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2.4 整式的加法与减法
第1课时　去括号
1.知道相反多项式,能通过类比有理数的减法法则得出多项式的减法运算方法.
2.归纳、掌握去括号法则,并在去括号后正确进行整式的加减运算.
3.经历带有括号的有理数的运算,发现去括号时符号变化的规律,归纳出去括号法则,培养学生观察、分析、归纳能力,发展数学思维.
重点：准确应用去括号法则进行整式的计算.
难点：准确应用去括号法则进行整式的计算.
一、情境导入
还记得用火柴棒像如图那样搭x个正方形时,怎样计算火柴的根数吗？
方法1：第一个正方形用四根,以后每增加一个正方形,火柴棒就增加三根,那么搭x个正方形需要火柴棒________根.
方法2：把每个正方形都看成是用四根火柴棒搭成的,然后再减多出的根数,那么搭x个正方形需要火柴棒________根.
方法3：第一个正方形可以看成是一根火柴棒加3根火柴棒搭成的,此后每增加一个正方形就增加3根,搭x个正方形共需____________根.
二、合作探究
探究点一：去括号
下列去括号正确吗？如有错误,请改正.
(1)＋(－a－b)＝a－b； (2)5x－(2x－1)－xy＝5x－2x＋1＋xy；
(3)3xy－2(xy－y)＝3xy－2xy－2y； (4)(a＋b)－3(2a－3b)＝a＋b－6a＋3b.
解析：先判断括号外面的符号,再根据去括号法则选用适当的方法去括号.
解：(1)错误,括号外面是“＋”号,括号内不变号,应该是：＋(－a－b)＝－a－b；
(2)错误,－xy没在括号内,不应变号,应该是：5x－(2x－1)－xy＝5x－2x＋1－xy；
(3)错误,括号外是“－”号,括号内应该变号,应该是：3xy－2(xy－y)＝3xy－2xy＋2y；
(4)错误,乘法的分配律使用错误,应该是：(a＋b)－3(2a－3b)＝a＋b－6a＋9b.
方法总结：本题考查去括号的方法：去括号时,运用乘法的分配律,先把括号前的数字与括号里各项相乘,再运用括号前是“＋”,去括号后,括号里的各项都不改变符号；括号前是“－”,去括号后,括号里的各项都改变符号.
探究点二：去括号运算
【类型一】去括号后进行整式的计算
先去括号,后合并同类项：
(1)x＋[－x－2(x－2y)]；
(2)－(a＋b2)＋3(－a＋b2)；
(3)－3{－3[－3(2x＋x2)－3(x－x2)－3]}.
解析：去括号时注意去括号后符号的变化,然后找出同类项,根据合并同类项的法则进行计算,即系数相加作为系数,字母和字母的指数不变.
解：(1)原式＝x－x－2x＋4y＝－2x＋4y；
(2)原式＝a－a－b2－a＋b2＝－2a＋b2；
(3)原式＝－3[9(2x＋x2)＋9(x－x2)＋9]＝－27(2x＋x2)－27(x－x2)－27＝－54x－27x2－27x＋27x2－27＝－81x－27.
方法总结：解决本题是要注意去括号时符号的变化,并且不要漏乘.有多个括号时要注意去各个括号时的顺序.
【类型二】与绝对值、数轴相结合,去括号代数式的计算
有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,计算|a＋c|＋|a＋b＋c|－|a－b|＋|b＋c|.
解析：根据数轴上的数,右边的数总是大于左边的数,即可确定a,b,c的符号,进而确定式子中绝对值内的式子的符号,根据正数的绝对值是本身,负数的绝对值是它的相反数,即可去掉绝对值符号,对式子进行计算.
解：由图可知a＞0,b＜0,c＜0,|a|＜|b|＜|c|,所以a＋c＜0,a＋b＋c＜0,a－b＞0,b＋c＜0,所以原式＝－(a＋c)－(a＋b＋c)－(a－b)－(b＋c)＝－3a－b－3c.
