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小升初奥数思维之典型应用题精讲精练讲义（通用版）
专题19 周期问题
【第一部分：知识归纳】
一、基本概念
1、周期问题是指事物在变化过程中按一定规律重复出现的现象，通过发现规律来确定某个位置或时间的状态。
2、核心要素：
周期长度：一个完整循环包含的单元数（T）
总项数：需要确定的项数（N）
余数：N ÷ T 的余数（r），决定最终位置
二、三大基本类型
类型1：简单周期
例题：彩灯按"红、黄、蓝、绿"顺序循环，第37盏是什么颜色？
解答：周期T=4
37÷4=9...1
第1个颜色是红色
∴ 第37盏是红色
类型2：复合周期
例题：数列1,3,5,2,4,6重复排列，前50项的和是多少？
解答：周期T=6
完整周期：50÷6=8...2
一个周期和：1+3+5+2+4+6=21
总和：8×21 + (1+3) = 168 + 4 = 172
类型3：日期周期
例题：2023年10月1日是星期日，2025年10月1日是星期几？（2024是闰年）
解答：总天数：365(2023)+366(2024)+365(2025)=1096天
1096÷7=156...4
星期日+4天=星期四
三、解题四步法
步骤1：确定周期
找出循环单元及其长度
步骤2：计算余数
用总数除以周期长度
步骤3：定位答案
根据余数确定对应位置
步骤4：验证结果
检查计算过程和结果是否合理
四、五大经典题型
题型1：图形周期
例题：△□○☆△□○☆...第100个图形是什么？
解答：周期T=4
100÷4=25余0 → 第4个图形☆
题型2：数字周期
例题：小数0.428571428571...的第50位数字是多少？
解答：循环节"428571"，T=6
50÷6=8...2 → 第2位数字2
题型3：操作周期
例题：对数字5反复进行"×3-2"操作，第10次结果是多少？
解答：前几次：5→13→37→109→...
发现无简单周期，需逐步计算
题型4：复合周期
例题：A周期3天，B周期5天，两事件同一天发生，至少多少天后再次同时发生？
解答：求最小公倍数：LCM(3,5)=15天
题型5：隐藏周期
例题：数列1,2,4,8,16...从第几个数开始个位数重复出现？
解答：观察个位数：1,2,4,8,6,2,4,8,6,...
第5项开始"2,4,8,6"循环
五、易错点与技巧
1、常见错误
周期识别错误：未找准完整周期
余数计算错误：混淆余数0和周期长度
起始点错误：未考虑从第0项还是第1项开始
日期计算错误：忽略闰年影响
2、解题技巧
列举法：先列出前几项找规律
标记法：用不同颜色标注周期
公式法：利用周期公式计算
验证法：用较小数字验证规律
【第二部分：能力提升】
1．大街上的彩灯按照5盏红灯、4盏蓝灯、3盏黄灯的规律依次排列。问：第100盏灯是什么颜色？
2．同学们做早操，36个同学排成一列，每两个女生中间是两个男生。如果第一个是女生，这列队伍共有多少个男生
3．庆祝元旦时，同学们布置教室，在教室前面按“红色、黄色、绿色”的规律挂彩旗，第17面彩旗是什么颜色？
4．找规律，看哪个图形不符合规律，把它划掉，并在画出正确的图形。
（i）
（ii）
（iii）
5．循环小数小数点后的第101位上的数字是多少？
6．6月1日是星期四，则同年6月18日是星期几？
7．按自己确定的规律涂色。
8．16.8÷11的商的小数点后前2024位数字之和是多少
9．图中是2002年5月份日历表．
（1）该月8号是星期几？
（2）该年6月1日是星期几？该年10月1日是星期几？
（3）2004年5月1日是星期几
