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第十三章 三角形
单 元 备 课
第13单元 本单元所需课时数 7课时
课标要求 1.理解三角形及其内角、外角、中线、角平分线、高等概念，了解三角形重心的概念，了解三角形的稳定性. 2.探索并证明三角形的内角和定理.掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3.证明三角形的任意两边之和大于第三边.
教材分析 学生在前两个学段已学过一些三角形的知识，在第三学段又学过线段、角、相交线、平行线等知识，他们的空间观念得到了进一步的发展.现在再来学习三角形的有关内容，就有了更为充实的基础和准备.通过本章的学习，可以丰富和加深学生对三角形的认识，同时为学习其他图形知识打好基础.
主要内容 本章的主要内容是与三角形有关的线段，与三角形有关的角及其内角和.主要包括三节：第13.1节“三角形的概念”主要介绍三角形的边、顶点、角的概念以及三角形的分类；第13.2节“与三角形有关的线段”主要介绍三角形的边，三角形的中线、角平分线、高，三角形的稳定性；第13.3节“三角形的内角与外角”主要研究三角形的内角和外角.
教学目标 1.理解三角形的概念，认识三角形的边、顶点、角，熟悉三角形的分类. 2.能利用三角形的三边关系判断三条线段能否构成三角形. 3.理解三角形中线、角平分线、高的概念，并掌握画法. 4.能够应用三角形中线、角平分线、高的性质进行简单的计算. 5.了解三角形的稳定性及在实际生活中的应用. 6.探索并证明三角形的内角和定理，并能利用三角形的内角和定理解决问题. 7.掌握直角三角形两个锐角的关系，能够通过三角形的两个角互余判定直角三角形，能运用直角三角形的性质和判定进行相关计算. 8.理解三角形的外角的概念，并掌握三角形外角的性质.
课时分配 13.1 三角形的概念 1课时 13.2 与三角形有关的线段 2课时 13.3 三角形的内角与外角 3课时 综合与实践 确定匀质薄板的重心位置 1课时
教与学建议 1.把握好教学要求. 2.开展好数学活动.
13.1 三角形的概念
课题 三角形的概念 课型 新授课
教学内容 教材第2-4页的内容
教学目标 1.理解三角形的概念，认识三角形的边、顶点、角. 2.熟悉三角形的分类.
教学重难点 教学重点：理解三角形的概念. 教学难点：正确将三角形进行分类.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 演示古埃及的金字塔、大兴机场、钢架桥的照片及晶体的密排六方结构，请同学们找出里面的三角形. 教师引导学生举例说明生活中还有哪些三角形的形象. 2.发现探究，学习新知 【问题1】我们知道三角形是由三条线段组成的，你能不能给出三角形一个完整的定义？ 教师引导学生进行探究分析：我们知道三角形是有三条线段组成的，请同学们用白纸裁剪出三条长度分别为10cm,15cm和20cm的细纸条，动手操作并观察总结怎样才能把下纸条拼接成一个三角形. 教师总结三角形的概念，并板书：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形. 【问题2】请同学们观察右图的三角形，说出三角形中有哪些特征元素. 教师总结并给出三角形的边、顶点、角的概念： 线段AB,BC,CA是三角形的边； 点A,B,C是三角形的顶点； ∠A，∠B，∠C是相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角. 顶点是A,B,C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”. 三角形的三边有时也用a,b,c来表示. 【问题3】请同学们回答等边三角形、等腰三角形的定义，以及它们之间的关系，并思考除此之外还有什么样的三角形？按照三角形内角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.如何按照边的关系对三角形进行分类呢？说一说你的想法，并与同学交流. 教师引导学生根据三角形边的关系进行分类，并板书： 3.学以致用，应用新知 考点1 三角形的概念 【例1】下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（ ） 答案：C 考点2 三角形的分类 【例2】判断： （1）一个钝角三角形一定不是等腰三角形.（ ） （2）等边三角形是特殊的等腰三角形.（ ） （3）等腰三角形的腰和底一定不相等.（ ） （4）等边三角形是锐角三角形.（ ） （5）直角三角形一定不是等腰三角形.（ ） 答案：（1）×（2）√（3）×（4）√（5）× 4.随堂训练，巩固新知 教材P3练习1，2. 【教材变式1】如图,在△ABC中,BC=BA,点D在AB上,且AC=CD=DB,则图中的等腰三角形有 个. 答案：3 【教材变式2】如图，AC⊥CB，CD⊥AB于点D，则图中直角三角形有 ．
