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第五章 一元一次方程
单 元 备 课
第 5单元 本单元所需课时数 14课时
课标要求 1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程. 2.掌握等式的基本性质；能解一元一次方程.
3.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性.
教材分析 继第一章“有理数”和第四章“整式的加减”之后，本章内容仍属于“数与代数”领域．人们对方程的研究有悠久的历史，方程是重要的数学基本概念，它随着实践需要而产生，并且具有极其广泛的应用．从数学学科本身看，方程是代数学的核心内容，正是对于它的研究推动了整个代数学的发展．从代数中关于方程的分类看，一元一次方程是最简单的代数方程，也是所有代数方程的基础．
主要内容 本章主要内容包括：一元一次方程及其相关概念、一元一次方程的解法和利用一元一次方程分析与解决实际问题．其中，以方程为工具分析问题、解决问题，即根据问题中的相等关系建立方程模型是全章的重点之一，同时也是主要难点．分析实际问题中的数量关系并用一元一次方程表示其中的相等关系，是始终贯穿于全章的主线．对一元一次方程的有关概念和解法的讨论，是在建立和运用方程这种数学模型的大背景之下进行的，它们在本章前三节中占重要地位．解方程中蕴含的“化归思想”和列方程中蕴含的“数学建模思想”，是本章中包含的主要数学思想．讨论一元一次方程的解法时，会直接应用有理数的运算，还会应用“合并同类项”“去括号”等整式加减运算的法则，即前四章的内容是一元一次方程解法的基础知识．
教学目标 1．经历“把实际问题抽象为数学方程”的过程，体会方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，了解一元一次方程及其相关概念，认识从算式到方程是数学的进步. 2．掌握等式的性质，能利用它们探究一元一次方程的解法．
3．了解解方程的基本目标（使方程逐步转化为 x = a 的形式），理解解一元一次方程的一般步骤，掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴含的化归思想．
4．能够“找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的关系，设未知数，列出方程表示问题中的相等关系”，体会建立数学模型的思想．
5．通过探究实际问题与一元一次方程的关系，进一步体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力．
课时分配 5.1 方程 3课时 5.2 解一元一次方程 4课时 5.3 实际问题与一元一次方程 5课时 教学活动 小结 2课时
知识结构
教与学建议 1.关注在前面学段的基础上的发展，做好从算式到代数的过渡. 2.关注方程与实际问题的联系，体现数学建模思想. 3.关注培养学习的主动性和探究性. 4.关注数学思想方法的教学和学习. 5.关注基础知识和基本技能. 6.关注数学文化的传承.
5.1 方程
5.1.1 从算式到方程
第1课时
课题 方程的定义与列方程 课型 新授课
教学内容 教材第111-113页的内容
教学目标 1.了解方程的概念． 2.通过列方程的过程，感受方程作为刻画现实世界的数学模型的意义，体会由算式到方程是数学的一大进步，从而体会方程思想.
教学重难点 教学重点：方程的概念，方程思想. 教学难点：从列算式到列方程的思维习惯的转变.
教学活动
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 【问题1】一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70 km/h ,卡车的行驶速度是60 km/h，客车比卡车早1 h经过B地．A,B两地间的路程是多少？ 【师生活动】学生审题之后教师提问：
（1）你会用算术方法解决这个问题吗？
教师展示问题，学生分组讨论解决问题的方法，学生代表展示结果，教师及时给予肯定或帮助，并说明算术解法不便捷．教师提出进一步学习新解法的必要性．
在学生尝试算术方法解决问题之后，教师提问：
（2）此题中涉及哪些量，这些量之间有什么关系？如何表示？ （3）你认为应引进什么样的未知量？如何用方程表示这个问题中的相等关系？
(4）列方程的依据是什么？
教师与学生一起进行分析，引导学生找出相等关系列出方程. 【问题2】对于上面的问题，你还能列出其他方程吗？ 【师生活动】教师提出问题，学生思考回答． 2.类比探究，学习新知 【问题3】比较列算式和列方程解决这个问题各有什么特点？ 【师生活动】教师提出问题，学生思考、回答．
学生回答问题之后，教师进一步提出： 你能归纳列方程的步骤吗？
【问题4】你能归纳出方程的定义吗？ 【师生活动】教师引导学生结合上面等式的特征，给出方程的定义学生归纳出定义之后，提问：你能举出方程的一个例子吗？
归纳：先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫作方程． 【问题5】观察上面的例题，你能解释这些方程的左边、右边各表示什么意思吗？ 【师生活动】教师引导学生对列出的方程进行特征分析． 归纳：分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法. 列方程的一般步骤： 第一步：分析题意，找出相等关系，分清题中的已知量、未知量； 第二步：根据题意设出未知数； 第三步：用含未知数的式子将相等关系中的量表示出来，从而列出方程. 【问题6】请学生带着下列问题阅读教科书．
(1）怎样从实际问题中列出方程？
(2）列方程的依据是什么？
【师生活动】学生针对上面的问题做进一步思考、归纳，教师帮助学生规范语言，并展示结论． 3.学以致用，应用新知 例 根据下列问题，设未知数并列出方程：
(1）用一根长24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？(4x=24.)
