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3.7 二元一次方程组的应用
第1课时　
解决所列方程组中含“x＋y＝”形式的实际问题
1.会根据问题情境及条件列出二元一次方程组,正确解方程组并检验其解是否合理.
2.体验运用二元一次方程组求多项式中的待定系数,感受方程思想的广泛应用.
3.经历和体验利用方程组解决实际问题的过程,掌握应用二元一次方程组解决实际问题的步骤,体会方程组是刻画现实世界中有多个未知数的有效数学模型.
重点：列出二元一次方程组解决实际问题.
难点：从实际问题中抽象出二元一次方程组.
一、情境导入
小明买了80分和60分的邮票共17枚,花了12.2元,试问：80分与60分的邮票各买了多少枚？
二、合作探究
探究点：列方程组解决所列方程中含“x＋y＝”形式的实际问题
【类型一】购票问题
某学校在6月1日组织师生共110人到趵突泉公园游览,趵突泉公园规定：成人票价每位40元,学生票价每位20元.该学校购票共花费2400元,在这次游览活动中,教师和学生各有多少人？
解析：本题的等量关系是：教师人数＋学生人数＝110人；教师的总票钱＋学生的总票钱＝2400元.根据题意列出方程组,解得答案.
解：设在这次游览活动中,教师有x人,学生有y人,由题意得40x＋20y＝2400，x＋y＝110，解得x＝10，y＝100.
答：在这次游览活动中,教师有10人,学生有100人.
方法总结：此题主要考查了二元一次方程组的实际应用,解题关键是弄清题意,找出合适的等量关系,列出方程组.
【类型二】配套问题
机械厂加工车间有85名工人,平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个,2个大齿轮和3个小齿轮配成一套,问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮,才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套？
解析：设需安排x名工人加工大齿轮,安排y名工人加工小齿轮,根据平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个,2个大齿轮和3个小齿轮配成一套,列方程组求解.
解：设需要安排x名工人加工大齿轮,安排y名工人加工小齿轮,得x＋y＝85，3×16x＝2×10y，解得x＝25，y＝60.
答：需安排25名工人加工大齿轮,安排60名工人加工小齿轮.
方法总结：本题考查理解题意的能力,关键是能准确理解2个大齿轮和3个小齿轮配成一套是什么意思,根据理解正确列出方程.
【类型三】行程问题
A地至B地的航线长9750 km,一架飞机从A地顺风飞往B地需12.5 h,它逆风飞行同样的航线需13 h,求飞机无风时的平均速度与风速.
解析：设飞机的平均速度为x km/h,风速为y km/h,根据航行问题的数量关系建立方程组求出其解即可.
解：设飞机的平均速度为x km/h,风速为y km/h,由题意,得，
解得x＝765，y＝15.
答：无风时飞机的平均速度为765 km/h,风速为15 km/h.
方法总结：本题考查了二元一次方程组的实际应用,掌握行程问题的顺风速度＝无风时的速度＋风速,逆风速度＝无风时的速度－风速,由此建立方程组是关键.
【类型四】销售问题
某商店需要购进甲、乙两种商品共160件,其进价和售价如下表：(注：利润＝售价－进价)
甲 乙
进价(元/件) 15 35
售价(元/件) 20 45
解析：利用图表得到两种商品的进价和售价,根据所求设甲、乙商品分别购进x件和y件得出它们的和为160件,再根据两种商品的利润和列式,得出二元一次方程组求解即可.
解：设甲种商品应购进x件,乙种商品应购进y件,依题意得x＋y＝160，（20－15）x＋（45－35）y＝1100，解得x＝100，y＝60.
答：甲种商品应购进100件,乙种商品应购进60件.
方法总结：此题主要考查了二元一次方程的应用,设出未知数,找出题目中与未知数相关的等量关系是解决问题的关键.
【类型五】求多项式中的待定系数
对于多项式kx＋b(其 k,b为常数),若x分别用2,－3代入时,kx＋b的值分别为9,－1.
(1)求k和b的值；
(2)当x为何值时,kx＋b的值为15
解析：k,b是待定的系数,把x分别用两个数代入,得到关于kx＋b的两个值,这样可得到一个关于k,b的二元一次方程组.
解：(1)根据题意,得k×2＋b＝9，k×（－3）＋b＝－1.解得k＝2，b＝5，故所求k和b的值分别为2和5.
(2)由(1)可得2x＋5＝15,解得x＝5.则当x＝5时,kx＋b的值为15.
方法总结：利用方程组求多项式中的待定系数,只需要用相关数值代替相关字母,再根据题意就可以很容易的列出方程组,从而得解.这种方法非常重要,在今后的学习中也会经常用到.
三、板书设计
列方程组解应用题的一般步骤：
①审；②设；③找；④列；⑤解；⑥答.
本节课从生活中的实例引入,让学生感受到数学在实际生活中的作用.列方程(组)解应用题的关键是找等量关系,这就要求同学们认真审题,弄清题目中哪些是已知的,哪些是要求的,已知与要求的量之间有什么联系.在教学中,让学生自己尝试寻找等量关系,在设未知数和作答时,注意不要漏写单位.
