资源简介

11.1　平面内点的坐标
第3课时　利用方位角和距离表示地理位置
素养目标
1.能够准确理解方位角的概念，熟练掌握利用方位角和距离来表示地理位置的方法.
2.能够根据给定的方位角和距离在平面上确定具体位置，也能根据实际地理位置准确说出相应的方位角和距离.
重点：熟练掌握利用方位角和距离确定地理位置的方法，并据此解决实际问题.
难点：在实际问题中准确地确定方位角和距离，将实际问题转化为数学问题，并用数学方法解决.
教学过程
一、情境导入
观察下面的图片，思考：在野外探险时，人们是如何确定自己的位置和目的地的位置的呢？
二、合作探究
探究点一：利用方位角和距离表示地理位置
【类型一】 方位角和距离的直观表示
一家超市的位置如图，则学校在这家超市的什么位置？
解析：用方向定位法确定物体的位置时，一般先考虑方向，然后再确定距离.
解：学校在超市的南偏西60°方向，且距离超市500m处.
　　方法总结：确定位置的方法有多种，但都需要两个数据.方向定位法所需的两个数据：一是方位角；二是距离.要避免出现缺少其中一个数据的错解.
【类型二】 利用方位角和距离表示地理位置的理解应用
如图是小明家和学校所在地的平面位置示意图，点O表示小明家，点A，B，C，P分别表示学校、商场、公园和停车场.已知OA＝2km，OB＝3.5km，OP＝4km，点C为OP的中点.
回答下列问题：
（1）学校、商场、公园和停车场中哪些到小明家的距离相同？
（2）由图可知，公园在小明家南偏东60°方向2km处.请描述学校、商场、停车场相对于小明家的位置.
解析： （1）要求哪些置到小明家的距离相同，此时不需考虑方向，只需要比较图上各线段长短；
（2）结合各方位角和距离描述位置即可.
解：（1）因为点C为OP的中点，所以OC＝OP＝2km.所以OA＝OC.又因为OB，OA，OP各不相等，所以学校和公园到小明家的距离相等.
（2）由图可知，学校在小明家东北方向2km处，商场在小明家北偏西30°方向3.5km处，停车场在小明家南偏东60°方向4km处.
探究点二：利用经纬度表示地理位置（数学拓展）
A地在地球仪上的位置如图所示，则A地的位置用经纬度可表示为（　　）
A.北纬50°，东经130° B.北纬60°，东经130°
C.北纬50°，东经150° D.北纬50°，东经40°
　　解析：在平面内确定物体的位置需要东经与北纬的度数两个数据，确定点A在东经的哪一条线上，北纬的哪一条线上，即可写出A地的位置.
　　方法总结：经线可视为竖线，纬线可视为横线，两线相交即确定了目标位置的经纬度，从而确定了目标位置.
三、板书设计
利用方位角和距离表示地理位置
教学反思
　　本节课从生活实例出发，激发了学生的学习兴趣，情感目标部分落实，但学生从实际情境抽象数学模型及解决复杂问题的能力培养不足，过程与方法目标待强化.方位角概念通过示意图和实例讲解，学生掌握较好；学生确定方位角和距离存在困难，教学难点突破不够，需优化练习设计.11.1　平面内点的坐标
第1课时　平面直角坐标系的概念
素养目标
1.通过实际问题抽象出平面直角坐标系及其相关概念，使学生认识平面直角坐标系原点、横轴和纵轴等，会由坐标描点，由点写出坐标；让学生体会到平面上的点与有序实数对之间的对应关系.
2.在给定的平面直角坐标系中，会按要求描点、连线，识别图形，计算面积.
3.培养学生自主探究与合作交流的学习习惯.
重点：正确认识平面直角坐标系，会准确地由点写出坐标，由坐标描点.
难点：坐标平面内图形面积的准确计算及割补法的运用.
教学过程
一、情境导入
我们已经学过了数轴，知道数轴上的点与实数一一对应，在建立了数轴之后，我们就可以确定直线上点的位置，如图.
那么，如何确定平面内点的位置呢？
二、合作探究
探究点一：有序数对与平面直角坐标系
如图是某教室学生座位的平面图，你能描述小明和小红同学座位的位置吗？
解析：根据生活经验可知，小明同学的座位在第2列第5行；小红同学的座位在第5列第3行.另外，图示中标出了数，我们可以在平面内画两条相互垂直并且原点重合的数轴，水平的数轴记作x轴或横轴，取向右为正方向；竖直的数轴记作y轴或纵轴，取向上为正方向；交点记作原点（用字母O表示），这样就建立了平面直角坐标系，进而可以用数对来简洁表示两位同学的座位位置.