答案：△ABC、△ACD、△CBD. 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.你能描述三角形的概念吗？ 3.三角形按照边分类，应该怎么分类？ 6.布置作业 教材P4习题13.1第1,2,3,4,5题； 学霸创新题P2-P3. 引导学生从实际生活中的三角形物体或结构抽象出三角形，锻炼同学们的观察能力和抽象能力，让同学们进一步认识生活与数学的联系.通过问题1和问题2将生活中的情景转化为对数学概念的总结探讨. 对于三角形的概念，学生在前两个学段已经接触过，但那时只结合图形说明三角形是由三条线段组成的.在这里需要老师引导学生完善三角形的定义，通过实例得出并强调“首尾顺次相接”这两个条件，锻炼同学们的概括总结能力. 通过回顾等边三角形、等腰三角形并结合三角形根据内角的分类将三角形按边的关系分类.在教学中应强调等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形与等边三角形不是独立的两类. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括三角形的概念、三角形的分类及三角形的三边关系. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计 13.1 三角形的概念 1.三角形的概念： 例题 2.三角形的分类： 练习
教学反思 创设情境导入，引导学生动手操作，探究三角形的概念、及分类，让学生在探究的过程中感受使学生感受到学习与探索的乐趣，为今后的学习提供方法和思路. 新授知识层层递进、联系密切，过渡自然，充分调动学生的积极性，让学生发挥主动性，调动学生的学习热情，注意力集中不分散.
13.2 与三角形有关的线段
13.2.1 三角形的边
课题 三角形的边 课型 新授课
教学内容 教材第5-7页的内容
教学目标 1.理解三角形三边之间的关系. 2.熟悉三角形的稳定性在生活中的应用. 3.能利用三角形的三边关系判断三条线段能否构成三角形.
教学重难点 教学重点：理解三角形三边之间的关系. 教学难点：利用三角形的三边关系判断三条线段能否构成三角形.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 请学生们任意裁剪三条细纸条，探究是不是任意三根细纸条都能拼成三角形呢？ 教师引导学生观察所拼成的三角形.我们会发现有些同学裁剪的纸条能拼接成三角形，而有些同学裁剪的纸条不能. 2.发现探究，学习新知 【问题1】那么三个纸条满足什么条件时能够拼接成三角形呢？任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？ 有两条线路可以选择：一条是由点B到点C；另一条是由点B到点A，再由点A到点C. 追问：各条线路的长有什么关系？这说明三角形的边之间有什么关系？能证明你的结论吗？ 两条线路的长分别是BC，AB+AC.由“两点之间，线段最短”可以得到AB+AC>BC. 追问：对于任意一个△ABC，如果把其中任意两个顶点看成定点，由“两点之间，线段最短”可以得到什么结论？ 教师总结并板书：一般地，我们有 三角形两边的和大于第三边. 三角形两边的差小于第三边. 【问题2】教师准备若干木条和钉子，请同学将其中三根木条钉成一个三角形木架，然后扭动它，木架的形状会发生变化吗？ 学生答：三角形木架的形状不会改变. 追问：请同学们讨论这一现象发生的原因. 教师引导学生将实验现象总结为数学结论，即三角形是具有稳定性的图形. 3.学以致用，应用新知 考点1 三角形的三边关系 【例1】以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1，3，5 C．2，3，4 D．2，6，10 答案：C 考点2 三角形的边的综合应用 【例2】用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形. 