第2课时　
解决所列方程组中x，y系数不都为1的实际问题
1.进一步积累运用方程模型解决实际问题的经验,培养良好的数学思维习惯以及分析问题、解决问题的能力.
2.通过解决实际问题进一步体会方程建模的过程和作用,培养应用数学的意识.
重点：列出二元一次方程组解决实际问题.
难点：从具体问题情境中找等量关系.
一、情境导入
学校组织各班开展“阳光体育”活动,某班体育委员第一次到商店购买了5个毽子和8根跳绳,花费34元,第二次又去购买了3个毽子和4根跳绳,花费18元,求每个毽子和每根跳绳各多少元？
二、合作探究
探究点：列二元一次方程组解决较复杂问题的应用题
【类型一】行程问题
西昌到成都的高速公路全长约420 km,一辆小汽车和一辆客车同时从西昌、成都两地相向开出,经过2.5 h相遇,相遇时,小汽车比客车多行驶70 km,求出小汽车和客车的平均速度.
解析：设小汽车的速度为x km/h,客车的速度为y km/h,根据客车与小汽车的路程之和等于总路程,相遇时,小汽车比客车多行驶70 km,列出方程组即可.
解：设小汽车和客车的平均速度分别为x km/h和y km/h,
由题意得2.5x＋2.5y＝420，2.5x－2.5y＝70，解得x＝98，y＝70.
答：小汽车的速度为98 km/h,客车的速度为70 km/h.
方法总结：此题考查了二元一次方程组的应用,关键是读懂题意,找出题目中的等量关系,列出方程组解答即可.
【类型二】购物问题
某超市为“开业三周年”举行了店庆活动.对A,B两种商品进行打折销售.打折前,购买5件A商品和1件B商品需用84元；购买6件A商品和3件B商品需用108元.而店庆期间,购买50件A商品和50件B商品仅需960元,这比不打折少花多少钱？
解析：通过打折前的两个等量关系列方程,从而求出打折前的A,B商品的单价.进而算出打折前购买商品所花的钱数,再与打折后所花的钱数相比较,就求出了少花的钱数.
解：设打折前A商品的单价为x元,B商品的单价为y元,根据题意,得6x＋3y＝108，5x＋y＝84，解得x＝16，y＝4.
打折前购买50件A商品和50件B商品共需16×50＋4×50＝1000(元).所以打折后少花1000－960＝40(元).
答：打折后少花40元.
方法总结：设未知数时可以直接设未知数,当直接设未知数不方便求解或列出的方程组较复杂时,也可以间接设未知数.要注意的是,间接设未知数时求得的解还需继续计算才能得出最后所要求的结果.
【类型三】分段计费问题
某市为提倡居民节约用水,规定每三口之家每月用水量不得超过20吨,超过部分加价收费.已知小亮家有三口人,今年4月份用水24吨,交水费46元；5月份用水29吨,交水费58.5元,你能知道该市在限定量以内的水费每吨多少元,超过部分的水费每吨多少元吗？
解析：本题等量关系为：4月份限定量以内的水费＋超额部分的水费＝46元；5月份限定量以内的水费＋超额部分的水费＝58.5元.根据这两个等量关系列出方程组求出答案.
解：设三口之家限定量以内的水费为每吨x元,超过部分的水费为每吨y元.根据题意,得20x＋（24－20）y＝46，20x＋（29－20）y＝58.5，解得x＝1.8，y＝2.5.
答：该市对三口之家限定量以内的水费为每吨1.8元,超过部分的水费为每吨2.5元.
方法总结：一般情况下,分段计费问题的等量关系为：各段内的费用之和等于总费用.
【类型四】方案问题
将一摞笔记本分给若干名同学,每名同学分6本,则剩下9本；每名同学分8本,又差了3本,问共有多少本笔记本、多少名同学？
解析：本题中两个等量关系为：笔记本的本数－同学的人数×6＝9,同学的人数×8－3＝笔记本的本数.根据这两个等量关系可列出方程组.
解：设共有笔记本x本,同学y名.根据题意,得8y－3＝x，x－6y＝9，解得x＝45，y＝6.
答：共有45本笔记本,6名同学.
方法总结：在方案问题中,要抓住其中不变的量找等量关系,列方程组.
【类型五】图表信息题
如图,小强和小红一起搭积木,小强所搭的小塔高度为23 cm,小红所搭的小树高度为22 cm,设每块A型积木的高为x cm,每块B型积木高y cm,请求出x和y的值.
解析：小强搭的积木的高度＝A的高度×2＋B的高度×3,小红搭的积木的高度＝A的高度×3＋B的高度×2,根据这两个等量关系列出方程组,再求解.
解：根据题意,得3x＋2y＝22，2x＋3y＝23，解得x＝4，y＝5.
方法总结：解题关键是看清图形的意思,找出等量关系列方程组求解.
三、板书设计
列方程(组)解应用题是同学们学习中的难点,在教学中注意引导学生如何审题,如何找出解决问题的等量关系.本节课的内容紧密联系实际生活,体现了数学的应用价值,让学生积极参与,提高学习的积极性.
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