方法总结：本题考查了利用数轴,比较数的大小关系,对于含有绝对值的式子的计算,要根据绝对值内的式子的符号,去掉绝对值符号.
探究点三：含括号的整式的化简求值
【类型一】化简求值
先化简,再求值：已知x＝－4,y＝,求5xy2－[3xy2－(4xy2－2x2y)]＋2x2y－xy2.
解析：原式去括号合并得到最简结果,把x与y的值代入计算即可求出值.
解：原式＝5xy2－3xy2＋4xy2－2x2y＋2x2y－xy2＝5xy2,当x＝－4,y＝时,原式＝5×(－4)×()2＝－5.
方法总结：解决本题是要注意去括号,去括号要注意顺序,先去小括号,再去中括号,最后去大括号.负数代入求值时,要加上括号.
【类型二】整体思想在整式求值中的应用
已知式子x2－4x＋1的值是3,求式子3x2－12x－1的值.
解析：若从已知条件出发先求出x的值,再代入计算,目前来说是不可能的.因此可把x2－4x看作一个整体,采用整体代入法,则问题可迎刃而解.
解：因为x2－4x＋1＝3,所以x2－4x＝2,所以3x2－12x－1＝3(x2－4x)－1＝3×2－1＝5.
方法总结：在整式的加减运算中,运用整体思想对某些问题进行整体处理,常常能化繁为简,解决一些目前无法解决的问题.
探究点四：含括号整式的应用
某商店有一种商品每件成本a元,原来按成本增加b元定出售价,售价40件后,由于库存积压,调整为按售价的80%出售,又销售了60件.
(1)销售100件这种商品的总售价为多少元？
(2)销售100件这种商品共盈利多少元？
解析：(1)求出40件的售价与60件的售价即可确定出总售价；
(2)由利润＝售价－成本列出关系式即可得到结果.
解：(1)根据题意得40(a＋b)＋60(a＋b)×80%＝88a＋88b(元),则销售100件这种商品的总售价为(88a＋88b)元；
(2)根据题意得88a＋88b－100a＝－12a＋88b(元),则销售100件这种商品共盈利(－12a＋88b)元.
方法总结：解决此类题目的关键是熟记去括号法则,熟练运用合并同类项的法则.
三、板书设计
去括号法则：
如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.
注意：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；
②去括号时改变了式子的形式,但并没有改变式子的值.
去括号法则是本章的重点和难点.在这节课的准备上,选择了规律探究的“火柴棒”问题教学的引入,探索变化规律,这些规律的探索培养了学生归纳、概括的能力,使学生建立初步的符号感.运用法则去括号时,开始学生确实容易混淆,因为刚探索出来的东西毕竟是陌生事物,学生的认知水平不可能马上接受,所以必须经过练习,经过练习使学生牢固掌握法则.
第2课时　整式的加减
1.知道整式的加法同样满足乘法对加法的分配律,会进行整式的加减运算.
2.发现整式间的相互关联,能通过整式的加减运算结果计算其他整式.
3.通过对整式的加减的探索,培养学生积极探索的学习态度,发展学生有条理地思考及表达能力,体会整式的应用价值.
重点：会用整式加减的运算法则进行整式加减运算.
难点：列式表示问题中的数量关系.
一、情境导入
1.某学生合唱团出场时第一排站了n名学生,从第二起每一排都比前一排多一人,一共站了四排,则该合唱团一共有多少名学生参加？
(1)让学生写出答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋(n＋3)；
(2)提问：以上答案能进一步计算吗？如何计算？我们进行了哪些运算？
2.计算：
(1)(x＋y)－(2x－3y)； (2)2(a2－2b2)－3(2a2＋b2).
提问：以上计算实际上进行了哪些运算？怎样进行整式的加减运算？
二、合作探究
探究点一：整式的加减
【类型一】整式的计算
计算：3(2x2－y2)－2(3y2－2x2).
