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3.6 二元一次方程组的解法
3.6.1　代入消元法
1.了解解二元一次方程组的基本思想是消元,会用代入消元法解二元一次方程组.
2.通过探索二元一次方程组的解法,经历化“二元”为“一元”的过程,初步体会消元的思想以及把复杂问题转化为简单问题的化归思想.
重点：用代入消元法解二元一次方程组.
难点：熟练、正确地用代入消元法解二元一次方程组.
一、情境导入
在上节课的情境导入问题中,设全班男生有x人,女生有y人,则有x＋y＝45，20x＋15y＝800.怎样解这个方程组呢？
二、合作探究
探究点：用代入消元法解二元一次方程组
【类型一】某个未知数的系数等于1
解方程组：2x-y=5,
解析：把第二个方程化简,把第一个方程变形,用x表示y,再代入第二个化简后的方程,消去一个未知数,把二元一次方程组转化为一元一次方程来求解.
解：原方程组可化为2x－2y＝1②，将①代入②,得2x－2(2x－5)＝1,解得x＝.将x＝代入①,得y＝4,所以原方程组的解为x＝,y＝4.
方法总结：代入消元法的基本步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程,将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来；②将变形后的关系式代入另一个方程,消去一个未知数,得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程,求出x(或y)的值；④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中,求出另一个未知数的值；⑤把求得的未知数的值用“”联立起来,就是方程组的解.
【类型二】未知数的系数不等于1
解方程组：2x－3y＝1，3x＋2y＝8.
解析：把第一个方程变形,用y表示x,再代入第二个方程,消去一个未知数,把二元一次方程组转化为一元一次方程来求解.
解：2x－3y＝1①，3x＋2y＝8②，由①得x＝(3y＋1)③.将③代入②,得3×(3y＋1)＋2y＝8,解得y＝1.将y＝1代入③,得x＝2,所以原方程组的解为x＝2，y＝1.
方法总结：用代入法解二元一次方程组的基本思路是：选取其中一个二元一次方程,将它的一个未知数用另一个未知数来表示,再代入另一个方程,消去一个未知数,将方程转化为一元一次方程求解,即化“二元”为“一元”.
三、板书设计
用代入消元法解二元一次方程组的基本步骤：
(1)用一个未知数表示另一个未知数；
(2)代入,消元；
(3)解一元一次方程,求出其中一个未知数的值；
(4)代入,求出另一个未知数的值；
(5)联立,写出方程组的解.
本节课从上节课的实例引入,激发学生解二元一次方程组的求知欲望.在教学过程中,注重启发引导,让学生自主归纳总结用代入消元法解二元一次方程组的基本步骤.同时,应让学生注重数学思想方法的学习——消元.
3.6.2　加减消元法
1.进一步理解解二元一次方程组的基本思想是消元.
2.会用加减消元法解二元一次方程组,进一步体验“转化”“消元”思想.
重点：用加减消元法解二元一次方程组.
难点：熟练、正确地用适当方法解二元一次方程组.
一、情境导入
小玲与小丽两人星期日相约去超市买文具,小玲买了2支钢笔和3支铅笔,共花费19元；小丽买了3支钢笔和2支铅笔,共花费26元.如果买1支钢笔和1支铅笔,需要多少元？
二、合作探究
探究点一：用加减消元法解二元一次方程组
【类型一】用加减法直接解二元一次方程组
解方程组：x＋3y＝8，5x－3y＝4.
解析：两方程相加即可消去y求得x的值,然后将x的值代入第一个方程即可求得y的值.
解：x＋3y＝8①，5x－3y＝4②.①＋②,得6x＝12,解得x＝2.把x＝2代入①,得2＋3y＝8,解得y＝2,因此原方程组的解是x＝2，y＝2.
方法总结：解二元一次方程组时,如果两个二元一次方程中同一未知数的系数相同或互为相反数,把这两个方程相减或相加,就能消去一个未知数,从而得到一个一元一次方程,再解这个一元一次方程,求出一个未知数的值；然后把这个未知数的值代入原方程组中系数比较简单的一个方程中,求出另一个未知数的值.最后再把两个未知数的值用大括号联立起来即为方程组的解.
【类型二】方程组中未知数的系数成倍数关系
解方程组：x－2y＝3，3x＋y＝2.
解析：把②×2,再与①式相加,消去y,把二元一次方程组转化为一元一次方程求解.
解：x－2y＝3①，3x＋y＝2②.②×2,得6x＋2y＝4③,①＋③,得7x＝7,解得x＝1.将x＝1代入②,得y＝－1.因此,原方程组的解为x＝1，y＝－1.
