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第七章 相交线与平行线
7.2相交线
第1课时
本节课是在学生已经学习了直线、射线、线段和角的有关知识的基础上，进一步研究平面内不重合的两条直线的一种位置关系——相交，研究相交线所形成的邻补角、对顶角的位置和数量关系，为后续更深入的几何学习提供必要的知识储备．邻补角、对顶角的概念及性质是解决几何问题的常用工具，在后续学习三角形、四边形、相似形、圆等几何知识时，经常会用到这些基础概念和定理来进行推理和计算．
小学接触过相交线与平行线，但并未要求概念刻画与性质推导．小学阶段，几何学习以直觉感知为主，初中几何知识的学习过渡到以逻辑思维为主，几何计算需要必要的说理过程，学生还不习惯．
1．从位置关系及数量关系认识对顶角，并掌握对顶角的性质，培养抽象能力和逻辑推理能力．
2．理解垂线、垂线段的概念，理解垂线的性质，体会点到直线的距离的意义．
3．能过一点画一条直线的垂线，理解并会度量点到直线的距离，掌握“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的基本事实，积累数学活动经验．
重点：从位置关系及数量关系认识对顶角，并掌握对顶角的性质，培养抽象能力和逻辑推理能力；理解垂线、垂线段的概念，理解垂线的性质，体会点到直线的距离的意义．
难点：能过一点画一条直线的垂线，理解并会度量点到直线的距离，掌握“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的基本事实，积累数学活动经验．
情境导入
活动一：展示图片，导入新课．
在平面上任意画出两条直线，这两条直线的位置关系有几种可能？
在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和不相交两种情况．
在本节中，我们将研究两条直线相交构成的角及与之相关的一些问题．
设计意图：让学生借助已有的几何知识从现实生活中发现数学问题．
一起探究
活动二：探索对顶角的概念．
问题1：观察下图，你发现了什么？
答：直线与直线相交于一点，并形成了四个角．
问题2：观察∠1和∠3，它们有什么关系
师生活动:学生讨论，教师巡堂，预测会发现有不同的组合，教师请他们分别发言说出这么组合的缘由．
答：具有公共的顶点；
两边互为反向延长线．
概念归纳：像∠1和∠3这样，具有公共顶点，并且两边互为反向延长线，我们把这样两个角叫做对顶角．
问题3：图中还有对顶角吗？
答：∠2和∠4也是对顶角．
注意：对顶角是成对出现的．
设计意图：使新知识的产生建立在对周围环境的直接感知的基础上，让学生增强对生活中的相交线、平行线的认识，建立直观的、形象化的数学模型．
活动三：对顶角的性质
探究：如图7．2-1，两条直线相交于点O，当其中一条直线绕点O转动时，∠1和∠3同时增大或同时减小．你能猜想出∠1与∠3的大小关系吗
猜想：对顶角相等．
做一做：你能用度量法或叠合法验证你的猜想吗 请试试看．
思考：你能从“同角的补角相等”这一事实出发，用说理的方法来验证你的猜想吗
下面，我们对猜想“对顶角相等”的正确性给予说明．
如图7．2-1，已知∠ 1与∠ 3是对顶角，那么∠ 1=∠ 3．
理由:因为 ∠ 1与∠ 2互补，∠ 2与∠ 3互补，
所以 ∠ 1=∠ 3(同角的补角相等)．
总结：对顶角相等．
师生活动：小组内交流自己的想法，互相修改达成共识，并做好发言准备．
设计意图：在猜想和证明之间可以加入几何画板验证，一是增强几何直观，化抽象为形象;二是让学生经历完整的思维过程，体验逻辑的严密性: 三是通过动态演示变化过程，帮助学生感受变化过程中的不变规．律，提高学生的自主探究能力．
思考：为了测量纸杯的侧壁交角，聪明的小红设计了如下的方案，她能解决这个问题吗？如果能，你能说明其中的原理吗？
答：能．原理是：对顶角相等．
活动四：垂线的定义
教师课件演示木棒的运动过程，学生注意观察，试着归纳其中角的变化规律．
当木棒的位置变化时，两根木棍所成的角的角度也会发生变化．
问题：在木棒运动的过程中，当时，等于多少度？为什么？
答：由对顶角的性质和平角的定义，知当时，．
概念归纳：如图7．2-3所示，当时，称直线AB和CD互相垂直，记作“AB⊥CD”，读作“AB垂直于CD”．AB是CD的垂线，CD也是AB的垂线．它们的交点O叫作垂足．
想一想：其他三个角都是什么角
答：其他三个角都是直角．
