资源简介

13.1　三角形中的边角关系
1.三角形中边的关系
素养目标
1.了解三角形的概念，掌握分类思想.
2.经历探索三角形中三条边之间的关系，感受几何学中基本图形的内涵.
3.让学生养成有条理的思考习惯，以及说理有据的意识，体会三角形三边关系在现实生活中的实际价值.
重点：了解三角形分类思想，弄清三角形三边关系.
难点：对两边之差小于第三边的领悟.
教学过程
一、情境导入
　　三角形是一种常见的几何图形之一，如古埃及金字塔，香港中银大厦，交通标志等等，处处都有三角形的形象.
　　那么什么叫作三角形呢？
二、合作探究
探究点一：三角形的识别
如图所示，图中的三角形共有（　　）
　　A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
　　解析：根据三角形的定义进行判断.只要数出BC上有几条线段即可.很明显BC上有3条线段，所以有3个三角形.故选C.
　　方法总结：在比较复杂的图形中寻找三角形的方法：可以按照一定顺序寻找，即先固定一个顶点，变换另两个顶点，做到不重复、不遗漏.
探究点二：三角形的分类
设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是（　　）
　　解析：根据它们的概念：有一个角是直角的三角形是直角三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形；有三条边相等的三角形是等边三角形；有一个角是直角且有两条边相等的三角形是等腰直角三角形.故选A.
　　方法总结：考查了三角形中各类三角形的概念，根据定义就能够找到它们彼此之间的包含关系.
探究点三：三角形三边关系
【类型一】 判断已知线段能否构成三角形
下列各组长度的线段能构成三角形的是（　　）
　　A.1.5cm，3.9cm，2.3cm
　　B.3.5cm，7.1cm，3.6cm
　　C.6cm，1cm，6cm
　　D.4cm，10cm，4cm
　　解析：A中，1.5＋2.3＝3.8＜3.9，不能构成三角形；B中，3.5＋3.6＝7.1，不能构成三角形；C中，6＋1＞6，6－1＜6，能构成三角形；D中，4＋4＝8＜10，不能构成三角形.故选C.
　　方法总结：判断三条线段能否组成三角形的简便方法是看较短的两条线段的长度是否大于最长的线段的长度.
【类型二】 求三角形第三边的取值范围
已知三角形的三边长分别是2，2x－3，6，则x的取值范围是　　　　.
　　解析：∵三角形的两边长分别为2和6，∴第三边边长2x－3的取值范围是：6－2＜2x－3＜6＋2，即3.5＜x＜5.5.
　　方法总结：根据三角形三边关系定理可知：已知两边之差＜第三边长＜已知两边之和，确定第三边的取值范围，再结合题干中的其他条件排除不合要求的其他值.
【类型三】 三角形的三边关系与等腰三角形
已知等腰三角形的两边长分别为3和5，则它的周长是　　　　.
　　解析：由等腰三角形两边长为3、5，分别从等腰三角形的腰长为3或5去分析即可求得答案，注意分析能否组成三角形.
①若等腰三角形的腰长为3，底边长为5，
∵3＋3＝6＞5，
∴能组成三角形，
∴它的周长是：3＋3＋5＝11；
②若等腰三角形的腰长为5，底边长为3，
∵5＋3＝8＞5，
∴能组成三角形，
∴它的周长是：5＋5＋3＝13.
综上所述，它的周长是11或13.
　　易错提醒：要求等腰三角形的周长，要先确定等腰三角形的腰和底.先分两种情况讨论能否构成三角形，再进行计算.
【类型四】 三角形三边关系与绝对值的综合
若a，b，c是△ABC的三边长，化简｜a－b－c｜＋｜b－c－a｜＋｜c＋a－b｜.
　　解析：根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负，然后去绝对值符号进行计算即可.
　　解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0.∴｜a－b－c｜＋｜b－c－a｜＋｜c＋a－b｜＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b＝3c＋a－b.
