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1.4 有理数的加法和减法
1.4.1　有理数的加法
1.理解有理数加法的意义,经历有理数加法法则的探索过程,初步掌握有理数的加法法则.
2.能正确地进行有理数的加法运算,能运用有理数的加法解决简单的实际问题.
3.会用分类和归纳的思想方法探索有理数的加法法则.
重点：会根据有理数加法法则进行有理数的加法运算.
难点：异号两数相加的运算.
一、情境导入
我们已经熟悉正数的运算,然而实际问题中做加法运算的数有可能超出正数范围.例如,足球循环赛中,通常把进球数记为正数,失球数记为负数,它们的和叫作净胜球数.例如,红队进4个球,失2个球；蓝队进1个球,失1个球.于是红队的净胜球为4＋(－2),蓝队的净胜球为1＋(－1).这里用到正数与负数的加法.
二、合作探究
探究点一：有理数的加法法则
计算：(1)(－0.9)＋(－0.87)； (2)(＋4)＋(－3)；
(3)(－5.25)＋5； (4)(－89)＋0.
解析：利用有理数加法法则,首先判断这两个数是同号两数、异号两数还是同0相加,然后根据相应法则来确定和的符号和绝对值.
解：(1)(－0.9)＋(－0.87)＝－1.77； (2)(＋4)＋(－3)＝1；
(3)(－5.25)＋5＝0； (4)(－89)＋0＝－89.
方法总结：两数相加时,应先判断两数的类型,然后根据所对应的法则来确定和的符号与绝对值.
探究点二：有理数加法的应用
【类型一】有理数加法在实际生活中的应用
股民小张上星期交易截止前以收盘价67元买进某公司股票1000股,下表为本周内每日该股票的涨跌情况：
星　期 一 二 三 四 五
每股涨跌/元 4 4.5 －1 －2.5 －6
(2)本周内每股最高价多少元？最低价多少元？
解析：(1)用买进的价格加上星期一、星期二、星期三的涨跌价格,然后根据有理数加法运算法则进行计算即可求解；(2)分别求出这五天的价格,然后即可得解.
解：(1)67＋(＋4)＋(＋4.5)＋(－1)＝74.5(元),故星期三收盘时,每股74.5元；
(2)星期一：67＋4＝71(元),星期二：71＋4.5＝75.5(元),星期三：75.5＋(－1)＝74.5(元),星期四：74.5＋(－2.5)＝72(元),星期五：72＋(－6)＝66(元),所以本周内每股最高价为75.5元,最低价为66元.
方法总结：股票每天的涨跌都是在前一天的基础上进行的,不要理解为每天都是在67元的基础上涨跌.另外熟记运算法则并根据题意准确列出算式也是解题的关键.
【类型二】和有理数性质有关的计算问题
已知|a|＝5,b的相反数为4,则a＋b＝________.
解析：因为|a|＝5,所以a＝－5或5.因为b的相反数为4,所以b＝－4.则a＋b＝－9或1.
方法总结：本题涉及绝对值和相反数的定义,在解决绝对值问题时要注意考虑全面,避免造成漏解.
三、板书设计
本课时利用情境教学、解决问题等方法进行教学,使学生在情境中提出问题,并寻找解决问题的途径,因此不知不觉地进入学习氛围,使学生从被动学习变为主动探究.在本节教学中,要坚持以学生为主体,教师为主导,致力联系学生已掌握的知识,充分调动学生的兴趣和积极性,使他们最大限度地参与到课堂的活动中。
1.4.2　有理数的减法
1.经历探索有理数减法法则的过程,体会有理数减法与加法的转化关系.
2.理解并掌握有理数的减法法则,能熟练进行有理数的减法运算.
3.会用转化的数学思想,探究有理数的减法法则.
重点：运用有理数的减法法则进行运算.
难点：有理数减法法则的探索.
