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第六章 几何图形初步
6.3.2 《角的比较与运算》
第2课时 角平分线
本节课是初中数学人教版七年级上册第六章几何图形初步认识的第三部分角的第三课时，这节课是有关角的基本概念及角的比较与运算的延伸,也是《余角和补角》的铺垫,更是以后解决有关的几何问题的基础,对于培养学生的类比思想及实践探索等能力都有一定的意义.
本节课的课标要求：结合图形掌握角平分线的定义，会画出已知角的角平分线，能够运用角平分线，准确的进行相关运算，在经历探索角平分线的表达形式，提高逻辑思维及推理能力.
在小学阶段学生对角已经有了一定的了解，比如，锐角、直角、钝角、平角、周角等；前面又学习了角的概念及其表示方法，而且从“运动”的角度重新定义了角的概念，在此基础又学习《角的比较与运算》.
本节课通过画出已知角的角平分线，来理解和掌握角平分线的定义，在探索角平分线的表达形式中存在着一定的问题，教师在授课时应注意对角平分线的定义的运用进行强化练习，同时强调在推理过程中，发展学生推理严密的良好习惯.
1.掌握角平分线的定义，会画出已知角的角平分线.
2.理解角的倍分关系及其三等分线的概念.
3.灵活运用角平分线，准确的进行相关运算.
4.经历探索角平分线的表达形式，提高逻辑思维及推理能力.
重点：掌握角平分线的定义，会画出已知角的角平分线.
难点：灵活运用角平分线，准确的进行相关运算.
课前提问
我们知道，线段的中点是把线段分成两条相等的线段，它的表达方法与哪些呢？那么怎样把一个已知角分成相等的两个角呢？它的表达方法又如何呢？
师生活动：老师提问学生先思考再举手回答．
设计意图：
类比线段的中点是把线段分成两条相等的线段来平分已知角，目的让学生体会类比的数学思想.
活动一 探索角平分线的定义
仿照图6.3-12，在一张半透明的纸上画出一个角并剪下，将这个角对折，使其两边重合．想想看，折痕与角两边所成的两个角的大小有什么关系？
图6.3-10中的射线OB就能够把∠AOC分成的两个相等的角，那么你能概括出角平分线的概念吗？
师生活动：先动手做一做，再以小组形式汇报展示．
设计意图：
[1]在一张半透明的纸上画出一个角并剪下，将这个角对折，使其两边重合，通过对折让学生直观理解和掌握角平分线的定义.
[2]培养学生动手操作的能力.
活动二：探索角平分线的表达形式 图6.3-10
如图6.3-10中，如果∠AOB＝∠BOC，那么射线OB把∠AOC分成两个相等的角．这时有_____________,_______________.
∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC ， ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC
师生活动：先独立思考再讨论，以小组形式汇报展示，其他学生进行补充和质疑.
设计意图：
[1]让学生理解∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC 与 ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC这是角平分线表达形式的变形，目的在于培养学生逆向思维灵活应变能力.
活动三：探索角的三等分线及表达形式
类如比角平分线的研究方法，你会探索三等分一个已知角吗？
图6.3-11中，如果∠AOB＝∠BOC＝∠COD，那么射线OB、
OC叫做∠AOD的三等分线．
这时有____________,___________.
∠AOB＝∠BOC＝∠COD ＝∠AOD
∠AOD＝3∠AOB＝3∠BOC＝3∠COD
师生活动：先独立思考再讨论，以小组形式汇报展示，其他学生进行补充和质疑.
设计意图：
[1]目的在于拓展学生逆向思维灵活应变能力.
活动四：真实举例
例3.把一个周角7等分，每份是多少度的角（精确到分）？
师生活动：先进行板演，然后集体评价.
解析：一个周角是360°，将一个周角7等分，则每份是360÷7=51°26′.
设计意图：
[1]强化等分已知角.
[2]目的强调度、分、秒是六十进制的，不能整除时要把剩余的度数化成分．
活动五：运用新知显身手
1．如图，把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是多少度？
要使每份中的角是15°，这个蛋糕应等分成多少份？
解析：利用一个周角是360°,用360°除以平分的份数就是每份的度数， 除以每份的度数就可以得到份数.
解：360°÷8＝15°
360°÷15°＝24
答：把一个蛋糕等分成8份，每份的角是45°;如果要使每份的角是15°，这个蛋糕应被等分成24份.
2.如图，O是直线AB上一点，OC是∠AOB的平分线，∠COD＝31°28′ .求∠AOD的度数．
解析:根据角平分线的定义和平角的定义得到
∠AOC=∠AOB=×180°= 90°，然后利用∠AOD =90° ∠COD进行计算.
