资源简介

第十章 三角形
10.2三角形的内角和外角
第1课时 三角形的内角
本节课《三角形的内角和外角》是冀教版初中数学七年级下册第十章第2节的内容.“三角形的内角”，本节课主要目的是让学生深入理解三角形内角和定理，为后续复杂几何图形的学习筑牢根基.在学习的过程中，从剪拼图的实验活动出发，通过观察分析、动手操作、逻辑推理，探究、比较以及推断等过程得出三角形的内角和定理，锻炼学生数学抽象思维、运算能力以及逻辑推理素养.
本节课是学生在之前学行线的判定定理与平行线的性质定理，也学习过三角形的特征、性质.本课设计的思路是学生通过动手实践、自主探索及合作探究活动中学习三角形内角和定理.对学生的逻辑推理和知识运用能力要求较高，可能只有少数基础扎实、思维活跃的学生能够顺利解决，多数学生需要教师的引导和进一步的练习巩固.
1.理解并掌握三角形的内角和定理.
2.能证明三角形的内角和定理及其推论.
3.能够运用三角形内角和定理及其推论，解决实际问题.
4.通过探索三角形内角和的活动，培养学生的抽象能力和推理意识，发展学生的空间观念.
重点：三角形的内角和定理及其运用.
难点：三角形内角和定理的推理过程.
情景导入
问题1：(1)什么是三角形？
(2)什么是三角形内角？
(3)三角形的两边之和与第三边有怎样的大小关系？
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，再举手回答问题．
答：(1)由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫作三角形.
(2)∠A，∠B，∠C叫作三角形的内角.
(3)三角形的任意两边之和大于第三边.
设计意图：教师以复习的形式回顾上节课的重点内容，为下面的探究问题的出现做好铺垫埋下伏笔.
一起探究
问题2：(1)在小学我们已经知道任意一个三角形三个内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的吗？
(2)准备一个三角形硬纸板，将三个内角标上1，2，3，如图.动手尝试使用剪拼的方法得出三角形内角和为180°.从这种剪拼的过程中，你能得到什么启示
师生活动：教师组织学生合作探究，先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；讨论时间2分钟.教师可适当引导学生思考，待学生充分交流后，教师可选代表总结，教师补充.
答：(1)度量、剪拼、折叠.
(2)∠1+∠2+∠3=180°.
追问：其中哪两条直线是平行的？
答：两条夹角为2的直线是平行的.（同位角相等，两直线平行）
问题3：已知△ABC.延长BC到点D，过点C作直线CE∥AB，得到∠4和∠5.那么，∠4和∠5与三角形的内角有什么关系？
答：∠4+∠5=∠1+∠2.
∵CE∥AB，
∴∠2=∠5，（两直线平行，同位角相等）
∠1=∠4，（两直线平行，内错角相等）
∴∠4+∠5=∠1+∠2.
问题4：已知△ABC，尝试说明∠A+∠B+∠ACB=180°.
师生活动：教师组织学生合作探究，先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；讨论时间2分钟.教师可适当引导学生思考，待学生充分交流后，教师可选代表总结，教师补充.
答：延长BC到点D，作CE∥AB.
∵ CE∥AB，
∴ ∠1=∠4（两直线平行，内错角相等），
∠2=∠5（两直线平行，同位角相等）.
∵ ∠3+∠4+∠5=180°（平角的定义），
∴ ∠1+∠2+∠3=180°（等量代换），
即∠A+∠B+∠ACB=180°.
归纳：三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.
在推理过程中，关键是作与三角形某一边平行的辅助线，使得三角形的三个内角之和可以转化成一个平角.
追问：还有其他思路说明“三角形的内角和等于180°”吗？
答：有.
问题5：尝试过点C作ED∥AB说明“三角形的内角和等于180°”.
答：∵ ED∥AB，
∴ ∠ECB=∠B，∠ACD=∠C，
∵ ∠ECB +∠ACB +∠ACD =180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
设计意图：通过问题引导，找到证明的切入点，有意识地培养学生的逻辑推理能力、语言表达能力以及一题多解的创新精神，让学生体会数学辅助线的桥梁作用，在潜移默化中渗透转化思想.
应用举例
例1 在△ABC中，∠A=30°，∠B=65°，求∠C的度数.
解：∵ ∠A+∠B+∠C=180° （三角形内角和定理），
∴ ∠C=180°-(∠A+∠B).