如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ 能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么 答案：（1）3.6cm,7.2cm,7.2cm（2）可以围成边长是4cm的等腰三角形 考点3 三角形的稳定性的实际应用 【例3】如图所示，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这是应用了三角形的哪个性质？答： ．(填“稳定性”或“不稳定性”) 答案：稳定性 4.随堂训练，巩固新知 教材P7练习1，2. 【教材变式1】下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A.3,3,6 B.3,5,10 C.4,6,9 D.4,5,9 答案：C 【教材变式2】有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为13cm的木棒呢？ 答案：都不能 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.三角形的三边之间有什么关系呢？ 6.布置作业 教材P9习题13.2第1,2,5，6题； 学霸创新题P4-P5. 引导学生动手操作，自主发现问题.通过问题1将其转化为数学问题，探究三角形三边之间的关系. 由同学们自主探索三角形中的三边关系，教师加以引导，培养学生发现问题、解决问题的能力. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括三角形的三边关系及三角形的稳定性. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计 13.2 与三角形有关的线段 13.2.1 三角形的边 1.三角形的三边关系： 例题 2.三角形的稳定性： 练习
教学反思 创设情境导入，引导学生发现问题，进而探究问题.通过学生实际动手操作，让学生在活动中发现、思考、体验、发展，在活动中体验数学知识的形成过程.让同学们在课堂上充分交流合作，充分调动学生的积极性，培养学生的合作意识. 通过本节课的学习培养同学们的应用意识，体验数学与实际生活的密切联系.
13.2 与三角形有关的线段
13.2.2 三角形的中线、角平分线、高
课题 三角形的中线、角平分线、高 课型 新授课
教学内容 教材第7-9页的内容
教学目标 1.理解三角形中线、角平分线、高的概念. 2.掌握三角形中线、角平分线、高的画法. 3.能够应用三角形中线、角平分线、高的性质进行简单的计算.
教学重难点 教学重点：三角形中线、角平分线、高的概念与画法，应用三角形中线、角平分线、高的性质进行简单的计算. 教学难点：准确区分三角形中线、角平分线、高.
教 学 过 程 备 注
1.回顾旧知，引入新课 【回顾1】通过提问的方式回顾三角形的概念，△ABC中的顶点、边和角，三边的关系. 【回顾2】动手操作：过直线外一点作该直线的垂线. 【回顾3】动手操作：作已知角的角平分线. 【问题1】与三角形有关的线段，除了三条边，还有哪些线段呢？ 教师引导学生回顾之前学过的三角形的中线、角平分线、高.在前两个学段已经知道三角形的高，并学习过三角形的面积=×底×高. 2.类比探究，学习新知 教师给学生分发印有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的纸卡. 【问题1】你能给出三角形的中线的定义吗？ 教师引导学生给出三角形中线的定义：如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线. 追问：请同学们在纸卡上画出三角形的三条中线，能够发现什么结论？ 发现：中线都在三角形内，三条中线相交于一点. 教师给出三角形重心的定义：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫作三角形的重心. 追问：教师取一块质地均匀的三角形木板，找到三条中线的交点，请同学用手指顶住这个交点，尝试能否使木板能够保持平衡. 发现：这个点即三角形的重心是三角形木板的一个平衡点. 追问：教师引导学生给出三角形角平分线的定义：如图，画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 请同学们在纸卡上画出三角形的三条角平分线，能够发现什么结论？ 