资源简介

12.3　一次函数与二元一次方程
第2课时　一次函数的应用——方案决策
素养目标
1.利用一次函数知识选择最佳方案解决问题.
2.能将一个具体的实际问题转化为数学问题，利用数学模型解决实际问题.
3.进一步感受数学在指导人们的实践活动方面的重要意义，从问题的解决与探究中进一步感悟函数的应用价值，培养解决实际问题的数学能力.
重点：在实际问题情境中，应用一次函数知识解题.
难点：建立一次函数的模型，解决最佳方案问题.
教学过程
一、情境导入
在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（cm）与燃烧时间x（h）之间的关系如图所示，请根据图象提供的信息解答下列问题：
（1）分别求出甲、乙两根蜡烛燃烧时，y与x的函数关系式；
（2）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相同（不考虑都燃尽时的情况）？
（3）在哪个时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？在哪个时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛矮？
你会解答上面的问题吗？学完本节知识，相信你一定能很快得出答案.
二、合作探究
探究点：实际问题中的方案选择
电信局为满足不同客户的需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图（MN∥CD），若通话时间为500分钟，则应选择哪种方案更优惠（　　）
A.方案A B.方案B
C.两种方案一样优惠 D.不能确定
　　解析：由图可知，通话时间为500分钟时，方案A的费用是230元，方案B的费用是168元，∵230＞168，∴选择方案B更优惠.故选B.
　　方法总结：根据图象可知通话500分钟两种方案的通话费用，选择费用少的一种方案即可.
某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）个羽毛球，供社区居民免费借用.该社区附近A，B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价均为3元，目前两家超市同时在做促销活动：
A超市：所有商品均打九折（按标价的90％）销售；
B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球.
设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB（元）.请解答下列问题：
（1）分别写出yA和yB与x之间的关系式；
（2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？
（3）若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案.
　　解析：（1）可根据题意，直接写出yA和yB与x之间的关系式；（2）题在第（1）题的基础上，分类讨论，得到对应的自变量的取值范围；（3）题须在（2）题的基础上再次分类讨论，特别需要提醒的是，这里不再限制“只在一家超市购买”，所以，要考虑到B超市免费送羽毛球的情况，经过计算、比较，得到结果.
解：（1）yA＝27x＋270，yB＝30x＋240.
（2）当yA＝yB时，27x＋270＝30x＋240，解得x＝10；
当yA＞yB时，27x＋270＞30x＋240，解得x＜10；
当yA＜yB时，27x＋270＜30x＋240，解得x＞10.
∴当2≤x＜10时，到B超市购买划算；当x＝10时，两家超市都一样；当x＞10时，到A超市购买划算.
（3）∵x＝15＞10，∴①选择在A超市购买，yA＝27×15＋270＝675（元）；
②可先在B超市购买10副羽毛球拍，送20个羽毛球，后在A超市购买剩下的羽毛球（10×15－20＝130）个，则共需费用：10×30＋130×3×0.9＝651（元）.
∵651＜675，∴最省钱的购买方案是：先在B超市购买10副羽毛球拍，后在A超市购买130个羽毛球.
　　方法总结：解答函数的应用题，必须读懂题意，注意题干条件与各个问题的条件之间的关系：题干中的条件适用于每一个小题，但是，各个小题的条件并不互相影响；要针对各个小题的条件，结合所问问题做不同的分类讨论.
某县区大力发展猕猴桃产业，预计今年A地将采摘200吨，B地将采摘300吨.若要将这些猕猴桃运到甲、乙两个冷藏仓库，已知甲仓库可储存240吨，乙仓库可储存260吨，从A地运往甲、乙两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往甲、乙两处的费用分别为每吨15元和18元.设从A地运往甲仓库的猕猴桃为x吨，A、B两地运往两仓库的猕猴桃运输费用分别为yA元和yB元.
（1）分别求出yA、yB与x之间的函数关系式；
（2）试讨论A、B两地中，哪个的运费较少；
（3）考虑B地的经济承受能力，B地的猕猴桃运费不得超过4830元，在这种情况下，请问怎样调运才能使两地运费之和最少？求出这个最小值.