∵ ∠A=30°，∠B=65°，
∴ ∠C=180°-(30°+65°)=85°.
例2 在△ABC中，∠C=42°，∠A=∠B，求∠B的度数.
解：∵ ∠C=42°，
∴ ∠A+∠B =180°-∠C=180°-42°=138°.
∵ ∠A=∠B，
∴ ∠B =138°=69°.
例3 如图，你能根据三角形内角和定理，猜想∠A +∠B+∠C+∠D是多少度吗？试着说明理由.
解：猜想∠A +∠B +∠C+∠D=360°，理由如下.
连接BD，
根据三角形内角和定理可知，∠A +∠ABD+∠ADB=180°，∠C+∠CBD+∠BDC=180°.
所以∠A +∠ABD +∠ADB+∠C+∠CBD+∠BDC=360°.
因为∠B=∠ABD+∠CBD，∠D=∠ADB+∠BDC，
所以∠A +∠B +∠C+∠D=360°.
设计意图：在对三角形内角和定理已有认识的基础上，通过举例应用，学生会更深刻理解和掌握三角形内角和定理.
课堂练习
1. 如图，中，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
答：由三角形内角和定理得，∠C=180°-(∠A+∠B)= 180°-(60°+40°)=80°.故选B．
2. 在△ABC中，∠C=36°，∠A与∠B的比是1∶2，求∠A，∠B的度数.
答：∵∠C=36°，
∴∠A+∠B=180°-36°=144°，
∵∠A与∠B的比是1∶2，
∴∠A=144°=48°，∠B=144°=96°.
故∠A的度数为48°，∠B的度数为96°.
3. 已知在△ABC中，∠A+∠C=2∠B，求∠B的度数.
答：∵∠A，∠B，∠C是△ABC的内角，
∴∠A+∠B+∠C=180°，
又∵∠A+∠C=2∠B，
即∠B+2∠B=180°，
∴∠B=60°.
4. 如图，中，，将其折叠，使点落在边上处，折痕为，，则的度数为 ．
答：依题意，得，
又，
在中，，
又由折叠的性质得，
．
故答案为．
课堂总结
这节课你学到了哪些知识？
设计意图：通过小结，回顾本节课所学新知，加深印象．
课堂检测
1. 一个缺角的三角形残片如图所示，量得，，则这个三角形残缺前的的度数为（ ）
A. B. C. D.
答：，，，
，
故选C．
2. 求出下列图形中的的值：
答：，
解得；
，
解得；
，
解得；
，
解得．
3. 在中，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答： 中，，
设的三个角度数分别为，
则，
解得，
则为，
．
故选C．
4. 如图，点分别在上．若，，则
答：，，
，
，，
．
故答案为．
5. 如图，点，在边上，沿将翻折，点的对应点为点，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
答：，
，
由翻折可知：，
，
，
由翻折可知：，
．
故选．
设计意图：通过学生的练习，使教师及时了解学生对三角形内角和定理的应用情况，以便教师及时对学生进行矫正．
实践作业：根据三角形内角和定理，猜想五边形的内角和的和是多少度吗？试着说明理由.
.第十章 三角形
10.2三角形的内角和外角
第2课时 三角形的外角
本节课《三角形的内角和外角》是冀教版初中数学七年级下册第十章第2节的内容.“三角形的外角”，本节课主要目的是让学生在学习三角形内角的基础上学习三角形的外角，掌握三角形外角的性质，能利用学过的定理论证三角形外角的性质，为后续复杂几何图形的学习筑牢根基.通过观察分析、动手操作、逻辑推理，探究、比较以及推断等过程得出三角形外角的性质，锻炼学生数学抽象思维、运算能力以及逻辑推理素养.
本节课之前学生已经学习了三角形及边、角的概念，三角形的边长关系，三角形内角和定理等知识，已经有一定的基础，初步掌握简单的逻辑推理.本节课的设计思路是使学生在探究活动中探究三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质，能利用三角形外角的性质解决实际问题，并能利用学过的定理论证三角形外角的性质，学会推理的数学思想方法，培养学生主动探索、敢于实践及合作交流的习惯.
1.理解和掌握三角形的外角的概念并能识别三角形的外角.
2.理解和掌握三角形外角的性质，会利用三角形外角的性质解决有关问题.
