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1.5 有理数的乘法和除法
1.5.1-1　有理数的乘法
1.理解有理数的乘法法则.
2.能利用乘法法则正确、熟练地进行有理数的乘法运算.
3.会用分类讨论的思想归纳出两数相乘的法则.
重点：两个有理数相乘的符号法则及运算步骤.
难点：探究、归纳有理数的乘法法则.
一、情境导入
1.小学我们学过了正数的乘法的意义,比如说2×3,6×,…,一个数乘以整数是求几个相同加数和的运算,一个数乘以分数就是求这个数的几分之几.
2.计算下列各题：
(1)5×6；　(2)3×；　(3)×； (4)2×2；　(5)2×0；　(6)0×.
引入负数之后呢,有理数的乘法应该怎么运算？这节课我们就来学习有理数的乘法.
二、合作探究
探究点一：有理数的乘法法则
计算：
(1)5×(－9); (2)(－5)×(－9)； (3)(－6)×(－9); (4)(－6)×0； (5)(－)×.
解析：(1)(5)小题是异号两数相乘,先确定积的符号为“－”,再把绝对值相乘；(2)(3)小题是同号两数相乘,先确定积的符号为“＋”,再把绝对值相乘；(4)小题是任何数同0相乘,都得0.
解：(1)5×(－9)＝－(5×9)＝－45； (2)(－5)×(－9)＝5×9＝45；
(3)(－6)×(－9)＝6×9＝54； (4)(－6)×0＝0；
(5)(－)×＝－(×)＝－.
方法总结：两数相乘,积的符号是由两个乘数的符号决定：同号得正,异号得负,任何数乘以0,结果为0.
探究点二：有理数乘法的运用
若定义一种新的运算“*”,规定有理数a*b＝ab－3a.求3*(－4)的值.
解析：此类题为新定义问题,解答此类问题时要根据题设先确定运算顺序,再根据有理数乘法法则进行计算.
解：3*(－4)＝(－4)×3－3×3＝－21.
方法总结：解题时要正确理解题设中新运算的运算方法.
三、板书设计
有理数的乘法法则
(1)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘；
(2)任何数与0相乘都得0.
有理数的乘法是有理数运算中一个非常重要的内容,它与有理数的加法运算一样,也是建立在小学算术运算的基础上.“有理数乘法”的教学,在性质上属于定义教学,历来是一个难点课题,教学时应列举简单的事例,尽早出现法则,然后用较多的时间去练法则,背法则.本节课尽量考虑在有利于基础知识、基础技能的掌握的前提下,最大限度地使教学的设计过程面向全体学生,充分照顾不同层次的学生,使设计的思路符合“新课程标准”倡导的理念.
1.5.1-2　有理数乘法的运算律
1.掌握有理数的乘法运算律并能用乘法运算律简化运算.
2.经历有理数的乘法满足乘法对加法的分配律这一过程,体会从特殊到一般、从一般到特殊的思维过程.
重点：理解有理数的乘法运算律,并会利用运算律简化运算.
难点：利用分配律的逆运算来简化计算.
一、情境导入
上节课我们学习了有理数的乘法,下面我们做几道题.计算下列各题,并比较它们的结果：
1.(－7)×8与8×(－7)；
[(－2)×(－6)]×5与(－2)×[(－6)×5].
2.(－)×(－)与(－)×(－)；
让学生自由选择其中的一组问题进行计算,然后在组内交流,验证答案的正确性.
二、合作探究
探究点一：有理数乘法的运算律
【类型一】利用运算律简化计算
计算：
(1)(－＋)×(－24)；
(2)(－7)×(－)×.
解析：第(1)题,按运算顺序应先算括号内的再算括号外的,显然括号内两个分数相加,通分较麻烦,而括号外面的因数－24是括号内每个分数的分母的倍数,若相乘可以约去分母,使运算简便.因此,可利用乘法对加法的分配律进行简便运算.第(2)题,仔细观察,会发现第1个因数－7与第3个因数的分母可以约分,因此可利用乘法的交换律把它们先结合运算.
解：(1)(－＋)×(－24)＝(－)×(－24)＋×(－24)＝20＋(－9)＝11；
(2)(－7)×(－)×＝(－7)××(－)＝(－)×(－)＝.
方法总结：当一道题按照常规运算顺序去运算较复杂,而利用运算律改变运算顺序却能使运算变得简单些,这时可用运算律进行简化运算.
【类型二】逆用乘法对加法的分配律
计算：－32×＋(－11)×(－)－(－21)×.
解析：根据乘法对加法的分配律的逆运算可先把－提出,可得－×(32－11－21),再计算括号里面的减法,后计算乘法即可.
解：原式＝－×(32－11－21)＝0.
方法总结：如果按照先算乘法,再算加减,则运算比较烦琐,且符号容易出现问题,但如果逆用乘法对加法的分配律,则可以使运算简便.
