资源简介

第十章 二元一次方程组
10.3 解二元一次方程组
第1课时 代入消元法
本节课是苏科版初中数学七年级下册第十章第三节第1课时． 在此之前，学生已经学习了一元一次方程的解法以及二元一次方程组的基本概念，对解方程有了一定的基础和方法. 代入消元法作为解二元一次方程组的基本方法之一，不仅是对一元一次方程解法的延伸和拓展，也是后续学习其他类型方程组（如三元一次方程组等）解法的重要基础. 通过学习代入消元法，学生能够进一步理解方程思想，体会将 “未知” 转化为 “已知”、将 “复杂” 问题转化为 “简单” 问题的数学转化思想，培养学生的逻辑思维能力和运算能力，在整个初中数学知识体系中起着承上启下的关键作用.
本课教材首先通过一个实际问题引入，引导学生列出二元一次方程组，然后提出如何求解的问题，引发学生的认知冲突，从而自然地引出代入消元法,接着，通过具体的简单方程组示例，详细讲解代入消元法的步骤和方法，逐步深入到系数较为复杂的方程组，符合学生的认知规律，使学生能够逐步掌握代入消元法. 在教学过程中，教材注重渗透 “消元” 的思想和化归思想，通过对代入消元法的讲解和应用，让学生体会将二元一次方程组转化为一元一次方程的过程，感受数学思想方法的魅力，提高学生的数学思维水平．
在学习代入消元法解二元一次方程组之前，学生已经掌握了一元一次方程的解法，他们也对二元一次方程及二元一次方程组的概念有了一定的认识，知道二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的一对未知数的值, 然而，从一元一次方程到二元一次方程组，未知数的个数增加了，方程的结构变得更加复杂，这对于学生来说是一个较大的跨越。学生可能需要一定的时间来适应这种变化，理解两个未知数之间的相互关系以及如何通过代入消元法消除其中一个未知数， 在思维能力方面，初中阶段的学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的时期，对于代入消元法这种相对抽象的数学方法，部分学生可能难以迅速理解其原理和操作步骤.
1.会用代入消元法解二元一次方程组.
2.理解解二元一次方程组的思路是“消元”，经历从“二元”到“一元”的转化过程经历从未知向己知的转化过程，体会化归思想.
3.经历用二元一次方程组解决实际问题的过程，体会消元和化归思想，感悟数学的应用价值，感受丰富的数学文化.
重点：用代入法解二元一次方程组.
难点：理解解二元一次方程组的思路是“消元”，经历从“二元”到“一元”的转化过程经历从未知向己知的转化过程，体会化归思想.
情境导入
问题：什么是二元一次方程组？
答：把含有相同未知数的两个二元一次方程联立在一起所组成的方程组叫作二元一次方程组.
问题：什么叫做二元一次方程组的解？
答：把二元一次方程组中两个方程的公共解叫作二元一次方程组的解.
问题：把下列方程改写成用含x的式子表示y的形式.
（1）；（2）2.
解：（1）;
（2）.
思考：可以把上述方程改写成用含y的式子表示x的形式吗？
解：（1）;
（2）.
师生活动：学生独立思考，然后指定学生回答.
设计意图：从学生熟悉的知识点入手，让学生体会方程在解决问题中的作用与价值，同时通过把方程分别改写用含x的式子表示y形式和用含y的式子表示x形式，为本节课学习利用代入消元解二元一次方程组做铺垫．
探究新知
活动一：探究“二元”向“一元”的转化
问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头；下有九十四足，问鸡兔各几何？
师：如何列方程？
答：设1个未知数
解：设鸡有x只，则兔有(35-x)只.由题意得 .
设2个未知数
解：设鸡有x只，兔有y只.
由题意得
师追问：这个二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？
答：
师小结：将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想方法，叫做消元思想.
师生活动：学生独立思考，并指定学生回答，师给与一定的评价.