10．学校为举办迎新年晚会，在教室四周都挂上了气球，如下图顺序排列了42个气球，最后一个是什么颜色？若要使每种额色的气球同样多，至少还要买哪几种颜色的气球各几个？
11．为庆祝教师节，三(1)班的同学按“1红2绿3蓝”的顺序挂起了彩灯庆祝。你知道第250个灯笼是什么颜色吗？
12．按照下面图形排列的规律，请你算一算，前50个图形中，共有多少个□？
□△△□○□△△□○□……
13． (周期问题)一本历史书共有2640页，张强每小时阅读16页。第一日到第十日，每日读5小时；第十一日到第二十日，每日读6小时；第二十一日到最后一日的前一日，每日读7小时。经过若干日全部读完。问：最后一日是第几日？最后一日读了几小时？
14．按规律接着涂一涂、画一画、填一填。
15．○△△□□□○△△□□□○（　　）△□□□○△△□□□
（1）找规律，在上面的（　　）里画出缺少的这个图形。
（2）用画“正”字的方法统计各图形的个数。
○ △ □
　 　 　 　 　 　
（3）　 　的个数最多，　 　的个数最少。
（4）△和□的总个数是○的　 　倍。
（5）按上面的规律继续往下画，第54个图形是　 　。
16．0.1372 小数部分第99位的数字是多少 小数部分前50位数字之和是多少 请写出分析过程。
17．图中这条项链，所有的黑珠子有27颗，算一算中间盒子里藏着多少颗白珠子？
18．今天是星期四，天之后将是星期几？
19．有6个人要去组长处背书，背书所需时间分别是3分钟、6分钟、4分钟、10分钟、8分钟、7分钟，每组只有一个组长，问怎样安排这6人的背书次序，可使他们总的等候时间最短 这个最短时间是多少
20．有一堆棋子，按三白二黑的顺序排列，第24颗棋子是什么颜色的
21．接下来应该摆什么 谱你圈出长方形里的图形。
22．划去不符合规律的图形或文字，在括号里圈出正确的。
（1）
（2）
（3）
（4）
23．同学们排队做操，每 2 名男生中间站3名女生。按照这样的顺序排队，第 40 名同学是男生还是女生？
24．求商的小数点后面119个数字之和是多少？
25．如下图，是一片刚刚收割过的稻田，每个小正方形的边长是1米，A、B、C三点周围的阴影部分是圆形的水洼。一只小鸟飞来飞去，四处觅食，它最初停留在0号位，过了一会儿，它跃过水洼，飞到关于A点对称的1号位；不久，它又飞到关于B点对称的2号位；接着，它飞到关于C点对称的3号位，再飞到关于A点对称的4号位，……，如此继续，一直对称地飞下去。由此推断，2004号位和0号位之间的距离是多少米？
26．一堆球，如果球的总数是10的倍数，就平均分成10堆并拿走9堆；如果球的总数不是10的倍数，就添加不多于9个球，使球的总数成为10的倍数，再视频讲解平均分成10堆并拿走9堆。这个过程称为一次“均分”。若球仅为一个，则不做“均分”。如果最初有球1234……19961997 个，经过多少次“均分”和添加多少个球后，这堆球便仅余下一个球？
27．(推理意识)如下图，7个小朋友按1号至7号依次排好并围成一圈做游戏。从1号开始，按照箭头方向把球传给下一个人，在传球的同时按照1、2、3、4、5、6、7、8、9……报数。当报到65时，球应该在几号小朋友的手里？
28．按照下面的规律摆放。这样摆下去，第20个应该是什么图形？
29． 把5÷7化成小数后，小数点后面第2024位上的数字是几？小数部分前2024个数字之和是多少？
30．nbsp；生日派对——奇奇将客厅装饰成自己喜欢的生日派对风格。他和朋友们准备用彩色气球装饰，将气球按“2个红色、2 个黄色、1 个蓝色、3个绿色和2 个橙色”的顺序依次排列，第46 个气球是什么颜色
31．划去不符合规律的图形或文字，圈出正确的。