　　解析：（1）我们可借助表格，理清A、B两地各自运往两仓库的猕猴桃的重量，
运往甲仓库（吨） 运往乙仓库（吨） 合计（吨）
A地 x 200－x 200
B地 240－x 60＋x 300
这样就很容易表示出yA、yB与x的函数关系式；（2）比较A、B两地中，哪个的运费较少要进行分类讨论；（3）先建立两地运费之和y与x之间的函数关系式，再在yB≤4380的情况下，确定出运费最小的方案.
解：（1）yA＝20x＋25（200－x）＝－5x＋5000，yB＝15（240－x）＋18（60＋x）＝3x＋4680.
（2）∵yA－yB＝（－5x＋5000）－（3x＋4680）＝－8x＋320，
∴当－8x＋320＞0，即x＜40时，B地的运费较少；
当－8x＋320＝0，即x＝40时，两地的运费一样多；
当－8x＋320＜0，即x＞40时，A地的运费较少.
（3）设两地运费之和为y元，则y＝yA＋yB＝（－5x＋5000）＋（3x＋4680）＝－2x＋9680.
由题意得yB＝3x＋4680≤4830，解得x≤50.
∵y随x的增大而减小，x最大为50，
∴y最小＝－2×50＋9680＝9580.
∴在此情况下，当A地运往甲、乙两仓库分别为50吨、150吨；B地运往甲、乙两仓库分别为190吨、110吨时，才能使两地运费之和最少，最少是9580元.
　　方法总结：阅读理解题的解题关键是读懂题意.第（2）小题比较大小要注意分类讨论，第（3）小题是利用一次函数的方案设计问题，一般先根据数量之间的关系建立函数，然后再利用一次函数的增减性确定出符合要求的最佳方案.
三、板书设计
利用一次函数进行方案决策
教学反思
　　本节课通过提出问题，创设情境来提高学生的学习兴趣，然后通过师生的双边活动让学生理解利用一次函数进行方案决策的一般思路，并拓展到决策性问题的探究，以锻炼学生的探究归纳能力.课堂教学是一个在预设与生成问题之间交替进行的过程，根据课堂实施和学生反馈的信息，因势利导，随机应变，调整教学环节，努力为学生提供充分参与数学活动的机会，帮助他们获得一些数学活动经验.12.3　一次函数与二元一次方程
第1课时　一次函数与二元一次方程（组）
素养目标
1.初步理解二元一次方程和一次函数的关系.
2.掌握二元一次方程和对应的直线之间的关系.
重点、难点：一次函数与二元一次方程的关系的理解.
教学过程
一、情境导入
（1）二元一次方程y－x＝1有多少个解？你能写出方程的几组解吗？
（2）二元一次方程y－x＝1可以写成一次函数吗？
（3）画出一次函数y＝x＋1的图象.
（4）把（1）题中方程的几组解作为坐标的点在（3）题中坐标系上描出来，你发现了什么？
（5）一次函数y＝x＋1的图象上的点的坐标适合二元一次方程y－x＝1吗？
二、合作探究
探究点一：一次函数与二元一次方程
下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x－2y＝2的解的是（　　）
　　解析：观察直线与坐标轴的交点坐标与二元一次方程的相应数值对应情况即可找到答案.对于二元一次方程x－2y＝2，当x＝0时，y＝－1；当y＝0时，x＝2，故直线与两坐标轴的交点应该是（0，－1），（2，0）.故选C.
　　方法总结：直线与x轴的交点的横坐标即是二元一次方程中当y＝0时x的值；直线与y轴的交点的纵坐标即是二元一次方程中当x＝0时y的值，注意数形结合.
探究点二：一次函数与二元一次方程组
【类型一】 利用交点的坐标确定二元一次方程组的解
如图，若一次函数y＝k1x＋b1的图象l1与y＝k2x＋b2的图象l2，相交于点P，则方程组的解是（　　）
A. 　B. C. D.
　　解析：方程组的解就是直线l1与直线l2的交点P的坐标，如图.∵点P的坐标为（－2，3），∴方程组的解是故选A.