已知直线AB及AB上一点C．利用三角板，可以按下面的方法，画出经过点C的AB的垂线．
归纳：1贴；2过；3画
思考：经过直线上一点画该直线的垂线，可以画几条
答：一条．
按上面的方法，用三角板过直线AB外一点C也能画出AB的垂线．
思考：经过直线外一点画该直线的垂线，可以画几条
答：一条．
基本事实 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
活动五：垂线的性质
如图，过直线外一点作这条直线的垂线，这点与垂足之间的线段叫作垂线段． 如图，C是直线AB外一点，且，垂足为D．经过点C向直线AB任意引两条线段CE，CF．
猜想线段CE，CD，CF哪一条最短．
猜想：线段CD最短．
以点C为圆心、CD长为半径画弧，圆弧分别与线段CE，CF相交于点．那么，线段相等吗
答：线段相等，但长度都比CE，CF小，所以线段CD最短．
师生活动：利用叠合法进行演示，师生共同归纳得出结论．
结论 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
垂线段CD的长度称为点C到直线AB的距离．
应用举例
例1 光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变:一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线进入玻璃发生了折射，如图所示．由科学实验知道，∠1=∠2，∠4<∠3，那么∠1和∠2是对顶角吗 ∠3和∠4是对顶角吗 为什么
分析：本题主要考查对顶角的定义，利用对顶角的定义，容易求得结果．
解：∠1和∠2不是对顶角；∠3和∠4也不是对顶角．
理由是：∠1和∠2、∠3和∠4都是只有一条边互为反向延长线，而另一条边不互为反向延长线．
总结：具有公共顶点，并且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角．
设计意图：通过例题让学生感受对顶角的概念，并会判断两个角是否互为对顶角．
例2． 如图，在测量跳远成绩的示意图中，直线l是起跳线．BP，AP，AO中哪一条线段的长度可以算作跳远的成绩
分析：本题考查直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确掌握垂线段的性质是解题的关键
解：线段AO的长度可以算作跳远的成绩．
师生活动：学生思考后，口头展示．
设计意图：熟练掌握垂线的性质——直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．并能用其解决实际问题，培养学生解决问题的能力．
例3． 如图，已知直线AB与CD相交于点O，∠DOE与∠BOD互余，∠DOE=40°求∠AOC 的度数．
解：因为∠DOE 与∠BOD 互余(已知)，
所以∠DOE+∠BOD=90°(互余的定义)，
所以∠BOD=90°-∠DOE=90°-40°=50°(等式的性质)．
因为∠DOB 与∠AOC 是对顶角(已知)，
所以∠AOC=∠DOB(对顶角相等)，所以∠AOC=50°．
设计意图：几何计算需要说理是本节教学的难点为突破难点，通过独立思考解答交流思考过程，学生说教师白眼对照教材文本说优劣等环节，让学生会协会有条理的表述．
课堂练习
1．如图，已知直线AB，CD和点E，过点E分别画出直线AB，CD的垂线．
分析：本题考查垂线的绘制，利用直角三角板进行绘制即可．
解分别将直角三角板的一条直角边与AB，CD重合，移动三角板，过点E沿着另一条直角边画下垂线即可．垂线如图所示．
2．如图，直线AB，CD，EF都经过点O，图中有哪几对对顶角
解：6对对顶角，分别是:∠AOC=∠DOB；∠AOE=∠BOF；∠AOD=∠BOC；∠BOE=∠AOF；∠COE=∠DOF；∠DOE=∠COF．
3．在下面的括号内填写依据．
已知:如图，O是直线AB上的一点，OD是∠AOC的平分线，
OE是∠COB的平分线．请说明OD⊥OE的理由．
理由:因为 OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB的平分线，(已知)
所以∠DOC=∠AOC( )，∠COE=∠COB( )．
所以 ∠DOC+∠COE=∠AOC+∠COB=(∠AOC+∠COB)( )．
所以 ∠DOE=∠AOB=×180°=90°(两角和的定义)．
所以 OD⊥OE( )．
