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综合与实践
最短路径问题
课题 最短路径问题 课型 新授课
教学内容 教材第94-96页的内容
教学目标 1.能够求解最短路径问题.2.通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短的性质.
教学重难点 教学重点：运用所学知识解决最短路径问题.教学难点：选择合适的方法解决问题.
教 学 过 程 备 注
1.回顾旧知，引入新课前面我们研究过一些关于“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路经问题.如图，A，B在直线l的两侧，在直线l上求一点C，使得CA+CB最小．教师请学生回答上述问题，并说明原理：连接AB，线段AB与直线l的交点C，就是所求，利用了“两点之间，线段最短”的原理．同学们通过讨论下面两个问题，可以进一步体会如何运用所学知识选择最短路径.2.发现探究，学习新知【问题1】（牧民饮马问题）如图1，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？图1 图2教师引导学生将实际问题转化为几何问题，如果把河边l近似地看成一条直线(图2)，C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小.追问1　在前面一个问题中我们知道当A,B在直线l两侧时，能够确定l上一点C使得CA+CB.对于问题1，能不能将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？学生进行讨论，教师给出提示：由B和B′在直线的两侧，且CB与CB′的长度相等能联想到什么知识点呢？学生经过提示能够想到轴对称的性质.追问2　你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′，并确定点C的位置吗？请自行画图.学生作图，教师指导总结作法：作法：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′，与直线l相交于点C.则点C即为所求．追问3：你能用所学的知识证明AC＋BC最短吗？学生自行证明，教师作出指导.证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.∵直线l是点B，B′的对称轴，∴CB＝CB′，C′B＝C′B′.∴AC＋CB＝AC＋CB′＝AB′.在△AB′C′中， ∵AB′＜AC′＋C′B′，∴ AC ＋CB＜AC′＋C′B.即 AC ＋BC 最小．【问题2】（牧民饮马问题的拓展）如图3，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到A处.牧民怎样走可使所走的路径最短？ 图3 图4教师引导学生将实际问题转化为几何问题，如果把河边和草地近似地分别看成一条直线OM，ON(图4)，A为∠MON内部一点，那么，上面的问题可以转化为：在∠MON的两边OM，ON上各取一点B、C，组成△ABC，使△ABC周长最小.追问1：点B，C在什么位置时使△ABC周长最小？解：作A关于OM的对称点A′，关于ON的A对称点A′，与OM、ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形.∵A与A′关于OM对称，A与A″关于ON对称，∴AB=A′B，AC=A″C，于是AB﹢BC﹢CA=A′B﹢BC﹢A′C=A′A″，根据两点之间线段最短，A′A″为△ABC的最小值.故牧民先到点C处牧马，再到点B处饮马，最后回到A处所走的路径最短.追问2：如图，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处.牧民怎样走可使所走的路径最短？ 图5 图6类比问题2，,可以将问题转化为在∠MON的两边OM、ON上求作点C、D，使得AC﹢CD﹢DB的长度最小.解：作点A关于OM的对称点E，作点B关于ON的对称点F，连接EF交OM、ON于点C、D，即为所求.追问3：牧民每天从生活区的边沿A处出发，先到草地边的B处饮马，再到河边C处饮马，然后回到A处.如何确定A，B，C的位置，使从A处出发，到B处牧马，再到C处饮马，最后回到A处所走的路径最短？学生自主探索，将问题转化为在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，求使△DEF的周长最小时点D、E、F的位置. 解：将点D视为定点，先作出△DEF的最小值对应的线段D′D"，而后研究D′D"随着点D的位置变化过程中的最小值即可.无论点D位置在何处，点C对线段D′D"的张角不变，即∠ D′CD"的大小不变，为2∠ACB. 因而，为使得D′D"最小，只需要CD′ = CD" = CD最小即可，显然当CD⊥AB时，有垂线段最小，从而内接三角形△DEF的周长最小.【问题3】(造桥选址问题)如下图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)师生讨论对于实际问题要先转化为几何问题.把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M.上面的问题就转化为：如图，直线a∥b，N为直线b上的一个动点，MN⊥b，交直线a于点M，当点N在直线b的什么位置时，AM＋MN＋NB最小？由于河岸宽度是固定的，因此当AM＋BN最小时，AM＋MN＋NB最小．这样，问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM＋NB最小？追问：能否通过图形的变化(轴对称、平移等)，把上图的情况转化为下图的情况？如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB.这样问题就得到了转化．追问：你能找到所要求的N点的位置吗？如图，连接A′B，交直线b于点N，则点N即为所求．即在点N处建桥MN，所得路径AMNB最短．追问：你能证明点N的位置即为所求吗？如图，在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B.求证：AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B.证明：由作图可知M′N′＝MN＝AA′.由平移的性质可知AM＝A′N，AM′＝A′N′.根据“两点之间，线段最短”可知A′N′＋N′B＞A′B.∴AM′＋N′B＞AM＋NB.∴AM′＋N′B＋M′N′＞AM＋NB＋MN.归纳：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径.3.学以致用，应用新知考点1 利用轴对称或平移解决最短路径问题【例1】如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）答案：D考点2 几何问题中的“最短路径”【例2】如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，PN﹢PM﹢MN的最小值是5cm，则∠AOB的度数是____．答案：30°4.随堂训练，巩固新知【教材变式1】如图,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP+EP最小值的是（ ）A.BC B.CE C.AD D.AC答案：B【教材变式2】某大学建立分校,本部与分校隔着两条平行的小河.如图,小河甲的两岸为l1,l2,且l1//l2,小河乙的两岸为l3,l4,且l3//l4，A为本部大门,B为分校大门.为了方便两校区人员来往,要在两条小河上各建一座桥,桥面垂直于河岸.为使A,B两点间来往路径最短,试在图中画出符合条件的路径,并标明桥的位置.5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1.本节课学习了哪些主要内容？2.解决“牧民饮马问题”和“造桥选址问题”的原理是什么？6.布置作业1.学霸创新题P69. 回顾旧知，为讲解新知识做准备.以学生学过的知识为基础引入课题，激发学生的学习兴趣.本节以探究两个实际问题为基础，利用轴对称、平移进行线段的等量变化，利用“两点之间，线段最短”等求解最短路径问题.通知也体现了用数学知识在实际问题中的应用，数学服务于生活.教师不断发问，引导提示学生通过一系列的探究活动，经历将实际问题转化为数学问题的建模过程，通过观察、思考、合作交流，鼓励学生善于思考、勇于发现、大胆尝试，培养合作意识.经历了问题1的探究过程，问题2的探究过程给予学生更大的自主性，教师提出问题循循善诱.通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点.通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果.通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计13.4课题学习 最短路径问题1.牧民饮马问题 例题2.牧民饮马问题的拓展2.造桥选址问题 练习
教学反思通过本节课进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值．在互动交流活动中，学习从不同角度理解问题，寻求解决问题的方法，并有效地解决问题．体会在解决问题中与他人合作的重要性．体会运用数学的思维方式观察、分析现实社会，解决日常生活中和其他学科中的问题，增强应用数学的意识．
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