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第十章 三角形
10.3三角形的角平分线、中线和高线
本节课《三角形的角平分线、中线和高线》是冀教版初中数学七年级下册第十章第3节的内容.“三角形的角平分线、中线和高线”，本节课主要目的是使学生掌握三角形的角平分线、中线、高线的概念及性质，并掌握三者之间的联系与区别，为今后学习等腰三角形等特殊三角形打下基础.在学习的过程中，从学生已有认知出发，通过观察分析、动手操作、逻辑推理，探究、比较以及推断等过程得出三角形的特征、性质，提升学生几何直观素养及推理能力.
在学本节之前，学生已学过三角形的基本定义、分类、三边关系等知识，对三角形有了较为深入的认知.本课设计的思路是，先明晰三角形的角平分线、中线和高线的定义，再通过观察、分析、比较以及推断等过程，得出三角形的角平分线、中线和高线各自具备怎样的特性.由于本节课对学生的抽象思维和归纳总结能力有较高要求，仅有少数思维敏捷、基础知识牢固的学生能够凭借自身能力迅速理解并掌握这些特殊线段的性质.而大部分学生在学习过程中，可能会在准确区分这三种线段的定义和性质上存在困难，需要教师在课堂上详细讲解、引导，并且通过大量针对性的练习来加深理解与巩固.
1.理解三角形的角平分线、中线和高线的概念，了解三角形的重心的概念.
2.掌握三角形的角平分线、中线和高线的画法.
3.掌握并能熟练运用三角形的角平分线、中线和高线相关性质.
4.通过教学活动，让学生感受数学的严谨性和图形中蕴含的规律性，提高运用数学知识解决实际问题的能力，激发学生的学习兴趣和求知欲望，使学生乐于探究、敢于探究.
重点：理解三角形的高、中线与角平分线的概念及其画法.
难点：掌握并能熟练运用三角形的角平分线、中线和高线相关性质.
情景导入
问题1：(1)什么是三角形内角？三个内角有什么关系？
(2)三角形的按内角分类分为哪几类？
(3)三角形的外角和内角有什么关系？
答：(1)∠A，∠B，∠C叫作三角形的内角.三角形内角和为180°.
(2)锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.
(3)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.
设计意图：教师以复习的形式回顾上节课的重点内容，为下面的探究问题的出现做好铺垫埋下伏笔.
一起探讨
问题2：尝试回答问题：
(1)角平分线的定义是什么？
(2)能通过折纸的方法找到△ABC中∠A的平分线吗？
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考并动手操作，再举手回答问题．
答：(1)从角的顶点引一条射线，这条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
(2)
归纳：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段叫作三角形的角平分线.
在中，，.反过来，若AD是△ABC的角平分线，则.
设计意图：以情境创设来引发学生对角平分线的深入理解，并得出三角形的角平分线的定义和几何语言.
问题3：画一个三角形，用量角器和直尺画出它的所有角平分线.
(1)一个三角形有几条角平分线？
(2)通过画角平分线能发现什么规律？
师生活动：教师组织学生合作探究，先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；讨论时间2分钟.教师可适当引导学生思考，待学生充分交流后，教师可选代表总结，教师补充.
答：(1)三条
归纳：用量角器和直尺画角平分线的方法：
用量角器量出这个角的度数，再计算出它的一半的度数，即可画出该角的角平分线.
(2)①一个三角形有三条角平分线，且相交于一点.
②任意一个三角形都有三条角平分线，它们都在三角形的内部.
设计意图：通过用量角器、直尺画出角平分线，提高学生的作图能力，并从中体验了“发现”知识的快乐，变被动接受为主动探究.
问题4：尝试回答问题：
(1)垂线的定义是什么？
(2)三角形是否存在特殊的垂线？
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考并动手操作，再举手回答问题．
答：(1)当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线.
(2)存在. 在△ABC中，AF⊥BC于点F，则线段AF是△ABC的一条高.
归纳：三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.
在中，于点，是的一条高.反过来，若是的高，
则，则.
追问：如何叙述一个三角形的高呢？
答：①AF是△ABC的高.
②AF⊥BC，垂足为F.
③点F在BC上，且∠BFA =∠CFA = 90°.
设计意图：以情境创设来引发学生对垂线的深入理解，并得出三角形的高线的定义和几何语言.
问题5：尝试画锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的每一边的高线.通过画图，你发现了什么？
师生活动：教师组织学生合作探究，先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；讨论时间2分钟.教师可适当引导学生思考，待学生充分交流后，教师可选代表总结，教师补充.
答：
三角形三条高所在的直线交于一点．
锐角三角形的三条高都在三角形的内部；
　　直角三角形的两条高分别与两条边重合；
　　钝角三角形的两条高在三角形的外部．
追问：三角形的垂线和高线有区别吗？
答：三角形的高线是线段，而垂线是直线.