解：因为 OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB的平分线，(已知)
所以∠DOC=∠AOC(角平分线的定)，∠COE=∠COB(角平分线的定义)．
所以 ∠DOC+∠COE=∠AOC+∠COB=(∠AOC+∠COB)( 等量代换 )．
所以 ∠DOE=∠AOB=×180°=90°(两角和的定义)．
所以 OD⊥OE( 垂直的定义 )．
4．
解：因为直线AB，CD，EF相交于点O(已知)，
所以∠FOD =∠COE=38°(对顶角相等)
又因为 OG⊥AB(已知)，
所以∠BOD+∠FOD+∠FOG=90°(垂直定义)，
所以∠BOD= 90°-∠FOD-∠FOG=90°-32°-38°= 20°(等式的性质)．
设计意图：通过练习，让学生熟练掌握对顶角的定义、性质，垂线的定义与性质，并能够灵活运用，培养学生的思维能力．
课堂总结
这节课你学到了哪些知识？说说你的体会．
设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系．
课堂检测
1．如图，要把河中的水引到水池C，那么，在河岸AB的什么地方开始挖渠才能使水渠最短
分析：直接利用“从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短”即可得出答案．
解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，所以在点D沿CD开沟，才能使沟最短，原因是从直线外一点到直线上所有各点的连线中，垂线段最短．
2．如图，直线AB和CD相交于点O，若∠BOC+∠AOD=240°，则∠AOD= 度．
解：因为∠BOC与∠AOD互为对顶角，
所以∠BOC=∠AOD
又因为∠BOC+∠AOD=240°，
所以∠BOC=∠AOD=120°．
故答案为120．
3．如图，EO⊥AB于点O，直线CD过点O，∠EOD：∠EOB=1：3．求∠AOC，∠AOE的度数．
解：因为EO⊥AB，所以∠EOB=90°，∠EOA=90°
因为∠EOD:∠EOB=1:3，所以∠DOB=60°，∠EOD=30°，
所以∠AOC =60°．
4．如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOF=120°，∠BOD=90°，求∠BOF，∠EOC的度数．
解：解：因为∠BOD = 90°，
所以∠AOD=180°-90°=90°，
因为∠AOF =120°，
所以∠DOF=120°-90°= 30°，
所以∠BOF =90°- 30°= 60°，
∠EOC=∠DOF =30°．
实践作业：一个正方形的两条对角线有什么位置关系 请画一画，量一量．第七章 相交线与平行线
7.2相交线
第2课时
本节内容主要是学习同位角、内错角、同旁内角的概念，在研究了两条相交直线构成的角(对顶角，邻补角)的基础上进一步探究平面内三条直线相交形成的不共顶点的角的位置关系，主要学习同位角、内错角、同旁内角的概念，它是进一步学习平行线的判定和性质的必要准备.
教科书通过两条直线相交的四个角的知识为基础，引出一条直线分别与两条直线相交构成的八个角中，通过分类讨论思想，把不共顶点的两个角的位置关系分为同位角、内错角同旁内角三类.紧接着，通过例题来让学生学习同位角、内错角、同旁内角的概念，教学时可根据情况适当要求学生说明同位角、内错角与同旁内角是哪两条直线被哪一条直线所截得到的，为后面学习平行线的性质与判定做好铺垫
七年级学生对几何图形的认识有浓厚的兴趣，但相对掌握的几何知识还是较浅显的.特别是“图形、符合、文字”三种语言之间的相互转化.因此，本节课我重点以概念教学为主通过学生看书、思考、组内交流、汇报、教师评价等形式得出“同位角、内错角、同旁内角”的概念.然后再通过课堂练习进行反馈，在反馈中补充和升华，真正使学生达到理解、掌握的目的，从而为后续学习内容做铺垫
1.能在图形中识别同位角、内错角和同旁内角
2.经历在简单的图形中辨认同位角、内错角、同旁内角的过程，思考数学概念的形成过程
3.通过找全同位角、内错角、同旁内角，形成认识事物的科学方法
4.通过观察、比较各类角的特点，提高学生的辨别能力和空间想象能力
重点：同位角、内错角、同旁内角的概念
难点：复杂图形中同位角、内错角、同旁内角关系的辨认
情境导入
活动一：展示图片，导入新课．
图片中除了有我们上一节课所学的两条直线相交外，有没有更多的直线相交呢？
设计意图：让学生借助已有的几何知识从现实生活中发现数学问题.
