资源简介

13.2　命题与证明
第3课时　三角形内角和定理的证明及推论
素养目标
1.理解三角形内角和定理的内容，能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题.
2.会用平行线的性质推出三角形内角和定理.
重点：理解三角形内角和定理及证明.
难点：三角形内角和定理的推导过程.
教学过程
一、情境导入
问题：将三角形的内角剪下，试着拼拼看.
三角形的内角和是否为180°？
从拼角的过程你能想出证明的办法吗？
二、合作探究
探究点一：三角形内角和定理的证明
如图，在△ABC内任意取一点P，过点P画三条直线分别平行于△ABC的三条边.
（1）∠1、∠2、∠3分别和△ABC的哪一个角相等？请说明理由；
（2）利用（1）说明三角形三个内角的和等于180°.
解析：（1）利用平行线的性质即可证得；（2）根据对顶角相等，以及∠HPE＋∠1＋∠FPI＋∠3＋∠GPD＋∠2＝360°和（1）的结论即可证得.
解：（1）∠1＝∠A，∠2＝∠B，∠3＝∠C.
理由如下：∵HI∥AC，∴∠1＝∠CEP.又∵DE∥AB，∴∠CEP＝∠A.∴∠1＝∠A.同理，∠2＝∠B，∠3＝∠C.
（2）如图，∵∠HPE＝∠1，∠FPI＝∠3，∠GPD＝∠2，又∵∠HPE＋∠1＋∠FPI＋∠3＋∠GPD＋∠2＝360°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°.∵∠1＝∠A，∠2＝∠B，∠3＝∠C，∴∠A＋∠B＋∠C＝180°.
　　方法总结：本题考查了平行线的性质，正确观察图形，熟练掌握平行线的性质和对顶角相等.
探究点二：直角三角形的两锐角互余
直角三角形两锐角的平分线的夹角是　　　.
解析：作出图形，根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC＋∠BAC＝90°，再根据角平分线的定义可得∠OAB＋∠OBA＝（∠ABC＋∠BAC），然后利用三角形的内角和等于180°求出∠AOB，即为两角平分线的夹角.
如图，∠ABC＋∠BAC＝90°，∵AD、BE分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，∴∠OAB＋∠OBA＝（∠ABC＋∠BAC）＝45°.∴∠AOB＝180°－（∠OAB＋∠OBA）＝135°.
∴∠AOE＝45°.∴两锐角的平分线的夹角是45°或135°.
故答案为45°或135°.
　　方法总结：本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键，作出图形更形象直观.
探究点三：有两个角互余的三角形是直角三角形
如图，AB∥CD，∠BAC和∠DCA的平分线相交于H点，那么△AHC是直角三角形吗？为什么？
解析：要判断△AHC的形状，首先观察它的三个内角，其中∠1与∠2与已知条件角平分线有关，而两条角平分线分别平分∠BAC和∠DCA，这两个角是同旁内角，于是联想到已知条件中的AB∥CD.
　　解：△AHC是直角三角形.理由如下：
因为AB∥CD，所以∠BAC＋∠DCA＝180°.
又因为AH，CH分别平分∠BAC和∠DCA，
　　所以∠1＝∠BAC，∠2＝∠DCA.
所以∠1＋∠2＝（∠BAC＋∠DCA）.
所以∠1＋∠2＝90°.
所以△AHC为直角三角形.
　　方法总结：判定一个三角形是否为直角三角形，既可以通过这个三角形有一个角是直角来判定（直角三角形的定义），也可以通过有两个角度数之和为90°来判定.
三、板书设计
三角形内角和定理的证明及推论1、2
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教学反思
　　教师是学生学习的组织者、引导者、合作者，而非知识的灌输者，在课堂中，放手让学生自主探索证明三角形内角和定理的方法，让学生在动手试一试、动口说一说、相互评一评的过程中掌握证明的各种方法.课堂中，营造了宽松的学习氛围，让学生参与到学习过程中去，自主探索，大胆发表自己的观点，让学生在自主探索中获得了不断地发展.13.2　命题与证明
第4课时　三角形的外角及其性质
素养目标
1.了解三角形的外角.
