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第六章 二元一次方程组
6.4简单的三元一次方程组
教科书基于学生已熟练的掌握了二元一次方程组的概念、解法和应用的基础之上，提出了本课的具体学习任务:了解三元一次方程组的概念，会用“代入消元”“加减消元”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元”方程来解决,作为选学内容使有较好数学基础对数学知识感兴趣的同学能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法并解决实际问题，能根据具体问题中的数量关系列出方程，更深的体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型
学生已熟练的掌握了二元一次方程组的概念、解法和应用，认识了二元一次方程组的模型，并应用它们解决许多现实和有趣的问题，具备了用消元法解方程组的基本技能;在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些在实际应用问题中寻找等量关系建立方程并求解的活动,解决了一些简单的现实问题，感受到了利用方程组解决实际问题的简便性和作用，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力
1.学习什么是三元一次方程和三元一次方程组．
2.会解简单的三元一次方程组，培养学生的计算能力、训练解题技巧．
3.掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元和一元的化归思想.
4.让学生通过自己的探索、尝试、比较等活动去发现一些规律，体会一些数学思想，从而激发学生的求知欲望和学习兴趣.
重点：会用“代入”“加减”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元”方程来解决.
难点：在解题过程中体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.
情境导入
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张？
设计意图：通过身边的实际问题引入，增强趣味性，方便学生理解也更容易接受.培养学生观察和概括的能力.
一起探究
问题1：情境问题中含有几个未知数
答：情境问题中含有3个未知数.
问题2：情境问题中有几个等量关系 分别是什么？
答：
问题3：如果设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张,那么列出相应的的方程组吗？
答：
思考：观察这个方程组，你能总结出三元一次方程及三元一次方程组的定义吗？
概念归纳：含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程，叫做三元一次方程；含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组，叫做三元一次方程组；三元一次方程组中各方程的公共解叫做这个三元一次方程组的解.
设计意图：通过问题情境，使学生了解三元一次方程组的概念及本节课要解决的问题，便于学生接受新知识.
问题4：二元一次方程组有哪些解法？
答：“代入消元法”和“加减消元法”
设计意图：回顾上节学过的知识，为新知识的学习做好铺垫，激发学生的学习兴趣.
活动四：探索三元一次方程组的解法
探究：你能类比解二元一次方程组的方法，来探索解三元一次方程组的方法吗？
我们来尝试解下面的三元一次方程组.
思考：类比解二元一次方程组的“加减消元法”，我们可以怎样操作？
小明的想法是:先①×5+②消去z,再③－①消去z,得到关于x,y的二元一次方程组;解得x,y后,最后代入①求出z,从而求得三元一次方程组的解.
思考：你能按照小明的想法，试着解这个方程组吗？
①×5+②得：6x+4y=26④
③－①得：x－4y=9⑤
解由④⑤构成的关于x,y的二元一次方程组得
最后代入①,得z=1,所以该三元一次方程组的解为.
思考：你能否有其他的方法解这个三元一次方程组？请于同学们交流
答：可以先消去x,或者先消去y，先将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再进行求解. 也可以利用“代入消元法”，先将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再进行求解.
应用举例
例1 解方程组
解：由①,得
将④分别代入②，③，
得
解这个二元一次方程组，得.
把x=4代入①，得z=0.
所以，原方程组的解为.
师生活动：师生共同分析思路，由学生独立尝试写出解答过程，结合板演订正并梳理主要思路：必须先确定消去哪个未知数，然后将三元一次方程组转化为二元一次方程组，最后要写出方程组的解．
设计意图：通过例题的解答，让学生真正掌握三元一次方程组的应用，同时培养学生变相思考问题的能力.