一、情境导入
某市天气预报网每天实时播报天气情况,它会告诉我们各个城市的天气状况和气温变化.下图是2021年1月30日该市天气预报网上的该市天气情况,从下图我们可以得知该市从周日到下周三的最高温度为6 ℃,最低温度为－5 ℃.那么它的温差怎么算？6－(－5)＝？
二、合作探究
探究点：有理数减法法则
【类型一】有理数减法法则的直接运用
计算：(1)7.2－(－4.8)； (2)－3－5.
解析：先根据有理数的减法法则,将减法转化为加法,再根据有理数的加法法则计算即可.
解：(1)7.2－(－4.8)＝7.2＋4.8＝12；
(2)－3－5＝－3＋(－5)＝－(3+5)＝－8.
方法总结：进行有理数减法运算时,将减法转化为加法,再根据有理数加法法则进行计算.要特别注意减数的符号.
【类型二】有理数减法的实际应用
上海某天的最高气温为6 ℃,最低气温为－1 ℃,则这一天的最高气温与最低气温的差为( )
A.5 ℃ B.6 ℃ C.7 ℃ D.8 ℃
解析：由题意得6－(－1)＝6＋1＝7(℃),故选C.
方法总结：要根据题意列出算式,再运用有理数的减法法则解答.
【类型三】应用有理数减法法则判定正负性
已知有理数a＜0,b＜0,且|a|＞|b|,试判定a－b的符号.
解析：判断a,b差的符号,可能不好理解,不妨把它转化为加法a－b＝a＋(－b),利用加法法则进行判定.
解：因为b＜0,所以－b＞0.又因为a<0,a－b＝a＋(－b),所以a与－b是异号两数相加.那么它们和的符号由绝对值较大的加数的符号决定,因为|a|＞|b|,即|a|＞|－b|,所以取a的符号.而a＜0,因此a－b的符号为负号.
方法总结：此类问题如果是填空或选择题,可以采用“特殊值”法进行判断；若是解答题,可以将减法转化为加法通过运算法则来解答.
三、板书设计
有理数减法法则：减去一个数,等于加上这个数的相反数,即a－b＝a＋(－b).
利用有理数减法法则,可以将有理数减法统一成加法运算.
本节课从实际问题出发,创设教学情境,有效调动学生学习的兴趣和积极性.通过实例计算,激发学生的探索精神.通过大量的数学练习,使学生在计算中巩固解题技能,在小组交流中体验有理数的减法运算的运算魅力,并在教师的指导下自行归纳运算法则；学生亲身体验知识的形成过程,感悟数学的转化思想。
1.4.3　有理数的加减混合运算
1.会把有理数的加减混合运算统一成加法运算.
2.能运用有理数的加、减法法则及运算律正确地进行有理数的加减混合运算.
3.能从具体情境中抽象出数学问题并运用有理数加减混合运算解决.
重点：正确地进行有理数的加减混合运算.
难点：运用有理数的加减混合运算解决实际问题.
一、情境导入
一架飞机进行特技表演,雷达记录起飞后的高度变化如下表：
高度变化 记作
上升4.5千米 ＋4.5千米
下降3.2千米 －3.2千米
上升1.1千米 ＋1.1千米
下降1.4千米 －1.4千米
小组探究此时飞机与起飞点的高度,得出以下两种计算方法：
(1)4.5＋(－3.2)＋1.1＋(－1.4)＝1.3＋1.1＋(－1.4)＝2.4＋(－1.4)＝1(千米)；
(2)4.5－3.2＋1.1－1.4＝1.3＋1.1－1.4＝2.4－1.4＝1(千米).
比较以上两种算法,你发现了什么？
二、合作探究
探究点一：加减混合运算统一成加法运算
将下列式子写成省略括号和加号的形式,并用两种读法将它读出来.
(－13)－(－7)＋(－21)－(＋9)＋(＋32)
解析：先把加减法统一成加法,再省略括号和加号.读有理式时,式子中第一项的符号,要作为这一项的符号读出正负来,式子中的符号就读作加或减.
