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3.4 一元一次方程的应用（3课时）
课型：新授课
1.掌握一元一次方程解简单应用题的方法和步骤，提高分析问题、解决问题的能力.
2.能用一元一次方程解决简单的和、差、倍、分类型的实际应用题.（第1课时）
3.掌握航行问题中的水流速度、静水速度、实际速度之间的关系，会画线段图理清行程问题的数量关系，并能利用路程、速度与时间的关系解决航行问题及行程问题.（第2课时）
4.掌握工作总量、工作效率、工作时间的关系，掌握利润问题、利息问题、盈亏问题等各自涉及的等量关系及用一元一次方程解决实际问题的方法.（第3课时）
5.通过自主探究与小组合作交流，能合理清晰地表达自己的思维过程，掌握根据具体问题中的数量关系，列出方程，感悟方程是刻画现实世界的一个有效模型，理解和体会数学建模思想在实际问题中的作用，形成用数学知识解决问题的意识.
【教学重点】正确分析各类型问题中的等量关系，列一元一次方程解决实际问题.
【教学难点】正确分析各类型问题中的等量关系，列一元一次方程解决实际问题.
第1课时 和、差、倍、分问题
某地区举办了一次中学生足球联赛. 比赛规则为：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得0分. 若某校初中男子足球队参加了 14 场比赛，负了5场，共得 19 分.问：该队胜多少场？平多少场？
一元一次方程是一种重要的数学模型. 利用等量关系建立一元一次方程，可以帮助我们解决一些实际问题.
探究一：一般和、差、倍、分问题
分析题意，可知其中蕴含了以下等量关系：
①胜的场数+平的场数+负的场数=总场数
②胜的场数得分+平的场数得分=总得分
设该队胜x场，填写下表：
根据等量关系②，可列出方程：
解得x＝ .
因此，该队胜 场，平 场。
思考：可不可以设其他未知量？
设该队平y场，仿照上述过程解答。
1. 当问题中含有两个未知量、两个等量关系时，可以把其中一个未知量设为未知数，另一个未知量 (根据其中一个等量关系) 用含未知数的代数式表示，而另一个等量关系则用来列方程.
2. 可以采用列表格的方法搞清较复杂问题中的各个量之间的关系.
例1 某房间里有 4 条腿的椅子和 3 条腿的凳子共 16 把，如果椅子腿数与凳子腿数的和为 60，试问：有几张椅子和几把凳子？
例2 某校七年级甲班有 45 人，乙班有 39 人. 现要从甲、乙两班各抽调一些同学去参加“歌唱祖国”歌咏比赛，如果从甲班抽调的人比乙班多 1 人，那么甲班剩余人数恰好是乙班剩余人数的 2 倍. 请问：从甲、乙两班各抽调了多少人参加歌咏比赛
练一练 儿子今年13岁，父亲今年40岁，是否有哪一年父亲的年龄恰好是儿子年龄的四倍？为什么？
探究二：比例问题
例3 质量为 45 克的某种三色冰淇淋中，咖啡色、红色和白色配料的比为 1∶2∶6，这种三色冰淇淋中，咖啡色、红色和白色配料分别是多少
归纳总结
比例问题：就是把一个总量按照一定的比分成若干份.一般需间接设元，设每一份为 x，再根据各部分之和等于总体列出方程.
例4 某车间有 29 名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓 15 个或螺母 21 个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套(两个螺栓配三个螺母)
1.和差倍分问题常用技巧：常用“多、少、大、小、倍、几分之几”或“增加、减少、缩小”等词语体现等量关系；
2.对于隐含等量关系的题目，需要把握3点：
①各部分的数量之和=全部数量；
②较大量=较小量+多余量；
③总量=倍数×数量。
议一议
运用一元一次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
课堂练习
1. 甲、乙二人按照 2∶5 的比例投资开办了一家公司，约定除去各项支出外，所得利润按投资比例分成，第一个月盈利 3500 元，那么甲得 ，乙分别应得 .