解析：先运用去括号法则去括号,然后合并同类项.注意去括号时,如果括号前是负号,那么括号中的每一项都要变号；合并同类项时,只把系数相加减,字母与字母的指数不变.
解：3(2x2－y2)－2(3y2－2x2)＝6x2－3y2－6y2＋4x2＝10x2－9y2.
方法总结：去括号时应注意：①不要漏乘；②括号前面是“－”,去括号后括号里面的各项都要变号.
【类型二】根据计算结果求值
先计算2(x3y2－5xy3＋x)－3(x3y2－xy3＋7x),再利用所得结果计算：
2×[(－3)3×(－2)2－5×(－3)×(－2)3＋(－3)]－3×[(－3)3×(－2)2－(－3)×(－2)3＋7×(－3)].
解析：先根据去括号法则对所给多项式进行计算,得到关于x,y的一个多项式；通过比较发现：第二个式子与第一个多项式存在联系,第二个式子中的－3相当于第一个式子中的x,第二个式子中的－2相当于第一个式子中的y,所以只需要将其分别代入第一个式子计算后的结果中,即可求出第二个式子的结果.
解：2(x3y2－5xy3＋x)－3(x3y2－xy3＋7x)＝2x3y2－10xy3＋2x－3x3y2＋3xy3－21x＝－x3y2－7xy3－19x①.将等式①中的x用－3,y用－2代入,则2×[(－3)3×(－2)2－5×(－3)×(－2)3＋(－3)]－3×[(－3)3×(－2)2－(－3)×(－2)3＋7×(－3)]＝－(－3)3×(－2)2－7×(－3)×(－2)3－19×(－3)＝108－168＋57＝－3.
方法总结：观察两个式子的特点,发现两个式子的结构、数字与字母的关系,是解决此类问题的关键.
【类型三】利用“无关”进行说理或求值
解析：先通过去括号、合并同类项对多项式进行计算,然后对计算结果进行分析.
解：3a3b3－a2b＋b－(4a3b3－a2b－b2)＋(a3b3＋a2b)－2b2＋3＝(3－4＋1)a3b3＋(－＋＋)a2b＋(1－2)b2＋b＋3＝b－b2＋3.因为它不含有字母a,所以代数式的值与a的取值无关.
方法总结：解答此类题的思路就是先计算原式,得到一个不含指定字母的结果,便可说明该式与指定字母的取值无关.
探究点二：整式加减的应用
如图,小红家装饰新家,小红为自己的房间选择了一款窗帘,请你帮她计算：
(1)窗户的面积是多大？
(2)窗帘的面积是多大？
解析：(1)窗户的宽为b＋＋＝2b,长为a＋,根据长方形的面积计算方法求得答案即可；
(2)窗帘的面积是2个半径为的圆的面积和一个直径为b的半圆的面积的和,相当于一个半径为的圆的面积；
(3)利用窗户的面积减去窗帘的面积即可.
解：(1)窗户的面积是(b＋＋)(a＋)＝2b(a＋)；
(2)窗帘的面积是π()2＝πb2；
(3)射进阳光的面积是2ab＋b2－πb2＝2ab＋(1－π)b2.
方法总结：解决问题的关键是看清图意,正确利用面积计算公式列式即可.
三、板书设计
整式的加减的运算法则：
一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项.
通过实际问题,让学生体会进行整式的加减的必要性.通过“去括号、合并同类项”习题的复习归纳总结出整式的加减的一般步骤,培养学生的观察、分析、归纳和概括的能力,了解知识的发生发展过程,理解整式的加减实质就是去括号、合并同类项.教学过程中由学生小组讨论概括出整式的加减的一般步骤,然后出示例题,由学生解答,同时采取由学生出题,其他同学抢答等形式,来提高学生的学习兴趣,充分调动他们的主观能动性,从而提高课堂教学效率.
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