2.会用数学的语言表达三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
3.会用简单的说理来计算三角形相关的角.
重点：三角形外角的性质.
难点：运用三角形外角的性质进行有关计算与推理.
教学过程
一、情境导入
在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？
二、合作探究
探究点一：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3.
　　（1）试说明：∠BAC＝∠DEF；
（2）若∠BAC＝70°，∠DFE＝50°，求∠ABC度数.
　　解析：（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出∠3＋∠CAE＝∠DEF，再根据∠1＝∠3整理即可得证；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出∠2＋∠BCF＝∠DFE，再根据∠2＝∠3即可得∠ACB＝∠DFE，然后利用三角形的内角和等于180°求解即可.
解：（1）在△ACE中，∠DEF＝∠3＋∠CAE，
∵∠1＝∠3，
∴∠DEF＝∠1＋∠CAE＝∠BAC，即∠BAC＝∠DEF.
（2）在△BCF中，∠DFE＝∠2＋∠BCF，
∵∠2＝∠3，
∴∠DFE＝∠3＋∠BCF，即∠DFE＝∠ACB.
∵∠BAC＝70°，∠DFE＝50°，
∴在△ABC中，∠ABC＝180°－∠BAC－∠ACB＝180°－70°－50°＝60°.
　　方法总结：本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质，并准确识图，找出图中各角度之间的关系是解题的关键.
探究点二：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角
如图，已知CE为△ABC的外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，求证：∠BAC＞∠B.
　　解析：要说明两角的不等关系，就要考虑利用“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”.解决此题的关键是要找出与两角均有联系的中间量.
证明：∵CE平分∠ACD，∴∠1＝∠2.
∴∠BAC＞∠1.∴∠BAC＞∠2.
又∵∠2＞∠B，∴∠BAC＞∠B.
　　方法总结：证明角与角之间的不等关系时，应联想到三角形的外角与内角之间的关系.
探究点三：三角形的外角的和为360°
如图，已知∠1，∠2，∠3是△ABC的外角，求证：∠1＋∠2＋∠3＝360°.
　　解析：根据三角形外角的性质及三角形内角和定理，得出∠1＝∠ABC＋∠ACB，∠2＝∠BAC＋∠ACB，∠3＝∠ABC＋∠BAC.三式相加，即可推出∠1＋∠2＋∠3＝360°.
证明：∵∠1，∠2，∠3是△ABC的外角，
∴∠1＝∠ABC＋∠ACB，∠2＝∠BAC＋∠ACB，∠3＝∠ABC＋∠BAC.
∴∠1＋∠2＋∠3＝2（∠ABC＋∠ACB＋∠BAC）＝2×180°＝360°.
　　方法总结：解此类题的关键，是利用三角形外角的性质，将各外角之和转化为三角形的内角和，从而得出相关结论.
三、板书设计
三角形的外角
教学反思
　　教学过程中让学生观察三角形外角特征，明确外角定义、外角个数、外角和的内容，让学生自己完成，使知识由难变易，通过精心设计问题、课堂讨论，中间贯穿鼓励性语言，并让学生自己讲解，锻炼学生勇气及语言表达能力，激发了学生学习积极性，真正培养学生的综合应用能力，学生在可见的情境中，运用所学的知识解决问题，进而达到知识的理解和掌握，使学生真正参与到知识发展形成过程中来.13.2　命题与证明
第2课时　定理、证明
素养目标
1.了解公理、定理、证明的内涵，会进行简单的推理.
2.经历探索证明的过程，弄清证明的基本方法，以及书写形式，体会演绎推理的意义.
重点：理解和掌握定理的概念，了解证明的概念.
难点：了解证明的基本步骤和书写格式，能运用已学过的几何知识证明一些简单的几何问题.