解：可以用有序数对（2，5）表示小明同学的座位位置，用有序数对（5，3）表示小红同学的座位位置.
　　方法总结：数学中，为了确定平面内一个点的位置，我们可以建立平面直角坐标系，这样平面内的点就可以用一对有序实数来表示了，这个有序数对叫作该点在平面直角坐标系的坐标，另外需注意，（a，b）与（b，a）表示不同的点.
探究点二：在坐标平面内描点作图
在如图所示的直角坐标系中描出下列各点：
A（4，3），B（－2，3），C（－4，－1），D（2，－3）.
　　解析：本题关键就是已知点的坐标，如何描出点的位置，以描点B（－2，3）为例，即在x轴上找到坐标－2，过－2对应的点作x轴的垂线，再在y轴上找到坐标3，过3对应的点作y轴的垂线，与前垂线的交点即为B（－2，3），同理可描出其他三个点.
　　解：如图所示：
在平面直角坐标系中（每个小方格的边长为单位长度1）描出下列各点，并将各点用线段依次连接起来：A（0，2），B（－1，－2），C（2，0），D（－2，0），E（1，－2），A（0，2）；观察得到的图形，你觉得它的形状像什么？
　　解析：根据网格结构找出各点的位置，然后顺次连接即可.
　　解：如图所示，形状像五角星.
　　方法总结：在直角坐标系中描出点P（a，b）的方法：先在x轴上找到数a对应的点M，在y轴上找到数b对应的点N，再分别由点M、点N作x轴、y轴的垂线，两垂线的交点就是所要描出的点P.已知坐标平面上的点的坐标，描出对应点的位置，反过来在坐标平面上给一点，找出它对应的坐标，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键.
探究点三：坐标平面内图形面积的计算
如图，已知点A（2，－1），B（4，3），C（1，2），求△ABC的面积.
　　解析：本题宜用补形法.过点A作x轴的平行线，过点C作y轴的平行线，两条平行线交于点E，过点B分别作x轴、y轴的平行线，分别交EC的延长线于点D，交EA的延长线于点F，然后根据S三角形ABC＝S长方形BDEF－S三角形BDC－S三角形CEA－S三角形BFA即可求出三角形ABC的面积.
　　解：如图，过点A作x轴的平行线，过点C作y轴的平行线，两条平行线交于点E，过点B分别作x轴、y轴的平行线，分别交EC的延长线于点D，交EA的延长线于点F.∵A（2，－1），B（4，3），C（1，2），∴BD＝3，CD＝1，CE＝3，AE＝1，AF＝2，BF＝4.∴S三角形ABC＝S长方形BDEF－S三角形BDC－S三角形CEA－S三角形BFA＝BD·BF－DC·DB－CE·AE－AF·BF＝12－1.5－1.5－4＝5.
　　方法总结：主要考查如何利用简单方法求坐标系中图形的面积.已知三角形三个顶点坐标，求三角形面积通常有三种方法：
方法一：直接法，计算三角形一边的长，并求出该边上的高；
方法二：补形法，将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的差；
方法三：分割法，选择一条恰当的直线，将三角形分割成两个便于计算面积的三角形.
三、板书设计
平面直角坐标系的概念
教学反思
　　通过平面直角坐标系的有关内容的学习，反映平面直角坐标系与现实世界的密切联系，让学生认识数学与人类生活的密切联系和对人类历史发展的作用，提高学生参加数学学习的积极性.11.1　平面内点的坐标
第2课时　点的坐标特征
素养目标
1.熟悉各象限内点的坐标特征.
2.根据实际问题建立合理的直角坐标系解决一些简单的实际问题，发展数形结合思想和运用数学解决问题的能力.
重点：熟悉各象限内点的坐标特征，根据已知点的坐标建立平面直角坐标系.
难点：正确认识坐标系的形成，建立适当的平面直角坐标系描述图形的位置.
教学过程
一、情境导入
某小区里有一块如图所示的空地，打算进行绿化，小明想请他的同学小慧提一些建议，小明要在电话中告诉小慧空地的形状，为了描述清楚，他使用了直角坐标系的知识.你知道小明是怎样叙述的吗？
二、合作探究
探究点一：各象限内及坐标轴上的点的坐标的特征
【类型一】 已知点的坐标判断点所在的象限
设点M（a，b）为平面直角坐标系内的点.
（1）当a＞0，b＜0时，点M在第几象限？
（2）当ab＞0时，点M在第几象限？
（3）当a为任意有理数，且b＜0时，点M在第几象限？
　　解析：（1）横坐标为正，纵坐标为负的点在第四象限；（2）由ab＞0知a，b同号，则点M在第一或第三象限；（3）b＜0，则点M在x轴下方.