（1）
（2）
32．你能用◇、 、△、○四种形状的卡片设计一个按周期规律排列的图形序列吗 (四种形状都要用到)
（1）要求第22个图形是◇。
（2）要求第5个图形是 ， 第 31个图形是◇。
33．在某个月中刚好有3个星期天的日期是偶数(双数)，则这个月的5日是星期几？
34．如果今天是2017年5月8日星期一，那么再过120天是星期几？
35．要在学校的大道旁按照一面红旗、一面黄旗、一面绿旗、一面蓝旗的顺序插彩旗．你知道第6面彩旗是什么颜色的吗？第15面呢？
36．教师节到了，学校大门旁边挂着一排彩色气球．按照1个红色气球，2个黄色气球，3个绿色气球的顺序排列着。请你想一想．第69个彩色气球是什么颜色的？
37．“待到重阳日，还来就菊花”，重阳节赏菊的传统由来已久。馨苑社区在重阳节期间举办了赏菊活动，菊花按照“红-黄-黄-黄-红-黄-黄-黄……-红”的顺序排成一排。
（1）黄菊花有156盆，红菊花有多少盆？
（2）第128盆是什么颜色的菊花？
38．电视塔上有一串彩灯按“红、黄、绿、白”的顺序排列起来，第16只彩灯是什么颜色？
39．如图所示，四个小朋友从1开始轮流报数，轮到带有“8”的数，就要喊“过”。 38是谁喊的“过”？
40．五一班开庆祝会，同学们在教室里挂气球。按照2个粉色、3个黄色、1个蓝色的顺序排列，一共挂了48个气球。三种颜色的气球各占总数的几分之几？
41．6÷7的商是循环小数，商的小数点后第19位是什么数字？商的小数部分前19位上的数字之和是多少？
42．把下面的水果按规律涂一涂。
43．有大小相同的黑、白、红三种颜色的珠子共202颗，按5颗红珠子、4颗白珠子、3颗黑珠子依次排列。这202颗珠子中有多少颗黑珠子？
44．找规律，接着画．
45．一只蜗牛从 m深的井底往上爬，白天爬 ，晚上下滑 m，它从某日早晨往上爬，第几天爬到井口？
46．6÷7的商是循环小数，商的小数点后第19位上的数字是几？商的小数部分前19位上的所有数字之和是多少？
47．丫丫按规律穿了一串手链，但掉了3颗珠子，掉的是哪3颗？圈一圈。
48．算算5÷7的商，想一想：
（1）小数点后面2019位上的数字是几？
（2）小数点后2019个数字之和是几？
49．按自己确定的规律涂色．
50．如图，操场上有9个小朋友围成一圈做传花游戏，当老师喊停时，花在谁的手中谁就表演节目。如果从“1号”开始顺时针传，传了29次，花在谁的手中？如果是54次呢？
参考答案及试题解析
1．解：5盏红灯、4盏蓝灯、3盏黄灯，12盏灯看做一组循环出现，
100÷12=8（组）……4（盏）
所以第100盏灯是第9个周期的第4盏灯，是红灯。
答：第100盏灯是红灯。
【解析】彩灯数÷一组的彩灯数=组数......余下的彩灯数，据此解答。
2．解：36÷3×2
=12×2
=24(个)
答：这列队伍中有24个男生。
【解析】因为每两个女生中间是两个男生，可以看作1女2男为一组，用36除以3求出组数，然后用每组中男生的个数乘组数求出男生的总人数。
3．17÷3=5（组）......2（面）
答：第17面彩旗是黄色。
【解析】根据题意可得，彩旗排列的规律为3面一组依次重复出现，17里面有这样的5组，还剩2面，也就是第6组的前两面，所以第17面是黄色。
4．解：
（i）
（ii）
（iii）
5．101÷5=20......1 答：循环小数0.3(.)5147(.)小数点后的第101位上的数字是3。
【解析】观察循环小数可知，这个循环小数的循环节是35147，这5个数字不断重复出现，要求这个循环小数的小数点后的第101位上的数字是多少，就是求101里面有几个5，如果有余数，按顺序找出这个数字即可.
