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第14章 全等三角形
14.2 三角形全等的判定
第4课时 尺规作图
【素养目标】
1. 学会作一个角等于已知角.
2. 运用全等三角形的判定完成相关的尺规作图.
3. 培养分析与尺规作图能力. (重点)
4. 理解尺规作图的原理,能够准确地用数学语言表述作图过程. (难点)
【复习导入】
思考: 线段和角都是基本的几何图形, 也是构成其他几何图形的元素,我们已经学习了作一条线段等于已知线段的尺规作图,如何用直尺和圆规作一个角等于已知角呢？
【合作探究】
探究点一、作一个角等于已知角
探究: 如何用直尺和圆规作一个角与已知角 相等.
思路:
讨论: 这样的三角形容易做出来吗 为什么 的对应角就是要求作的角
理由: 如图,在 的边 上分别取点 ,连接 ,
得到 就是 的一个内角.
再作出 ,
使 ,
则 .
注意：为了作图方便,一般取 .
作法:
(1) 以为圆心,任意长为半径作弧, 分别交于点 ；
(2) 作一条射线,以点为圆心, 为半径作弧,交于点 ;
(3) 以点为圆心, 为半径作弧, 与上一步的弧相交于点；
(4) 过点作射线, 则 .
练一练 1. 如图,用尺规作出 ,所画痕迹弧 是( )
A. 以点 为圆心, 的长为半径的弧
B. 以点 为圆心, 的长为半径的弧
C. 以点 为圆心, 的长为半径的弧
D. 以点 为圆心, 的长为半径的弧
探究点二、过直线外一点作直线的平行线
例1 如图,已知直线 及直线 外一点 . 利用直尺和圆规过点 作直线 的平行线 .
作法：
思考讨论:
问题1: 判定两直线平行的方法是什么
问题2: 作平行线的过程, 其本质是什么
问题3: 你还能用其他方法作出该直线的平行线吗？与你的同桌讨论并试一试.
1. 下列尺规作图能得到平行线的是__________.(填序号)
探究点三、已知两边及其夹角作三角形
例2 已知两边及其夹角作三角形.如图,已知线段 和 ,
求作 ,使 .
作法：
探究点四、已知两角及其一边作三角形
例3 已知两角及其夹边作三角形.如图,已知 和线段 .
求作 ,使 .
思考: 这里用了哪些作图方法
议一议：上述例题中作出的唯一吗 试说明理由.
做一做
(1) 如图,已知 , 和线段 .求作 ,使 , .
(2) 你根据(1)作出的与其他同学作出的三角形能完全重合吗 为什么
当堂反馈
1. 如图,过直线 外一点 作它的平行线 ,其作图依据是( )
A. 两直线平行,同位角相等 B. 两直线平行,内错角相等
C. 同位角相等,两直线平行 D. 内错角相等,两直线平行
第1题图 第2题图
2. 如图,已知 , ,以点 为圆心,以任意长为半径画弧①,分别交 , 于点 ,再以点 为圆心,以 长为半径画弧,交弧①于点 ,画射线 . 则 的度数为 ( )
A. 22° B. C. 34° D. 56°
3. [作图通关]如图, 平分 ,点 为 上一点.
(1) 请用直尺和圆规过点 作直线 ,交于点 (不写作法,保留作图痕迹);
(2) 在(1)的条件下,若 ,求的度数.
4. [作图通关]已知: 线段和 . 求作: ,使得
. (要求: 尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
参考答案
探究点一、作一个角等于已知角
探究 思路: ① 将 “放在”一个三角形中. ② 作出这个三角形.
③ 根据全等三角形的性质, 的对应角就是要求作的角
练一练 1. D
探究点二、过直线外一点作直线的平行线
例1 作法: 如图.
(1) 过点 作一条直线,与直线 相交于点 ；
(2) 在点 处作 的同位角 ,使 ;
(3) 反向延长 ,得直线 ,则直线 .
思考讨论、问题1: 同位角相等,两直线平行. 问题2: 作一个角等于已知角.
问题3:你还能用其他方法作出该直线的平行线吗？与你的同桌讨论并试一试.
练一练2. ①②③
探究点三、已知两边及其夹角作三角形
例2 作法:
(1) 作 ;
(2) 在射线 上作 ,在射线 上作 ;
(3) 连接 ,则 为所求作的三角形.
