资源简介

第十一章 一元一次不等式和一元一次不等式组
11.3解一元一次不等式
第1课时
在前面已学习了一元一次方程的相关知识和不等式的性质，本节课主要是通过类比一元一次方程的解法总结归纳出一元一次不等式的解法，并熟练运用不等式的性质解一元一次不等式.只有学生掌握好了一元一次不等式的解法，才能更好地学习后面的不等式的应用及不等式组，可见，本节课内容在本章具有承上启下的作用，处于一个基础性、工具性的地位，不仅是对已有知识的运用和深化，还为后续学习打下基础．
学生已经学习了一元一次方程以及不等式的基本性质等相关知识，通过回顾不等式的基本性质，让学生猜测如何对一元一次不等式求解，激发学生的学习兴趣，引入新课，让学生体会类比学习的思想．
1.能理解不等式的解及其解集的意义；
2.能借助数轴表示不等式的解集；
3.能利用不等式的基本性质，解简单的一元一次不等式；
4.通过方程的解、一元一次方程的概念，类比得出不等式的解、一元一次不等式的概念，培养学生主动思考，善于类比和发现，主动反思的习惯；
5.通过在数轴上表示不等式的解集，渗透数形结合的数学思想．
重点：认识不等式的解及其解集，在数轴上表示不等式的解集．
难点：运用不等式的基本性质解一元一次不等式．
情境导入
活动一：展示图片，引入新课．
60(x+1) 80x
天平左边质量为60(x+1)，天平右边质量为80x，你能判断哪边的质量大吗？
我们一起来探究吧！
设计意图：通过实际问题引入，增强趣味性，方便学生理解也更容易接受新的知识.培养学生观察和概括的能力.
一起探究
活动二：复习回顾．
不等式的基本性质：
不等式的基本性质1
不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.
即如果，那么.
不等式的基本性质2
不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.
即如果，且，那么(或).
不等式的基本性质3
不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.
即如果，且，那么(或).
设计意图：通过回顾不等式的性质，为本节课探索一元一次不等式的解法做好铺垫，并且从学生已有的数学经验出发，建立新旧知识之间的联系，培养学生梳理知识体系的习惯.
活动二：探索一元一次不等式的相关概念．
“情境”中的问题你能解决吗？
思考：你能列出相应的不等式吗？
答：80x>60(x+1)
追问：满足80x>60(x+1)的x的值有多少个呢
根据给定的x值，完成下表：
x 80x 60(x+1) x的值是否符合80x>60(x+1)
2
2.5
3.5
4.1
追问：请再任意选择两个大于3的x的值，检验其是否符合80x>60(x+1)？
答：当x=5.4时，80x=432，60(x+1)=384，符合80x>60(x+1)；
当x=6.8时，80x=544，60(x+1)=468，符合80x>60(x+1).
思考：上述数值3.5，4.1，5.4，6.8都满足不等式80x>60(x+1)，那么我们可以把这些数值叫作什么？
概念生成：
不等式的解：能使含有未知数的不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解.
师生活动：学生在填空的基础上不难发现，有些数值不符合80x>60(x+1)，而有些数值符合80x>60(x+1)
设计意图：学生通过简单的计算容易发现有些数值能使含有未知数的不等式成立，有些数值不能使含有未知数的不等式成立，自然得出不等式的解的概念.
追问：你认为不等式80x>60(x+1)的解有多少个
答：无数个
思考：满足不等式80x>60(x+1)的解有无数个，那么我们可以把这些数值叫作什么？
概念生成：
一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集.
求不等式解集的过程，叫作解不等式.
设计意图：通过一组问题的设计，让学生顺利得到不等式的解集以及解不等式的概念，使学生接受新知识没有压力.
活动三：探索不等式解集的表示方法．
思考：如果要写出不等式的所有解，该如何表示呢？
方法一：用不等式表示，即用最简形式的不等式(如或)来表示.
如：可以表示不等式的解集.
方法二：用数轴表示，一般标出数轴上某一区间，其中的点对应的数值都是不等式的解.
如：的解集为
0 5
注意：空心圆圈表示不包含这一点.
又如： 2x≥2的解集用不等式表示为x≤ 1.
用数轴表示如图所示：
注意：实心圆点表示包含这一点.
师生活动：学生认真思考，合作交流，应该能够总结出用不等式表示解集的方法.用数轴表示解集，是本节课的难点，需要教师加以引导，并亲自演示示范，特别强调要确定边界和方向.
归纳总结：
在数轴上表示不等式的解集时，要确定边界和方向.