例2. 己知小明与爸爸、妈妈的年龄之和为92岁，爸爸比妈妈大2岁小明与妈妈的年龄之和比爸爸大12岁，他们的年龄分别是多少
(1)在本题中，有几个等量关系 请你分别表示出来
(2)如果设爸爸的年龄是x岁，妈妈的年龄是y岁，小明的年龄是z岁，请列出方程组
(3)解这个方程组
解：(1)在本题中,有三个等量关系:
①爸爸年龄+妈妈年龄+小明年龄=92
②爸爸年龄－妈妈年龄=2
③妈妈年龄+小明年龄－爸爸年龄=12
(2)根据(1)中的等量关系可得:
(3)①－③得，
2x=80,x=40
把x=40代入②中，得y=38
把x=40,y=38代入①中，得z=14
所以，方程组的解为
答:爸爸、妈妈、小明的年龄分别为40岁、38岁、14岁.
师生活动：学生板演解题过程，时间3分钟，并讲解自己是如何解答的.
设计意图：继续熟练三元一次方程组的解法，加强学生的审题能力，并尝试用来解决实际问题,培养学生解决问题的能力.
交流：请结合下列图示，谈一谈解三元一次方程组的基本方法和步骤
归纳：
解三元一次方程组的基本思想就是“转化”.通过消元，将“三元”转化为“二元”，再将“二元”转化为“一元”，通过求一元一次方程组的解，进而求得二元一次方程组的解，最后求得三元一次方程组的解.
课堂练习
1.解方程组若要使运算简便，消元的方法应选取( )
A. 先消去 B. 先消去 C. 先消去 D. 以上说法都不对
解：方程①+②可直接消去未知数y，①+③也可直接消去y，
即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，
所以,要使运算简便，消元的方法应选取先消去y．
答：B
2.解方程组
解：得：，
解得：，
得：，
解得：，
得：，
解得：，
所以原方程组的解是：．
3.中国古代数学问题今有上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，共是39斗；上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，共是34斗；上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，共26斗．问上、中、下三等谷每束各是几斗？
分析：设上等谷每束是x斗、中等谷每束是y斗、下等谷每束是z斗，根据题意列出三元一次方程组，求出方程组的解即可．
解：设上等谷每束是斗、中等谷每束是斗、下等谷每束是斗，依题意有
，
解得．
答：上等谷每束是斗、中等谷每束是斗、下等谷每束是斗．
4.琪琪、倩倩、斌斌三位同学去商店买文具用品琪琪说：“我买了4支水笔，2本笔记本，10本作文本共用了19元”倩倩说：“我买了2支水笔，3本笔记本，10本练习本共用了20元”斌斌说：“我买了12本练习本，8本作文本共用了10元.作文本与练习本的价格是一样的”请根据以上内容，求出笔记本、水笔、练习本的价格．
解：设笔记本的价格是元本，水笔的价格是元支，练习本或作文本的价格为元本根据题意，得
解得
答：笔记本的价格是元本，水笔的价格是元支，练习本的价格是元本．
设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识掌限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高.
课堂总结
这节课你学到了哪些知识？说说你的体会.
设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系.
课堂检测
1.三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是( )
A. B. C. D.
解：解：②－①，得④
①×3+③，得⑤
由④⑤知，选项D正确．
2.解下列方程组：
解：，
得：，
，
得：，
得：，
得：，
所以方程组的解是：.
3.已知甲、乙、丙三人各有一些钱，其中甲的钱数是乙的钱数的2倍，乙的钱数比丙的钱数多1元，丙的钱数比甲的钱数少11元，则三人共有__________元．
解：设甲、乙、丙分别有元、元、元．
根据题意，得解得
，即三人共有元．
4.为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码，，时，则接收方对应收到的密码为，，双方约定：，，，例如发出，，，则收到，，．
当发送方发出一组密码为，，时，则接收方收到的密码是多少
当接收方收到一组密码，，时，则发送方发出的密码是多少
解：由题意得
解得，，．
答：接收方收到的密码是，，
由题意得解得
答：发送方发出的密码是，，．
实践作业：请你根据生活实例，编写一道三元一次方程组的问题，并列出方程组解决问题.

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