　　方法总结：二元一次方程组是由含有两个未知数的两个一次方程组成，而每个一次方程的图象都是一条直线；两条直线的交点坐标表示该方程组中各个方程的公共解，也就是这个二元一次方程组的解.
【类型二】 利用二元一次方程组的解确定交点的坐标
已知方程组的解是确定一次函数y＝x＋与y＝x－m图象交点的坐标.
　　解析：可以根据方程组的解，得出m的值，构造方程组计算交点坐标，也可以变化两个函数表达式使其与方程组中的两个方程的形式相同，直接得出图象的交点坐标.
　　解：y＝x＋可变形为－3x＋4y＝6，y＝x－m可变形为2x－3y＝m，所以直线y＝x＋与y＝x－m交点的坐标即是原方程组的解中x，y的对应值，因此两个一次函数图象的交点坐标即是（2，3）.
　　方法总结：灵活运用方程组的解与一次函数图象交点坐标信息，通过方程与一次函数的适当形式变化，达到不解方程组即可得出方程组的解或图象交点坐标的目的.
【类型三】 二元一次方程组解的情况与两直线位置的关系
不解方程组，判断下列方程组的解的情况：
（1）
（2）
（3）
　　解析：可以用方程组对应系数的比来判断，也可以化成一次函数关系式，比较k，b是否相等来判断，方法应灵活.
　　解：（1）把方程②化为一般形式为y＝2x＋，与方程①对比：k相等，b不等，两直线平行，所以原方程组无解.
（2）由≠可知，原方程组有唯一解.
（3）将②变形为4x＋6y＝8.由＝＝知，原方程组有无数个解.
　　方法总结：二元一次方程组的解有三种情况.当把二元一次方程组化为标准形式后，比较两个方程中x的系数之比、y的系数之比以及常数项之比，从中可以发现以下规律：
（1）当≠时，两条直线相交，这时对应的二元一次方程组的解即为交点的横、纵坐标；
（2）当＝≠时，两条直线平行，无交点，这时对应的二元一次方程组无解；
（3）当＝＝时，两直线重合，有无数个交点，这时对应的二元一次方程组有无数个解.
【类型四】 利用一次函数的图象与二元一次方程的关系解不等式
直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x＋c如图所示，则关于x的不等式k1x＋b＜k2x＋c的解集为（　　）
A.x＞1 B.x＜1 C.x＞－2 D.x＜－2
解析：如图所示，直线y＝k1x＋b与直线y＝k2x＋c相交于点（1，－2），当x＜1时，直线y＝k1x＋b上的部分在直线y＝k2x＋c上相应部分的下方，所以不等式k1x＋b＜k2x＋c的解集为x＜1.故答案为B.
　　方法总结：方程k1x＋b＝k2x＋c的解就是直线y＝k1x＋b与y＝k2x＋c的交点的横坐标；不等式k1x＋b＞k2x＋c的解集就是在直线y＝k1x＋b与y＝k2x＋c的交点一侧，使直线y＝k1x＋b位于直线y＝k2x＋c上方对应的自变量的取值范围；不等式k1x＋b＜k2x＋c的解集就是在直线y＝k1x＋b与y＝k2x＋c的交点一侧，使直线y＝k1x＋b位于直线y＝k2x＋c下方对应的自变量的取值范围.
三、板书设计
一次函数与二元一次方程
教学反思
　　创设情境，引出一次函数与二元一次方程有一定的关系，使学生主动投入到一次函数与二元一次方程（组）关系的探索活动中.引导学生自主探索、合作交流，从数和形两个角度认识它们的关系，使学生真正掌握本节课的重点知识.在创设情境时营造氛围，引起学生的注意和学习兴趣，激发学生的求知欲.在知识的形成概念上，让学生有意识地用数形结合的思想解决相关问题.

展开更多......

收起↑