发现：角平分线都在三角形内，三条角平分线相交于一点. 【问题2】你能画出三角形的高吗？ 请同学们在锐角三角形ABC中过点A作边BC所在直线的垂线，找到△ABC的高. 教师引导学生给出三角形高的定义：如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高.三角形的高线简称三角形的高. 追问：分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，探究他们的高分别有什么特点？三种三角形的高有什么共同特点？ 发现：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边；钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上. 3.学以致用，应用新知 考点1 与三角形中线相关的计算 【例1】在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________. 答案：7cm 考点2 与三角形角平分线相关的计算 【例2】如图，在△ABC中，∠A = 50°，∠C = 72°，BD是△ABC的一条角平分线，则∠ABD=_______． 答案：29° 考点3 三角形高的作法 【例3】作△ABC的边AB上的高，下列作法中正确的是(　　) 答案：D 4.随堂训练，巩固新知 教材P8练习1，2. 【教材变式1】如图， 在△ABC 中，BC边上的高是______，AB 边上的高是_______； 在△BCE中，BE边上的高是_______，EC边上的高是_______； 在△ACD中，AC边上的高是_______，CD边上的高是_______. 答案：AF CE CE BE CD AC 【教材变式2】如图，AD是△ABC的中线，若S△ABD=5，S△ACD=_________. 答案：5 【教材变式3】如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，AD⊥BC于D点，AE平分∠BAC交BC于点E．若∠C＝26°，则∠DAE的度数为_________． 答案：14° 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.你能叙述三角形的中线、角平分线、高的概念吗？ 3.三角形的中线、角平分线、高都有哪些特点？ 6.布置作业 教材P9习题13.2第3,4,7,8题； 教材P21复习题13第2题； 学霸创新题P6-P7. 通过对上一课时内容的回顾，巩固上节课的学习成果，也为继续探索三角形的知识打好基础.回顾之前学过的垂线、角平分线、高等的相关内容，为本节课的学习做好铺垫. 通过实际操作让学生理解重心在实际问题中的意义，体会数学在生活中的应用. 在探究三角形中线的基础上进一步研究三角形的角平分线和高. 另外，应强调中线、角平分线和高都是线段. 让学生动手操作画出不同三角形的高，理解三角形高的概念，探索发现三角形高的性质，培养学生的动手能力和探索发现能力.在这里教师应特别强调直角三角形、钝角三角形三条高的特点. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括三角形中线、角平分线、高的概念与做法，与中线、角平分线、高有关的简单计算等. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计 13.2 与三角形有关的线段 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 1.中线 2.角平分线 3.高 练习
教学反思 本节课以复习旧知引入，帮助学生巩固上节课的内容，同时为本节课的学习打好基础.新课的学习让学生自己动手画不同三角形的中线、角平分线、高，教师引导学生的画图过程、总结画图结论，充分体现学生的主体作用，锻炼学生的自主意识和总结能力.
13.3 三角形的内角与外角
13.3.1 三角形的内角
第1课时 三角形的内角和
课题 三角形的内角和 课型 新授课
教学内容 教材第11-13页的内容
教学目标 1.探索并证明三角形的内角和定理. 2.能利用三角形的内角和定理解决问题.
教学重难点 教学重点：三角形的内角和定理. 教学难点：三角形的内角和定理的探索与证明.