解：∵∠AOB=180°，OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC= ∠A0B = ×180°= 90°，
又∵∠COD = 31°28′，
∴∠AOD = 90°-31°28′ = 58°32′
3．计算：（1）21°17′×5；
（2）180°÷11（精确到分）．
解: (1)21°17' ×5= 105°85'=106°25';
(2)180°÷11= 176°240'÷11≈ 16°22'.
师生活动：先认真做一做再展示与评价.
4.如图,OM平分∠AOB,ON平分∠COD, ∠MON=90°, ∠BOC=26° 求∠AOD的度数．
解析:根据角平分线的定义可得到∠DON = ∠CON，∠AOM = ∠BOM，根据与已知角的关系求出∠AOD的度数.
解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD，
∴∠AOB+DOC =2(∠MOB + ∠NOC).
∵∠MON =90°，∠BOC=26°,
∴∠MOB+∠NOC=∠MON-∠BOC=90°- 26°= 64°
∴∠AOB+∠DOC =2(∠MOB+∠NOC) =64°×2 = 128°
∴∠AOD= ∠AOB+∠DOC+ ∠BOC =128°+26°=154°
师生活动：先独立思考后讨论，再以小组形式汇报展示评价..
设计意图：
[1]巩固已学的新知.
[2]目的让学生熟练运用角平分线相关知识进行解题.
活动六：课堂检测
1.如图，在∠AOB内部任意画一条射线OC，OD平分∠AOC,OE平分∠BOC．根据图形填空：
（1）∠AOB＝∠AOC＋____;
（2）∠COD＝____＝ ____;
（3）∠DOE＝____＋____＝ ____;
（4）若∠DOE＝60°，则∠AOB＝____°;
若∠AOB＝n°，则∠DOE＝____°.
解析与答案
(1) 观察图形可得:∠AOB= ∠AOC+ ∠BOC.故答案为:∠BOC;
(2)∵OD平分∠AOC,∴∠COD=∠AOD=∠AOC.故答案为:∠AOD，∠AOC;
(3)∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠COE =∠BOC, ∠COD =∠AOC;
∴∠DOE=∠COE +∠COD=∠BOC+∠AOC=（∠BOC+∠AOC）=∠AOB .
故答案为:∠COE，∠COD，∠AOB
(4)由(3)可得:∠DOE=∠AOB,若∠DOE=60°，则∠AOB =2×60°=120°
若∠AOB＝n°，则∠DOE＝n°，故答案为:120 ，n
师生活动：学生先独立作答，再随机选择学生回答.
设计意图：
[1]目的让学生熟练运用角平分线做相应习题.
2.选一选
（1）如图∠AOB=120°，0C是∠AOB内部任意一条时线， OD,OE分别是∠AOC与∠BOC的平分线,下列叙述正确的是( )
A.∠DOE的度数不能确定 B.∠AOD=∠EOC
C.∠AOD+∠BOE=60° D.∠BOE=2∠COD
（2）如图,OA 方向是北偏西40°方向,OB 平分∠AOC
则∠BOC的度数为( )
A.50° B.55° C.60° D.65°
（3）如图,∠AOB是平角,∠AOC=50°,∠BOD =60°，OM平分
∠BOD,ON平分∠AOC,则∠MON的度数是( )
A.135° B.155° C.125° D.145°
解析:
（1）如图所示:
∵OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的角平分线，
∴∠AOD=∠DOC=∠AOC，∠COE=∠BOE=∠BOC
又∵∠AOB =∠AOC+∠BOC=120°
∴∠AOD+∠BOE=60°，故选：C.
（2）∵OA方向是北偏西40°方向，∴∠AOC = 40°+90°=130°
∵OB平分∠AOC，∴∠BOC=∠AOC=65°,故选:D.
（3）∵∠AOC=50°，∠BOD=60°，OM平分∠BOD，ON平分∠AOC，
∴∠AON=∠AOC=25°，∠BOM=∠BOD=30°
∵∠AOB是平角
∴∠MON=180°-∠AON-∠BOM=125°，故选C.
师生活动：学生先独立作答，再随机选择学生回答.
设计意图：
[1]目的让学生熟练运用角平分线相关知识进行解题.
活动七：课堂总结
教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 本节课你学到了什么？
归纳梳理
1.角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.
2.角平分线的表达形式
如果∠AOB＝∠BOC，那么射线OB把∠AOC分成两个相等的角，这时有∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
3.三等分已知角
在右图中如果∠AOB＝∠BOC＝∠COD，那么射线OB、OC叫做∠AOD的三等分线．这时有
∠AOB＝∠BOC＝∠COD ＝∠AOD，∠AOD＝3∠AOB＝3∠BOC＝3∠COD
注意：度、分、秒是六十进制的，不能整除时要把剩余的度数化成分.
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
第六章 几何图形初步
6.3 《角》
第3课时 角平分线
角平分线的定义：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.
角平分线的表达形式
数学思想：类比、抽象等.

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