教学过程
一、情境导入
下面两个图片中，中心的两个圆形哪个大？
眼见未必为实，实践出真知！
二、合作探究
探究点一：定理
命题“对顶角相等”是（　　）
A.角的定义 B.假命题
C.基本事实 D.定理
解析：“对顶角相等”的正确性是需要经过推理来证实的，而后又把它选定作为判定其他命题真假的依据，所以它属于定理.故答案为D.
　　方法总结：人们在长期实践中总结出来，不需要用推理的方法加以证明，并作为判定其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫作基本事实.如“两点确定一条直线”，“两点之间线段最短”等都是基本事实.从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫作定理.
探究点二：证明与推理
【类型一】 简单推理
如图，下列推理中正确的有（　　）
①因为∠1＝∠2，所以b∥c（同位角相等，两直线平行）；
②因为∠3＝∠4，所以a∥c（内错角相等，两直线平行）；
③因为∠4＋∠5＝180°，所以b∥c（同旁内角互补，两直线平行）.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析：结合图形，根据平行线的判定方法逐一进行判断.①因为∠1、∠2不是同位角，所以不能证明b∥c，故错误；②因为∠3＝∠4，所以a∥c（内错角相等，两直线平行），正确；③因为∠4＋∠5＝180°，所以b∥c（同旁内角互补，两直线平行），正确.故正确的是②③，共2个.故选C.
　　方法总结：本题主要考查了平行线的判定.解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角.
【类型二】 补充证明过程
完成下面的证明过程：
已知：如图，∠D＝110°，∠EFD＝70°，∠1＝∠2.
求证：∠3＝∠B.
证明：∵∠D＝110°，∠EFD＝70°（已知），
∴∠D＋∠EFD＝180°.∴AD∥　　　　（同旁内角互补，两直线平行）.
又∵∠1＝∠2（已知），
∴　　　　∥BC（内错角相等，两直线平行）.
∴EF∥　　　　.
∴∠3＝∠B（两直线平行，同位角相等）.
解析：求出∠D＋∠EFD＝180°，根据平行线的判定推出AD∥EF，AD∥BC，即可推出答案.
∵∠D＝110°，∠EFD＝70°，∴∠D＋∠EFD＝180°.∴AD∥EF.又∵∠1＝∠2，∴AD∥BC.∴EF∥BC.故答案为EF，AD，BC.
　　方法总结：本题考查了平行线的性质和判定的应用，平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补，反过来就是平行线的判定.
三、板书设计
定理、证明
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教学反思
　　证明步骤与格式是本节的主要内容，是学习数学必备的能力，在今后的学习中将会有大量的证明问题；另一方面它还体现了数学的逻辑性和严谨性.加强推论证明的思路和方法.因为它体现了学生的抽象思维能力，由于学生对逻辑的理解不深刻，往往找不出最佳的思维切入点，证明的盲目性很大，因此对学生证明的思路和方法的训练是教学的难点.课堂教学过程中紧扣教学目标，每个环节都有明确的指向性问题.面向全体学生，引导学生自主学习、合作探究.13.2　命题与证明
第1课时　定义、命题
素养目标
1.了解定义、命题的概念，会判定一个命题的真假.
2.经历现实情境，探究命题的内涵，感悟命题的思想方法.
3.培养严谨的推理意识，以及对所涉及概念的理解，感受概念的应用方法.
重点：区分命题的题设和结论，判断命题的真假.
难点：了解互逆命题的概念，会对假命题的判断举出反例.
教学过程
一、情境导入
判断下列语句哪些是判断句？
（1）合肥市是安徽省的省会.（是）
（2）3＋7＜11.（是）
（3）有公共顶点的角是对顶角.（是）
（4）北京欢迎你！（不是）
（5）画一个角，它的大小是60度.（不是）
（6）你的作业做完了吗？（不是）
如何用数学语言来定义这种判断呢？
二、合作探究
探究点一：定义的相关概念
有下列语句：①直角都相等；②作一条线段等于已知线段；③两点之间线段的长度，叫作这两点间的距离；④两点之间线段最短.其中属于定义的是　　　　（填序号）.