教 学 过 程 备 注
1.回顾旧知，引入新课 【问题1】我们小学的时候就学习过三角形，大家还记得三角形三个内角的和是多少吗？小学的时候我们是怎么得出三角形的内角和等于180°这个结论的吗？ 学生回忆并回答：小学的时候我们通过测量发现三角形的内角和等于180°，由于测量是存在误差的，所以这个过程并不严谨，这节课我们就来想办法对这一结论做出证明. 2.发现探究，学习新知 【问题2】（1）请同学们按照下面的步骤进行操作： ①取一张白纸裁剪成任意的三角形形状； ②并在三个角上分别标注A,B,C； ③将三个角裁剪下来，拼接在一起. 你能发现什么？ 学生发现拼接以后得到一个平角. 追问：教师演示以下两种拼接方式，请同学们回忆自己的拼接方式是不是其中一种.在图1中∠B，∠C各有一条边在所画虚线上，这条虚线与三角形的边BC有什么关系呢，由此能不能联想到证明三角形的内角和等于180°的方法？ 师生讨论证明方法，如图，过△ABC的顶点A作直线l∥BC，由平行线的性质与平角的定义就能证明.将分析过程转化为数学证明过程： 已知：△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 证明：如图，过点A作直线l，使l∥BC. ∵l∥BC， ∴∠2=∠4(两直线平行,内错角相等) . 同理∠3=∠5. ∵∠1，∠4，∠5组成平角， ∴∠1+∠4+∠5=180°（平角定义）. ∴∠1+∠2+∠3=180°（等量代换）. 由此三角形的内角和等于180°得到证明. 教师给出三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°. 追问：你能按照图2的拼接方式讨论并证明三角形的内角和定理吗？ 学生自行证明. 3.学以致用，应用新知 考点1 利用三角形的内角和定理求角 【例1】如图，在△ABC中， ∠BAC=40°, ∠B=75°,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. 解：由∠BAC=40°, AD是△ABC的角平分线， 得∠BAD=∠BAC=20°. 在△ABD中， ∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°. 考点2 利用三角形的内角和定理解决实际问题 【例2】如图是A,B,C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢？ 答案：60° 90° 4.随堂训练，巩固新知 教材P13练习1,2. 【教材变式1】如图，李明同学在东西方向的滨海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，他向东走400米至B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上，则从灯塔P观测A，B两处的视角∠P的度数是 . 答案：30° 【教材变式2】如图，∠1+∠2+∠3+∠4= °． 答案：280 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.三角形内角和定理的内容是什么？ 6.布置作业 1.教材P16习题13.3第1，3，7，9,题； 2.教材P22复习题第5题； 3.学霸创新题P12-P13. 回顾小学学过的三角形的内角和知识，引出三角形的内角和的推导证明，体现数学的严谨性，激发学生的好奇心. 学生通过实际动手操作寻找解决问题的思路，教师在过程中不断诱导学生发现证明三角形的内角和等于180°的方法. 让学生通过第一种证明过程自主探索利用图2进行证明的方法，锻炼学生的探索精神和联想能力. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括三角形的内角和定理求角，利用三角形的内角和定理解决实际问题. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计 13.3 三角形的内角与外角 13.3.1 三角形的内角 第1课时 三角形的内角和 三角形的内角和定理： 例题 练习
教学反思 本节课通过小学学习三角形的测量性结论，巧设悬念，激发起学生证明命题的求知欲，充分调动学生学习的积极性，使学生由被动接受知识转为主动学习，从而提高学习效率．然后让学生自主探究，在教学过程中充分发挥学生的主动性，让学生提出猜想．在教学中，教师通过必要的提示指明了学生思考问题的方向，在学生提出验证三角形的内角和的不同方法时，教师鼓励学生自主探究，这样更有助于学生接受三角形的内角和是180°这一结论．
13.3 三角形的内角与外角
13.3.1 三角形的内角
第2课时 直角三角形的内角
课题 直角三角形的内角 课型 新授课
教学内容 教材第13-14页的内容
教学目标 1.掌握直角三角形两个锐角的关系，能够通过三角形的两个角互余判定直角三角形. 2.能运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.
教学重难点 教学重点：直角三角形两个锐角的关系，过三角形的两个角互余判定直角三角形. 教学难点：运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.