设计意图：通过对一元一次方程和二元一次方程组的对比分析，引导学生发现消元的方法，展现知识的发生过程，让学生了解用代入法解二元一次方程组的过程及依据，体会 “化未知为已知” 的转化这一重要数学思想 —— 化归思想，在此过程中培养学生的表达能力和总结能力，让学生学会用数学思维思考，用数学的语言表达．
活动二：探究代入消元法
问题：解二元一次方程组
师生活动：可以分小组让学生一起讨论一下上面的这道题，由代表列出方程组，然后追问学生：思考，如何解这个方程组呢？学生讨论，教师总结，分析情况得如下：
分析：将二元一次方程组中的变形为，再代入到中，即可得到一元一次方程，从而解出和.
解：由①，得：. 将代入②得 解得.
将代入，得 .所以原方程组的解为
师小结：教师用结构图表示消元的过程如图所示：
定义：将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入另一个方程，消去这个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法.
问题：解二元一次方程组 可以先消y吗？
答：可以
解：由 ①，得 ，③
把③代入②，得 .解这个方程，得 .
将10代入③，得.
答：所以这个方程组的解是.
师生活动：学生思考并回答，教师给与评价，师生互动交流．
设计意图：通过具体的方程组，引导学生逐步探索代入消元法的过程，让学生亲身经历知识的形成过程，理解代入消元法的原理，培养学生的自主探究能力和逻辑思维能力，同时培养学生的规范解题能力和运算能力.
应用新知
例1 用代入法解方程组
解：由②，得 ③
将③代入①得：，
解这个一元一次方程，得，
将代入③得，，
∴原方程组的解为
师追问：可以先消去未知数？
解：由②，得③
将③代入①得，，
解这个一元一次方程，得，
将代入③得，，
所以原方程组的解为
变式：用代入法解方程组
解：由②，得③
将③代入①得，解这个一元一次方程，得，
将代入③得，，所以原方程组的解为
师总结：如果方程组的一个方程中有一个未知数的系数为±1，通常选择用含有另一个未知数的代数式表示系数为±1的未知数.
问题：试着总结一下用代入消元法解二元一次方程组的步骤.
答： 1.变形：用含一个未知数的式子表示另一个未知数，变形为 ( 或 ) (，是常数，) 的形式.
2.代入：把 （或 ）代入另一个没有变形的方程，转化为一元一次方程.
3.求解：解消元后的一元一次方程.
4.回带：把求得的未知数的值代入步骤①中变形后的方程.
5.写解：把方程组的解表示为 的形式.
注意：将变形后的式子代入另一个方程时，要确保代入的准确性，不能出现遗漏或错误.
师生活动：教师板演示范，学生模仿，教师总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤和注意事项.
设计意图：通过例题讲解，及时练习巩固所学，培养学以致用、积极思考的习惯，提升学生计算能力，让学生理解运用本例重点在于让学生了解代入法每一步的目的和依据，以及在课堂上引导学生找系数较简单的未知数进行变形．
课堂练习
1. 用代入法解下列方程组：
（1） （2）
（3） （4）
答：（1）解：将①代入②得，，
解这个一元一次方程，得，
将代入③得，，
∴原方程组的解为
（2）解：由① ，得③
将③代入②得，，
解这个一元一次方程，得.4，
将.4代入③得，，
∴原方程组的解为
（3）解：由②，得③
将③代入①得，，
解这个一元一次方程，得，
将代入③得，，
所以原方程组的解为
（4）解：由②，得③
将③代入①得，，
解这个一元一次方程，得，
将代入③得，，
∴原方程组的解为
　【限时训练】
　 1.用代入法解方程组 下列说法正确的是(　　).
A．直接把①代入②，消去y B．直接把①代入②，消去x
C．直接把②代入①，消去y D．直接把②代入①，消去x
2.已知.求的值.
3.已知方程组解为求的值.
4.已知关于x 、y 的方程组的解互为相反数，求m的值.
