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第十一章 一元一次不等式和一元一次不等式组
11.5一元一次不等式组
第1课时
本节是在学生已经学习了一元一次不等式的解集，能熟练地在数轴上表示出不等式解集的基础上进一步研究不等式组的解集，可通过观察在同一数轴上表示出的多个不等式的解集，找出它们的公共部分，从而确定不等式组的解集，进而通过分析、归纳出求不等式组解集的一般规律，然后强化技能训练，教师应该引导学生主动参与观察、猜想、验证等数学活动，激发学生主动参加数学学习活动的兴趣，促使学生对数学活动充满探索欲望，并从中得到成功的体验，保持对数学学习的好奇心和求知欲.
这个阶段的学生已经学习了方程组和一元一次不等式，已经具备一定的基础，在解一元一次不等式的过程中已经掌握了如何在数轴上表示出解集，但是在找几个不等式的公共解集时会有一定的困难，通过类比方程组的解的概念，同时结合数轴从感观上直接找到公共部分，从而找到不等式组的解集.
1.经历从实际问题中抽象出不等式组及其解集的过程；
2.理解一元一次不等式组及其解集的意义，并能够利用数轴确定其解集；
3.会解简单的一元一次不等式组，使学生体会类比、数形结合的数学思想.
重点：会用数轴确定不等式组的解集.
难点：理解一元一次不等式组及其解集的意义，并能够利用数轴确定其解集
情境导入
活动一：展示图片，引入新课．
在高速公路上经常能看到如图所示的标志牌，其中客车道对客车车速的限制为:不能超过120km/h，也不能低于90km/h.
在许多问题中，所求的量常常需要满足两个或两个以上的不等关系.这类问题就要用不等式组来解决.这节课我们一起来学习.
设计意图：通过实际问题引入，增强趣味性，方便学生理解也更容易接受新的知识.培养学生观察和概括的能力.
一起探究
活动二：探索一元一次不等式组的相关概念
思考：在“情境”中，设在客车道行驶的客车的速度为xkm/h，那么可以怎样表示:客车车速不能超过120km/h，也不能低于90km/h？
答：x≤120①，同时x≥90②
师生活动：学生独立思考，理解题意，然后自由发表自己的观点.
设计意图：设置此问题，为了使学生能够认真审题，主动思考问题.
根据需要，有时要把几个一元一次不等式组合在一起，形成一组一元一次不等式，如
概念生成：
一般地，由若干个不等式组成的一组不等式，叫作不等式组.
含有同一个未知数的一元一次不等式的不等式组，叫作一元一次不等式组.
做一做：判断下列不等式组是否为一元一次不等式组：
(1); × (2); √
(3); × (4). √
设计意图：趁热打铁，让学生理解一元一次不等式组的概念.
思考：怎样确定上面的不等式组中未知数的取值范围呢？
答：类比方程组的求解，不等式组中的各个不等式解集的公共部分，就是不等式组中的未知数的取值范围.
师生活动：学生回答，教师引导并完善.
设计意图：让学生体会类比的思想方法，得出确定不等式组中未知数的取值范围的方法，进而得到不等式组的解集的概念.
概念生成：
一元一次不等式组中所有不等式的解集的公共部分，叫作这个一元一次不等式组的解集.
求不等式组的解集的过程，叫作解不等式组.
活动三：探索一元一次不等式组解集的表示方法
思考：通常我们运用数轴表示不等式的解集，那么我们能用它直接表示不等式组的解集吗？
做一做：用数轴表示出不等式组的解集.
所以这个不等式组的解集为90≤x≤120.
设计意图：提出目标性问题，引发学生思考，激发学生学习新教学点的兴趣，学生已掌握一元一次不等式的操作步骤，从运算目标出发，会产生“求解集的公共部分”的思考，自然就会利用数轴作为工具.
应用举例
例1 解不等式组，
解：解不等式①，得x> 6.
解不等式②，得x>1.
在数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示.
这两个不等式解集的公共部分是x>1.所以，不等式组的解集是x>1.
师生活动：2名学生板演，由学生判断板演是否正确．教师统计做题正确的人数，同时给予肯定或鼓励，小组加分．
设计意图：本题是一元一次不等式组解法的简单应用，技能训练，让学生再次巩固解一元一次不等式组的运算技能，进行程序化训练，分别把解集在数轴上表示出来，观察公共部分，并尝试用所归纳的规律验证解集的准确性，让学生对解一元一次不等式组的操作步骤更加熟练.