教 学 过 程 备 注
1.回顾旧知，引入新课 上节课我们学习了三角形的内角和定理，请利用三角形的内角和定理求解下列问题. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，当∠A为下列角度时，求∠C的度数. ∠A=30°，∠C= ； ∠A=47°，∠C= ； ∠A=76°，∠C= ； ∠A=α，∠C= . 【问题1】通过上述问题，请总结出∠A和∠C之间的关系，并说明理由. 2.发现探究，学习新知 教师引导学生得出结论，并说明理由. 在直角三角形ABC中，∠C=90°， 由三角形的内角和定理， 得∠A +∠B+∠C=180°, 即∠A+∠B+90°=180°， 所以∠A+∠B=90°. 得到结论：直角三角形的两个锐角互余. 教师介绍直角三角形的符号表示： 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC． 追问：教师让学生在小组内讨论并解决以下问题： ①把命题“直角三角形的两个锐角互余”的条件和结论反过来能得到什么命题？ ②这个命题是否成立？说明理由. 教师请某小组学生回答问题，并总结： 有两个角互余的三角形是直角三角形. 说明理由： 在△ABC中，∠A+∠B=90°，由三角形的内角和定理， 得∠A +∠B+∠C=180°,即90°+∠C=180°，所以∠C=90°，所以△ABC为直角三角形. 3.学以致用，应用新知 考点1 利用直角三角形的两个锐角互余解题 【例1】如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E.比较∠CAE与∠DBE的大小. 解：在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC. 在Rt△BDE中,∠DBE=90°-∠BED. ∵ ∠AEC=∠BED， ∴ ∠CAE=∠DBE. 考点2 根据三角形中两个角互余判定直角三角形 【例2】如图，∠C=90 °, ∠1= ∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？ 解：在Rt△ABC中，∠2+∠A=90°. ∵ ∠1=∠2, ∴∠1+∠A=90°， 即△ADE是直角三角形. 4.随堂训练，巩固新知 教材P14练习1,2. 【教材变式1】（1）如图1，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？ （2）如图2，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由. 图1 图2 答案：（1）相等 （2）相等 【教材变式2】如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B． △ACD是直角三角形吗？ 答案：是 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.直角三角形的两个锐角有什么关系？ 3.有哪些方法可以判断一个三角形是直角三角形. 6.布置作业 1.教材P16习题13.3第4题； 2.教材P22复习题第7题； 3.学霸创新题P14. 利用上节课学习的三角形的内角和定理在直角三角形内求角，帮助学生巩固上节课的内容，让学生能够在计算过程中得出直角三角形中两个锐角之间的关系. 通过小组讨论解决问题，培养学生的合作意识和探索能力，在此过程中教师应正确引导学生进行命题的转化. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括利用直角三角形的两个锐角互余解题，根据三角形中两个角互余判定直角三角形. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计 13.3 三角形的内角与外角 13.3.1 三角形的内角 第2课时 直角三角形的内角 1.直角三角形的两个锐角互余； 2.有两个角互余的三角形是直角三角形. 例题 练习
教学反思 由几个特殊直角三角形得出直角三角形两个锐角之间的互余关系，进而推测一般的直角三角形的性质，再根据三角形内角和定理进行证明.这体现了探索几何结论常用到的一个过程，后面还是通过这一过程探索直角三角形的判定.本节课充分调动学生的积极性和探索欲，逐渐构建起探索几何结论的方法.
13.3 三角形的内角与外角
13.3.2 三角形的外角
课题 三角形的外角 课型 新授课
教学内容 教材第15-16页的内容
教学目标 1.理解三角形的外角的概念. 2.掌握三角形的外角的性质.
教学重难点 教学重点：三角形的外角的定义和性质. 教学难点：利用三角形的外角的性质解题.