　　解析：定义是能明确界定某个对象含义的语句，①是直角的性质，不符合题意；②作图语言，不是定义，不符合题意；③是两点间的距离的定义，符合题意；④是线段的公理，不是定义，不符合题意.故答案为③.
探究点二：命题概念和结构
指出下列命题的题设和结论：
（1）如果a2＝b2，那么a＝b；
（2）对顶角相等；
（3）三角形内角和等于180°.
解析：第（1）题中有“如果”“那么”，条件结论明显，（2）（3）题可先改写成“如果……那么……”形式，再找出题设和结论.
解：（1）题设是“a2＝b2”，结论是“a＝b”.
（2）改写：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.题设：“两个角是对顶角”，结论：“这两个角相等”.
（3）改写：如果三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180°.题设：“三个角是一个三角形的三个内角”，结论：“三个角的和等于180°”.
　　方法总结：通常情况下命题都可以写成“如果……那么……”形式，当条件结论不是很明显的时候，把所给命题改写成“如果……那么……”形式可以帮助我们找出题设和结论，在改写时，要做到语句通顺，措辞准确.
探究点三：真命题、假命题及举反例
【类型一】 真命题和假命题
已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四个命题：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.其中真命题的是　　　　　　（填写所有真命题的序号）.
解析：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c是真命题，故本项正确；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c是真命题，故本项正确；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c是假命题，故本项错误；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c是真命题，故本项正确.故答案为①②④.
　　方法总结：分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案.
【类型二】 举反例
命题“如果a2＝b2，那么a＝b”是假命题，可举出反例　　　　　　　.
　　解析：反例是符合命题的条件，但不满足命题的结论的例子，也就是说，满足a2＝b2，但不满足a＝b的例子.当a＝2，b＝－2时，a2＝22＝4，b2＝（－2）2＝4.虽然a2＝b2，但a≠b.故答案为a＝2，b＝－2（答案不唯一）.
　　方法总结：通过举反例来说明一个命题是假命题是数学或日常生活中常用的思想方法，举反例只需要举出一个即可.
探究点四：逆命题
写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假.
（1）如果∠α与∠β是邻补角，那么∠α＋∠β＝180°；
（2）如果△ABC是直角三角形，那么△ABC的内角中一定有两个锐角.
解析：（1）交换原命题中“如果”和“那么”后面的部分即可得到原命题的逆命题，然后根据邻补角的定义判断命题的真假；（2）交换原命题中“如果”和“那么”后面的部分即可得到原命题的逆命题，然后根据三角形的角的关系判断命题的真假.
解：（1）逆命题为：如果∠α＋∠β＝180°，那么∠α与∠β是邻补角，此逆命题为假命题.
（2）逆命题为：如果一个三角形中有两个锐角，那么这个三角形是直角三角形，此逆命题为假命题.
　　方法总结：将命题的条件与结论互换，得到新命题，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫原命题，另一个叫作原命题的逆命题.当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题，所举的例子，如果符合命题条件，但不满足命题例子的结论，称之为反例；要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可.
三、板书设计
定义、命题
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题.
教学反思
　　本节主要是命题的概念、命题的构成、真假命题.对于命题的结构，可让学生先自行观察或相互讨论，得出结论.关于找出命题的题设和结论，特别是对那些题设和结论不明显的命题，是一个难点，解决这一难点的方法是让学生适当多做些练习，对本问题不能要求学生本节课就必须掌握，在今后的教学中逐步练习.对于真命题要注意强调“结论一定成立”中“一定”的含义是无一例外，总是正确的，而假命题就不能保证总是正确的；教学时最好要结合一些具体的例子，对照起来讲解.教学中应把学生放在主体位置上，着重于学生能力的培养，体现学生的思维方式，而不是老师的思维方式.了解学生的知识基础、学，从学生的年龄特征、认知规律出发，做到内容表达清楚准确，难易适当.

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