资源简介

15.4　等腰三角形
第1课时　等腰三角形的性质定理1及推论
1.理解并掌握等腰三角形的性质.
2.运用等腰三角形的性质进行证明和计算.
3.观察等腰三角形的对称性，发展形象思维.
4.通过实践、观察、证明等腰三角形的性质的过程，激发学生的好奇心和求知欲.
重点：等腰三角形的性质及应用.
难点：等腰三角形性质的证明.
一、情境导入
如果我们把衣架的两条斜边看作等腰三角形的腰（AB＝AC），底边看作（BC），那么屋顶的两个底角（∠B 和∠C）有什么关系？是猜想它们相等，还是可能不等？
二、合作探究
探究点一：等边对等角
【类型一】 利用等边对等角求角度
等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是（　　）
A.65°或50° B.80°或40°
C.65°或80° D.50°或80°
　　解析：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°.故选A.
　　方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论.
【类型二】 利用方程思想求等腰三角形中角的度数
如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（　　）
A.18° B.24° C.30° D.36°
　　解析：根据等腰三角形“等边对等角”的性质，求出∠C，再在△BCD中可求出∠DBC的度数.在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC.设∠C＝∠ABC＝x°，∵∠A＝36°，∴x＋x＋36＝180，解得x＝72.∴∠C＝72°.∵BD是AC边上的高，∴∠BDC＝90°.在△BDC中，∠DBC＝180°－90°－72°＝18°.故选A.
　　方法总结：关于三角形内角度数的计算问题，可以把其中的某个角设为未知数，并把另外两个角用这个未知数的代数式（或已知数据）表示，然后根据三角形内角和定理建立方程可以求解.
探究点二：等边三角形的性质
如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝　　　　度.
　　解析：根据等边三角形的性质得出∠ACB＝60°，根据CG＝CD可得出∠CDF的度数，再根据DF＝DE，最后即可得出∠E＝15°.∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°.∵CG＝CD，∴∠CDG＝30°.∵DE＝DF，∴∠E＝15°.故答案为15.
　　方法总结：等边三角形的每一个内角都等于60°；等腰三角形的两个底角相等；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.在本题中，这三个定理得到了很好的诠释.在等边三角形或等腰三角形中欲求角的度数，与等边三角形以及等腰三角形中角的特点是分不开的.
三、板书设计
等腰三角形的性质定理1及推论
　　本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的.不足之处是少数学生对等腰三角形的性质理解不透彻，还需要在今后的教学和作业中进一步巩固和提高.15.4　等腰三角形
第2课时　等腰三角形的性质定理2
1.理解并掌握等腰三角形“三线合一”的性质.
2.运用等腰三角形“三线合一”进行相关证明，使学生在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验.
重点：理解并运用等腰三角形“三线合一”的性质.
难点：等腰三角形“三线合一”的性质的灵活运用.
一、情境导入
如图，墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平，他拿来一个测平仪，在这个测平仪中，AB＝AC，BC边的中点D处挂了一个重锤，小明将BC边与木条重合，观察此时重锤是否过A点，如果过A点，那么这根木条就是水平的，你能说明其中的道理吗？
二、合作探究
探究点一：等腰三角形“三线合一”
如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，S△ABC＝48cm2，点D为BC的中点，DE⊥AC于点E，则DE等于（　　）
A.5cm B.4.8cm C.2.4cm D.2cm
　　解析：利用等腰三角形“三线合一”的性质，连接AD，根据D为BC的中点可以得到CD＝BC＝6，AD⊥BC.又S△ABC＝·AD·BC＝48cm2，BC＝12cm，可得AD＝8cm.因为DE⊥AC，因此S△ADC＝AD·CD＝AC·DE，即AD·CD＝AC·DE，从而可得DE＝4.8cm.故选B.
　　方法总结：本题主要考察等腰三角形的有关性质和三角形的面积计算公式；在等腰三角形中，常根据“三线合一”作出辅助线，作出辅助线后容易找出解决问题的突破口.
