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第十一章 一元一次不等式和一元一次不等式组
11.2不等式的基本性质
本节课学生学习不等式的基本性质，是在学习了等式的基本性质和解一元一次方程之后，对整式运算的继续探索.生活中的数量关系包括两种，相等关系与不等关系，通过本节课的学习，学生将对数量关系中的不等关系基本性质有一个完整的认识，形成一个完整的知识体系.等式的基本性质是解方程的依据，类似的不等式的基本性质是解不等式的基础，因此它是不等式解法的核心内容之一，是本章学习的基础.
这个年龄段的孩子思维活跃，求知欲望强，通过引入实际情景容易激发学生兴趣.并且学生已经具备一定的生活经验，为本节研究不等式的基本性质打下基础，通过探索发现不等式的基本性质，培养学生探索数学问题的能力.
1.通过观察、类比和归纳，探究不等式的基本性质，体会不等式变形和等式变形的区别和联系.
2.掌握不等式的基本性质并能熟练应用不等式的基本性质进行不等式的变形.
3.经历通过类比、猜测、验证，在积极参与探索、发现不等式基本性质的过程中，培养学生的观察力和归纳的能力，体会归纳和类比的思想方法.
重点：掌握不等式的基本性质
难点：正确运用不等式的基本性质进行不等式的变形.
情境导入
活动一：展示图片，引入新课．
100>50 100+20>50+20
120－20>70－20 120>70
不等式有哪些性质呢？我们一起来探究吧！
设计意图：通过实际问题引入，增强趣味性，方便学生理解也更容易接受新的知识，培养学生观察和概括的能力.
一起探究
活动二：复习回顾．
等式的基本性质：
等式基本性质1：等式的两边加上(或减去)同一个数或同一个整式，结果仍是等式.
如果，那么.
等式基本性质2：等式的两边乘(或除以)同一个数(除数不为0)，结果仍是等式.
如果，那么（或）.
设计意图：通过回顾等式的性质，为本节课类比等式的性质，探索不等式的性质做好铺垫，并且从学生已有的数学经验出发，建立新旧知识之间的联系，培养学生梳理知识体系的习惯.有利于学生探究发现和正确用文字语言和符号语言正确表达不等式的性质.
活动二：探索不等式的基本性质1．
做一做：1.已知3＜5，计算并用不等号填空：
3+3 5+3； 3 3 5 3；
； 3 5 .
3+3.6 5+3.6 ； 3 3.6 5 3.6
师生活动：学生在填空的基础上分组探索不等式的性质.教师深入小组参与活动，观察指导学生的探究方法，并倾听学生的讨论.完成填空后，类比等式性质1，教师提出问题，引导学生发现规律.
思考：对比原不等式，不等号左右两边有何变化？ 不等号的方向有何变化？
答：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.
做一做：2.若，则：
；
；
师生活动：学生认真思考，举手作答，教师借助数轴从“形”的角度验证不等式的成立.
将两个点沿相同方向平移相等的距离后，对应的数的大小关系不变
即：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变
归纳总结：
不等式的基本性质1
不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.
即
如果，那么.
设计意图：通过教师引导，从“数”“形”两方面得到不等式的基本性质1，学生在思考中总结，培养学生的概括能力与逻辑推理能力.
活动二：探索不等式的基本性质2和3．
做一做：已知8>3，计算并用不等号填空：
8×2 3×2 8×( 2) 3×( 2)
8× 3× 8×( ) 3×( ) .
8×0.01 3×0.01 8×( 0.01) 3×( 0.01)
8÷3 3÷3 8÷( 3) 3÷( 3)
师生活动：学生认真思考，举手作答.教师提出问题
思考：对比原不等式，不等号左右两边有何变化？不等号的方向有何变化？
不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变
不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变
归纳总结：
不等式的基本性质2
不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.
即如果，且，那么(或).
不等式的基本性质3
不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.
即如果，且，那么(或).
师生活动：此次活动是本节课的核心活动，对学生有一定的难度，有些学生可能会直接把等式的两条性质加以修改，推广得到不等式的性质，而忽略了不等式的两边乘或除以同一个正数或同一个负数时的不同结论，此时教师应引导学生注意观察，并继续举几个例子让学生观察对比，体会不等式性质与等式性质的异同，用自己的语言描述发现的规律.
设计意图：通过一组精心设计的填空题，让学生通过观察有限个不等式的变化，发现并归纳总结不等式性质与等式性质，进一步培养学生的抽象概括能力及合情推理能力.
做一做：已知，请用不等号连接下面的式子，并说明理由.
（1）与
（2）与
（3）与
（4）与
解：(1)，因为不等式的性质1
(2)，因为不等式的性质1和3
(3)，因为不等式的性质2
(4)，因为不等式的性质3
设计意图：通过简单的练习，让学生熟练掌握不等式的基本性质.
