资源简介

第十章 二元一次方程组
10.2 二元一次方程组的概念
本节课《二元一次方程组的概念》是苏科版初中数学七年级下册第十章第二节，具有承上启下的重要作用．从知识体系上看，它是在学生学习了二元一次方程的概念的基础上进行的拓展，为后续学习是初中代数方程知识体系的关键部分，承为后续学习多元高次方程组、函数等内容筑牢根基.从实际应用角度，它是解决生活中多种数量关系问题的有力工具，体现数学与生活紧密联系．
本课教材通过创设学生篮球联赛积分的实际问题情境，引导学生从具体问题中抽象出数学模型，进而引入二元一次方程组的概念．这种从实际到抽象的过渡，能让学生更好地理解二元一次方程组的现实意义，激发他们的学习兴趣．在探索二元一次方程组的解的概念的过程中，学生将利用表格寻找到两个二元一次方程的公共解，这有助于培养学生的数学思维能力和解决问题的能力础，不仅传授了重要的数学知识，更注重了学生数学素养的全面提升．
学生在学习《二元一次方程组的概念》时，此前已学习一元一次方程，对方程的基本概念，这为理解二元一次方程组的概念提供了类比基础，例如理解方程是表示等量关系的数学式子，有助于迁移到二元一次方程中对两个未知数间等量关系的理解. 但由于一元一次方程只有一个未知数，学生在接受两个未知数同时存在于方程中的情况时，可能会对未知数之间如何相互关联、如何共同满足方程条件产生困惑，尤其在将实际问题转化为二元一次方程时，准确找出两个等量关系会存在困难.
　　1.理解二元一次方程组和它的解的概念，并会判断一组数是不是二元一次方程组的解，提高学生的运算能力.
　　2.经历列二元一次方程组解决实际问题的过程，体会方程组是解决这一类问题的有效数学模型.
　　3. 经历各式各样的生活情境，体会数学与生活的紧密联系，培养学生代数运算和解决实际问题的能力.
重点：理解二元一次方程组和它的解的概念，并会判断一组数是不是二元一次方程组的解
难点：经历列二元一次方程组解决实际问题的过程，体会方程组是解决这一类问题的有效数学模型
情境导入
在某市中学生篮球联赛中，一球队赛了12场，积22分 .根据“赢一场得2分,输一场得1分”的积分规则，该球队赢了几场 输了几场
师：“篮球联赛”问题中的未知量有几个？有哪些相等关系？
生：未知量：赢的场数，输的场数.
相等关系(1)“一球队赛了12场”，即“赢的场数+输的场数=12”；
相等关系(2)“一球队积22分 ”，即“赢的得分+输的得分=22分”.
师：设该球队赢了x场，输了y场，你能用含x，y的式子表示题中的相等关系吗？
生：设该球队赢了x场，输了y场，可以得到关于x，y的两个方程:
x+y=12，
2x+y=22.
师：赢和输的场数x，y必须同时满足这两个方程，所以我们把这两个方程联立在一起，
写成（方程组）
师生活动：教师演示，学生倾听，独立思考．
设计意图：通过情境创设，让学生感悟数学来源于生活并应用于生活的辩证思想，锻炼学生的独立思考能力，为归纳二元一次方程组的概念埋下伏笔．
探究新知
活动一：二元一次方程组
问题：方程组 有哪些特点？
生：有两个未知数，有两个二元一次方程.
师总结二元一次方程组的概念：把含有相同未知数的两个二元一次方程联立在一起，所组成的方程组叫作二元一次方程组.
注意：二元一次方程组一共要含有两个未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数.
特别说明：例如 也是二元一次方程组.
　　问题：下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A. B. C. D.
答： A.
变式：若是关于x，y的二元一次方程组，求ab的值.
解：因为是关于x，y的二元一次方程组，
∴a-1=1，b=0，
所以a=2；
所以ab＝0.
师生活动：第（1）题，教师演示，学生倾听，第（2）题，学生模仿，类比完成，师生互动交流．
设计意图：通过观察实例，归纳总结出二元一次方程组的概念，在此过程中培养学生的表达能力和总结能力，让学生学会用数学思维思考，用数学的语言表达．
活动二：二元一次方程组的解
问题：上述问题中，你能找到同时满足方程x+y=12①，方程2x+y=22②的x、y 的值吗
师提示：为了找到同时满足方程①、方程②的x、y的值，我们可以用表格讨论两个方程的解:
答：
师：可以看出，只有 同时满足两个方程, 即是方程组中两个方程的公共解 .