设计意图：通过画出高线，提高学生的作图能力，对比学分线的学习过程发现垂线在不同三角形的特征.通过探究活动，变被动接受为主动探究.
问题6：你能经过三角形的一个顶点画一条线段，将这个三角形分为面积相等的两个三角形吗？
师生活动：教师组织学生合作探究，先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；讨论时间2分钟.教师可适当引导学生思考，待学生充分交流后，教师可选代表总结，教师补充.
答：连接顶点和这个顶点对边的中点，此时分成的两个三角形的面积相等.
因为此时两个三角形的底边长度一样，高也一样，所以两个三角形的面积相等.
归纳：连接三角形的一个顶点与它对边中点的线段叫作三角形的中线.
在△ABC中，点E在BC上，BE=EC，则线段AE是△ABC的一条中线.反过来，若AE是△ABC的中线，则.
设计意图：通过解决面积问题，由三角形高自然引入三角形的中线，培养学生动脑、动手能力，语言表达能力.此外，还加深了学生对文字语言与数学符号语言之间的转化.
问题7：(1)剪下一个三角形纸片，用折纸的方法找到三边的中点，画出这个三角形的三条中线.这三条中线交于一点吗
(2)按照剪下的三角形纸片，用厚薄均匀的硬纸板裁出一个相同的三角形，画出这个三角形的三条中线.在它们的交点处钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，这时三角形硬纸板处于什么状态？这种现象说明了什么？
师生活动：教师组织学生合作探究，先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；讨论时间2分钟.教师可适当引导学生思考，待学生充分交流后，教师可选代表总结，教师补充.
答：(1)三角形三条中线所在的直线交于一点，且都在三角形的内部.
归纳：三角形的三条中线交于一点，这个交点叫作三角形的重心.
(2)纸板处于平衡状态，换另一点就不平衡了. 说明三角形三条中线的交点是三角形的重心.
设计意图：让学生继续动手、实验，亲历知识的发生、发展过程，并且在这个过程中学会与人合作，进一步加深对三角形的中线的理解，并理解三角形的重心的概念.
应用举例
例1 如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线、角平分线和高线.请指出图中相等的角及相等的线段.
答：是△ABC的中线，.
是△ABC的角平分线，.
AF是△ABC的高线，,
图中相等的角：，，相等的线段：BD=DC.
例2 如图，在中，，若是的高，与角平分线相交于点，则的度数为( )
A. B. C. D.
答：，，
．
是的平分线，
．
是的高，
．
．
．
故选．
例3 如图，已知是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为 ．
答：是的边上的中线，的面积为，
的面积为，
是的边上的中线，
的面积为，
故答案为．
设计意图：在对三角形的角平分线、中线和高线的概念已有认识的基础上，通过举例应用，学生会更深刻理解和掌握概念.
课堂练习
1. 如图，在中，于，那么图中以为高的三角形共有 个．
答：于，且以为顶点的三角形有个，
以为高的三角形有个．
故答案为.
2. 在中，，，是的一条角平分线，求的度数.
答：如图，因为是的一条角平分线，
所以.
又因为，
所以.
3. 如图，是的中线，是的中线，若，则 ．
答：是的中线，是的中线，
，，
．
，
．
故本题答案为．
4. 若是的高，，，则的度数为 ．
答：
如图，当高在的内部时，
；
如图，当高在的外部时，
，
综上所述，的度数为或．
课堂总结
这节课你学到了哪些知识？
设计意图：通过小结，回顾本节课所学新知，加深印象．
课堂检测
1. 如图，，，分别是的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是( )
A. B. C. D.
答：，，分别是的中线，角平分线，高，
，，，
故选项A、B、C正确，选项D错误，故选D．
2. 如图，在中，，平分，若，，则 ．
答：因为平分，所以，
所以．
因为，所以，
所以．
故答案为．
3. 如图，的和的平分线，相交于点，，则的大小为( )
A. B. C. D.
答：、分别是和的角平分线，
，，
，
，
，
．
4. 如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为( )
A. B. C. D.
答：方法一： ，，，
，
，
．
是边上的中线，
，
故选C．
方法二：是边上的中线，，
，
，，
，，
故选C．
5. 在等腰中，，中线将这个三角形的周长分为和两个部分，则这个等腰三角形的底边长为 ．
答：是等腰的中线，
设，则，
又知将三角形周长分为和两部分，
已知可分为两种情况：
，即，解得，此时；
等腰的三边分别为，，；
，即，解得，此时；
等腰的三边分别为，，．
经验证，这两种情况都是成立的．
这个三角形的底边长为或．
故答案为：或．
设计意图：通过学生的练习，使教师及时了解学生对三角形的角平分线、中线和高线的概念及应用情况，以便教师及时对学生进行矫正．
实践作业：如图，在一张等边三角形纸片中取三边的中点，以虚线为折痕折叠纸片，你认为图中阴影部分的面积是整个图形面积的几分之几？你是怎么知道的？

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