例2. 已知4a+5和2a 4的值都是正数，求a的取值范围.
解:依题意，得，
解不等式①，得.
解不等式②，得a>2.
在数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示.
这两个不等式解集的公共部分是a>2.
所以，不等式组的解集是a>2.即a的取值范围是a>2.
师生活动：提问学生分析题目，引导学生自己列出不等式组，求不等式组的解集，从而求出a的取值范围.
设计意图：:例题选自教科书里的练习，题目难度不大，考察学生对不等式组的理解与运用，结合给出的条件，联立不等式组，应用本节所学的解不等式组的算理，结合数轴求解集，从而求出a的取值范围.通过简单的计算题，达成发展分析问题和解决问题的能力.
归纳总结：解一元一次不等式组的“四步曲”
1.解出组成不等式组中各个不等式；
2.画数轴表示各个解集；
3.找出几个解集的公共部分；
4.写出这个不等式组的解集
课堂练习
1.解下列不等式组:
(1) (2)
解：(1)解不等式①，得x> 1.
解不等式②，得x>3.
在数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示.
这两个不等式解集的公共部分是x>3.
所以，不等式组的解集是x>3.
(2)解不等式③，得x< 1.
解不等式④，得x> 7.
在数轴上表示不等式③和④的解集，如图所示.
这两个不等式解集的公共部分是 7所以，不等式组的解集是 72.解下列不等式组:
(1) (2)
解：(1)解不等式①，得x<2.
解不等式②，得x> 4.
在数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示.
这两个不等式解集的公共部分是 4所以，不等式组的解集是 4(2)解不等式③，得x≥ 3.
解不等式④，得x<.
在数轴上表示不等式③和④的解集，如图所示.
这两个不等式解集的公共部分是.
所以，不等式组的解集是.
(3) (4)
解：(3)解不等式①，得x> 2.
解不等式②，得x≤3.
在数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示.
这两个不等式解集的公共部分是 2所以，不等式组的解集是 2(4)解不等式③，得x>2.
解不等式④，得x≥4.
在数轴上表示不等式③和④的解集，如图所示.
这两个不等式解集的公共部分是x≥4.
所以，不等式组的解集是x≥4.
3.已知代数式1 2k的值大于-1，但不大于5，求k的取值范围.
解：依题意，得，
解不等式①，得k<1.
解不等式②，得k≥ 2.
在数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示.
这两个不等式解集的公共部分是 2≤k<1.
所以，不等式组的解集是 2≤k<1.即k的取值范围是 2≤k<1.
4.阅读材料:对于形如2<2x+1<3的不等式，在求解时，可以左、中、右同时减去1，得1<2x<2，然后同时除以2，得解集.
请用上面的方法解不等式 5≤4x 3<4.
解： 5≤4x 3<4
左、中、右同时加3，得 2≤4x<7
左、中、右同时除以4，得
所以，不等式 5≤4x 3<4的解集为.
设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握程度，调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高.
课堂总结
这节课你学到了哪些知识？说说你的体会.
设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系.
课堂检测
1.利用数轴确定下列不等式组的解集:
(1) (2) (3) (4)
解：(1) (2)
不等式组的解集是x>3. 不等式组的解集是x< 3.
(3) (4)
不等式组的解集是 42.解下列不等式组:
(1) (2)
解:(1)解不等式①，得x<8.
解不等式②，得x>2.
在数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示.
这两个不等式解集的公共部分是2所以，不等式组的解集是2(2)解不等式③，得x≥1.
解不等式④，得x<2.
在数轴上表示不等式③和④的解集，如图所示.
这两个不等式解集的公共部分是1≤x<2.
所以，不等式组的解集是1≤x<2.
(3) (4)
(3)解不等式①，得x≤ 2.
解不等式②，得x> 4.
在数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示.
这两个不等式解集的公共部分是 4所以，不等式组的解集是 4(4)解不等式③，得x<5.
解不等式④，得x≥ 5.
在数轴上表示不等式③和④的解集，如图所示.
这两个不等式解集的公共部分是 5≤x<5.
所以，不等式组的解集是 5≤x<5.
(5) (6)
(5)解不等式①，得x>8.
解不等式②，得x≥6.