6．解：18÷7=2(个)……4(天)
答：同年6月18日是星期日。
【解析】6月1日到6月18日有18天，18天是2周余4天，余下的4天从星期四开始往后数4天，就是星期日。
7．解：
8．解：16.8÷11=1.527，循环节为27，
所以小数点后前2024 位循环了(2024-1)÷2=1011(次)……1(个)，
所以小数点后前2024位数字之和是5+(2+7)×1011+2=9106，
答：小数点后前2024位数字之和是9106。
【解析】直接进行除法运算得到1.52727…，发现循环节是27；因为小数点后第一位是5，不参与循环，所以要计算的循环数字个数是2024-1=2023个，又因为循环节是2位数字，所以用2023÷2得到循环次数是1011次余1个数字；一个循环节27数字之和是2+7=9，循环了1011次，所以这部分数字和是9×1011，再加上不参与循环的第一位数字5和余下的一个数字2，即5+(2+7)×1011+2，最终得到9106。
9．解：根据题意，可得5月1日是星期三，（8-1）÷7=1，所以，该月8号也是星期三答：该月8号是星期三（2）该年6月1日是星期几？该年10月1日是星期几？
解：根据题意，可得31÷7=4......3因为5月31日是星期五，所以6月1日是星期六（31+30+31+31+30）÷7=153÷7=21......6因为5月1日是星期三，所以，10月1日是星期二答：该年6月1日是星期六，该年10月1日是星期二
（3）2004年5月1日是星期几 解：根据题意，可得731÷7=104......3因为5月1日是星期三，所以2004年5月1日是星期六答：2004年5月1日是星期六
（1）解：根据题意，可得
5月1日是星期三，
（8-1）÷7=1，所以，该月8号也是星期三
答：该月8号是星期三
（2）解：根据题意，可得
31÷7=4......3
因为5月31日是星期五，所以6月1日是星期六
（31+30+31+31+30）÷7
=153÷7
=21......6
因为5月1日是星期三，所以，10月1日是星期二
答：该年6月1日是星期六，该年10月1日是星期二
（3）解：根据题意，可得
731÷7=104......3
因为5月1日是星期三，所以2004年5月1日是星期六
答：2004年5月1日是星期六
【解析】（1）一个星期有7天，因此7天为一个周期．从表中我们可以看出1号～7号是一个周期，1号是第一个循环的第一天，7号是第一个循环的最后一天，8号是第二个循环的第一天，计算天数时为了方便，可以采取“算头不算尾”或“算尾不算头”的方法．用（8-1）除以周期7，即可求解
（2）5月1号到5月31号一共有31天，用31除以7，求出周期和余数，然后再根据5月31日是星期五，然后再根据余数往后推即可求解；5月1日到9月30日一共有153天，用153除以7，求出周期，然后再根据余数往后推即可求解
（3）先算出2002年5月1日到2004年5月1日一共有多少天，然后再用总天数除以7，求出周期和余数，然后再根据2002年的4月30日是周三，最后再往后推即可
10．解：“红、黄、蓝、白、绿”每5个气球重复一次
42÷5=8……2
故第42个气球的颜色是黄色；
若使每种颜色的气球同样多，需要把最后一组“红、黄、蓝、白、绿”补充完整，
故还需要买蓝色、白色、绿色的气球各一个。
答： 最后一个是黄色，至少还要买蓝色、白色、绿色的气球各一个。
【解析】根据题意，红、黄、蓝、白、绿”每5个气球重复一次，用42除以5，余数是2，余数是几，就是循环中的第几个颜色，即是黄色，除了红和黄色已经再排了一遍，即还有蓝、白、绿三种颜色还没有，即各买一个即可。
11．解：1＋2＋3=6
250÷6=41(组)……4（个)
答：第250个灯笼是蓝色。
【解析】250个灯笼按“1红2绿3蓝”的顺序可以挂41组，还剩下4个，所以第250个灯笼是第42组的第4个灯笼，是蓝色。
12．50÷5=10（组）
2×10=20（个）
答：共有20个□。