解：（1）点M在第四象限.
（2）可能在第一象限（a＞0，b＞0）或者第三象限（a＜0，b＜0）.
（3）可能在第三象限（a＜0，b＜0）或者第四象限（a＞0，b＜0）或者y轴负半轴上.
　　方法总结：熟记各象限内点的坐标的符号特征：（＋，＋）表示第一象限内的点，（－，＋）表示第二象限内的点，（－，－）表示第三象限内的点，（＋，－）表示第四象限内的点.
【类型二】 根据点所在的象限求字母的取值范围
在平面直角坐标系中，点P（m，m－2）在第一象限内，则m的取值范围是　　　　.
　　解析：根据第一象限内点的坐标的符号特征，横坐标为正，纵坐标为正，可得关于m的一元一次不等式组解得m＞2.故答案为m＞2.
　　方法总结：求点的坐标中字母的取值范围的方法：根据各个象限内点的坐标的符号特征，列出关于字母的不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可求出相应字母的取值范围.
【类型三】 坐标轴上点的坐标特征
点A（m＋3，m＋1）在x轴上，则点A的坐标为（　　）
A.（0，－2） B.（2，0）
C.（4，0） D.（0，－4）
　　解析：点A（m＋3，m＋1）在x轴上，根据x轴上点的坐标特征知m＋1＝0，求出m的值代入m＋3中得出A（2，0）.故选B.
　　方法总结：坐标轴上的点的坐标特点：x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0.根据点所在坐标轴确定字母取值，进而求出点的坐标.
【类型四】 由点到坐标轴的距离确定点的位置
已知点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1.如果过点P作两坐标轴的垂线，垂足分别在x轴的正半轴上和y轴的负半轴上，那么点P的坐标是（　　）
A.（2，－1） B.（1，－2）
C.（－2，－1） D.（1，2）
　　解析：由点P到x轴的距离为2，可知点P的纵坐标的绝对值为2，又因为垂足在y轴的负半轴上，则纵坐标为－2；由点P到y轴的距离为1，可知点P的横坐标的绝对值为1，又因为垂足在x轴的正半轴上，则横坐标为1.故点P的坐标是（1，－2）.故选B.
　　方法总结：本题的易错点有三处：①混淆距离与坐标之间的区别；②不知道与“点P到x轴的距离”对应的是纵坐标，与“点P到y轴的距离”对应的是横坐标；③忽略坐标的符号出现错解.若本例题只已知距离而无附加条件，则点P的坐标有四个.
探究点二：建立适当的直角坐标系描述图形的位置
【类型一】 根据点的坐标确定直角坐标系
右图是一个围棋棋盘（局部），把这个围棋棋盘放置在一个平面直角坐标系中，白棋①的坐标是（－2，－1），白棋③的坐标是（－1，－3），则黑棋 的坐标是　　　　.
解析：由已知白棋①的坐标是（－2，－1），白棋③的坐标是（－1，－3），可知y轴应在从左往右数的第四条格线上，且向上为正方向，x轴在从上往下数第二条格线上，且向右为正方向，这两条直线的交点为坐标原点，由此可得黑棋 的坐标是（1，－2）.故答案为（1，－2）.
　　方法总结：根据点的坐标确定平面直角坐标系时，先将点的坐标进行上下左右平移得到原点的坐标，过这个点的水平线为x轴、铅直线为y轴.
【类型二】 根据几何图形建立直角坐标系并求点的坐标
长方形的两条边长分别为4，6，建立适当的直角坐标系，使它的一个顶点的坐标为（－2，－3）.请你写出另外三个顶点的坐标.
　　解析：以点（－2，－3）向右2个单位长度，向上3个单位长度建立平面直角坐标系，然后画出长方形，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可.
　　解：按如图所示建立直角坐标系.∵长方形的一个顶点的坐标为A（－2，－3），∴长方形的另外三个顶点的坐标分别为B（2，－3），C（2，3），D（－2，3）.（答案不唯一）
　　方法总结：由已知条件正确确定坐标轴的位置是解决本题的关键，当建立的直角坐标系不同，其点的坐标也就不同，但要注意，一旦直角坐标系确定以后，点的坐标也就确定了.
三、板书设计
点的坐标特征
教学反思
　　通过学习建立直角坐标系的多种方法，让学生体验数学活动充满着探索性与创造性，激发学生的学习兴趣，感受数学在生活中的应用，增强学生的数学应用意识，让学生认识数学与人类生活的密切联系，提高他们学习数学的兴趣.

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