探究点二：全等三角形的判定定理HL的证明
如图，在△ABC和△A1B1C1中，∠C＝∠C1＝90°，AB＝A1B1，AC＝A1C1.求证：△ABC≌△A1B1C1.
　　解析：将△ABC和△A1B1C1组合成一个大三角形，证明点B，C（C1），B1共线，结合AB＝A1B1推出∠B＝∠B1，由AAS证明△ABC≌△A1B1C1.
证明：如图，将△ABC和△A1B1C1组合成一个大三角形.∵∠C＝∠C1＝90°，∴∠ACB＋∠ACB1＝180°.∴点B，C（C1），B1共线.又∵AB＝A1B1，∴∠B＝∠B1.在△ABC和△A1B1C1中，∴△ABC≌△A1B1C1（AAS）.
　　方法总结：利用HL证明两个直角三角形全等，相当于利用等腰三角形的三线合一推出一组锐角相等，再根据AAS证明三角形全等.
三、板书设计
等腰三角形的性质定理2
“三线合一”的教学不仅是定理的传授，更是几何思维的培养.通过直观感知→逻辑证明→灵活应用的递进式教学，学生逐步掌握从 “图形特征” 到“数学表达”的转化方法.未来需更注重知识的生长点（如从等腰三角形到等边三角形的三线关系拓展）和应用延伸（如在坐标系中利用三线合一求点的坐标），让几何定理真正成为学生解决问题的“工具库”而非“记忆点”.15.4　等腰三角形
第3课时　等腰（边）三角形的判定
1.领会等腰三角形，等边三角形的判定方法，培养合情推理的能力.
2.能够运用等腰三角形与等边三角形判定方法解答相关问题.
重点：掌握等腰三角形，等边三角形的判定定理.
难点：判定定理的应用，几何思维的形成.
一、情境导入
某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树（A点）为目标，然后在这棵树的正南方南岸B点插一小旗作标志，沿南偏东60度方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30度，这时，地质专家测得BC的长度是50米，就可知河流宽度是50米.
同学们，你们想知道这样估测河流宽度的根据是什么吗？他是怎么知道BC的长度是等于河流宽度的呢？今天我们就要学习等腰三角形的判定.
二、合作探究
探究点一：等腰三角形的判定
【类型一】 判定一个三角形是等腰三角形
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形.
　　解析：根据直角三角形两锐角互余求得∠ABE＝∠ACD，然后根据三角形外角的性质求得∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边可得CE＝CF，从而可得△CEF是等腰三角形.
　　证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°.
∵CD是AB边上的高，
∴∠ACD＋∠BAC＝90°.
∴∠B＝∠ACD.
∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠EAC.
∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE.
∴CE＝CF.
∴△CEF是等腰三角形.
　　方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立.
【类型二】 等腰三角形性质和判定的综合运用
如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE.
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝50°时，求∠DEF的度数.
解析：（1）根据等边对等角可得∠B＝∠C，利用“SAS”证明△BDE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝EF，再根据等腰三角形的定义证明即可；（2）根据全等三角形对应角相等可得∠BDE＝∠CEF，然后求出∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B＝∠DEF.
（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
在△BDE和△CEF中，∵
∴△BDE≌△CEF（SAS）.∴DE＝EF.∴△DEF是等腰三角形.
（2）解：∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF.
∴∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE.
∵∠B＋∠BDE＝∠DEF＋∠CEF，∴∠B＝∠DEF.
∵∠A＝50°，AB＝AC，∴∠B＝×（180°－50°）＝65°.
∴∠DEF＝65°.
　　方法总结：等腰三角形提供了很多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段.
探究点二：等边三角形的判定
如图，在等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论.
解析：先证△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再证∠PAQ＝60°，从而得出△APQ是等边三角形.
　　解：△APQ为等边三角形.证明如下：
∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC.
在△ABP与△ACQ中，∵
∴△ABP≌△ACQ（SAS）.∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.
∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°.∴△APQ是等边三角形.
　　方法总结：判定一个三角形是等边三角形有两种方法：一是证明三角形三个内角相等；二是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.