答案：
1.D
2.解：由题意得
由②，得③.
将③代入①得，，
解这个一元一次方程，得，
将代入③得，，
所以原方程组的解为所以=33 .
3.解：将代入原方程组得，
由②，得.③
将③代入①得，，解这个一元一次方程，得，
将代入③得，b，
所以原方程组的解为.所以=6.
4.解：由题意得y=-x.
将y=-x代入方程组得
由①得
把③代入②，得=9m,解得m=-1.
师生活动：学生独立完成，教师批阅.
设计意图：通过练习，巩固学生对代入消元法的掌握，提高学生的运算能力和解题技巧.
归纳总结
设计意图：通过归纳总结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
在教学过程中，关注学生对消元思想的理解和代入法解二元一次方程步骤的掌握，及时发现学生在解题过程中出现的问题，如变形错误、代入错误等，给予针对性的指导.对于学习困难的学生，可在课后进行个别辅导，帮助他们掌握本节课的知识.同时，鼓励学生在解决实际问题时，尝试用二元一次方程组来建模，体会代入消元法在实际生活中的应用价值.
在教学结束时，要引导学生对代入消元法的基本思想、步骤和应用进行总结归纳，让学生形成完整的知识体系.同时，要鼓励学生反思自己在学习过程中遇到的问题和困难，总结解题经验和方法，提高学习效果.第十章 二元一次方程组
10.3 解二元一次方程组
第2课时 加减消元法
本节课《加减消元法》是苏科版初中数学七年级下册第十章第三节第一课时内容．加减法和代入法是解二元一次方程组的两种常用方法，此前学生已经认识了二元一次方程组，能够用代入法解二元一次方程组，对消元思想有了初步的认识．加减消元法的核心思想是通过将方程组中的两个方程相加或相减，消去一个未知数，从而将二元一次方程组转化为一元一次方程求解．
本节课是在承接“代入法”的基础上，讲解的二元一次方程组的另一种重要的解法“加减法”．
教材是从某个未知数的系数的绝对值相同的二元一次方程组切入，逐渐到未知数的系数的绝对值不等的方程组．教材的内容由易到难，由特殊到一般，注重学生的认知发展．也为以后三元一次方程组的解法打下基础．
学生在学习加减消元法之前，已经掌握了代入消元法的基本思想和方法，具备一定的方程求解能力．然而，加减消元法与代入消元法有所不同，学生可能在理解其合理性上存在困难，因此需要教师通过具体的例子和引导，帮助学生逐步掌握．在教学过程中，需遵循学生的认知规律，根据学生的知识结构和认知结构，在学生探索知识的过程中培养他们掌握好的学习和解题方法．
1.理解并掌握加减消元法的意义；
2.会用加减消元法解二元一次方程组，并能根据方程组的特点，灵活选适当的解法，提高学生的运算能力；
3.让学生经历二元一次方程组解法的探究过程，进一步理解“消元”思想，体会化“未知”为“已知”，把复杂问题化为简单问题的转化思想．.
重点：理解并掌握加减消元法的意义.
难点：会用加减消元法解二元一次方程组，并能根据方程组的特点，灵活选适当的解法.
情境导入
我们知道通过消元把二元一次方程组转化为一元一次方程，就能求出方程组的解．
用代入法解方程组
思考： 如何用代入消元法解这个方程组呢？
解：由①，得 x=1 2y． ③
把 ③代入②，得 3(1 2y) 2y=5．
解这个一元一次方程，得 y=．
将代入①，得 x+2×() =1．
．
所以原方程组的解是
问题：除了代入消元，还有没有其他方法实现消元吗？
师生活动：学生先用“代入法”解方程组，再考虑其他方法实现消元．
设计意图：通过用代入法解二元一次方程组,复习解二元一次方程组的基本思路：通过消元把二元方程转化为一元方程．然后在教师引导下，学生观察y的系数发现新的消元方法，培养学生观察思维能力.