解：(－13)－(－7)＋(－21)－(＋9)＋(＋32)＝－13＋7－21－9＋32.
读法①：负13、正7、负21、负9、正32的和；
读法②：负13加上7减去21减去9加上32.
方法总结：注意掌握括号前是“＋”号时,将括号连同它前边的“＋”号去掉,括号内各项都不变；括号前是“－”号时,将括号连同它前边的“－”去掉,括号内各项都要变号.
探究点二：有理数的加减混合运算
计算：(1)－9.2－(－7.4)＋9＋(－6)＋(－4)＋|－3|；
(2)－14＋11－(－12)－14＋(－11)；
(3)－－(－)＋(－).
解析：本题根据有理数加减互为逆运算的关系把减法统一成加法,省略加号后,运用加法运算律,简化运算,求出结果.其中互为相反数的两数先结合；能凑成整数的各数先结合.另外,同号各数先结合；同分母或易通分的各数先结合.
解：(1)－9.2－(－7.4)＋9＋(－6)＋(－4)＋|－3|＝－9.2＋7.4＋9.2＋(－6.4)＋(－4)＋|－3|＝－9.2＋7.4＋9.2－6.4－4＋3＝(－9.2＋9.2)＋(7.4－6.4)－4＋3＝0＋1－4＋3＝0；
(2)－14＋11－(－12)－14＋(－11)＝＝－2＋0－14＝－16；
(3)－－(－)＋(－)＝＝1＋(－)＝
方法总结：(1)为使运算简便,可适当运用加法的结合律与交换律.在交换加数的位置时,要连同前面的符号一起交换.(2)注意同分母分数相加,互为相反数相加,凑成整数的数相加,这样计算简便.(3)当一个算式中既有小数又有分数时,一般要统一,具体是统一成分数还是小数,要看哪一种计算简便.
探究点三：利用有理数加减运算解决实际问题
下表是某水位站记录的潮汛期某河流一周内的水位变化情况(“＋”号表示水位比前一天上升,“－”号表示水位比前一天下降,上周末的水位恰好达到警戒水位.单位：米).
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位变化 0.2 0.81 －0.35 0.13 0.28 －0.36 －0.01
(2)与上周末相比,本周末河流的水位是上升还是下降了？
解析：(1)先规定其中一个为正,则另一个就用负表示.理解表中的正负号表示的含义,根据条件计算出每天的水位即可求解；(2)只要观察星期日的水位是正,还是负即可.
解：(1)前两天的水位是上升的,星期一的水位是＋0.20米；星期二的水位是＋0.20＋0.81＝1.01(米)；星期三的水位是＋1.01－0.35＝＋0.66(米)；星期四的水位是＋0.66＋0.13＝0.79(米)；星期五的水位是0.79＋0.28＝1.07(米)；星期六的水位是1.07－0.36＝0.71(米)；星期日的水位是0.71－0.01＝0.7(米)；星期五水位最高,高于警戒水位1.07米；星期一水位最低,高于警戒水位0.2米；
(2)＋0.20＋0.81－0.35＋0.13＋0.28－0.36－0.01＝＋0.7(米),则本周末河流的水位是上升了0.7米.
方法总结：解此题的关键是分析题意列出算式,采用的数学思想是转化思想,即把实际问题转化成数学问题.
三、板书设计
1.有理数的加减混合运算
(1)将减法转化为加法.
(2)运用加法法则和运算律进行计算.
2.加法运算律
(1)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
(2)交换律：a＋b＝b＋a.
本节课是学生在学习了有理数的加法和减法的基础上进行的.通过本节课的学习使学生知道所有含有有理数的加、减混合运算的式子都可以化为有理数的加法的形式,并能熟练掌握有理数的加减混合运算及其运算顺序.本节课本着“扎实、有效”的原则,既关注课堂教学的本质,又注重学生能力的培养,且面向全体学生来设计教学。
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