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轴对称与旋转
5.1 轴对称
第1课时 轴对称图形
一、教学目标
1.通过观察、分析现实生活实例和典型图形的过程，认识轴对称图形，会找出简单的对称图形的对称轴.
2.通过大量的实例初步认识轴对称图形，能识别简单的轴对称图形.
3.经历观察生活中轴对称现象、探索轴对称过程，进一步积累数学活动经验和发展空间观念.
4.通过欣赏现实生活中的轴对称图形，体验轴对称在现实生活中的广泛应用，体会数学来源于生活.
二、教学重难点
重点：理解轴对称图形的概念，会找出简单的对称图形的对称轴.
难点：能区分轴对称图形和两图形成轴对称．
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、教学用具等．
教学过程设计
环节一 创设情境
【情境导入】
教师活动：教师播放视频，让学生感受建筑中的对称之美.
观看下面的视频，感受建筑中的对称美.
设计意图：通过视频引入，让学生感受常见的建筑中的对称之美，激发学生的学习兴趣，并初步感知本节课要学习的轴对称的内容.
环节二 探究新知
【议一议】
下图是一组生肖剪纸. 若将它们分别沿虚线分析，会完全重合吗？
预设：
每一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合．
【归纳】
如果一个图形沿一条直线对折， 直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形就是一个轴对称图形，这条直线就是它的一条对称轴.
轴对称图形的三要素：一个图形，一条直线，两旁重合.
设计意图：通过观察生活中的图片和图形，让学生从更广的视角对轴对称现象进行观察，引出轴对称图形的定义，同时培养学生的观察能力.
【观察】
如图，用印章在一张纸上盖一个印（a），趁印迹未干之时，将纸张沿着直线 l 折叠，得到印（b），随后打开，观察图形（a）与图形（b）有怎样的关系.
预设：图形（a）与图形（b）完全重合.
【抽象】
将图形（Ⅰ）沿着一条直线折叠，得到另一个图形（Ⅱ），我们把图形的这种变换称为关于这条直线的轴对称.
此时称这两个图形关于这条直线对称，也称图（Ⅰ）与（Ⅱ）成轴对称，这条直线叫作对称轴.
原来的图形（Ⅰ）叫作原像，得到的图形（Ⅱ）叫作原图形在这个轴对称下的像.
原像的一个点 P 在轴对称下变成像里的一个点 P′，称点P与 P′ 关于这条直线对称，称点 P′ 是点 P 关于这条直线的对称点，也称点P′是点P在这个轴对称下的对应点.
如果一个图形上的每一个点关于某条直线的对称点都在这个图形上，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作这个图形的对称轴.
设计意图：通过观察两个图形关于某直线对称，得到两个图形成轴对称的概念，同时培养学生的观察能力.
【议一议】
轴对称图形与两个图形成轴对称的联系与区别？
预设：
设计意图：轴对称图形与两个图形成轴对称的联系与区别.
【说一说】
在下面图中，哪些图形是轴对称图形？
预设：（1）（2）是轴对称图形.
【思考】
下列 5 个图形是轴对称图形吗？若是，它们各有几条对称轴？
预设：
等腰三角形是轴对称图形，且有1条对称轴
等边三角形是轴对称图形，且有3条对称轴，
长方形是轴对称图形，且有2条对称轴，
正方形是轴对称图形，且有4条对称轴，
圆是轴对称图形，且有无数条对称轴.
注意：①对称轴是直线，不是射线或线段；②一个轴对称图形的对称轴可能不止一条.
设计意图：加深对轴对称图形的理解，让学生在具体图形中应用概念，强化对概念的理解.
环节三 应用新知
例 .下面的图形都是轴对称图形或成轴对称的图形，请分别找出它们的对称轴.
解：
设计意图：通过例题的探究，让学生熟悉如何画出轴对称图形或成轴对称的两图形的对称轴.