探究新知
活动一：探究加减消元法解二元一次方程组
问题：观察方程组中未知数y的系数有什么特点？
答：这两个方程中未知数 y的系数互为相反数.
师是适当提示学生两个方程相加.
由①+②，得 4x=6．
x=．
将x=代入①，得 +2y=1．
y= ．
原方程组的解是
师生小结：
把方程组的两个方程(或先做适当变形)的左、右两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程．这种解方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法．
师生活动：教师板书，学生代表回答，其他学生倾听、理解．
设计意图：当方程组某个未知数的系数互为相反数时,可以直接用加减消元法去求解，让学生再次体会了消元化归的数学思想.通过活动一中解方程组的过程，师生总结加减消元法的概念，从实践上升到理论，培养学生的总结归纳能力.
活动三：归纳加减消元法解二元一次方程组的基本步骤
解方程组
思考：能消去未知数x，解上述方程组吗？
师提示：同一未知数的系数不相等也不互为相反数时，利用等式的性质，使得未知数的系数相等或互为相反数.
师提示：由①×3，得 3x+6y=3 ③
解：由①×3，得 3x+6y=3． ③
③ ②，得 8y= 2．
y= ．
将y= 代入①，得 x+2×( ) =1．
x=．
所以原方程组的解是
问题 利用加减消元法解二方程组一般步骤有哪些呢？
答：1.变形——同一个未知数的系数相同或互为相反数；2.加减——消去一个元,得一元一次方程；3.求解——分别求出两个未知数的值；4.写解——写出方程组的解．
师生活动：学生小组交流找到消去未知数x的方法；师生共同总结加减法解方程组的一般步骤．
设计意图：探究了同一未知数系数的绝对值不相等时消元的方法，培养了学生分析问题和解决问题的能力.同一个方程，两种不同的消元方法，让学生准确判断什么时候用加减法消元,消哪个未知数方便.同时，规范用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤,培养学生有条理的思维和解题习惯.
应用新知
例1 用加减法解方程组
解：由①×3，得 15x 6y=12． ③
由②×2，得 4x 6y= 10． ④
③ ④，得 11x=22．
x=2．
将x=2代入①，得 5×2 2y=4．
y=3．
所以原方程组的解是
变式 消去未知数x解方程组
解：由①×2，得 10x 4y=8． ③
由②×5，得 10x 15y= 25． ④
③ ④，得 11y=33．
y=3．
将y=3代入①，得 5x 2×3=4．
x=2．
所以原方程组的解是
师生活动：教师板演示范，学生模仿．
设计意图：通过例题，进一步熟练地用加减消元法解二元一次方程组，锻炼学生的新知运用能力和计算能力，发展创新意识，提高解题技巧.
例2 已知关于x，y的方程组的解为，求m，n的值．
解：把代入方程组得
由①+②，得 4m=12．
m=3．
将m=3代入②，得 3 2n=5．
n= 1．
所以原方程组的解是
所以m的值是3，n的值是－1．
师生活动：学生先独立思考，再指定学生回答.
设计意图：通过此例题，一方面让学生巩固方程组的解的概念，另一方面加强用加减消元法解二元一次方程组，提高解题技巧.
例3 已知x、y满足方程组求代数式x y的值．
解：由② ①，得 2x 2y=1 5．
x y= 2．
所以代数式x y的值是 2．
师小结：当二元一次方程组中x与y系数恰好互换时，可以通过两式相加或相减得到x+y或x y这两个整体的值．解这样一类方程组，也能像这样采用整体法求解．
变式 解方程组
解：由② ①，得 14x 14y= 14．
x y= 1． ③
由①+②，得 60x+60y=180．
x+y=3． ④
由③+④，得 2x=2．
x=1．
将 x=1代入③，得 1 y= 1．
y=2．
所以原方程组的解是
师生活动：学生小组交流，师生总结．
设计意图：通过例题，让学生发现“当二元一次方程组中x与y系数恰好互换时，可以通过两式相加或相减得到x+y或x y的值．”“解这样一类方程组，采用整体法求解．”让学生体会到特殊的方程组有特殊的方法，发展学生的创新意识，提高解题技巧.