【类型三】有理数乘法运算律的应用
我市旅游局发布统计报告：国庆期间,溱湖风景区在7天假期中每天接待游客的人数变化如下表(正数表示比前一天多的人数,负数表示比前一天少的人数).
日期 10月 1日 10月 2日 10月 3日 10月 4日 10月 5日 10月 6日 10月 7日
人数变化 (单位：万人) ＋1.2 ＋0.8 ＋0.2 －0.2 －0.6 ＋0.2 －1
若9月30日的游客人数为0.6万人,10月1日～10月3日门票为每人150元,10月4日～10月5日门票为每人120元,10月6日～10月7日门票为每人100元,问国庆期间溱湖风景区门票收入是多少元？
解析：解此类问题时要根据表格信息,正确理解题意.
解：10月1日的游客人数为0.6＋1.2＝1.8(万人)；10月2日的游客人数为1.8＋0.8＝2.6(万人)；10月3日的游客人数为2.6＋0.2＝2.8(万人)；10月4日的游客人数为2.8－0.2＝2.6(万人)；10月5日的游客人数为2.6－0.6＝2(万人)；10月6日的游客人数为2＋0.2＝2.2(万人)；10月7日的游客人数为2.2－1＝1.2(万人).则该风景区国庆期间的门票收入为[150×(1.8＋2.6＋2.8)＋120×(2.6＋2)＋100×(2.2＋1.2)]×10000＝19720000(元).
方法总结：解答本题关键是根据题意列出算式,然后根据乘法的运算律进行简便计算.
探究点二：多个有理数相乘
计算：
(1)－2×3×(－4)； (2)－6×(－5)×(－7)； (3)0.1×(－0.001)×(－1)；
(4)(－100)×(－1)×(－3)×(－0.5)； (5)(－17)×(－49)×0×(－13)×37.
解析：先确定结果的符号,然后再将它们的绝对值相乘即可.
解：(1)原式＝－6×(－4)＝24；
(2)原式＝30×(－7)＝－210；
(3)原式＝－0.0001×(－1)＝0.0001；
(4)原式＝100×(－3)×(－0.5)＝－300×(－0.5)＝150；
(5)原式＝0.
方法总结：①几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有奇数个时,积为负；当负因数有偶数个时,积为正.②几个数相乘,有一个因数为0,积就为0.
三、板书设计
1.乘法交换律：a×b＝b×a；
乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)；
乘法对加法的分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c.
2.多个有理数相乘的法则.
新课程理念要求把学生“学”数学放在教师“教”之前,“导学”是教学的重点.因此,在本节课的教学中,不要直接将结论告诉学生,而是引导学生从大量的实例中寻找解决问题的规律.学生经历积极探索知识的形成过程,最后总结得出有理数乘法的运算律.整个教学过程要让学生积极参与,独立思考和合作探究相结合,教师适当点评,以达到预期的教学效果.
1.5.2　有理数的除法
1.理解倒数的意义,会求一个有理数的倒数.
2.经历有理数除法法则的探索过程,会进行有理数的除法运算.
3.会用转化的数学思想,推导出有理数的除法法则.
重点：正确地运用法则进行有理数的除法运算.
难点：根据不同的情况来选取适当的方法求商.
一、情境导入
1.计算：(1)×0.2＝________； (2)12×(－3)＝________；
(3)(－1.2)×(－2)＝________； (4)(－1)×0＝________.
2.由(－3)×4＝_____,再由除法是乘法的逆运算,可得(－12)÷(－3)＝4,(－12)÷4＝____.
同理,(－3)×(－4)＝________,12÷(－4)＝________,12÷(－3)＝________.
观察上面的算式及计算结果,你有什么发现？换一些算式再试一试.
二、合作探究
探究点一：倒数
【类型一】直接求某个数的倒数
求下列各数的倒数.
(1)－； (2)2； (3)－1.25； (4)5.
解析：根据倒数的定义依次解答.
解：(1)－的倒数是－； (2)2＝,故2的倒数是；
(3)－1.25＝－,故－1.25的倒数是－； (4)5的倒数是.
方法总结：乘积是1的两个数互为倒数,一般在求小数的倒数时,先把小数化为分数再求解.当一个算式中既有小数又有分数时,一般要统一,具体是统一成分数还是小数,要看哪一种计算简便.
【类型二】与相反数、倒数、绝对值有关的求值问题
已知a与b互为相反数,c与d互为倒数,m的绝对值为6,求－cd＋|m|的值.
解析：根据相反数的概念和倒数概念,可得a,b；c,d的等量关系,再由m的绝对值为6,可求m的值,把所得的等量关系整体代入可求出该式的值.
解：由题意得a＋b＝0,cd＝1,|m|＝6,m＝±6；所以①当m＝6时,原式＝－1＋6＝5；②当m＝－6时,原式＝－－1＋6＝5.故－cd＋|m|的值为5.
方法总结：解答此题的关键是先根据题意得出a＋b＝0,cd＝1及m＝±6,再代入所求式子进行计算.