环节四 巩固新知
1. 举出生活中一些关于直线对称的实例.
答：
2. 下列三个图案分别关于直线对称吗？如果是，画出它们的对称轴，并标出一对对应点.
答：
3.下面是几种常见的垃圾分类标志图片，请找出其中的轴对称图形并画出它的对称轴.
答：第1,3张图片是轴对称图形.
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 课堂小结
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.轴对称与旋转
5.1 轴对称
第2课时 轴对称
一、教学目标
1.理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分、轴对称保持任意两点间距离不变，保持角的大小不变．
2.通过动手操作探索轴对称的性质，学会运用轴对称的性质作图．
3.在探索轴对称性质的过程，积累数学活动经验和发展空间观念．
4.培养独立观察思考的习惯，感受数学图形的美，体会画轴对称图形带来的快乐．
二、教学重难点
重点：理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分、轴对称保持任意两点间距离不变，保持角的大小不变.
难点：运用轴对称的性质作图．
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、教学用具等．
四、教学过程设计
环节一 创设情境
【情境导入】
教师活动：教师给出问题，让学生先思考，再找学生说出做法，最后展示答案，追问环节可让学生讨论并说出自己的想法.
一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何将下面的式子变成一个真正的等式？”过了很长时间，也没有人答出．小兰仅仅拿了一面镜子，就很快解决了这道题目．
提问：你知道她是怎样做的吗？
预设：
追问：你知道这运用了什么数学知识吗？
设计意图：通过情境问题激发学生思考，提高学生的学习兴趣，同时引出本节课要学习的内容.
环节二 探究新知
【探究】
如图，△ABC 和△A′B′C′ 关于直线 l 对称，点 P 的对应点是 P′ ，线段 PP′ 交直线 l 于点 D. 线段 PP′ 与对称轴 l 之间有什么关系？
预设：
因为△ABC 和△A′B′C′ 关于直线 l 对称.
所以将△ABC 连同直线 l 沿对称轴 l 折叠，就得到△ A′B′C′ 连同直线 l.
在这个轴对称下，点 P 的对应点是点 P′，点 D 的对应点是点 D 自身.
于是线段 PD 与线段 P′D 重合，
∠1 与∠2 重合.
从而 PD = P′D ，∠1=∠2 = 90°.
因此 l ⊥ PP′ ，且 l 平分 PP′，即直线 l 垂直平分线段 PP′ .
【归纳】
由此得到轴对称的基本性质:
成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.
例如，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，△ABC上的任意一个点P与△A′B′C′对应点P′的连线段PP′被直线l垂直平分;反过来也成立.
特别地，若点 P 与点 P′ 关于一条直线对称，则线段 PP′ 被这条直线垂直平分.
反过来，若线段 PP′ 被一条直线垂直平分，则点 P 与点 P′ 关于这条直线对称.
设计意图：引导学生进行图形变换操作，模拟实际的折叠过程，使学生在操作体验中感受轴对称的性质，明白对应点、线段在轴对称变换中的变化规律.
【观察】
如图，将△ABC 沿直线 l 折叠，在这个轴对称下，点 A 的对应点是点 A′，点 B 的对应点是点 B′，点 C 的对应点是点 C′.
AB =_______， BC =_______， ∠ABC =__________.
预设：A′B′ ，B′C′ ，∠A′B′C′
【归纳】
轴对称保持任意两点间距离不变，保持角的大小不变.
如图，△ABC和△A′B′C′关于直线 MN 对称，点 A′，B′，C′分别是点 A，B，C 的对称点，AA′，BB′，CC′ 分别与 MN 交于点 E，F，G.
成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.
符号语言：AE ＝A′E，BF ＝B′F，CG ＝C′G，MN⊥AA′，MN⊥BB′，MN⊥CC′
轴对称保持任意两点间距离不变，保持角的大小不变.
符号语言：AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠ABC ＝∠A′B′C′.