在数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示.
这两个不等式解集的公共部分是x>8.
所以，不等式组的解集是x>8.
(6)解不等式③，得x>.
解不等式④，得x<3.
在数轴上表示不等式③和④的解集，如图所示.
这两个不等式解集的公共部分是所以，不等式组的解集是3.若不等式2 x≥0与 都成立，求x的取值范围.
解：由题意可得不等式组
解不等式①，得x≤2.
解不等式②，得x＞－3.
在数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示.
这两个不等式解集的公共部分是 3所以，不等式组的解集是 34.已知x＝2是不等式(x－5)(ax－3a＋2)≤0的解，且x＝1不是这个不等式的解，求a的取值范围．
解：由题意可得不等式组
解不等式①，得a≤2.
解不等式②，得a＞1.
在数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示.
这两个不等式解集的公共部分是1所以，不等式组的解集是111.5一元一次不等式组
第2课时
教科书基于学生对一元一次不等式组的概念已基本掌握的基础之上，提出了本节课的具体学习任务和本节课的教学目标：①知识认知要求:进一步巩固解一元一次不等式组的过程，总结解一元一次不等式组的步骤及情形；②能力训练要求:通过总结解一元一次不等式组的步骤，培养学生全面系统的总结概括能力；③情感与价值观要求:加强运算的熟练性与准确性，培养思维的全面性.
学生在前面已经学过基本的不等式以及对不等式组的解法已经有一定的掌握，对其特点有所了解.学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些方程组和不等式组的一些活动，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.
1.进一步巩固解一元一次不等式组的过程，总结解一元一次不等式组的步骤及情形，并培养学生全面系统的总结概括能力；
2.会解较复杂的一元一次不等式组；
3.加强运算的熟练性与准确性，培养思维的全面性.
重点：会解一元一次不等式组.
难点：不等式组解集的确定.
情境导入
活动一：复习回顾，引入新课．
解一元一次不等式组的步骤是什么？
答：1.解出组成不等式组中各个不等式；
2.画数轴表示各个解集；
3.找出几个解集的公共部分；
4.写出这个不等式组的解集.
做一做：根据数轴写出不等式组的解集.
x≥3 0＜x≤3 x＜2
设计意图：回顾解一元一次不等式组的步骤，并通过学生简单的练习，以达到加强解法的熟练性和准确性的目的，同时为全面地对所有解的情况进行总结打下坚实的基础.
一起探究
活动二：探索较复杂的一元一次不等式组的解法
思考：这个不等式组的解集是什么？
我们知道组成一元一次不等式组的几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集.
显然，这两个不等式的解集无公共部分.
因此，由这两个不等式组成的不等式组无解.
师生活动：学生独立思考，理解题意，然后自由发表自己的观点.
设计意图：设置此问题，为了使学生能够认真审题，主动思考问题.
思考：解由两个一元一次不等式组成的不等式组，在取各不等式的解的公共部分时，有几种不同情况
假设a(1) (2)
同大取大 同小取小
(3) (4)
大小小大中间找 大大小小无处找
师生活动：学生先自主探究，然后小组交流讨论，一元一次不等式组解集的确定方法中，口诀法可由教师直接进行讲述.教师注意强调:若采用数轴法确定不等式组的解集则需注意端点处是画空心圆圈还是实心圆点，且不要标错方向，以免确定公共解集时出错；若采用口诀法，则要注意“两看”:一看不等号的类型，二看端点处的大小.
设计意图：学生通过自主探究与小组讨论寻找一元一次不等式组解集的确定方法，培养学生的团队合作意识与概括总结能力.
做一做：直接写出下列不等式组的解集.
(1) (2)
(3) (4)
解：(1)x>2；(2)x≤-5；(3)；(4)无解.
设计意图：趁热打铁，让学生掌握解一元一次不等式组的方法以及口诀的运用.
应用举例
例1 解不等式组，
解：解不等式①，得x<1.
解不等式②，得x>2.
在数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示.
从数轴上可以看出，这两个不等式的解集没有公共部分.
所以，这个不等式组无解.
师生活动：2名学生板演，由学生判断板演是否正确．教师统计做题正确的人数，同时给予肯定或鼓励，小组加分．
设计意图：本题是一元一次不等式组解法的简单应用，技能训练，让学生再次巩固解一元一次不等式组的运算技能，进行程序化训练，分别把解集在数轴上表示出来，观察公共部分，并尝试用所归纳的规律验证解集的准确性，让学生对解一元一次不等式组的操作步骤更加熟练.