3.通过探索三角形的外角的性质及其应用，培养学生主动探索和推理意识，发展学生的空间观念.
重点：理解和掌握三角形外角的概念和性质
难点：掌握和应用三角形外角的性质
复习导入
问题1：(1)什么是三角形内角？三个内角有什么关系？
(2)三角形的两边之和与第三边有怎样的大小关系？
(3)三角形按边分类可以分哪些类别？
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，再举手回答问题．
答：(1)∠A，∠B，∠C叫作三角形的内角.三角形内角和为180°.
(2)三角形的任意两边之和大于第三边.
(3)三角形按边可分类如下：
设计意图：教师以复习的形式回顾上节课的重点内容，为下面的探究问题的出现做好铺垫埋下伏笔.
问题2：将直尺和三角板如下图摆放，图中的三角板与直尺形成的角是多少度？
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，再举手回答问题．
答：将图简化：
180°-45°=135°，所以图中的角为135°.
归纳：图中所求的角为三角形的外角.
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.
设计意图：通过观察生活中常见物体的图片引入，增强学生的代入感，让学生能够感知三角形的外角，为后面引出三角形外角的性质作铺垫.
一起探讨
问题3：尝试画出△ABC的所有外角，并观察图象回答以下问题：
(1)三角形的外角有什么特征？
(2)三角形一个顶点处有几个外角？如若存在多个外角，多个外角有什么关系？
师生活动：教师组织学生合作探究，先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表
展示小组讨论结果；讨论时间2分钟.
答：
(1)三角形外角的特征：①角的顶点是三角形的顶点；②角的一边是三角形的一边；③角的另一边是三角形某边的延长线.
(2)一个顶点处有2个外角.并且这两个外角为对顶角，大小相等.
归纳：∠ACD是△ABC的一个外角，∠BCE也是△ABC的一个外角，并且这两个外角大小相等.
问题4：观察图象回答以下问题：
(1) ∠ACD与∠ACB有什么关系？
(2) ∠ACD与∠A、∠B有什么关系？
(3)尝试验证(2)得出的推论.
师生活动：教师组织学生合作探究，先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表
展示小组讨论结果；讨论时间2分钟.
规则：1.正确回答 +2分；2.补充质疑 +2分
答：(1) ∠ACD＋∠ACB＝180°.
(2) ∠ACD=∠A+∠B，∠ACD>∠A，∠ACD>∠B.
(3)∵∠A+∠B +∠ACB= 180°，（三角形内角和定理）
∠ACD＋∠ACB = 180°，（补角的定义）
∴∠A+∠B = 180°-∠ACB，
∠ACD = 180°-∠ACB，
∴∠ACD=∠A+∠B.
∴∠ACD>∠A，∠ACD>∠B.
追问：是否可以使用剪拼的方法得出∠ACD=∠A+∠B？
答：可以.
延长BC到D，过C作CE∥BA，
∵CE∥AB，
∴∠A=∠1，∠B=∠2．
又∠ACD=∠1+∠2，
∴∠ACD=∠A+∠B．
归纳：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.
设计意图：以活动探究来引发学生对三角形的外角和内角的深入思考，从而得出三角形外角的性质.为学生提供探索与交流的时间与空间，同时注重数学的实际应用，使学生体会到数学的应用价值及其学习数学的重要性、必要性.
问题5：(1)一个三角形的内角中最多有几个直角，最多有几个钝角？
(2)一个三角形的三个内角能不能都是锐角？
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，再举手回答问题．教师需指导学生利用假设法进行验证，让学生在思考中得到结论.
答：(1)一个三角形最多只能有一个直角，最多只能有一个钝角，因为如果含有的直角或者钝角的数量等于2或3时，内角和大于180°，与三角形内角和定理矛盾.
(2)一个三角形最多可以有3个锐角.
设计意图：利用反证法的思想来得到正确结论，培养学生的观察能力和推理能力.
追问1：画一画，一个三角形的三个内角除了都是锐角外，还有多少种不同情况？
答：还有2种.
一个三角形的三个内角可能的情况如下：
①三个锐角；②两个锐角，一个直角；③两个锐角，一个钝角.
追问2：三角形是否可以按内角进行分类呢？
归纳：三角形按内角可分类如下：
三个内角都是锐角的三角形叫做锐角三角形.
有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形.
有一个内角是钝角的三角形叫做钝角三角形.