(2）一台计算机已经使用1 700 h，预计每月再使用150 h，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间 2 450 h (150x+1700=2450.) (3）某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？（52%x-48%x=80.） 【师生活动】教师出示问题，学生独立完成，学生代表分析并展示结果． 4.随堂训练，巩固新知 根据下列问题，设未知数，列出方程. (1）环形跑道一周长400m，沿跑道跑多少周，可以跑3 000 m (2）甲种铅笔每支0.3元，乙种铅笔每支0.6元，用9元钱买了两种铅笔共20支，两种铅笔各买了多少支？
(3)一个梯形的下底长比上底长多2cm，高是5cm，面积是40cm2，求上底长．
(4）用买10个大水杯的钱，可以买15个小水杯，大水杯比小水杯的单价多5元，两种水杯的单价各是多少元？ 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）从实际问题中列出方程的关键是什么？ 6.布置作业 课本P113练习1-3. 让学生感受问题1用算术解法不容易解决，使学生认识到进一步学习新解法的必要性. 这是一个行程问题，用未知量表示路程、时间、速度，让学生体会到用字母也可以表示数量，找出相等关系是列方程的关键所在，通过对问题的思考有助于分析问题．体会一个问题中的相等关系往往不止一个，所以列出方程的角度不是唯一的. (1）让学生知道用算术方法解题时，列出的算式只能用已知数，而用方程解决问题时，方程中既含有已知数，又含有用字母表示的未知数，也就是说，在方程中未知数（字母）可以和已知数一起表示问题中的数量关系；(2）让学生初步了解列方程的步骤． 这是首次正式给出方程的定义，学生在小学已经学过简易方程，通过举例可让学生回顾已经学过的知识． 归纳得出分析实际问题中的数量关系并利用其中的相等关系列出方程的方法. 运用三个问题巩固列方程的一般步骤，强调列方程是依据了相等关系，进一步让学生体会相等关系是列方程的关键.在归纳方程特征的过程中，培养学生观察、分析、归纳的能力． 通过例题的学习，让学生再次熟悉列方程时的设未知数、寻找相等关系、列出方程的过程，为一元一次方程的定义奠定基础． 让学生巩固列方程的基本步骤，在给学生数学知识的同时，渗透建立数学模型的思想方法. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计 方程 1．方程的概念 两个要素：一是含有未知数，二是等式． 2．根据实际问题列方程 提纲挈领，重点突出.
教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.
5.1.1 从算式到方程
第2课时
课题 方程的解与一元一次方程 课型 新授课
教学内容 教材第114-115页的内容
教学目标 1.掌握方程的解的概念，学会判断某个数值是不是方程的解. 2.掌握一元一次方程的概念.
教学重难点 教学重点：一元一次方程的概念，方程思想. 教学难点：正确区分方程和一元一次方程.
教学活动
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 检验下列括号中的数是不是方程的解：
(1)；
(2)． 如何检验一个数是不是方程的解？ 2.类比探究，学习新知 【问题1】根据本章引言中的问题列出的方程1.2x+1=0.8x+3,当x=5时，方程左、右两边有什么样的关系？ x=5又是该方程的什么呢？ 【师生活动】教师提出问题，学生思考回答． 归纳：一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解． 求方程的解的过程，叫作解方程. 【问题2】根据下列问题，设未知数并列出方程：
(1）用一根长24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？(4x=24.)