【解析】□△△□○这样5个图形为一组，用50除以5求出商，商就是组数，没有余数。每组中有2个正方形，所以用2乘组数即可求出正方形的总数。
13．解：第一日到第二十日读了：
16×(10×5 +10×6) = 1760(页)
2640- 1760 = 880(页)
880÷16=55(小时)
55÷7=7（天）……6（小时），即还需再读7日又6小时。
答：最后一日是第二十八日，此日读6小时书。
【解析】分析题意可知：第一日至第二十日读了，前十日每日读的时间×天数=一共读的时间，后十日每日读的时间×天数=后十日一共读的时间，前十日每日读的时间×天数+后十日每日读的时间×天数=前二十日一共读的时间，（前十日每日读的时间×天数+后十日每日读的时间×天数）×每小时读的页数=前二十日一共读的页数；
总页数－前二十日一共读的页数=剩下的页数；
剩下的页数÷每小时读的页数=还需要多少小时，还需要多少小时÷每日读的时间=需要几天……还剩下的时间，据此可以解答。
14．解：
15．（1）○△△□□□○△△□□□○（△）△□□□○△△□□□；
（2）4；8；12
（3）□；○
（4）5
（5）□
【解析】解：（1）括号内缺少的图形是△；○△△□□□○△△□□□○（△）△□□□○△△□□□；
（2）
○ △ □
4 8 12
（3）12个＞8个＞4个，□的个数最多，○的个数最少；
（4）（8＋12）÷4
=20÷4
=5，△和□的总个数是○的5倍；
（5）54÷6=9（组），第54个图形是□。
故答案为：（2）4；8；12；（3）□；○；（4）5；（5）□。
【分析】（1）按照“○△△□□□”的规律排列，括号内缺少的图形是△；
（2）数一数各个图形的个数并且填空；
（3）把各个图形的个数比较大小；
（4）△和□的总个数是○的倍数=（△的个数＋□的个数）÷○的个数；
（5）按照“○△△□□□”的规律排列，第54个图形刚好循环了9组，是□。
16．解：该数的循环节是372，即从百分位起372三个数字为一个周期重复出现，十分位上的“1”不属于循环节，则(99-1)÷3=32……2，则小数部分第99位数字为7；
因为(50-1)÷3=16……1，小数部分前50位数字有16 组循环节，则前50位数字的和是 16×(3+7+2)+1+3=196。
答：小数部分第99位的数字是7，前50位数字之和是196。
【解析】观察循环小数，发现从百分位开始的循环节为372，且十分位上的1不属于循环节。
首先需要计算99位中包含了多少个完整的循环节，以及余下的位数。具体计算过程为：(99-1)÷3=32...2。这意味着99位中包含了32个完整的循环节，还余下2位。因此，第99位的数字就是循环节中的第二位，即7。
首先需要确定前50位中包含了多少个完整的循环节，以及余下的位数。具体计算过程为：(50-1)÷3=16...1。这意味着前50位中包含了16个完整的循环节，还余下1位。一个循环节的和是，所以16个完整的循环节的和就是16乘以12。另外，还需要加上十分位上的1位数和循环节的前一位。因此，前50位数字的和为：16×12+1+3=196。
综上，小数部分第99位的数字是7，小数部分前50位数字之和是196。
17．解：27÷3=9
9×2=18（颗）
18-6=12（颗）
答：金子里藏了12颗白珠子。
【解析】这串珠子是3黑2白穿在一起的，也就是3黑2白为一组；
这串珠子的组数=黑珠子的颗数÷每组黑珠子的颗数；
这串珠子白珠子的颗数=每组白珠子的颗数×组数；
藏着的白珠子的颗数=白珠子总颗数-外面白珠子的颗数。
18．解：根据题意，可得
根据模运算性质：
10≡3mod7 → 10≡3 mod7
102≡3×3=9≡2mod7
103≡2×10≡20≡6mod7
104≡6×10≡60≡4mod7
105≡4×10≡40≡5mod7
106≡5×10≡50≡1mod7
发现周期为6，即106≡1mod7。因此：
101000=10(6×166+4)= (106)166×104 ≡1166×4≡4mod7
今天是星期四，即初始为第4天（假设星期日=0，星期一=1，...，星期六=6）。1000天后：