教 学 过 程 备 注
1.回顾旧知，引入新课 前两节课我们学习了三角形的内角，请同学们回忆一下关于三角形的内角有哪些结论呢？ 教师带领学生复习前两节课所学内容. 【问题1】我们研究了与三角形有关的线段和三角形的内角，这节课我们往三角形外面延伸，继续探究.如下图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，请同学们观察∠ACD与△ABC的内角∠ACB有什么关系？ 2.发现探究，学习新知 学生讨论，教师引导得出结论：我们发现∠ACD与∠ACB是邻补角，三角形ABC确定的话，∠ACD也是确定的. 追问：∠ACB叫作三角形的内角，请同学们猜一下∠ACD是三角形的什么角呢？ 学生猜测：∠ACD是三角形的外角. 追问：请同学们观察、思考并互相讨论，尝试给出三角形的外角的定义. 教师做出总结并给出三角形的外角的完整定义： 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 追问：请同学们继续探究一个三角形有几个外角，外角之间有什么关系？ 学生通过画图研究发现：一个三角形有六个外角，其中两两为对顶角. 【问题2】请同学们自行研究下面的问题：如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角，能由∠A,∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A,∠B有什么关系？ ∠ACD=130°，∠ACD=∠A+∠B. 追问：请同学们讨论任意一个三角形的一个外角与它不相邻的内角是否都只有这种关系？ 教师引导学生推导： 由∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACD+∠ACB=180°，得∠ACD= ∠A+∠B.即任意一个三角形的一个外角与它不相邻的内角都满足这种关系. 教师总结： 一般地，有三角形的内角和定理可以推出下面的推论： 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3.学以致用，应用新知 考点1 三角形外角性质的应用 【例1】图中∠1的大小等于(　　) A．40° B．50° C．60° D．70° 答案：D 【例2】如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？ 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2. 所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）. 由∠1+∠2+∠3=180°，得 ∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°=360°. 4.随堂训练，巩固新知 教材P16练习. 【教材变式1】如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于（ ） A.40° B.45° C.50° D.55° 答案：C 【教材变式2】如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F等于（ ） A.26° B.63° C.37° D.60° 答案：A 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.什么是三角形的外角？ 2.三角形的外角有什么性质？ 6.布置作业 1.教材P16习题13.3第2,5,6,8,10,11题； 2.教材P22复习题第1,4,5,9题； 3.学霸创新题P16. 回顾三角形的内角的相关知识点，帮同学们巩固前两节课的内容，同时激发学生进一步探索的欲望. 由学生自己探讨外角的定义，更能深化学生们对外角的理解，教师应强调外角是内角的邻补角. 由具体实例当中外角与不相邻内角的关系推广到任意三角形的一个外角与与不相邻内角的关系，让同学们体会探究发现的过程. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，加深对三角形的外角定义的理解，应用外角的性质解题. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计 13.3 三角形的内角与外角 13.3.2 三角形的外角 1.三角形的外角的定义： 例题 2.三角形的外角的性质： 练习
教学反思 本节的知识内容很突出，要让学生了解三角形的外角及其性质，所以在教学过程中，让学生自主探索．同时关注学生的合作交流，开阔学生的思路，让学生在经历整个探索过程的同时，体会数学的严谨性，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力． 在教学设计上，关注学生自主学习、合作交流的过程，让学生体会数学知识应用的灵活性，感受数学基础的重要性，在获得数学活动经验的同时，提高学生的探究、发现和创新能力．
综合与实践
确定匀质薄板的重心位置
课题 确定匀质薄板的重心位置 课型 新授课
教学内容 教材第23-27页的内容
教学目标 1.了解匀质薄板的重心位置在生活中的应用； 2.能确定平面图形的重心位置.
