的1--
=-
=；
÷（÷15）
=÷
=27（天）
答：这种情形下做完整个工程27天。
【解析】 乙，丙工效比是3：5，整个过程中，乙，丙工作天数之比为：2：1，也就是乙，丙工作量比为：（3×2）：（5×1）=6：5；
乙，丙工作天数之比为2：1，说明第二期甲乙合作和第三期甲乙丙合作天数相同，第二期甲乙合作做了，那么第三期甲乙也是，可知丙单独完成了工程1---=；根据乙，丙的工作量比是6：5，也就是乙完成了丙的，乙完成了总量的×=；
那么甲完成总量的1--=；甲从始至终参与工程，那么甲的天数就是总工程的天数÷（÷15）=27（天），总工程天数也就是甲的天数是27 。
47．【答案】解：甲乙合作4天可完成全部工程的：
（）×4
=×4
=
如果一开始三队就一起工作，需要：
1÷[（1-）÷7]
=1÷[÷7]
=1÷
=10（天）
答：如果一开始三队就一起工作， 完成该项工程一共需要 10天。
【解析】 由题意可知，甲乙的工作效率分别为，则甲乙合作4天可完成全部工程的（）×4=，丙队参加进来又经过7天完成全工程，则三人的效率和为（1-）÷7=，所以如果一开始三队就一起工作，需要1÷=10天完成。
48．【答案】解：乙完成工作总量的 需要的时间：
（天）
甲单独干完整个工程需要的时间：
（天）
原计划工期： （天）
答：原计划工期是30天。
【解析】把这项工程的总量看作单位“1”，依据题意可得：若丙不来帮忙，乙完成工作总量的（）÷4=需要天，那么乙完成工作总量的就需要=20天.若甲单独干后面的就需要（20-16=4）天。即甲单独完成工程就需要14÷=24（天），此时间应该比计划工期提前6天，最后依据计划需要的时间=甲单干需要的时间+6天即可解答。
49．【答案】解：6+9＝15（天）
++1＝2
甲：1÷2＝，15÷＝30（天）
乙： ÷2＝，4÷＝24（天）
丙：÷2＝，6÷＝18（天）
答：甲队独做需要30天，乙队独做需要24天，甲队独做需要18天。
【解析】由题意可知，这项工程甲一共做了6+9＝15（天），乙做了4天，丙做了6天；
甲完成的量看作1，那么乙完成的量=甲队的完成量×乙队完成的是甲队完成的几分之几，丙完成的量=乙完成的量×丙队完成的是乙队完成的倍数，那么这项工程的总量=甲队的完成量+乙队的完成量+丙队的完成量；
那么甲完成这项工程的几分之几=甲队的完成量÷这项工程的总量，所以甲队单独做需要的天数=甲队做的天数÷甲完成这项工程的几分之几；
乙完成这项工程的几分之几=乙队的完成量÷这项工程的总量，所以乙队单独做需要的天数=乙队做的天数÷乙完成这项工程的几分之几；
丙完成这项工程的几分之几=丙队的完成量÷这项工程的总量，所以丙队单独做需要的天数=丙队做的天数÷丙完成这项工程的几分之几。
50．【答案】解：
答：这辆自行车将行驶3750千米。
【解析】本题可以把前轮和后轮看做两个工程队，即前轮每千米报废看做前轮工作效率为，后轮每千米报废看做前轮工作效率为，因此每千米的磨损（工作效率）合计为，；两轮胎同时“工作”，并且是行驶一定时间后可以将它的前、后轮互换，因此总工程量为2，由此列式。
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