设计意图：对前面探究得出的轴对称性质进行系统梳理，将 “对应点连线被对称轴垂直平分” 以及 “保持点距和角大小不变” 这些性质整合呈现，帮助学生形成完整清晰的知识结构，避免知识碎片化，深化对轴对称本质特征的理解.
环节三 应用新知
例1 已知直线 l 及直线外一点 P，画一点 P′， 使它与点 P 关于直线 l 对称.
作法：
1. 过点 P 作 PQ⊥l， 交 l 于点 O.
2. 在射线 OQ 上， 截取 OP′= OP.
则点 P′ 即为所求作的点.
【做一做】
已知线段 AB 和直线 l，画出线段 AB 关于直线 l 对称的图形.
作法：
1.过点 A 作直线 l 的垂线，垂足为点O，延长AO至点A′，使AO = A′O，点 A′ 就是点 A 关于直线 l 的对称点；
2.类似地，作出点 B 关于直线 l 的对称点 B′.
3.连接A′B′ .
例2 已知△ABC 和直线 l，画出△ABC 关于直线 l 的对称图形.
分析：要画△ABC 关于直线 l 的对称图形，只要作出三角形的顶点 A，B，C 关于直线 l 的对称点 A′，B′ ，C′ ，连接这些对称点即可.
解: （1）过点 A 作直线 l 的垂线，垂足为点 O，在垂线上截取 OA′ = OA，点 A′ 就是点 A 关于直线 l 的对应点；
（2）类似地，分别作出点 B，C 关于直线 l 的对应点 B′，C′.
（3）连接 A′B′，B′C′，C′A′ 得到的△A′B′C′ 即为△ABC关于直线 l 的对称图形.
【归纳】
作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步骤:
1. 找点（确定图形中的一些特殊点）
画点（画出特殊点关于已知直线的对称点）
3. 连线（连接对称点）
设计意图：利用轴对称的性质进行作已知图形的对称图形，培养学生的应用意识.
【思考】
画好△A′B′C′ 后，若将纸沿直线 l 折叠，两个三角形会重合吗？
预设：重合，成轴对称的两个图形的形状、大小完全相同，即两个图形的对应线段相等，对应角相等，面积相等，周长相等.
【议一议】
先过直线 l 外一点分别画直线 l 的垂线段与斜线段，再利用轴对称变换说明垂线段最短，并将结果与同学交流.
预设：如图，AC是斜线段，AB是垂线段
作点 A 关系直线 l 的对称点A′ ，连接 A′ C, A′ B，根据轴对称性质，AC=A′ C，AB=A′B.
根据三角形的两点之间，线段最短：AC+A′ C＞AA′ ，即2AC＞2AB，
所以AC＞AB，即垂线段最短.
设计意图：导学生运用所学知识解决 “垂线段最短” 的证明问题，鼓励学生尝试不同的思考角度和方法，培养问题解决能力和创新思维.
环节四 巩固新知
1.已知直线 AB 和直线 l 相交于点 O，画出直线 AB关于直线 l 的对称图形.
答：
2.如图，△ABC 与△A′B′C′ 关于直线 MN 成轴对称. 指出它们的对应顶点，并分别找出三对相等的边和相等的角.
答：对应点：A 和 A′，B 和 B′，C 和 C′；
对应线段：AB =A′B′，BC =B′C′，AC =A′C′
对应角：∠ABC =∠A′B′C′，∠BCA =∠B′C′A′，∠BAC =∠B′A′C′
3. 如图，若△ABC 与△A′B′C′ 关于直线 MN 对称，线段 BB′ 交直线 MN 于点 O，则下列说法不一定正确的是（ ）
A. AC ＝A′C′ B. BO ＝B′O
C. AA′⊥ MN D. AB∥B′C′
答：D.
4.画出△ABC关于直线l的对称图形．
解：如图所示，△A'B'C'为所求的图形．
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 课堂小结
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.

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