探究点二：有理数的除法
【类型一】直接判定商的符号和绝对值进行除法运算
计算：
(1)(－15)÷(－3); (2)12÷(－)； (3)(－0.75)÷(0.25).
解析：采用有理数的除法：两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除解答.
解：(1)(－15)÷(－3)＝＋(15÷3)＝5；
(2)12÷(－)＝－(12÷)＝－48；
(3)(－0.75)÷(0.25)＝－(0.75÷0.25)＝－3.
方法总结：注意先确定运算的符号.根据“同号得正,异号得负”的法则进行计算.本题属于基础题,考查对有理数的除法运算法则掌握的程度.
【类型二】将除法转化为乘法进行计算
计算：
(1)(－18)÷(－)； (2)16÷(－)÷(－).
解析：本题可采用有理数的除法：除以一个数就等于乘以这个数的倒数来解答.
解：(1)(－18)÷(－)＝(－18)×(－)＝18×＝27；
(2)16÷(－)÷(－)＝16×(－)×(－)＝16××＝
方法总结：此题考查了有理数的除法运算,有理数的除法运算通常利用除以一个数等于乘以这个数的倒数化为乘法运算来求.
【类型三】根据,a＋b的符号,判断a和b的符号
如果a＋b＜0,＞0,那么这两个数()
A.都是正数 B.符号无法确定
C.一正一负 D.都是负数
解析：因为＞0,根据“两数相除,同号得正”可知,a,b同号,又因为a＋b＜0,所以可以判断a,b均为负数.故选D.
方法总结：此题考查了有理数除法和加法法则,将二者综合考查是考试中常见的题型,此题的侧重点在于考查学生的逻辑推理能力.
三、板书设计
有理数除法法则：
1.任何数除以一个不为0的数,等于乘以这个数的倒数,即a÷b＝a×(b≠0).
2.(1)两个数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.
(2)0除以任何一个不为0的数,都得0.
让学生深刻理解除法是乘法的逆运算,对学好本节内容有很好的帮助.教学设计可以采用课本的引例作为探究除法法则的导入.让学生自己探索并总结除法法则,同时也让学生对比乘法法则和除法法则,加深印象.教学时应该使学生掌握除法的两种运算方法：1.在除式不复杂的情况下直接运用除法法则求解；2.在多个有理数进行除法运算或者是乘、除混合运算时应该把除法转化为乘法,然后统一用乘法的运算律解决问题.
1.5.3　有理数的乘除
1.掌握有理数的乘、除混合运算顺序,能熟练地运用有理数的运算法则进行有理数的乘除混合运算.
2.会运用有理数的乘、除混合运算解决简单的实际问题.
重点：有理数乘、除混合运算.
难点：运算顺序的确定与性质符号的处理.
一、情境导入
在小学我们已经学习过乘除混合运算,其运算顺序是按从________到________的顺序进行运算,如果有括号,先算__________里面的.
二、合作探究
探究点一：有理数的乘除混合运算
计算：
(1)－2.5÷×(－)； (2)(－)÷(－)×(－1).
解析：(1)把小数化成分数,同时把除法变成乘法,再根据有理数的乘法法则进行计算即可.(2)首先把乘除混合运算统一成乘法,再确定积的符号,然后把绝对值相乘,进行计算即可.
解：(1)原式＝－××(－)＝××＝1；
(2)原式＝(－)×(－)×(－)＝－××＝－4.
方法总结：解题的关键是掌握运算方法,先统一成乘法,再计算.
计算：
(1)(－3)÷(－1)×0.75÷(－)×(－6)； (2)(－)×(－0.1)÷×(－10)；
解析：(1)有括号的要先算括号里的数,(2)仅有乘除运算时,按从左到右的顺序依次进行或先把除法运算统一成乘法运算.
解：(1)原式＝3××××6＝18；
(2)原式＝－(××25×10)＝－5；
方法总结：仅有乘法和除法运算时,一要注意运算顺序,二要注意符号,三要注意除法与乘法的正确转换,四要注意运用运算律简化运算.
探究点二：有理数乘除混合运算的应用
已知海拔每升高1000 m,气温下降6 ℃,某人乘热气球旅行,在地面时测得温度是8 ℃,当热气球升空后,测得高空温度是－1 ℃,热气球的高度为________m.
解析：此类问题考查有理数的混合运算,解题时要正确理解题意,列出式子求解,由题意可得[8－(－1)]×(1000÷6)＝1500(m),故填1500.
方法总结：本题的考点是有理数的混合运算,熟练运用运算法则是解题的关键.
三、板书设计
1.有理数的乘除混合运算的顺序：从左到右,有括号先算括号内的
2.利用乘法运算律简化运算
3.有理数乘除混合运算的应用
这节课主要讲授了有理数的乘除混合运算.运算顺序学生早已熟练掌握,让学生学会分析题目中所包含的运算是本节课的重难点.在教学时,要注意结合学生平时练习中出现的问题,及时纠正和指导,培养学生良好的解题习惯.
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