4+4=8 → 8mod7=1，对应星期一。
答：101000天之后将是星期一。
【解析】由于星期是以7天为周期循环的，因此需要先将10的1000次方除以7，求出余数，再根据余数推算星期几。
19．解：第一个人背书时6个人都在等，等待时间为：3×6=18（分钟）
第二个人背书时剩下5个人在等，等待时间为：4×5=20（分钟）
第三个人背书时剩下4个人在等，等待时间为：6×4=24（分钟）
第四个人背书时剩下3个人在等，等待时间为：7×3=21（分钟）
第五个人背书时剩下2个人在等，等待时间为：8×2=16（分钟）
第六个人背书时剩下1个人在等，等待时间为：10×1=10（分钟）
18+20+24+21+16+10=109（分钟）
答：按照3分钟、4分钟、6分钟、7分钟、8分钟、10分钟的次序背书，总的等候时间最短，最短时间是109分钟。
【解析】根据用时短的人优先背书可使总的等候时间最短这一原则，来安排背书次序并计算最短等候时间。要使总的等候时间最短，就需要让用时短的人先背书。将6个人背书所需时间3分钟、6分钟、4分钟、10分钟、8分钟、7分钟按照从小到大的顺序排列为：3分钟、4分钟、6分钟、7分钟、8分钟、10分钟。所以，背书次序为：第一个人背书用时3分钟，第二个人背书用时4分钟，第三个人背书用时6分钟，第四个人背书用时7分钟，第五个人背书用时8分钟，第六个人背书用时10分钟。第一个人背书时6个人都在等，所以等待时间为：3×6=18（分钟）第二个人背书时剩下5个人在等，所以等待时间为：4×5=20（分钟）第三个人背书时剩下4个人在等，所以等待时间为：6×4=24（分钟）第四个人背书时剩下3个人在等，所以等待时间为：7×3=21（分钟）第五个人背书时剩下2个人在等，所以等待时间为：8×2=16（分钟）第六个人背书时剩下1个人在等，所以等待时间为：10×1=10（分钟）将每个人的等待时间相加，可得总的等候时间为：18+20+24+21+16+10=109（分钟）答：按照3分钟、4分钟、6分钟、7分钟、8分钟、10分钟的次序背书，总的等候时间最短，最短时间是109分钟。
20．24÷5=4(组)……4(颗)
答：第24颗棋子是黑色的。
21．解 ：
22．（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】（1）观察可知，此题是按“”为一组循环排列的，据此规律解答；
（2）观察可知，此题是按“”为一组循环排列的，据此规律解答；
（3）观察可知，此题是按“”为一组循环排列的，据此规律解答；
（4）观察可知，此题是按“”为一组循环排列的，据此规律解答。
23．解：40÷4=10（组）
答：第 40 名同学是女生。
【解析】按照“1男3女”的规律循环，第 40 名同学是循环了10组，则是女生。
24．解：=
循环节是864，每3位数一个循环，
小数部分前119位数字共有：119÷3=39（个）…2（个），
所以小数部分前119位数字和是：39×（8+6+4）+6+8=716．
答：小数点后面119个数字之和是716．
【解析】先求出的商，是一个循环小数，循环节是864，说明每3位数一个循环，再求出小数部分前119位的数字里面有多少个3，就有多少个（8+6+4），再根据余数，进一步确定余数是下一个循环的前几个数字，进而解决问题．
25．解：利用对称的思想，可以画出小鸟每一次跳跃的路线图如下：由此可以得出，从0点开始，经过6次跳跃后，又重新回到起点，即：6次为一个跳跃周期：1→2→3→4→5→6→0，
2004÷6=334，这好是第334周期结束，
那么小鸟的位置与第一周期的最后位置相同，即：此时小鸟的位置在0处，
所以，2004号为和0为重合，距离为0米．
【解析】根据题干分析可得：它最初停留在0号位，过了一会儿，它跃过水洼，飞到关于A点对称的1号位；不久，它又飞到关于B点对称的2号位；接着，它飞到关于C点对称的3号位，再飞到关于A点对称的4号位，…，经过6次飞越，它又从0号位置开始飞跃，由此可以得出，小鸟飞行的停留点，周期为6次，由此即可解决问题．