三、板书设计
等腰三角形的判定定理及推论
　　这一课的教学重点是等腰三角形的判定定理及应用，教学难点是等腰三角形的性质定理与判定定理的区别.学生刚刚学过等腰三角形的性质，对等腰三角形已经有了一定的了解和认识.因此在课堂教学中先引出等腰三角形的判定定理及推论，并能够灵活应用它进行有关论证和计算，提高学生的动手、归纳、猜想能力，发展学生证明用文字表述的几何命题的能力，使他们进一步掌握归纳思维方法，领会数学中分类讨论思想、转化思想.本节课的不足之处有：等边对等角与等角对等边一定要在同一个三角形中来研究，这点强调得不够.15.4　等腰三角形
第4课时　含30°角的直角三角形的性质
1.掌握含30°角的直角三角形的性质与应用.
2.通过探究含30°角的直角三角形的性质的过程，增强学生对特殊直角三角形的认识，培养学生分析问题、解决问题的能力.
3.会用发展变化的思维思考30°角相互转化的事实.
重点：含30°角的直角三角形的性质的发现与运用.
难点：含30°角的直角三角形的性质与其他知识的综合运用.
一、情境导入
1.我们学习过直角三角形，直角三角形的角之间都有什么数量关系？
2.用你的30°角的直角三角尺，把斜边和30°角所对的直角边量一量，你有什么发现？
今天，我们先来看一个特殊的直角三角形，看它的边角具有什么性质.
二、合作探究
探究点：含30°角的直角三角形的性质
【类型一】 利用含30°角的直角三角形的性质求线段长
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是（　　）
A.3cm B.6cm C.9cm D.12cm
　　解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.故选D.
　　方法总结：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形.
在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD是高，且∠ABD＝30°，则CD＝　　　　.
　　解析：因为三角形的高相对于三角形有三种情况：①在三角形的内部；②在三角形的外部；③在三角形的边上.因为此三角形为等腰三角形，第三种情况可以排除.故应分两种情况讨论：如图甲，当△ABC为锐角三角形时，由BD是高，根据直角三角形的性质易得AD＝AB＝5cm，CD＝AC－AD＝5cm；如图乙，当△ABC为钝角三角形时，易得AD＝AB＝5cm，CD＝AC＋AD＝15cm.故答案为5cm或15cm.
　方法总结：此题比较简单，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解.
【类型二】 与角平分线或垂直平分线性质的综合运用
如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于（　　）
A.3 B.2 C.1.5 D.1
　　解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO.∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝PC＝×3＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故选C.
　　方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形.
【类型三】 利用含30°角的直角三角形的性质探究线段之间的倍、分关系
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线.CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由.
　　解析：由条件先证△AED≌△BED，得出∠BAD＝∠CAD＝∠B，求得∠B＝30°，即可得到CD＝DB.
　　解：CD＝DB.理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分线，∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED（ASA）.∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∵∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴CD＝AD＝BD，即CD＝DB.
　　方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质.
【类型四】 利用含30°角的直角三角形解决实际问题
某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知AC＝50m，AB＝40m，∠BAC＝150°，这种草皮每平方米的售价是a元，求购买这种草皮至少需要多少元.
　　解析：作BD⊥CA交CA的延长线于点D.在Rt△ABD中，利用30°角所对的直角边是斜边的一半求BD，即△ABC的高.运用三角形面积公式计算面积求解.
　　解：如图所示，作BD⊥CA于D点.∵∠BAC＝150°，∴∠DAB＝30°.∵AB＝40m，∴BD＝AB＝20m.∴S△ABC＝×50×20＝500（m2）.∵这种草皮每平方米的售价是a元，∴一共需要500a元.
　　方法总结：解此题的关键在于作出CA边上的高，根据相关的性质推出高BD的长度，正确地计算出△ABC的面积.
三、板书设计
　　含30°角的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
　　本节课借助于教学活动的开展，有效地激发了学生的探究热情和学习兴趣，从而引导学生通过自主探究以及合作交流等活动探究并归纳出本节课所学的新知识，促进了学生思维能力的提高.不足之处是部分学生的综合运用知识解决问题的能力还有待于在今后的教学和作业中进行进一步的训练和提高.

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