例4 若关于x, y的二元一次方程组的解满足2x 5y= 2，求m的值．
解：由① ②，得 3y=6m．
y=2m．
将y=2m代入①，得 x+2m=8m．
x=6m．
所以该方程组的解是
将代入2x 5y= 2，得 2×6m 5×2m= 2．
所以m= 1．
师生活动：学生思考，教师板演示范．
设计意图：通过例题讲解，让学生掌握“含参”方程组的解法．这类方程组的解法与常规方程组的解法一样，最终方程组的解是用参数表示．这类题型虽有难度，但也是学生需要掌握的，能提高学生的计算能力．
课堂练习
1. 用加减法解下列方程组：
（1） （2）
（3） （4）
答：（1）解：由①+②，得 4x=32．
x=8．
将x=8代入①，得 2×8+y =32．
y=16．
所以原方程组的解是
解：由①×2，得 6x 2y= 8． ③
③ ②， 得5x= 5．
x= 1．
将x= 1代入①，得 3×( 1) y= 4．
y=1．
所以原方程组的解是
（3）解：由②×2，得 6x+8z=40． ③
③ ①，得 3z=15．
z=5．
将z=5代入①，得 6x+5×5=25．
x=0．
所以原方程组的解是
（4）解：由①×2，得 6s+8t=14． ③
由②×3，得 6s+9t=3． ④
③+④，得 17t=17．
t=1．
将t=1代入①，得 3s+4×1=7．
s=1．
所以原方程组的解是
限时训练
1.填空：
（1）已知是方程组的解，则m= ，n= ．
（2）已知(a+2b 5)2 +|4a+b 6|=0，则a= ，b= ． .
答：（1）1，4；（2）1，2．
2.若关于x， y的二元一次方程组的解满足x+y=0，求k的值．
解：由①+②，得 3x+3y=3 3k．
x+y=1 k．
因为方程组的解满足x+y=0，
所以1 k=0，
所以k=1．
3.若关于x，y的二元一次方程组的解满足x y=3，求t的值．
解：由② ①，得 4y=4t 4．
y=t 1．
将y=t 1代入②，得 x+t 1=3t．
x=2t+1．
所以该方程组的解是
将代入x y=3，得 2t+1 (t 1)=3．
所以t=1．
4.已知关于x， y的方程组和方程组有相同的解，求a，b的值．
解：由题意可得解得
把代入得关于a， b的方程组
解得
师生活动：学生独立完成，教师指定学生回答.
设计意图：通过限时训练巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
归纳总结
师生活动：师生交流总结.
设计意图：通过归纳总结，使学生梳理本节课所学的内容，掌握本节课的重点，进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
本课引入一个二元一次方程组通过让学生用“代入法”求解达到复习巩固的目的，再通过观察y的系数引出加减消元法.
通过精心设计的问题，引导学生在已有知识的基础上，自己比较、分析得出二元一次方程组的解法，加深学生对“化未知为已知”的化归思想的理解，特别是如何由代入消元法到加减消元法，过渡自然.让学生深刻地体会到二元一次方程是一元一次方程的拓展，二元一次方程组又要通过“消元”转化为一元一次方程求解.这样的转化，不仅有助于学生掌握知识、技能和方法，提高学习效率，而且还加深了对数学中通性和通法的认识，体会学习数学和研究数学的规律，提升数学思维能力.
通过例题来帮助学生规范书写，同时明确用加减法解二元一次方程组的步骤.利用习题训练，加强对加减消元法的理解和应用，为了需要，将课本练习和补充题目进行合理编排，形成有梯度、有层次的练习，使学生循序渐进掌握所学知识和方法，符合学生的认知规律，教学目标基本达成.

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