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13.2.2　三角形的中线、角平分线、高
教师备课　素材示例
●类比导入　如图，在△ABC中，有一条线段，一端点在顶点A处，另一端点从点B沿着BC边移动到点C，观察移动过程中形成的无数条线段(AD，AE，…)中，有没有特殊位置的线段？
(1)在这些线段中，线段AD经过边BC的中点；
(2)线段AE平分∠BAC；
(3)线段AF垂直于边BC.
同学们通过观察、思考，找到了具有特殊位置的线段：三角形的中线、角平分线和高．这三条线段是三角形的重要线段．
【教学与建议】教学：从学生已有的知识出发，通过多媒体动画操作，培养学生从一般到特殊的转化思想．建议：教学中要鼓励学生动手实践，探究新知．
●复习导入　1.过直线外一点，画已知直线的垂线，能画几条？怎样画？
2．已知在△ABC中，BC＝5 cm，高AD＝4 cm，求△ABC的面积．
3．请自学三角形的中线、角平分线、高的概念，你能将它们画出来吗？
学生自主学习课本的内容，画一画，弄清下面的问题：
(1)什么叫三角形的中线？连接两点的线段与过两点的直线有何区别与联系？三条中线的位置有什么关系？
(2)什么叫三角形的角平分线？三角形的角平分线与角的平分线有何区别与联系？三条角平分线的位置有什么关系？
(3)什么叫三角形的高？三角形的高与垂线有何区别与联系？三角形的三条高所在直线的位置有什么关系？
(4)三角形的中线、角平分线和高分别是线段、射线、直线中的哪一种？
【教学与建议】教学：通过学生的动手操作、交流、讨论，掌握三角形的中线、角平分线、高的画法．建议：教学中让学生自学完成概念、表示方法、数学语言的学习．
· 命题角度1　利用三角形的中线解决倍数问题
利用三角形的中线不仅可以解决线段的倍数关系问题，也可以解决面积的相等或倍数关系问题．
【例1】如果等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为12 cm和21 cm两部分，那么它的底边长为__5__cm.
【例2】如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AD的中点，且△ABC的面积为8，则阴影部分的面积是__2__．
· 命题角度2　利用三角形的高解决三角形面积问题
当已知三角形的两条高及其中一条高对应的边长，求另一条高对应的边长或已知两边及其中一边对应的高，求另一边对应的高时，常用面积作为中间量．
【例3】如图，在△ABC中，BC边上的高是__AB__；
在△AEC中，AE边上的高是__CD__；
在△AEC中，EC边上的高是__AB__；
若AB＝CD＝4，AE＝5，则△AEC的面积S＝__10__，
CE＝__5__．
· 命题角度3　三角形的中线、角平分线、高的综合应用
(1)关于角度的计算，如果有三角形的高这一条件时，要利用90°的角；见到角平分线这一条件时，要利用角相等；(2)关于线段、周长或面积比值的问题，要利用线段的中线或高线；(3)要利用方程思想、分类思想．
【例4】如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高，AB＝3，AC＝5，DE＝2，点D到AB的距离是____．
【例5】如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝3 cm，AC＝4 cm，BC＝5 cm，∠BAC＝90°.
(1)求AD的长；
(2)求△ABE的面积；
(3)求△ACE和△ABE的周长的差．
解：(1)∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，
∴AB·AC＝BC·AD，
∴AD＝＝＝2.4(cm)；
(2)∵AE是△ABC的中线，
∴S△ABE＝S△ABC＝××3×4＝3(cm2)；
(3)∵AE为斜边BC的中线，∴BE＝CE，
∴△ACE的周长－△ABE的周长＝(AC＋CE＋AE)－(AB＋BE＋AE)＝AC－AB＝4－3＝1(cm).
高效课堂　教学设计
1．掌握三角形的中线、角平分线、高的性质，并会运用这些性质解决问题．
2．准确画出三角形的中线、角平分线、高．
▲重点
三角形的中线、角平分线、高的性质．
▲难点
三角形的中线、角平分线、高的应用．
◆活动1　新课导入
问题1：图中共有多少个三角形？请将它们全部用符号表示出来.
答：图中共有5个三角形．分别是△ABC，△ABD，△ACD，△ADE，△CDE.
问题2：利用长为2 cm，3 cm，4 cm，5 cm的四条线段可以组成几个三角形？为什么？
答：可以组成3个三角形．从四条线段中任选三条，共有四种选法：①2 cm，3 cm，4 cm；②3 cm，4 cm，5 cm；③2 cm，3 cm，5 cm；④2 cm，4 cm，5 cm.其中满足“三角形两边之和大于第三边”的只有第①，②，④这三组．
◆活动2　探究新知
1．给出一个△ABC，请你作出该三角形的中线．
提出问题：
(1)如何作一个三角形的中线？
(2)一个三角形有几条中线？
(3)分别作出不同三角形的中线，你有什么发现？
学生完成并交流展示．
2．给出一个△ABC，请你作出该三角形的角平分线．
提出问题：
(1)如何作一个三角形的角平分线？
(2)一个三角形有几条角平分线？
(3)三角形的角平分线与一个角的平分线有何区别？
(4)不同的三角形，它们的角平分线有何特点？
学生完成并交流展示．
3．给出一个△ABC，请你作出该三角形的高．
提出问题：
(1)如何作三角形的高？
(2)一个三角形有几条高？
(3)能用折纸的方法折出你准备好的三角形的高吗？
(4)通过画不同的三角形的高，你能发现什么特点？三角形的高一定在三角形的内部吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．在三角形中，连接一个顶点和它所对的边的__中点__，所得线段叫作三角形的中线．三角形的三条中线相交于一点，这个点叫作三角形的__重心__．
2．在三角形中，一个内角的__平分线__和它所对的边相交于一点，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线．
3．从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线作__垂线__，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高．
◆活动4　例题与练习
例1　下列说法正确的是 (B)
①平分三角形内角的射线叫作三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线都是线段，而高是直线；③每个三角形都有三条中线、三条高和三条角平分线；④三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线．
A．③④　　　　　B．③　　　　　C．②③　　　　　D．①④
例2　如图，已知△ABC，根据要求画图．
(1)画BC边上的高；
(2)画∠ACB的平分线；
(3)将△ABC分成面积相等的两部分．
解：如图．(1)线段AD即为所求；
(2)CE即为∠ACB的平分线；
(3)中线BF将△ABC分成面积相等的两部分(答案不唯一).
练习
1．教材P8～9　练习第1，2题．
2．如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，BE＝2，AF＝3，填空：
(1)BE＝__CE__＝__BC__；
(2)∠BAD＝__∠DAC__＝__∠BAC__；
(3)∠AFB＝__∠AFC__＝90°；
(4)S△AEC＝__3__．
3．如图，已知△ABC.
(1)画出△ABC的∠ABC的平分线，交AC边于点D，并指出相等的角；
(2)画出△ABC的AC边上的中线BE，并指出相等的线段；
(3)画出△ABC的BC边上的高AF，并指出图中所有的直角三角形．
解：(1)如图，BD是△ABC的∠ABC的平分线，∠ABD＝∠CBD；
(2)如图，BE是△ABC的AC边上的中线，AE＝CE；
(3)如图，线段AF为△ABC的BC边上的高．
图中的直角三角形有△AFB和△AFC.
◆活动5　课堂小结
1．三角形的中线、角平分线、高的性质．
2．三角形的中线、角平分线、高的综合应用．
1．作业布置
(1)教材P9　习题13.2第3，4，7题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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