(2）一台计算机已经使用1 700 h，预计每月再使用150 h，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间 2 450 h (150x+1700=2450.) (3）某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？（52%x-48%x=80.） 【师生活动】教师出示问题，学生独立完成，学生代表分析并展示结果． 【问题3】观察上面的例题，列出的三个方程有什么特征？ 【师生活动】教师引导学生对列出的方程进行特征分析． 教师可以提示：方程的特征可以从未知数的个数和次数等来观察．
归纳：一般地，如果方程中只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等式两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程． 3.学以致用，应用新知 例1 检验下列各数是不是方程的解．
(1) ；
(2) ；
(3) ． 例2 若关于的方程是一元一次方程，则________． 4.随堂训练，巩固新知 1.下列式子哪些是方程，哪些是一元一次方程？
(1)2x+1；(2)2m+15=3；(3)3x-5=5x+4；(4)x2+2x-6=0；
(5)-3x+1.8=3y；(6)3a+9＞15. 2. x=3，x=0，x=-2，各是下列哪个方程的解？ (1) 5x+7=7-2x； (2) 6x-8=8x-4； (3) 3x-2=4+x. 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）什么是方程的解？ （2）一元一次方程的三个特征各指什么？
6.布置作业 课本P115练习1-2，P118习题5.1第3题. 让学生积极思考，使学生认识到进一步学习方程. 通过观察让学生归纳出一元一次方程的定义. 通过小结，加深学生对所学内容的理解，培养学生独立分析、归纳概括的能力，充分发挥学生的主体作用.
板书设计 方程的解及一元一次方程 方程的解 一元一次方程的概念 三个条件：①含有一个未知数；②未知数的次数是1；③等式两边都是整式． 提纲挈领，重点突出.
教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.
5.1.2 等式的性质
课题 等式的性质 课型 新授课
教学内容 教材第115-117页的内容
教学目标 1.了解等式的性质． 2.通过探索等式的性质的过程，培养学生观察，分析，概括的能力，渗透化归思想．培养学生参与数学活动的自信心、合作交流意识.
教学重难点 教学重点：理解和应用等式的性质. 教学难点：应用等式的性质.
教学活动
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 像2x=3，x+1=3这样的简单方程，我们可以直接看出方程的解，但是对于比较复杂的方程，仅靠观察来解方程是困难的. 方程是含有未知数的等式，等式有什么性质呢？ 首先，给出关于等式的两个基本事实： 等式两边可以交换.如果a=b，那么b=a. 相等关系可以传递.如果a=b，b=c，那么a=c. 2.类比探究，学习新知 【探究1】在小学，我们已经知道：等式两边同时加（或减）同一个正数，同时乘同一个正数，或同时除以同一个不为0的正数，结果仍相等.引入负数后，这些性质还成立吗？你可以用一些具体的数试一试. 【师生活动】在学生叙述发现的规律后，教师进一步引导：让学生用文字叙述等式的这个性质，在学生回答的基础上教师归纳总结． 【归纳】等式的性质1：等式两边加 (或减) 同一个数 (或式子)，结果仍相等. 如果a＝b，那么a±c＝b±c. (教师需要强调：等式两边加上的可以是同一个数，也可以是同一个式子) 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 如果a＝b，那么ac＝bc；如果a＝b(c≠0)，那么＝. 【探究2】利用等式的性质解方程 对于简单的方程，我们通过观察就能选择用等式的性质来解，下列方程你能用等式的性质来解吗？ (1)3x+7＝-2；(2)- -1＝2. 【师生活动】先让学生对第(1)题进行尝试解答，然后教师进行指导，在学生解答后点评． 解：(1)两边减7，得3x＋7－7＝－2－7. 化简，得3x＝－9. 两边除以3，得x＝－3. (2)两边加1，得－－1＋1＝2＋1. 化简，得－＝3. 两边乘－2，得x＝－6. 