一起探究
活动二：探索同位角定义．
问题1：两条直线a和c相交，能形成些具有什么关系的角？
答：可以形成对顶角和邻补角.
设计意图:通过复习两条直线相交构成邻补角和对顶角，为本节课的研究做好铺垫.
问题2：若再添一条直线，即直线a和b被直线c所截，构成了几个小于平角的角？
答：构成了8个小于平角的角.
直线c叫做截线，直线a，b叫做被截直线.
师生活动:引导学生发现两条直线被第三条直线所截，可以构成8个角.
设计意图:通过在两条直线相交的基础上添线的方式，引入两条直线被第三条直线所截的情况，让学生认识到这是相交线的又一种情况，本节课所要研究的角也是与相交线有关的角，从而认识事物间是变化发展又相互联系的辩证关系，
问题3：观察∠4和∠8的位置关系，试描述它们的位置特征.
师生活动：学生观察、分析，概括出特点.
教师引导学生得出同位角的概念，总结出同位角的特征:两角在截线的同侧，在被截线的同一方.教师板书同位角的位置特征.
教师提问:你能联想一个字母，用它来形象的反映出这种的图形特征吗
学生观察、判断得出答案.教师板书同位角的位置特征，基本图形，结构特征
设计意图:引导学生从位置观察同位角的特点，并归纳概括同位角的概念，使学生把握概念的本质，在找寻图中其他同位角时，有对概念进行辨析应用，加深学生对概念的理解.
活动三：探索内错角定义．
问题3：观察∠3和∠6的位置关系，试描述它们的位置特征.
师生活动：
仿照同位角的学习，学生观察、分析，小组交流合作完成，教师巡视小组内的交流情况，注意关注学生是否能做到方法的触类旁通和类比迁移，引导学生得出内错角的概念最后班内达成共识，教师板书内错角的概念及位置特征，基本图形，结构特征：在直线c的两侧；在直线a、b的内部.
设计意图:让学生类比同位角的学习，合作学习内错角的概念，同时也让学生体验数学的学习方法，有利于提高学生的学习能力.
活动四：探索同旁内角定义
问题4：观察∠3和∠5的位置关系，试描述它们的位置特征.
师生活动：
教师提问:请同学们仿照前面的学习，自己独立完成下面的问题：
(1)它们有怎样的位置关系 你能给他们起个名字吗
(2)你能找出图中还有哪几对角具有这样的位置关系
(3)两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，共有几对这样位置关系的角
(4)你能联想一个字母，用它来形象的反映出它们的图形特征吗
学生独立思考，观察总结同旁内角的特征，引导学生得出同旁内角的概念并尝试找出其他的同旁内角.
设计意图:有了前面的教师引导，小组合作，最后同旁内角让学生独立思考、探究，使学生学会了学习的方法，培养学生的学习能力.
做一做：请在图7.2-8的基础上分别画出符合下列各条件的角.
(1)与∠ABC是同位角.
(2)与∠ABC是内错角.
(3)与∠ABC是同旁内角.
应用举例
例1 如图7.2-7，直线a，b，c两两相交.请分别指出图中∠1，∠2，∠3，∠4中的同位角、内错角和同旁内角，并任选一对角，说明它们是由哪两条直线被哪一条直线所截得到的.
分析：本题是一道有关同位角、内错角、同旁内角的题目，利用定义求解即可.
解：∠1和∠2是同位角.∠1和∠4是内错角.∠2和∠3，∠3和∠4，∠2和∠4分别是同旁内角.其中∠1和∠2是由直线a，b被直线c所截得到的同位角.
方法总结：“F”型找同位角，“Z”型找内错角，“U”型找同旁内角.
师生活动：教师出示题目，让学生独立思考，指定学生口答，教师引导学生表达推理的过程.
设计意图:例题较简单，让学生口答，训练学生能表述简单的推理过程，为后面学习做准备.
例2. 如图，直线AB，CD被直线EF所截，交点分别为G，H，那么图中的同位角、内错角、同旁内角各有多少对 请分别写出两对，填入下表.