　　方法总结：绝对值的化简首先要判断绝对值符号里面的式子的正负，然后根据绝对值的性质将绝对值的符号去掉，最后进行化简.此类问题就是根据三角形的三边关系，判断绝对值符号里面式子的正负，然后进行化简.
三、板书设计
三角形中边的关系
教学反思
　　教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历观察、实验、归纳、类比、直觉、数据处理等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法，同时升华学生的情感态度和价值观.13.1　三角形中的边角关系
3.三角形中几条重要线段
素养目标
1.掌握三角形的高、角平分线、中线、重心的定义，以及其中体现出来的性质.
2.会画三角形的高、角平分线、中线.
3.会用一般到特殊的转化思想探索三角形的三条高、三条角平分线、三条中线交于一点.
重点：了解三角形的高、角平分线与中线的概念，会用工具画出三角形的高、角平分线与中线.
难点：三角形的角平分线与角的平分线的区别；钝角三角形高的画法；不同的三角形三条高的位置关系.
教学过程
一、情境导入
这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两人想要平分的话，你该怎么办呢？本节我们一起来解决这个问题.
二、合作探究
探究点一：三角形的高、角平分线、中线的有关概念
【类型一】 认识高、角平分线、中线
如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD中点，延长BG交AC于点E，点F为AB上一点，CF⊥AD于点H，下面判断正确的有（　　）
①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD边AD上的中线；③CH为△ACD中边AD上的高.
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
　　解析：由∠1＝∠2知AD平分∠BAE，但AD不是△ABE内的线段，所以①错；同理BE经过△ABD中边AD的中点G，但BE不是△ABD中的线段，故②不正确；由于CH⊥AD于点H，故CH是△ACD中边AD上的高，故③正确.答案为A.
　　方法总结：判断三角形的中线和角平分线时，一定要注意它们都是线段，且都在三角形内部.三角形的高是垂线段，可在三角形的内部、外部或与三角形的一条边重合.
【类型二】 三角形高的画法
画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是（　　）
　　解析：根据概念可知，三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段.过点C作边AB的垂线段，即画AB边上的高CD，所以画法正确的是D.故选D.
　　方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：（1）过该边所对的顶点；（2）垂足必须在该边或在该边的延长线上.
探究点二：三角形中有关高、角平分线、中线的常见计算
【类型一】 三角形的角平分线、高结合求角度
如图，AD，AE是△ABC的高和角平分线，∠B＝36°，∠C＝76°，求∠DAE的度数.
　　解析：由三角形内角和定理可求得∠BAC的度数，在Rt△ADC中，可求得∠DAC的度数，AE是△ABC的角平分线，有∠EAC＝∠BAC，故∠DAE＝∠EAC－∠DAC.
解：∵∠B＝36°，∠C＝76°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝68°.∵AE是△ABC的角平分线，∴∠EAC＝∠BAC＝34°.∵AD是高，∠C＝76°，∴∠DAC＝90°－∠C＝14°.∴∠DAE＝∠EAC－∠DAC＝34°－14°＝20°.
　　方法总结：利用三角形的内角和、角平分线、高的相关性质进行简单计算，注意图形中的角的数量关系.
【类型二】 应用三角形的中线求线段的长
在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝　　　　.
　　解析：如图，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.∴△ABD的周长－△ADC的周长＝（BA＋BD＋AD）－（AC＋AD＋CD）＝BA－AC.∴BA－5＝2.∴BA＝7cm.
　　方法总结：通过本题要理解三角形的中线的定义，解决问题的关键是将△ABD与△ADC的周长之差转化为边长的差.
【类型三】 利用中线解决三角形的面积问题
如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝　　　　.
　　解析：∵点D是AC的中点，∴AD＝AC.∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝S△ABC＝×12＝6.∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝S△ABC＝×12＝4.∵S△ABD－S△ABE＝（S△ADF＋S△ABF）－（S△ABF＋S△BEF）＝S△ADF－S△BEF，即S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.故答案为2.