26．解：根据题意，可得
9×1+90×2+900×3+(1997-999)×4
=9+180+2700+998×4
=2889+3992
=6881(次)
答：经过6881次“均分”和添加多少个球后，这堆球便仅余下一个球
【解析】将1234…19961997 的每一位数字补成9，补成9后的所有数字之和为6881×9=61929，将1，2，3，…，1997，1998 按照1 和1998，2 和1997，…，两两分组，每组的两个数之和为1999，共分为999组，所以每组的两个数的所有数字之和都等于1+9+9+9=28，999×28=27972，则1234…19961997 的各位数字之和为27972-(1+9+9+8)=27945，所以需要添加的球的数量为61929+1-27945=33985。
27．解：65÷7=9……2
答：球应该在2号小朋友的手里。
【解析】65里面有9个7，还剩下2，也就是说报了9圈后，第10圈第2个是报65的小朋友。
28．20÷3=6（组）……2（个），第20个应该是。
答：第20个应该是。
【解析】此题主要考查了周期性问题，观察图可知，图中是按“”3个图形为一组循环排列的，要求第20个图形是什么图形，就是求20里面有几个3，余数是几，就从第一个图形向后数几；如果整除，就是最后一个图形，据此解答。
29．解：5÷7=0.714285714285…
2024÷6=337（组）……2（个）
第2024 位上的数字是1。
（7+1+4+2+8+5）×337+7+1=9107
【解析】先计算5÷7的商，商是循环小数，每六个数字为一个循环节，那么2024÷6=337（组）……2（个），因此小数点后面第2024 位上的数字是1；因为一组循环节的和是（7+1+4+2+8+5），所以337组的和再加上 7 和1，就是这 2024 位的数字之和。
30．解：2+2+1+3+2=10(个)，
10个气球看做一组，
46÷10=4(组)……6(个)，
第46个气球是第5组的第6个气球，是绿色的，
答：第46个气球是绿色。
【解析】气球总数÷一组的气球数=组数......余下的气球数，据此解答。
31．（1）
（2）
【解析】（1）从图中可以得到，图形的排列规律是：爱心、笑脸、笑脸、……，据此作答即可；
（2）从图中可以得到，图形的排列规律是：爱、科、学、……，据此作答即可。
32．（1）解：22÷4=5……2，余数是2，说明要把◇排在第2，如图：△◇○
（2）解：第5个图形是 ，说明每组中第一个图形也是 ；
31÷4=7……3，余数是3，说明第三个图形是◇；
如图： △◇○
【解析】（1）共4个图形循环排列，用22除以4求出商和余数，余数是几就说明这个图形排在第几；
（2）第1和第5个图形是相同的，由此确定第一个图形。用31除以4求出商和余数，余数是几就说明 ◇ 排在第几。
33．解：根据题意，可得
28÷7=4个星期天
30-7×4
=30-28
=2日，
答：这个月5日为星期三．
【解析】 一个星期有7天，注意7是奇数(单数)，所以任意两个相继星期天的日数奇偶性不同．于是在每个月从l日到28日这28天中，有28÷7=4个星期天，且其中有两个星期天的日期是偶数，从而题中第3个日期为偶数的星期天必为30日．
34．解：120÷7=17（周）……1（天）
答：再过120天是星期二.
【解析】根据题意可知，一个星期是7天，先求出120天里面有几个星期零几天，然后用现在的时间加余下的天数即可得到过120天后的星期数，据此解答.
35．黄色;绿色
【解析】因为6÷4=1（组）……2（面），所以第6面彩旗是黄色；
因为15÷4=3（组）……3（面），所以第15面彩旗是绿色.
答：第6面彩旗是黄色，第15面彩旗是绿色.
【分析】此题主要考查了周期性问题，根据题意可知，彩旗是按“红、黄、绿、蓝”为一组的顺序重复排列的，每组是4面彩旗，要求第几面彩旗是什么颜色，用彩旗的面数÷4=重复排列的组数……剩下的面数；剩下几面，就从第一种颜色向后数几即可，如果刚好整除，则就是最后一面彩旗的颜色，据此列式解答.
