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15.3　角的平分线
第2课时　角平分线的性质及判定
1.会叙述角的平分线的性质及判定定理.
2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理.能应用这两个定理解决一些简单的实际问题.
3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力.
重点：角平分线的性质和判定.
难点：角平分线的性质和判定定理的综合应用.
一、情境导入
在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路.
问题1：怎样修建道路最短？
问题2：往哪条路走更近呢？
二、合作探究
探究点一：角平分线的性质
【类型一】 利用角平分线的性质求线段的长度
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝7cm，则△DBE的周长是　　　　　　.
　　解析：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，根据角平分线的性质，可得CD＝ED，AC＝AE＝BC，继而可得△DBE的周长＝AB.故答案为7cm.
　　方法总结：此题考查了角平分线的性质.此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用.从题目提供的信息找出求证的思路是解题的关键，读懂题目信息比较重要.
【类型二】 角平分线的性质和三角形面积的综合
如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（　　）
A.6 B.5 C.4 D.3
　　解析：过点D作DF⊥AC于F.∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴S△ABC＝×4×2＋AC×2＝7，解得AC＝3.故选D.
　　方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法.
【类型三】 利用角平分线的性质证明线段相等
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF.求证：（1）CF＝EB；（2）AB＝AF＋2EB.
　　解析：（1）根据角平分线的性质，可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即CD＝DE.再根据Rt△CFD≌Rt△EBD，得CF＝EB；（2）利用角平分线的性质证明△ADC和△ADE全等得到AC＝AE，然后通过线段之间的相互转化进行证明.
　　证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC.
在Rt△DCF和Rt△DEB中，∵
∴Rt△CFD≌Rt△EBD（HL）.
∴CF＝EB.
（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴CD＝DE.
在Rt△ADC与Rt△ADE中，
∵
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL）.
∴AC＝AE.
∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.
　　方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两条“垂线段”相等.
探究点二：角平分线的判定
【类型一】 判断点是否在角平分线上
如图，已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰是∠B，∠DAC，∠ECA三条角平分线的交点，上述结论中，正确结论的个数有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
　　解析：利用角平分线性质的逆定理分析.由已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等进行思考，首先考虑到两边距离相等，得出结论，然后考虑到另外两边距离相等再得结论，如此这样，答案可得.由角平分线性质的逆定理，可得①②③④都正确.故选D.
　　方法总结：此题主要考查角平分线性质的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.解答时，可分别处理，逐个验证.
【类型二】 角平分线的判定
如图，BE＝CF，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线.
解析：先判定Rt△BDE和Rt△CDF全等，得出DE＝DF，再由角平分线的判定可知AD是∠BAC的平分线.
　　证明：∵DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
∴△BDE与△CDF是直角三角形.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵
∴Rt△BDE≌Rt△CDF.
∴DE＝DF.
∴AD是∠BAC的平分线.
　　方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上.
探究点三：三角形角平分线的应用
已知：如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：
　　（1）可选择的地点有几处？
（2）你能画出塔台的位置吗？
　　解析：（1）根据角平分线的性质得出符合条件的点有4处.（2）作出直线l1，l2，l3两两相交组成的角的平分线，平分线的交点就是所求的点.
　　解：（1）可选择的地点有4处，如图：P1、P2、P3、P4，共4处.
（2）能，如图，根据角平分线的性质作三条直线相交所成的角的平分线，平分线的交点就是所求的点.
　　方法总结：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，反过来，到三角形三边距离相等的点，即为三角形内角平分线的交点，这一结论在以后的学习中经常遇到.
三、板书设计
角平分线的性质及判定
　　角平分线是初中数学中重要的概念，它有着十分重要的性质，通过本节的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识，同时为学习其他图形知识打好基础.教学时用数学语言叙述角平分线的性质定理和判定定理，让学生熟悉这两个定理的条件和结论后，再出一些具体的题目让学生在情境当中运用这两个定理.在证明定理时注重分析思路，学生学会思考问题，注重书写格式，让学生学会清楚的表达思考的过程.在证明的选题上，注意减缓难度，循序渐进.15.3　角的平分线
第1课时　角平分线的尺规作图
1.掌握角平分线、过一点作已知直线垂线的作图方法.