名称 对数 举例
同位角
内错角
同旁内角
分析：本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解答此类问题确定三线八角是关键，可直接从截线入手.
解：
名称 对数 举例
同位角 4 ∠AGE与∠CHE，∠CHF与∠AGF
内错角 2 ∠AGH与∠GHD，∠BGH与∠CHG
同旁内角 2 ∠AGH与∠CHG，∠BGH与∠GHD
师生活动：学生思考后，口头展示.
设计意图：熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的概念.
课堂练习
1.看图判断正误.(正确的在括号内画“√”，错误的画“ ”)
(1)∠ABC与∠ACD是同位角.( )
(2)∠ABC与∠ECD是同位角.( )
(3)∠BAC与∠ACE是内错角.( )
(4)∠ACB与∠ECD是同旁内角.( )
(5)∠ABC与∠BCE是同旁内角.( )
解：根据同位角、内错角、同旁内角的定义如意判断，结果分别为√、√、√、×、√.
2.如图，请分别写出各图中的一对同位角、内错角和同旁内角.
解：在图(1)中，同位角有:∠ADF与∠ABC，内错角有:∠EDB与∠ABC，同旁内角有:∠FDB与∠ABC;
在图(2)中，同位角有:∠BCF与∠EDF，内错角有:∠ABC与∠BCF，同旁内角有:∠BCF与∠EDC.
3.如图，∠1和∠2，∠3和∠4各是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的 它们是具有什么位置关系的角
解：∠1和∠2是直线AB与直线CD被直线AC所截形成的，是内错角；
∠3和∠4是直线AD与直线BC被直线AC所截形成的，是内错角.
4.如图，两条直线a，b相交，请再画一条直线c，构成八个角，并分别找出与∠1是对顶角、同位角、内错角和同旁内角的角.
解：如图，画出直线c，与直线a，b构成八个角，
与∠1是对顶角的是∠3；
与∠1是同位角的是∠5；
与∠1是内错角的是∠7；
与∠1是同旁内角的是∠8.
设计意图：课堂练习中的习题为了让学生体会无论图形怎样复杂，都以截线为不变的主线，去解决万变的图形，而找截线的关键是找到两个角的公共边所在的直线，同时题目逐渐增加难度，都为下一个练习做好铺垫，旨在考查学生对本节课概念的理解，图形的辨别方法的掌握及学生的识图能力.
课堂总结
这节课你学到了哪些知识？说说你的体会.
设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系.
课堂检测
1.如图，∠DAB和∠ABC是 （ ）
A.同位角 B.同旁内角 C.内错角 D.以上结论都不对
答：C.
2.如图，∠1和∠2不能构成同位角的图形是（ ）
答：D.
3.如图，请分别指出各图中的同位角、内错角和同旁内角.
解：(1)同位角：∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8；
内错角：∠3和∠5，∠4和∠6；
同旁内角：∠3和∠6，∠4和∠5.
(2)同位角：∠DAE与∠ABC，∠DAC与∠ABC；
内错角：∠CAE与∠ACB；∠DAC与∠ACB
同旁内角：∠EAB与∠ABC，∠BAC与∠ABC，
∠ABC与∠ACB，∠BAC与∠ACB.
4.如图，直线AB，CD被直线EF所截.
(1)请写出图中∠1，∠2，∠3，∠4和∠5中的同位角、内错角和同旁内角.
(2)如果∠1=∠5，那么∠3和∠4相等吗 为什么 ∠2和∠4又是什么关系
解：(1)∠1和∠4，∠3和∠5是同位角；∠3和∠4是内错角；∠2和∠4是同旁内角.
(2)如果∠1=∠5，那么∠3和∠4相等.
理由：因为∠1=∠3，∠4=∠5（对顶角相等）
又因为∠1=∠5（已知），所以∠3=∠4（等量代换）.
如果∠1=∠5，那么∠2和∠4互补.
理由：因为∠4=∠5（对顶角相等），又因为∠1=∠5（已知）
所以∠1=∠4（等量代换）.
又因为∠1+∠2=180°（平角的定义），
所以∠2+∠4=180°（等量代换），所以，∠2和∠4互补.
实践作业：画出两条直线被第三条直线所截，在形成的八个角中，找出哪些角是同位角，哪些角是内错角，哪些角是同旁内角.

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