36．1+2+3=6（个）
69÷6=11（组）……3（个）
第69个彩色气球是黄色的。
【解析】由每6个气球是一组：其中1个红气球，2个黄气球，3个绿气球，且顺序不变．因为 69÷6=11（组）……3（个）所以第69个气球的颜色与第二种相同，是黄色．规律型：图形的变化类．
对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
37．（1）解：156÷3=52(盆)
52+1=53(盆)
答：红菊花有53盆。
（2）解：128÷4=32（组）
答：第128盆是黄色的菊花。
【解析】（1）红菊花的盆数=黄菊花的盆数÷每组黄菊花的盆数＋1盆；
（2）按照“1红3黄”为4盆一组循环，第128 盆循环了32组，则是黄色的菊花。
38．解：16÷4=4（组）
答：第16只彩灯是白色。
【解析】“红、黄、绿、白”4只彩灯为一组循环排列。用16除以4求出组数，因为没有余数，所以最后一只与每组中的最后一只彩灯颜色相同。
39．解：38÷4=9(轮)……2(个)
答：38是乐乐喊的“过”。
【解析】第38轮流的轮数=38÷平均每轮的人数=9轮······2人，则38是每组中的第二人乐乐喊的“过”。
40．解：48÷（2+3+1）
=48÷6
=8（个），
粉色：8×2=16（个），
黄色：8×3=24（个），
蓝色：8×1=8（个），
16÷48=，
24÷48=，
8÷48=；
答：粉色气球占总数的，黄色气球占总数的，蓝色气球占总数的。
【解析】气球按照2个粉色、3个黄色、1个蓝色的顺序排列，因此一个周期包含气球数为2+3+1=6个，总共有48个气球，周期数为8个，再求出每个颜色气球分别有多少个，求占总数的几分之几，就是用三种颜色的气球分别除以总数即可。
41．解：6÷7= ，19÷6=3……1，所以第19位是8；
和：（8+5+7+1+4+2）×3+8=89
答：商的小数点后第19位是8，商的小数部分前19位上的数字之和是89。
【解析】根据题意可知，先计算出商，并用循环小数表示，然后观察循环节是六位小数，要求商的小数点后第19位是什么数字？ 就是求19里面有几个6，用除法计算，余数是几，就从循环节的第1个数字向后数几；
要求商的小数部分前19位上的数字之和是多少？先用加法求出一个循环节的数字和，然后乘循环节的数量，并加上剩下的数字，即可求出数字之和，据此列式解答。
42．
【解析】此题主要考查了周期性问题的应用，可以按“”为一组的规律排列，据此作图。
43．解：202÷(5+4+3)
=202÷12
=16(个)……10(颗)
余下10颗珠子依次是：5颗红珠子、4颗白珠子、1颗黑珠子。
16×3+1
=48+1
=49(颗)
答：这202颗珠子中有49颗黑珠子。
【解析】每个周期有(5+4+3)颗珠子，总颗数÷周期=组数……余数，每组有3颗黑珠子，有多少组就有多少个3；再看余下的里面有几颗黑珠子，即可解答。
44．
45．解：
(天)
12+1=13(天)
答：第13天爬到井口。
【解析】蜗牛白天往上爬 晚上下滑 m，相当于每天只往上爬 ②第13 天早晨时蜗牛在离井口 m处，第13天白天就能爬到井口。
46．解：6÷7＝0.857142857142……，循环节是857142，6个数字一个循环周期。
19÷6＝3……1
第19位上的数字，在第4个周期的第一个数是8；
（8＋5＋7＋1＋4＋2）×3＋8
＝（13＋7＋1＋4＋2）×3＋8
＝（20＋1＋4＋2）×3＋8
＝（21＋4＋2）×3＋8
＝（25＋2）×3＋8
＝27×3＋8
＝81＋8
＝89
答：商的小数点后第19位上的数字是8，商的小数部分前19位上的所有数字之和是89。
【解析】先算出6÷7的结果，得到循环节，然后用19除以6，如果有余数，余数是几，就是循环节中的第几个数字，如果没有余数，就是循环节中的最后一个数字；
前19位上的所有数字之和 =一个循环节所有数字之和×计算所得的商+余数表示数字之和。
47．
【解析】观察图可知，白色的珠子依次减数1，黑色的珠子依次增加1，据此规律解答。
48．（1）解：5÷7=
2019÷6=336……3
714285中第3位是“4”
答：小数点后第2019位上的数学是“4”。
（2）解：（7+1+4+2+8+5）×336+（7+1+4）=9084
答：小数点后2019个数字之和是9084。
【解析】（1）先计算5÷7的商，即5÷7=
，可知循环节中共有6位数，用2019除以6，余数是几，则小数点后面2019位上的数与循环节中第几个数相同；
（2）用2019除以6，商是几，则有几组这样的循环数，计算出每组循环节中各个数字之和，再乘组数，最后加上剩余的几个数即可。
49．解：
50．解：29÷9=3……2，余数是2，说明传29次花在3的手中；
54÷9=6，没有余数，说明传54次花在1手中。
答：传了29次，花在3的手中；传54次花在1的手中。
【解析】传1次到2，传2次到3，……。9人循环，用总次数除以9求出商和余数，如果没有余数，就说明花在第一个小朋友手中，余数是几就从1开始传几次即可。
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