应用举例
例1 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成 “”或 “”的形式:
(1)； (2)； (3)； (4).
解：(1)，
(不等式的基本性质1)，
.
(2)，
(不等式的基本性质1)，
x<2.
(3)，
(不等式的基本性质2)，
x<12
(4) 5x>20，
(不等式的基本性质3)，
x< 4.
师生活动：学生思考后独立完成例题，教师特别提醒(4)题，注意：不等式两边都除以-5，不等号方向要改变.
设计意图：通过例1，让学生加深对不等式基本性质的理解，并会利用不等式的基本性质进行简单的变形.
方法总结：
1.将不等式化成“”或“”的形式，实质是利用不等式的性质对不等式进行变形，把不等式的右边化成常数，左边化成只含有系数1的未知数的一次式的形式.
2.不等式的两边同乘或除以同一个数时，要分清乘或除的是正数还是负数．若是正数，不等号的方向不变，若是负数，不等号方向要改变．
例2. 有理数在数轴上的位置如图所示，用“＞”或“＜”填空：
（1） 2b 2c；
（2） 　　；
（3） 　　；
（4） 　　 .
解:(1)由图知，则由不等式的基本性质2，得.
(2)由图知，则由不等式的基本性质1，得.
(3)由图知，则由不等式的基本性质1，得a b>c b.
(4)由图知，b<0，则由不等式的基本性质3，得.
师生活动：学生先独立思考后，小组交流答案.
设计意图：让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间，激发学生学习的积极性，建立学好数学的自信心.
课堂练习
1.已知，请用 “>”或 “<”填空:
(1)a 2 b 2； (2)3a 3b；
(3)a÷( 8) b÷( 8)； (4) .
解：(1)由不等式的基本性质1得：.
(2)由不等式的基本性质2得：.
(3)由不等式的基本性质3得：.
(4)由不等式的基本性质3得： > .
2.把下列不等式化为 “”或 “”的形式:
(1) x+3< 2； (2) 9x > 8x+1； (3)> 4； (4) 10x < 5.
解：(1) x+3< 2，
x+3 3< 2 3 (不等式的基本性质1)，
x< 5
(2) 9x > 8x+1，
(不等式的基本性质1)，
x>1.
(3)> 4，
2×>2×( 4) (不等式的基本性质2)，
x> 8
(4) 10x< 5，
>(不等式的基本性质3)，
x>.
3.若，则 .(填 “>”“<”或 “=”)
解：若，则 < b (不等式的基本性质3)，
所以 < b+c(不等式的基本性质1).
故答案为：<.
4.表示1-a 和1+a的点在数轴上的位置如图所示，请确定a的取值范围.
解：由图知，
则(不等式的基本性质1)，
所以
所以(不等式的基本性质3)
所以.
设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握程度，调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高.
课堂总结
这节课你学到了哪些知识？说说你的体会.
设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系.
课堂检测
1.已知，请用 “>”或 “<”填空:
(1)a+ b+； (2)a 6 b 6； (3)4a 4b；
(4) ； (5) a b； (6) .
解：(1)由不等式的基本性质1，得a+> b+.
(2)由不等式的基本性质1，得a 6>b 6.
(3)由不等式的基本性质2，得4a>4b.
(4)由不等式的基本性质2，得> .
(5)由不等式的基本性质3，得 a< b.
(6)由不等式的基本性质3，得 < .
2.把下列不等式化为 “”或 “”的形式:
(1)x 5<9； (2)6x<4x 2； (3)；
(4) 4x解:((1)x 5<9，
x 5+5<9+5 (不等式的基本性质1)，
x<14
(2)6x<4x 2，
(不等式的基本性质1)，
2x< 2.
(不等式的基本性质2)，
x< 1.
(3)，
(不等式的基本性质1)，
，
(不等式的基本性质2)，
x>6.
(4) 4x 4x x 5x<5，
(不等式的基本性质3)，
x> 1.
(5)，
(不等式的基本性质1)，
> 1，
( 2)×( )<( 2)×( 1) (不等式的基本性质3)，
x<2.
(6)，
( 6)×()<( 6)× (不等式的基本性质3)，
，
(不等式的基本性质1)，
7x< 1.
(不等式的基本性质2)，
x< .
3.已知，且ma>mb，求m的取值范围.
解：由不等式的基本性质3可知：.
4.阅读下面的解题过程，解答问题：
已知，试比较与的大小.
解：∵ ①，∴ ②.∴ ③.
(1)上述解题过程中，从第 　　步开始出现错误，错误的原因是 　 　；
(2)请写出正确的解题过程.
解：(1)上述解题过程中，从第②步开始出现错误，错误的原因是:不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变；
(2)∵，∴ .（不等式的基本性质3）
∴ .（不等式的基本性质1）

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