方法总结：解二元一次方程组时,如果两个方程中的某一未知数的系数是倍数关系,可选取系数的绝对值较小的一个方程乘以一个适当的数,把两个方程中的这个未知数的系数化为相同或互为相反数,再把这两个方程相减或相加求出这个未知数,然后将它的值代入另一个未知数的系数较简单的方程中,求出另一个未知数的值.
【类型三】方程组中未知数的系数不成倍数关系
解方程组：3x－2y＝6，2x＋3y＝17.
解析：可把x的系数化为相等,①×2,②×3；也可把y的系数化为相反数,①×3,②×2.
解：3x－2y＝6①2x＋3y＝17②.，①×3,得9x－6y＝18③,②×2,得4x＋6y＝34④.③＋④,得13x＝52,解得x＝4.把x＝4代入①,得12－2y＝6,解得y＝3.所以原方程组的解是x＝4，y＝3.
方法总结：解二元一次方程组的关键是消元,即把“二元”化为“一元”.用加减消元法解二元一次方程组时,如果方程组中未知数的系数不成倍数关系,可选定一个未知数,把两个方程分别乘以一个适当的数,使这个未知数的系数化为相同或互为相反数,再用加减法求解.
探究点二：解系数较复杂的二元一次方程组
解方程组：
解析：这个方程组中的方程比较复杂,可通过去分母等步骤把方程化简,然后再用加减法解方程组.
解：原方程组可化为14x＋3y＝24①，3x－5y＝39②.①×5,得70x＋15y＝120③.②×3,得9x－15y＝117④.③＋④,得79x＝237,解得x＝3.把x＝3代入②,得9－5y＝39,解得y＝－6.所以原方程组的解是x＝3，y＝－6.
方法总结：解方程组时,如果系数为分数,一般先化为整数系数,并把方程整理化为一般形式,然后根据方程组的特点求解.
探究点三：二元一次方程组的简单应用
【类型一】利用二元一次方程组的解求字母的值
已知关于x,y的二元一次方程组x－2y＝2k＋1,2x＋3y＝k－3.的解互为相反数,则k的值是________.
解析：因为关于x,y的二元一次方程组x－2y＝2k＋1,2x＋3y＝k－3.的解互为相反数,即x＝－y.把x＝－y代入原方程组中,得－y－2y＝2k＋1，(－2y＋3y＝k－3，)即－3y＝2k＋1②，(y＝k－3①，)把①代入②中,得－3(k－3)＝2k＋1,解得k＝5(8).
方法总结：求解二元一次方程(组)中的字母的值,一般有以下方法：①将解代入方程组,得到关于字母的方程组,求解即可；②先消去一个未知数,再求另一个未知数和字母组成的方程组的解.
【类型二】同解方程组
已知方程组3x－2y＝1,4x＋y＝5,和ax－by＝1,ax＋by＝3.有相同的解,求a2－2ab＋b2的值.
解析：解第一个方程组3x－2y＝1，4x＋y＝5.把求得的解代入第二个方程组ax－by＝1，ax＋by＝3，求得a,b的值,再代入a2－2ab＋b2计算.
解：解方程组3x－2y＝1，(4x＋y＝5，)得x＝1，y＝1.把x＝1，y＝1代入方程组ax－by＝1，ax＋by＝3，得a＋b＝3，a－b＝1.解此方程组得a＝2，b＝1，所以a2－2ab＋b2＝1.
方法总结：两个方程组同解求字母系数的值,常见的有两种类型：一是字母系数只出现在一个方程组中,这时可解另一个方程组,把求得的解代入含字母系数的方程,再解之即可.二是字母系数包含在两个方程组中,这时可把两个方程组重新组合,把不含字母系数的方程放在一起求解,再把求得的解代入含字母系数的方程组中求解即可.
三、板书设计
1.用加减消元法解二元一次方程组
(1)某一未知数的系数相等或互为相反数——把两个方程直接相减或相加；
(2)某一未知数的系数成倍数关系——先把这一未知数的系数化为相等或互为相反数,再用加减法求解；
(3)两个未知数的系数不成倍数关系——选定一个未知数,把两个方程分别乘以一个适当的数,使这个未知数的系数化为相等或互为相反数,再用加减法求解.
2.解比较复杂的二元一次方程组.
3.二元一次方程组的简单应用.
本节课学习了用加减消元法解二元一次方程组,在进行加减消元时,应将某一未知数的系数化为相等或互为相反数.在教学中,注重启发引导,让学生积极参与课堂活动,通过自主探究、合作交流,体会到成功的喜悦.
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