探究点四、已知两角及其一边作三角形
例3 作法:(1) 作线段 ；
(2) 在 的同侧,分别作与 相交于点 .
则 为所求作的三角形.
议一议 作出的 唯一,理由如下:因为作图过程中,确定了 ,
,符合三角形全等判定的角边角条件,满足该
条件的三角形都全等,即形状和大小都一样, 所以 是唯一的.
做一做 作法: (1) ① 作线段 ；
② 在 的同侧,分别作 , , 与 相交于点 .则 为所求作的三角形.
(2) 能完全重合. 理由如下: 根据三角形全等判定定理中的角角边.
在作出的 中,都有 , . 两角和其中角的对边分别相等的两个三角形全等. 所以 是唯一的.
当堂反馈
1. D 2. C
3. 解:(1) 如图所示.
(2) 平分 , , .
由作图可知 , .
.
4. 解: 如图, 即为所求.14.2　三角形全等的判定
第4课时　尺规作相等角及其应用
1.学会作一个角等于已知角.
2.运用全等三角形的判定完成相关的尺规作图.
3.培养学生分析与作图能力.
重点：尺规作图能力.
难点：理解尺规作图的原理，能够准确地用数学语言表述作图过程.
知识链接
线段和角都是基本的几何图形，也是构成其他几何图形的元素，我们已经学习了作一条线段等于已知线段的尺规作图，如何用直尺和圆规作一个角等于已知角呢？
创设情境
探究点一：利用全等作一个角等于已知角
已知∠AOB.求作∠A'O'B'＝∠AOB.
作法：
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
②作一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；
③以点C'为圆心，CD长为半径作弧，与②中所作的弧相交于点D'；
④过点D'作射线O'B'，则∠A'O'B'＝∠AOB.
思考：想一想，为什么这样作出的∠A'O'B'和∠AOB是相等的？你能明白其中的原理吗？与同桌讨论.
由作法可知O'C'＝OC，O'D'＝OD，C'D'＝CD，根据“边边边”可知△C'O'D'≌△COD，所以∠A'O'B'＝∠AOB.
如图，用尺规作出∠OBF＝∠AOB，所画痕迹弧MN是（　D　）
A.以点B为圆心，OD的长为半径的弧
B.以点C为圆心，CD的长为半径的弧
C.以点E为圆心，OD的长为半径的弧
D.以点E为圆心，CD的长为半径的弧
探究点二：利用全等完成其他尺规作图
与作一条线段等于已知线段一样，“作一个角等于已知角”也是基本、常用的尺规作图，利用它可以进一步完成其他尺规作图.
操作：已知直线AB及直线AB外一点C，利用直尺和圆规作直线AB的平行线CD.
作法：教材P40例4（可在课件中展示）
思考讨论：
问题1：判定两直线平行的方法是什么？
同位角相等，两直线平行.
问题2：作平行线的过程，其本质是什么？
作一个角等于已知角.
问题3：你还能用其他方法作出该直线的平行线吗？与你的同桌讨论并试一试.
已知线段a，b和∠α，求作△ABC，使AB＝a，AC＝b，∠A＝∠α.
（在课件中展示）
1.如图，过直线l1外一点P作它的平行线l2，其作图依据是（　D　）
A.两直线平行，同位角相等 B.两直线平行，内错角相等
C.同位角相等，两直线平行 D.内错角相等，两直线平行
第1题图 第2题图
2.如图，已知∠AOB＝90°，∠AOC＝56°，以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OB，OC于点M，N，再以点N为圆心，以MN长为半径画弧，交弧①于点D，画射线OD.则∠COD的度数为（　C　）
A.22° B.32° C.34° D.56°
3.[作图通关]如图，OD平分∠AOB，点P为OA上一点.
（1）请用直尺和圆规过点P作直线PQ∥OB，交OD于点Q（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若∠AOB＝60°，求∠DQP的度数.
解：（1）如图所示.
（2）∵OD平分∠AOB，∠AOB＝60°，∴∠DOB＝∠AOD＝30°.
由作图可知PQ∥OB，∴∠PQO＝∠DOB＝30°.
∴∠DQP＝180°－∠PQO＝180°－30°＝150°.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
尺规作图
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　

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