2. 一个两位数，个位数字和十位数字的和为 7，如果把十位数字和各位数字对调，所得新数比原数大 45，则原两位数是 .
3.(1) 一个长方形的周长是60cm，且长比宽多5cm，求该长方形的长；
(2) 一个长方形的周长是60cm，且长与宽的比是3:2，求该长方形的宽.
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
【板书设计】
第2课时 航行问题及行程问题
一艘轮船在甲、乙两个码头之间航行，顺水航行时需4 h，逆水航行时需 5 h. 已知水流速度为 2 km/h，则轮船在静水中的航行速度是多少
这里面有哪些等量关系呢？
观看视频：了解流水行船问题中的数量关系.
探究一：航行问题
分析：①轮船顺水航行的速度=轮船在静水中的航行速度+水流速度
②轮船逆水航行的速度=轮船在静水中的航行速度-水流速度
③轮船顺水航行的路程=轮船逆水航行的路程
解：设轮船在静水中的航行速度为x km/h，则轮船顺水航行的速度为 ，逆水航行的速度为 。
根据题意，得 ，
解方程，得x= .
答：轮船在静水中的速度为 .
探究二：行程问题
例1 A、B两地相距300km,甲、乙分别从A、B两地相向而行。甲的速度为20Km/h,乙的速度是10Km/h，如果两人同时出发，那么他们经过多少小时相遇？
变式 A、B两地相距300km,小明、小红分别从A、B两地相向而行。小明先出发3小时后，小红オ出发,小红出发5小时后两人相遇,其中小红的速度为20Km/h,求小明的速度。
思考：相遇问题的题型和等量关系有哪些？
一、相遇问题的基本题型
1.同时出发（两段） 2.不同时出发 （三段 ）
二、相遇问题的等量关系
1.S甲+S乙=S总，t甲=t乙2.S先+S甲+S乙=S总
例2 甲在乙前方7米处,甲每秒跑7米,乙每秒跑7.5米,两人进行比赛.乙经过几秒钟可以追上甲
变式 甲乙两人练习短距离赛跑,乙每秒跑7.5米,甲每秒跑7米,如果甲先跑1秒种.乙经过几秒钟可以追上甲
思考：追及问题的题型和等量关系有哪些？
一、追及问题的基本题型
1.同时不同地2.同地不同时（出发时间一先一后）
二、追及问题的等量关系
追者路程＝被追者路程＋相隔距离
例3 小王、叔叔在400米长的环形跑道上练习跑步，小王每秒跑5米，叔叔每秒跑7.5米。若两人同时同地同向出发，多长时间两人首次相遇？
行程问题的基本类型：
1.追及问题：追者路程 ＝ 被追者路程 ＋ 相隔距离
2.相遇问题：甲的路程 ＋ 乙的路程 ＝ 总路程
课堂练习
1. 轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若船速为26千米/时，水速为2千米/时，求A港和B港相距多少千米. 设A港和B港相距x千米. 根据题意，可列出的方程是 .
2. 甲车在乙车前 500 千米，同时出发，速度分别为每小时 40 千米和每小时 60 千米，多少小时后，乙车追上甲车？设 x 小时后乙车追上甲车，则下面所列方程正确的是 ( )
A. 60x = 500 B. 60x = 40x - 500
C. 60x = 40x + 500 D. 40x = 500
3. 敌我两军相距 25 km，敌军以 5 km/h的速度逃跑，我军同时以 8 km/h 的速度追击，并在相距 1 km 处发生战斗，问战斗是在开始追击后几小时发生的？
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
【板书设计】
第3课时 工程问题及经济问题
为弘扬传统文化，某地计划打造一条特色文化街区，现将此工程公开向社会招标。
探究一：工程问题
①假如该工程现在交给你负责招标，甲工程队进行投标，他们单独做需要30个月完成，则甲工程队的工作时间是_______，工作总量可以看作_______，那么工作效率是_______.
②乙工程队收到这个消息赶来投标，但是标书还没收到，假设他们单独做需要a个月完成，则乙工程队的工作时间是_______，工作总量可以看作_______，那么工作效率是_______.