　　方法总结：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比.
三、板书设计
三角形中几条重要线段
教学反思
　　本节课知识点较多，不仅要让学生理解三角形的高、角平分线、中线的概念，而且还要对三种线段的表示方法和性质进行探讨.在教学中，一直关注学生的自主学习、合作交流的过程，让学生在亲身经历整个探究过程后，能够对三角形的高、角平分线和中线有很好地理解，在获得数学知识的同时，提高探究、发现和总结归纳的能力.在变式练习中，及时发现错误，并展示出来一起讨论.使学生在反思中，不断提升对概念的理解.13.1　三角形中的边角关系
2.三角形中角的关系
素养目标
1.经历三角形内角和等于180°的推导过程，会应用三角形内角和定理解决相关问题.
2.经历观察、思考、互动的过程，提升合情推理的能力，发展条理化的思维意识，形成良好的“说理”能力.
重点：应用三角形内角和定理.
难点：三角形内角和定理的推导过程.
教学过程
一、情境导入
同学们手中有直角三角板，请再画一个内角中不含90°的三角形.
　　三角形若按角来分类，分为哪几类？
二、合作探究
探究点一：三角形的内角和
【类型一】 根据三角形内角和求角的度数
如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝63°，DE∥AB，则∠DEC等于（　　）
A.63° B.62° C.55° D.118°
　　解析：在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝63°，根据三角形的内角和定理，即可求得∠A的度数，又由DE∥AB，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠DEC的度数.故答案为B.
　　方法总结：此题比较简单，解题的关键是掌握“两直线平行，同位角相等”的应用.
【类型二】 根据三个角之间的关系求各个角
在△ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A＋∠B大12°，求△ABC各角度数.
　　解析：首先用代数式表示出每一个角，然后利用三角形内角和为180°，列出方程求解.
解：设∠B＝x°，则∠A＝2x°，∠C＝（x＋2x＋12）°，据题意得，x＋2x＋x＋2x＋12＝180，解得x＝28，∴∠B＝28°，∠A＝56°，∠C＝96°.
　　方法总结：借助方程思想解几何问题是一种常用的数学方法.注意列方程时，等式中不能带单位.
探究点二：三角形按角分类
【类型一】 三角形按角分类
下列说法中，正确的有（　　）
①锐角三角形中最大的角一定小于90度；
②所有的等边三角形都是锐角三角形；
③所有的等腰三角形都是锐角三角形；
④直角三角形一定不是等腰三角形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
　　解析：根据三角形按角分类的标准，准确把握各题的关键字眼，对它们做出判断：①最大角小于90°，即三个角都为锐角，满足锐角三角形的条件，故正确；②等边三角形的三个角都为60°，所以它是锐角三角形，故正确；③对于顶角是钝角或直角的等腰三角形，不满足题设条件，故错误；④直角三角形可能是等腰三角形，三角板中就有一个是等腰直角三角形，故错误.故选B.
　　方法总结：熟悉三角形按边、角分类的特点，在分类时，要先确定分类标准，不要搞混淆它们，出现错解.
【类型二】 判断三角形的形状
一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，这个三角形一定是（　　）
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.无法判定
　　解析：设这个三角形的三个内角的度数分别是x，2x，3x，根据三角形的内角和为180°，得x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°，∴这个三角形的三个内角的度数分别是30°，60°，90°，即这个三角形是直角三角形.故选A.
　　方法总结：在解决有关比例问题时，通常先设比例系数，然后列方程求解.
三、板书设计
三角形中角的关系
教学反思
　　教学中通过量、剪、拼、折等数学活动，让学生亲自实践操作，发现规律，主动推导并得出“三角形内角和是180°”的结论，会应用这一规律进行计算.在操作、验证三角形内角和的过程中，体验解决问题方法的多样性，发展空间观念，提高初步的逻辑思维能力.整节课的教学设计明确，条理清晰，层次清楚，学生思维活跃.

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