(1) 边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈.
(2) 方向 ：大于向右，小于向左.
设计意图：分解难点，让学生更容易接受，掌握用数轴表示解集的方法，初步感受数形结合思想.
思考：不等式的解和解集有什么区别与联系呢？
设计意图：通过表格的形式，让学生区分不等式的解与不等式的解集的概念，避免在做题过程中出现错误.
活动四：探索一元一次不等式的概念
思考：观察不等式：.
请说说这些不等式的共同特点是什么？
答：这些不等式的两边都是整式，只含一个未知数、并且未知数的指数是1
概念生成：
一元一次不等式：我们把含有一个未知数且未知数的次数都是1的不等式，叫作一元一次不等式.
师生活动：学生通过观察若干不等式的共同特点，得出一元一次不等式的概念，讲课过程中，也可类比一元一次方程的概念得出一元一次不等式的概念.
应用举例
例1 解不等式2x+1<5，并把解集在数轴上表示出来.
解：不等式两边都减去1，得2x<5 1，
即2x<4.
将未知数的系数化为1，得x<2.
解集在数轴上表示，如图所示.
师生活动：学生思考后独立完成例题，教师提醒：不等式两边都减去1的过程类似于解方程中的移项变形.
设计意图：进一步让学生感受不等式的解集与数轴上表示数的范围的一种对应关系，加深学生对不等式解集的理解，也使学生进一步领会到数形结合的方法具有形象，直观，易于说明问题的优点
方法总结：
解简单一元一次不等式的步骤：
1.移项
2.合并同类项
3.系数化为1
注意：“系数化为1”时，不等式要根据同乘（或除以）的数的正负决定是否改变不等号的方向
例2. 已知关于x的不等式的解集如图所示，则a的值等于多少？
解:不等式两边都加上a，得2x≥ a 3，
两边都除以2，得x≥ ，
由图可知x≥ 1，所以= 1
解得a=1.
师生活动：学生先独立思考后，小组交流答案.
设计意图：例2是简单的一元一次不等式的应用，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间，激发学生学习的积极性，建立学好数学的自信心.
解题通法：
(1)先化不等式为的形式.
(2)再与图中的解集比较，列方程求解.
课堂练习
1.把下列不等式的解集在数轴上表示出来:
(1)x>2； (2)x<； (3)x≥ 3； (4)x≤5.
解：(1)
(2)
(3)
(4)
2.解不等式，并把解集在数轴上表示出来.
解：不等式两边都乘 ，得x< ，
解集在数轴上表示，如图所示.
3.写出下列数轴上所表示的不等式的解集:
(1)
(2)
解：(1)x< ；(2)x≥ 3.
4.已知关于x的不等式x解：不等式< 1的两边都乘2，得：x< 2
因为不等式x所以a+1= 2
所以a= 3.
设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握程度，调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高.
课堂总结
这节课你学到了哪些知识？说说你的体会.
设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系.
课堂检测
1.解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来:
(1)2x+2<6； (2) 3x>； (3)x+5> x； (4)<1.
解：(1)不等式两边都减去2，得2x<6 2，
即2x<4.
将未知数的系数化为1，得x<2.
解集在数轴上表示，如图所示.
(2)不等式两边都除以-3，得x< ，
解集在数轴上表示，如图所示.
(3)不等式两边都加x-5，得2x> 5
不等式两边都除以2，得x> ，
解集在数轴上表示，如图所示.
(4)不等式两边都乘4，得1 x<4
不等式两边都减1，得 x<3，
将未知数的系数化为1，得x> 3.
解集在数轴上表示，如图所示.
2.解不等式，并把解集在数轴上表示出来.观察在数轴上表示的解集，直接写出该不等式的正整数解.
解:不等式两边都减，得<10
将未知数的系数化为1，得x<4，
解集在数轴上表示，如图所示.
所以，该不等式的正整数解是1，2，3.
3.已知+5>0是关于x的一元一次不等式，则a的值是________．
解：由+5>0是关于x的一元一次不等式得
，解得
则a的值等于1.
4.已知，请确定的最大值.
解：
，即
不等式两边都减，得
即
所以.
所以，的最大值是.第十一章 一元一次不等式和一元一次不等式组
11.3解一元一次不等式
第2课时
本节课是11.3解一元一次不等式的第二课时，主要是通过类比一元一次方程的解法总结归纳出一元一次不等式的解法，并熟练应用不等式的基本性质解一元一次不等式，只有学生掌握好了一元一次不等式的解法，才能更好地学习后面的不等式组及不等式(组)的应用.同时，学习本节课时涉及的类比思想、化归思想对后继学习也是十分有益的，所以本节课的教学不能仅仅停留在知识的探索上，更要注重数学方法和数学思想的渗透和传播.