2.通过角平分线、过一点作已知直线垂线的作图方法，发展几何空间意识.
重点：角平分线及垂线的尺规作法.
难点：角平分线及垂线的尺规作法.
一、情境导入
温故知新
什么是角平分线？
问题：怎样作∠AOB的平分线呢？
①折纸法；②度量法.
如果用尺规作图，该怎么做呢？
二、合作探究
探究点一：角平分线的尺规作图
请在图中作出线段AD，使其平分∠BAC且长度等于m.
要求：用尺规作图，并写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法和结论.
已知：
求作：
　　解析：首先以A为圆心，任意长为半径作弧，交射线AB、AC于E、F，然后以E、F为圆心，大于EF长为半径作弧，交于点M，那么AM就是∠BAC的平分线，只需在射线AM上截取AD＝m即可.
解：已知：线段m，∠BAC；
求作：线段AD，使得∠BAD＝∠CAD，AD＝m.
如图所示.
　　方法总结：此题主要考查的是角平分线的作法，难度不大.作一个角的平分线是基本的作图.尺规作图时，应该遵循作图必需的正确步骤.
探究点二：过一点作已知直线的垂线
如图，分别过点P作线段MN的垂线.
　　解析：利用过直线外一点作已知直线的垂线的方法分别作各条线段所在的直线的垂线即可.
　　解：如图，（1）延长NM，过点P作NM所在直线的垂线；（2）延长NM，过点P作NM所在直线的垂线；（3）延长MN，过点P作MN所在直线的垂线；（4）延长NM，过点P作NM所在直线的垂线.
　　方法总结：过一点作线段的垂线，就是作线段所在直线的垂线.
探究点三：尺规作图的综合应用
如图，已知直线l及其两侧两点A、B.
（1）在直线l上求一点O，使到A、B两点距离之和最短；
（2）在直线l上求一点P，使PA＝PB；
（3）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB.
　　解析：（1）根据两点之间线段最短，连接AB，线段AB交直线l于点O，则O为所求点；
（2）根据线段垂直平分线的性质连接AB，再作出线段AB的垂直平分线即可；
（3）作B关于直线l的对称点B'，连接AB'交直线l与点Q，连接BQ，由三角形全等的判定定理得出△BDQ≌△B'DQ，再由全等三角形的性质可得出∠BQD＝∠B'QD，即直线l平分∠AQB.
解：（1）如图①，连接AB，线段AB交直线l于点O.∵点A、O、B在一条直线上，∴O点即为所求点.
（2）如图②，连接AB，分别以A、B两点为圆心，以大于AB的长度为半径作弧，两弧相交于C、D两点，连接CD与直线l相交于P点，连接BD、AD、BP、AP、BC、AC.∵BD＝AD＝BC＝AC，即C、D两点都在AB的垂直平分线上，∴CD是线段AB的垂直平分线.∵P是CD上的点，∴PA＝PB.
（3）如图③，作B关于直线l的对称点B'，连接AB'交直线l与点Q，连接BQ.∵B与B'两点关于直线l对称，∴BD＝B'D，DQ＝DQ，∠BDQ＝∠B'DQ.∴△BDQ≌△B'DQ.∴∠BQD＝∠B'QD.即直线l平分∠AQB.
　　方法总结：本题考查的是两点之间线段最短、线段垂直平分线的性质及角平分线的性质，熟知各题的知识点是解答此题的关键.
三、板书设计
角平分线的尺规作图
：
　　本节课的知识点有角平分线的尺规作图，过直线上的点作已知直线的垂线.教学时采用了体验探究的方式，为学生提供了亲自操作的机会，引导学生运用已有经验、知识、方法去探索这两个基本作图，进而通过教师的引导加工上升为理性认识，从而获得新知，使学生的学习变为一个再创造的过程，同时让学生学到获取知识的思想和方法.

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