归纳总结：
解一元一次不等式组的步骤
1.解出组成不等式组中各个不等式；
2.画数轴表示各个解集；
3.找出几个解集的公共部分；
4.写出这个不等式组的解集
解集口诀：
同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无处找.
例2. 求不等式组，的整数解.
解:解不等式①，得.
解不等式②，得.
所以，不等式组的解集是.
因此，不等式组的整数解为x=0，1，2.
师生活动：提问学生解决问题的思路，学生自己动手完成.
设计意图：应用本节所学的解不等式组的方法，首先求出x的取值范围，再根据题意，找出符合条件的整数解.通过简单的计算题，达成发展分析问题和解决问题的能力.
归纳总结：整数解及其他特殊解的解法：
首先分别解出两个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”确定该不等式组的解集，然后再根据x的取值范围找出整数解或者其他特殊解.
例3. 若关于x的不等式组，的解集是x<2，求a的取值范围.
解：解不等式①，得x<2.
解不等式②，得x因为关于x的不等式组，的解集是x<2，
所以a≥2.
师生活动：学生积极思考后小组之间进行讨论，教师巡回进行指导.
设计意图：本题相当于不等式组解集的确定的逆用，已知了不等式组的解集求参数的取值范围，考查了学生对不等式组解法的熟练程度，培养了学生分析问题解决问题的能力.
课堂练习
1.解下列不等式组:
(1) (2)
解：(1)解不等式①，得x< 1.
解不等式②，得x<3.
所以，不等式组的解集是x< 1.
(2)解不等式③，得x≤ 2.
解不等式④，得x<2.
所以，不等式组的解集是x≤ 2.
(3) (4)
解：(3)解不等式①，得x≤1.
解不等式②，得x<3.
所以，不等式组的解集是x≤1.
(4)解不等式③，得x≤ 4.
解不等式④，得x>.
所以，不等式组无解.
2.求不等式组:的整数解.
解：解不等式①，得x≥1.
解不等式②，得x<3.
所以，不等式组的解集是1≤x<3.
因此，不等式组的整数解为x=1，2.
3.已知关于x的不等式组，的解集是x> 1，求m的值
解：因为，
所以不等式组的解集是x>m+2，
因为关于x的不等式组，的解集是x> 1
所以，m+2=-1，即m=-3.
4.已知方程组，的解x的值小于或等于1，y 大于，求m的取值范围.
解：解方程组，得
因为x的值小于或等于1，y 大于，所以
解不等式①，得m≤3.
解不等式②，得m>2.
所以，m的取值范围是2设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握程度，调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高.
课堂总结
这节课你学到了哪些知识？说说你的体会.
设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系.
课堂检测
1.解下列不等式组:
(1) (2)
解：(1)解不等式①，得x< 3.
解不等式②，得x≤2.
所以，不等式组的解集是x< 3.
(2)解不等式③，得x<4.
解不等式④，得x<2.
所以，不等式组的解集是x<2.
(3) (4)
解：(3)解不等式①，得x< 3.
解不等式②，得x> 2.
所以，不等式组无解.
(4)解不等式③，得x>2.
解不等式④，得x< 7.
所以，不等式组无解.
2.(1)求不等式组:的整数解.
(2)求满足不等式组:的最大整数和最小整数.
解:(1)解不等式①，得x≥ .
解不等式②，得x<3.
所以，不等式组的解集是 ≤x<3.
因此，不等式组的整数解为x=0，1，2.
(2)解不等式③，得x≥ 2.
解不等式④，得x<2.
所以，不等式组的解集是 2≤x<2.
因此，不等式组的整数解为x=-2，-1，0，1.
满足不等式组的最大整数是1，最小整数是-2.
3.若关于x的不等式组无解，求a的取值范围.
解：解不等式①，得.
解不等式②，得.
因为关于x的不等式组无解，
所以，所以，
所以，的取值范围是.
4.若关于x的不等式只有2个正整数解，求a的取值范围．
解：∵，∴，则.
∵不等式只有2个正整数解，
∴不等式的正整数解为1，2，
则2≤＜3，解得－7＜a≤－4，
所以，a的取值范围是－7＜a≤－4.

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