学生已经学习了一元一次方程的相关知识和不等式的基本性质以及解一元一次不等式的第一课时，具备一定的分析问题、解决问题的能力；但在一元一次不等式的解法中，不等号的改变问题依然是易错点.为突破难点，教学关键是运用类比的方法，让学生积极参与到活动中去，类比一元一次方程的解法，自主探究并掌握一元一次不等式的解法，比较解不等式和解方程的不同之处，并加强“去分母”和“系数化为1”这两个步骤的训练.
1.会解含分母的不等式；
2.理解并掌握解一元一次不等式的一般步骤；
3.会列不等式并确定未知数的取值范围；
4.与解一元一次方程的过程进行类比，体会类比思想，提高运算能力.
重点：理解并掌握解一元一次不等式的一般步骤
难点：类比解一元一次方程的过程，体会类比思想.
情境导入
活动一：复习回顾，引入新课．
你还记得解一元一次方程的步骤吗？我们一起来通过解一元一次方程回顾一下.
解：去分母，得.
去括号，得 .
移项，合并同类项，得.
将系数化为1，得
.
解一元一次方程的步骤:
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
师生活动：学生独立解答问题，小组代表发言总结解一元一次方程的步骤.
设计意图：通过回顾解一元一次方程的步骤，为本节课探索一元一次不等式的解法做好铺垫，并且从学生已有的数学经验出发，建立新旧知识之间的联系，培养学生梳理知识体系的习惯.
一起探究
活动二：一元一次不等式的解法．
做一做：解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
(1)； (2)
解：(1)去括号，得
移项，得，
合并同类项，得.
将未知数的系数化为1，得.
解集在数轴上表示，如图所示.
(2)去分母，得
移项，得，
合并同类项，得.
将未知数的系数化为1，得x≥.
解集在数轴上表示，如图所示.
设计意图：通过简单的问题的训练，为本节课探索稍复杂的一元一次不等式的解法打好基础.
思考：解一元一次不等式的方法步骤是怎样的？
答：解一元一次不等式的步骤:
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
思考：解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤有什么异同点？
我们通过具体的例子来看一下.
解不等式： 解方程：
4x－1<5x+15 4x－1=5x+15
解：移项，得 解：移项，得
4x－5x<15+1. 4x－5x=15+1.
合并同类项，得 合并同类项，得
－x<16. －x=16.
系数化为1，得 系数化为1，得
x>－16. x=－16.
解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤的异同点
一元一次方程 一元一次不等式
相同点 (1)去分母，(2)去括号，(3)移项，(4)合并同类项，(5)系数化为1
不同点 每一步都是等号连接 在上面的步骤(1)和(5)中，如果乘数或除数是负数时，要把不等号改变方向.
师生活动：学生通过具体实例，小组交流后总结解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤的异同点
设计意图：学生通过具体实例，归纳解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤的异同点，培养学生的团队合作意识与归纳问题的能力.
应用举例
例1 当x在什么范围内取值时，代数式的值比x+1的值大
解：根据题意，x应满足不等式.
去分母，得.
去括号，得.
移项，合并同类项，得－x>2.
将未知数的系数化为1，得x<－2.
即当x<－2时，代数式的值比x+1的值大.
师生活动：学生思考后独立完成例题，教师提醒：系数化为1时，不等式两端同时乘以－1，不等号的方向要改变.
设计意图：让学生熟练掌握解一元一次不等式的步骤，加深学生对不等式基本性质的理解.
方法总结：
解一元一次不等式的易错点
1.不等式的两边同乘(或除以)一个负数时，忘记改变不等号的方向；
2.在数轴上表示不等式的解集时，空心圆圈和实心圆点的意义弄混；
3.移项不变号；
4.去分母时漏乘不含分母的项.
5.忽视分数线的括号作用.
6.去括号时，括号前是减号的括号里各项忘记要改变符号.
例2. 求不等式的正整数解.
解：去分母，得3(x+1)≥2(2x 1).
去括号，得3x+3≥4x 2.
移项，合并同类项，得 x≥ 5.
将未知数的系数化为1，得x≤5.
所以，满足这个不等式的正整数解为x=1，2，3，4，5.
师生活动：学生先独立思考后，小组交流答案.