设计意图：培养学生的动手能力，同时增强学生的操作技能，让学生参与到知识的生成过程中，提高学生的核心素养.
应用举例
例1 如图，D是AC延长线上一点，E是AB上一点，ED与BC相交于点F，∠BCD=92°，
∠A=27°，∠BED=44°.
(1)求∠B的度数．
(2)求∠BFD的度数．
答：(1)在△ABC中，
∵∠BCD=∠A+∠B（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∠BCD=92°，∠A=27°，（已知）
∴∠B=∠BCD-∠A=92°-27°=65°.
(2)在△BEF中，
∵∠BFD=∠B＋∠BED（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∠BED=44°（已知），
∠B=65°（已求），
∴∠BFD=44°+65°＝109°.
归纳：求角思路：
例2 已知某三角形的一个外角是55°，这个三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？
答：一个三角形外角是55°，则这个三角形外角的相邻内角是125°，是一个钝角，
由此可知，这个三角形为钝角三角形.
设计意图：在对三角形外角的性质、三角形的分类已有认识的基础上，通过举例应用，学生会更深刻理解和掌握三角形外角的性质及三角形按内角可分类.
课堂练习
1. 如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，∠DBC=112°，∠A=35°，求∠C的度数.
答：∵∠DBC =∠A+∠C，
∠DBC=112°，∠A=35°，
∴∠C=∠DBC -∠A=112°-35°=77°.
2. 在中，，则是（ ）三角形．
A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 等腰直角
答：设，则，
根据三角形内角和定理，，
，
解得，
，，
故该三角形为锐角三角形．
故选A．
3. 如图，∠DAC，∠EBA，∠FCB分别是△ABC的三个外角，求∠DAC+∠EBA+∠FCB的度数.
答：∵∠DAC+∠BAC=180°，∠EBA+∠ABC=180°，∠FCB+∠ACB=180°，
∴∠BAC=180°-∠DAC，∠ABC=180°-∠EBA，∠ACB=180°-∠FCB，
∵在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴180°-∠DAC+180°-∠EBA+180°-∠FCB=180°×3-(∠DAC+∠EBA+∠FCB)=180°，
∴∠DAC+∠EBA+∠FCB=180°×3-180°=360°.
追问：是否还存在其他方法？
∵∠DAC=∠ABC+∠ACB，∠EBA=∠BAC+∠ACB，∠FCB=∠BAC+∠ABC，
∴∠DAC+∠EBA+∠FCB=∠ABC+∠ACB+∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC
=2×(∠BAC+∠ABC+∠ACB)= 2×180°=360°.
4.如图，△ABC中，∠B=∠DAC，则∠BAC和∠ADC的关系是（ ）
A.∠BAC<∠ADC B.∠BAC=∠ADC C.∠BAC>∠ADC D.不能确定
答：∵∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=∠ADC-∠B，
∵∠B=∠DAC，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠ADC-∠B+∠B=∠ADC．
故选B．
课堂总结
这节课你学到了哪些知识？
设计意图：通过小结，回顾本节课所学新知，加深印象．
课堂检测
1. 在中，已知，，则与相邻的外角度数为 ．
答：，，
与相邻的外角度数为：.
2. 一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是什么三角形？
和；
和；
和．
答：(1)第三个内角的度数为180°－30°－60°＝90°，所以这个三角形是直角三角形.
(2)第三个内角的度数为180°－40°－70°＝70°，所以这个三角形是锐角三角形.
(3)第三个内角的度数为180°－50°－20°＝110°，所以这个三角形是钝角三角形.
3. 若等腰三角形中的一个外角等于，则它的顶角的度数是（ ）
A. B. C. D. 或
答：当的外角是底角的外角时，底角为：，
顶角度数是，
当的外角是顶角的外角时，顶角为：，
顶角为或．
故选D．
4. 如图，中，，，将其折叠，使点落在边上处，折痕为，则的度数为______．
答：，，
，
折叠后点落在边上处，
，
由三角形的外角性质得，．
故答案为．
5. 如图，，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答：作射线，
则，，
所以，
即，
，，
．
故选C．
设计意图：通过学生的练习，使教师及时了解学生对三角形外角的性质、三角形按内角可分类，以便教师及时对学生进行矫正．
实践作业：已知：如图为一五角星，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.

展开更多......

收起↑