师总结二元一次方程组的解的概念：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
注意：
（1）二元一次方程组的解要用大括号联立表示，如的形式．
（2）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个．
师生活动：第（1）题，教师演示，学生倾听，第（2）题，学生模仿，类比完成，师生互动交流．
设计意图：借助二元一次方程解的概念，获得二元一次方程组的解的概念，在此过程中培养学生的表达能力和总结能力，让学生学会用数学思维思考，用数学的语言表达．
应用新知
例1：二元一次方程组解决“鸡兔同笼”问题 .
今有鸡、兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几何？
问题：“鸡兔同笼”问题有哪些相等关系？
生：“上有35头”，指鸡、兔共35只，即“鸡的只数+兔的只数=35（只），”“下有94足”，指鸡的腿与兔的腿共有94条，即“鸡腿的条数+兔腿的条数=94（条）”.
答：解：设鸡有x只，兔有y只，则 .
只有 同时满足两个方程, 即是该方程组的解 .
答：鸡有23只，兔有12只.
师生活动：教师板演示范，学生模仿．
设计意图：通过例题讲解，及时练习巩固所学，培养学以致用、积极思考的习惯，提升学生计算能力．让学生理解运用二元一次方程组解决实际问题.
例2：如果二元一次方程组 的解求a、b的值.
答：解：把代入方程组 ，
得，解得=2，b=11.
师生活动：教师板演示范，学生模仿．
设计意图：通过例题讲解，及时练习巩固所学，培养学以致用、积极思考的习惯，提升学生计算能力．让学生理解运用二元一次方程组的解来解决问题.
课堂练习
　　1. 足球表面由黑色五边形和白色六边形共32个皮块围成,且白皮块数是黑皮块数的倍. 设黑皮块数为x，白皮块数为y，列出关于x，y 的二元一次方程组.
　　2.苹果的单价为x 元/kg,梨的单价为y 元/kg,苹果的单价比梨的单价贵2元/kg,买5kg苹果和4kg梨共花去100元.列出关于x，y的二元一次方程组.
　　3.下列四对数值,哪几对是二元一次方程x+y=3的解 哪几对是二元一次方程x-y =-1的解 哪几对是二元一次方程 的解？
　　　　　　　　　　　
答：1.
2.
3. 是二元一次方程x+y=3的解.
是二元一次方程x-y =-1的解.
是二元一次方程的解.
限时训练
　　1.有3对数： ①② ③ 在这3对数中， 是方程3x+y=8的解； 是方程2x-y=7的解； 是二元一次方程组的解.
2. 写出一个以为解的二元一次方程组 .
3．如果是二元一次方程组的解，求m、n的值.
4. 已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，求a的值.
答：1. ①③；②③；③.
2. 答案不唯一，如
3. m=-1、n=7.
4. 解：把y=1代入x+3y=5，得x=2.
把 代入 ax+2y=7，得a=.
师生活动：学生独立完成，教师批阅.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
归纳总结
设计意图：通过归纳总结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
本课通过引入一个实际问题——“篮球联赛”来吸引学生的注意力，这种情境创设有助于学生理解数学知识在现实生活中的应用，激发他们的学习兴趣，引导学生自主思考，让学生自己发现二元一次方程与二元一次方程组之间的联系，以增强学生探究和解决问题的能力.
本节课引导学生从实际问题中抽象出二元一次方程组的概念，让学生经历从具体到抽象的思维过程，大部分学生能理解概念，但部分基础薄弱的学生在抽象过程中存在困难，后续应加强对他们的引导，增加具体实例的讲解，帮助他们逐步提升抽象思维能力.
在培养学生逻辑推理的核心素养上，讲解二元一次方程组的解的概念时，通过具体方程的求解和验证，培养学生的逻辑推理能力. 但在引导学生自主推理过程中，小组讨论的组织存在不足，部分学生参与度不高，今后要优化小组讨论环节，明确讨论目标和分工，鼓励每个学生积极参与推理过程.
在数学建模环节，让学生运用所学知识解决实际问题，建立数学模型，但部分学生在将实际问题转化为数学模型时遇到障碍，反映出对实际问题的分析能力有待提高.后续教学要增加实际问题的分析练习，引导学生逐步掌握数学建模核心素养的方法和步骤.

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