教学重难点 教学重点：了解匀质薄板的重心位置在生活中的应用； 教学难点：确定平面图形的重心位置.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要.例如，比赛中运动员在转向时，通过调整身体重心的位置来改变滑行方向；杂技演员在表演转盘子时，用木棍支撑盘子的重心以使盘子长时间地转动；等等. 在工程中，物体重心的位置也有重要的应用.例如，水坝、挡土墙等建筑的重心必须在一定的范围内，否则可能会导致坍塌；当飞机的重心位于合适的位置时，不仅有利于飞机在飞行状态下保持平衡和稳定，而且能使飞机具有良好的操控性能；为了达到预期的搅拌效果，混凝土搅拌机转动部分的重心会设计得偏离转轴一定的距离；等等. 工程中使用的许多物体具有均匀的质地，如工程中常用的工字钢、角钢、槽钢等型钢.你能通过数学的方法确定工程中薄板、薄壳等匀质物体的重心吗？ 2.发现探究，学习新知 【问题1】我们已经知道，三角形的重心位于三条中线的交点处，那么其他平面图形的重心在什么位置呢？ 教师引导学生通过查资料、做实验、讨论等探究平面图形的重心. 追问1：在物理学中，物体的重心指的是什么？匀质薄板的重心位置与薄板的哪些方面有关？ 学生自主回答，物理学告诉我们：一个物体的各个部分都受到重力的作用，从效果看，可以认为各部分受到的重力作用集中于一点，这点叫作物体的重心. 通过实验能够发现匀质薄板的重心位置由其几何形状和对称性有关. 追问2：用一根手指或一个支架顶住一个三角形匀质薄板的重心，它能保持平衡吗？三角形匀质薄板的重心位置与三角形的重心位置有什么关系？ 学生小组实验并得出结论：用一根手指或一个支架顶住一个三角形匀质薄板的重心，它能保持平衡，重心位置与三角形 的重心位置相同. 追问3：你能仿照三角形的重心，给一般平面图形的重心下一个定义吗？ 学生自行讨论，教师总结：平行四边形、长方形、正方形的重心分别是它们的两条对角线的交点. 追问4：如果我将平行四边形、长方形、正方形纸板各剪掉一部分，它们的重心还是两条对角线的交点吗？ 教师指导学生进行实验，得出结论：不规则的几何图形可以通过悬挂法来确定它的重心，重心在几条铅垂线的交点处. 【问题2】为了更加明确地表达位置之间的数量关系，可以建立平面直角坐标系，用坐标来研究重心的位置.你选择的是什么图形？你是按照什么标准把图形分成两部分的？图形的重心位置和两部分的重心位置分别位于哪里？ 图1 图2 以梯形为例，教师引导学生建立合适的平面直角坐标系. 把梯形放在坐标系中（如图2），可以求出重心G的坐标． 我们把梯形分为矩形ABED与△DCE．设它们的重心分别为F、H，由F(1，2)，H（3，），SABED＝8，S△ECD＝6，可得梯形重心G的横坐标x＝，G的纵坐标y＝，所以G的坐标为（，） 3.学以致用，应用新知 考点1 三角形重心的位置 【例1】已知：如图，点O是△ABC的重心，连接AO并延长交BC于点D，则下列命题中正确的是（ ） A．AD是∠BAC的平分线 B．AD是BC边上的高 C．AD是BC边上的中线 D．AD是BC边上的中垂线 答案：C 考点2 简单平面图形重心的位置 【例2】画出下列图形的重心. 答案：略 考点3 平面组合图形重心的位置 【例3】将八个边长为1的正方形组成的图形按如图所示的方式摆放在平面直角坐标系中，则该图形重心的坐标为 . 答案：（，1） 4.随堂训练，巩固新知 1.已知点F是△ABC的重心，连接AF并延长交BC于G点，过点F作直线分别交AB、AC于D点、E点，则下列说法正确的是（ ） A．BG＝CG B．∠BAG＝∠CAG C．DF＝EF D．BD＝CE 答案：A 2.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则的重心是( ) A.点D B.点E C.点F D.点G 答案：A 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.如何确定匀质薄板的重心位置？ 6.布置作业 学霸创新题P19. 列举重心在生活中应用的例子，让学生感受“重心”在日常生活中无处不在，有着重要的作用，激起学生对“找重心”的兴趣. 通过各种活动让学生理解重心的概念，发现确定匀质薄板重心位置的方法. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计 综合与实践 确定匀质薄板的重心位置 1.三角形重心的位置： 2.简单平面图形重心的位置： 3.平面组合图形重心的位置：
教学反思 本节课是一节综合与实践课，从学生已有的认知基础出发，以学生动手操作、自主探索、合作交流为主要方式，并在活动中要求学生思考、回答相关问题.让学生经历知识的形成与应用的过程，体现了学生在数学活动中对活动经验的积累及对操作方法的反思，特别突出了学生的思考过程.
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