（1）这项工程甲工程队单独做要用30个月完成，乙工程队单独做要用20个月完成，因为工期问题，选择同时承包给甲乙两队，请问两队合作几个月能够完成？
（2）乙工程队有事耽搁没有及时赶到，甲工程队先做10个月，乙工程队赶来后，两工程队一起合作，请问合作几个月能够完成？
（3）该工程计划在两年内完成。建设状元坊这项工程甲工程队单独做要用30个月完成，每个月需要10万，乙工程队单独做要用20个月完成，每个月需要20万。在（1）、（2）的条件下比较以下四种方案，你认为哪一种方案的更好，为什么
①甲工程队单独完成;
②乙工程队单独完成;
③甲、乙两队全程合作完成；
④甲工程队先做10个月，乙工程队赶来后，两工程队一起合作完成。
例1 刺绣是我国民间传统手工艺之一. 我国刺绣主要有湘绣、苏绣、蜀绣、粤绣四大类.若刺绣一件作品，甲单独绣需要 15 天才能完成，乙单独绣需要 12 天才能完成. 现在甲先单独绣 1 天，接着乙又单独绣 4 天，剩下的工作由甲、乙两人合绣. 试问：再合绣多少天可以完成这件作品
1.工程问题中的基本量：工作总量、工作效率、工作时间.
2.①在实际问题中，当工作总量未知时，可设工作总量为“1”，常用工作效率=1÷工作时间；
②当多人合作时，合作效率=多人工作效率之和；
③总工作量=各部分工作量之和；
④有时候会用到“工作量=人均效率×时间×人数”.
探究二：经济问题
说说你对促销活动的理解.
例2 一商店在某一时间以每件 60 元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利 25%，另一件亏损 25%，卖这两件衣服总体是盈利还是亏损，或不盈不亏？
例3 小明 3 年前将一笔钱存入某银行，定期 3 年，年利率是 5%. 若到期后取出，他可得本息和 23000 元，求小明存入的本金是多少元？
分析：顾客存入银行的钱叫本金，银行付给顾客的酬金叫利息.（利息 = 本金×年利率×年数）
本题涉及的等量关系有：本金+ 利息 = 利息和
例4 《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少元？
方法点拨：盈余不足问题，往往都是根据同一个量的两种不同表示方式来列方程求解。
课堂练习
1.现有树苗若干棵，计划栽在一段公路的一侧，公路的两端各栽1棵，并且相邻两棵树的间隔相等.
方案一：如果每隔5m栽1棵，则树苗缺21棵；
方案二：如果每隔5.5m栽1棵，则树苗正好用完.
根据以上方案，请算出原有树苗的棵数和这段路的长度.
2.一件工作，甲单独做 15 天完成，乙单独做 12 天完成．甲先单独做 6 天，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少天才能完成这件工作？
3. 小明以两种方式储蓄了 500 元，一种方式储蓄的年利率为 5%，另一种是 4%，一年后得利息 23 元 5 角，问两种储蓄各存了多少元钱？
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
【板书设计】
本节内容主要为一元一次方程的应用，分别分为“和、差、倍、分问题”、“航行问题及行程问题”、“工程问题及经济问题”这三个课时进行教学.教学中，选用具有现实性的故事串作为素材，以生活中常见的问题展开，提高学生的兴趣，让学生们认识到数学知识与我们的实际生活息息相关.然后通过例题教学，为学生提供了探索空间，通过猜测、验证、质疑、讨论、解疑等一系列活动，充分调动学生学习的积极性，让学生在实践中获得解决问题的方法，体会学习的乐趣.列方程解决实际问题对很多学生来说是难点，教学中不一味地追求多做题，尽可能引导学生读懂题意，分析各数量关系，寻找等量关系；当同一题有多种方法均可解决时，尽可能引导学生用多种方法，学生在理解题意和数量关系的基础上再来探求其他方法，比去解决一个陌生的问题相对容易一些，更能激发学生的兴趣.教学过程中，通过对开放性问题的探讨与交流，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新意识、团队精神和克服困难的勇气.
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