设计意图：例2是求不等式的特殊解问题，进一步体会一元一次不等式的解题步骤，在确定特殊解时，一定要注意是否包括端点的值，培养学生严谨的态度.
方法总结：
求不等式的特殊解，先要准确求出不等式的解集，然后确定特殊解．在确定特殊解时，一定要注意是否包括端点的值，一般可以结合数轴，形象直观，一目了然．
例3 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来.
解：去括号，得.
移项，得.
合并同类项，得
将未知数的系数化为1，得.
原不等式的解集在数轴上表示如图所示.
师生活动：学生思考后独立完成例题，教师提醒：解集x≤5中包含5，所以在数轴上将表示5的点画成实心圆点.
设计意图：进一步让学生感受不等式的解集与数轴上表示数的范围的一种对应关系，加深学生对不等式解集的理解，也使学生进一步领会到数形结合的方法具有形象，直观，易于说明问题的优点.
课堂练习
1.解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来:
(1)； (2)； (3)
解：(1)去括号，得3x 3 2>5x+1.
移项，合并同类项，得－2x>6.
将未知数的系数化为1，得x<－3.
原不等式的解集在数轴上表示如图所示.
(2)去分母，得x 2≥3(2+x)
去括号，得x 2≥6+3x.
移项，合并同类项，得－2x≥8.
将未知数的系数化为1，得x≤－4.
原不等式的解集在数轴上表示如图所示.
(3)去分母，得2(3+4x)<3+5x
去括号，得6+8x<3+5x.
移项，合并同类项，得3x<－3.
将未知数的系数化为1，得x<－1.
原不等式的解集在数轴上表示如图所示.
2.已知3与2a的差不小于1，求a的取值范围.
解：依题意，得3 2a≥1
移项，合并同类项，得 2a≥ 2
系数化为1，得a≤1.
所以，a的取值范围是a≤1.
3.(1)当x取什么值时，代数式5x+2的值是负数
(2)当x取什么值时，代数式x+20的值小于的值
(3)当x取什么值时，代数式的值不大于 的值
解：(1)根据题意，x应满足不等式5x+2<0.
移项，得5x<－2.
将未知数的系数化为1，得x<－.
即当x<－时，代数式5x+2的值是负数.
(2)根据题意，x应满足不等式x+20<.
移项，合并同类项，得x< 16.
将未知数的系数化为1，得x<－32.
即当x<－32时，代数式x+20的值小于+4的值.
(3)根据题意，x应满足不等式≤ .
去分母，得2(6x+1)≤ 3(x 5)
去括号，得12x+2≤ 3x+15
移项，合并同类项，得15x≤13.
将未知数的系数化为1，得x≤.
即当x≤时，代数式的值不大于 的值.
4.求不等式的正整数解.
解：去分母，得：
去括号，得
移项，合并同类项，得
系数化为1，得.
所以，满足这个不等式的正整数解为1，2.
设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握程度，调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高.
课堂总结
这节课你学到了哪些知识？说说你的体会.
设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系.
课堂检测
1.解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来:
(1)； (2)；
(3)； (4).
解：(1)去括号，得
移项，合并同类项，得 3x≤9.
将未知数的系数化为1，得x≥ 3.
解集在数轴上表示，如图所示.
(2)去括号，得
移项，合并同类项，得2x≥15.
将未知数的系数化为1，得x≥.
解集在数轴上表示，如图所示.
(3)去分母，得
去括号，得
移项，合并同类项，得 x<1.
将未知数的系数化为1，得x> 1.
解集在数轴上表示，如图所示.
(4)去括号，得
移项，合并同类项，得.
将未知数的系数化为1，得.
解集在数轴上表示，如图所示.
2.如图，要使输出值y大于100，则输入的最小正整数x是多少
解:x为奇数时，5x>100，解得x>20，此时输入的最小正整数x是21；
x为偶数时，4x+13>100，解得x>，此时输入的最小正整数x是22；
综上所述，输入的最小正整数x是21.
3.在实数范围内定义新运算：，求不等式3△x≤3的非负整数解.
解：根据规定运算，不等式3△x≤3可化为
，解得，
故不等式3△x≤3的非负整数解为0，1．
解题通法：首先根据规定运算，将不等式3△x≤3转化为一元一次不等式，再利用不等式的基本性质解不等式，然后从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可．
4.已知不等式(是常数)的解集是，求.
解：
解题通法：已知解集求字母系数的值，通常是先解含有字母的不等式，再利用解集唯一性列方程求字母的值．解题过程体现了方程思想．

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