检验方程：一般地，从方程解出未知数的值以后，通常需要代入原方程检验，看这个值能否使方程左、右两边的值相等． 【归纳】经过对原方程的一系列变形(两边同加减、同乘除)，最终把方程化为最简的形式x＝a(常数)，即方程左边只有一个未知项，且未知数项的系数是1，右边只有一个常数项．再运用性质2时，不能在等式两边同时乘或除以0. 3.学以致用，应用新知 【例1】(1)若m＋2n＝p＋2n，则m＝p，依据等式的性质1，等式两边都减去2n； (2)若2a＝2b，则a＝b，根据等式的性质2，等式两边都除以2． 【例2】利用等式的性质解下列方程： (1)x＋7＝26；(2)－5x＝20；(3)－x－5＝4. 分析：要使方程x＋7＝26转化为x＝a(常数)的形式，需去掉方程左边的7，利用等式的性质1，方程两边减7，就得出x的值，你可以类似地考虑另两个方程如何转化为x＝a的形式． 解：(1)两边减7，得x＋7－7＝26－7. 于是x＝19. (2)两边除以－5，得＝. 于是x＝－4. (3)两边加5，得－x－5＋5＝4＋5. 化简，得－x＝9. 两边乘－3，得x＝－27. 4.随堂训练，巩固新知 （1）方程－6x＝3的两边都除以－6，得( ) A．x＝－2 B．x＝ C．x＝－ D．x＝2 答案：C （2）下列结论中，正确的是( ) A．在等式3a－6＝3b＋5的两边都除以3，可得等式a－2＝b＋5 B．如果2＝－x，那么x＝－2 C．在等式5＝0.1x的两边都除以0.1，可得等式x＝0.5 D．在等式7x＝5x＋3的两边都减去x－3，可得等式6x－3＝4x＋6 答案：B （3）如果am＝an，那么下列等式不一定成立的是( ) A．am－3＝an－3 B．5＋am＝5＋an C．m＝n D．0.5am＝0.5an 答案：C 利用等式的性质解方程： ①8＋x＝－5；　　　②4x＝16；　　　③3x－4＝11. 答案： 5.课堂小结，自我完善 （1）等式有哪些性质？ （2）如何利用等式的性质解题？ （3）学习本节课后，还存在哪些困惑？ 6.布置作业 课本P117练习T1-2，P118习题5.1第4题. 引发学生思考，从而激发学生的求知欲. 培养了学生观察、思考、分析、总结、归纳的能力，又培养了学生的语言表达能力，特别是培养了学生用符号语言表示等式性质的能力． 巩固等式的两个性质的运用，加深对等式性质的理解. 直观地展现方程的求解过程，从而激发学生的求知欲. 进一步巩固新知，及时检测学习效果. 考查等式的性质2. 等式的性质的综合. 熟知等式的性质，解简单的一元一次方程. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率.
板书设计 等式的性质 等式的性质1：如果a＝b，那么a±c＝b±c． 等式的性质2：如果a＝b，那么ac＝bc；如果a＝b(c≠0)，那么＝． 利用等式的性质解方程 提纲挈领，重点突出.
教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.
5.2 解一元一次方程
第1课时
课题 合并同类项 课型 新授课
教学内容 教材第120-121页的内容
教学目标 1.学会合并同类项，会解“ax＋bx＝c”类型的一元一次方程． 2.能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程．
教学重难点 教学重点：会解“ax＋bx＝c”类型的一元一次方程，建立方程解决实际问题. 教学难点：分析实际问题中的已知量和未知量，找出相等关系，列出方程.
教学活动
教 学 过 程 备 注
1.复习导入，引入课题 导入1.把下列各式的同类项合并： (1)6x＋3x－4x＝5x； (2)－3xy－xy＋5xy＝xy； (3)2x－3x－4y＋6x＝5x－4y. 导入2.公元约820年，中亚细亚数学家阿尔—花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程．这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》．“对消”与“还原”是什么意思呢？通过下面几节课的学习讨论，相信同学们一定能回答这个问题． 【师生活动】点学生回答后，老师点评，引出本节课题. 2.类比探究，学习新知 【探究】某校三年共购买计算机140台，去年购买的数量是前年的2倍，今年购买的数量又是去年的2倍，前年这所学校购买了多少台计算机？ 引导学生回忆： 【设问1】如何列方程？分哪些步骤？ 师生讨论分析： ①设未知数：设前年购买计算机x台； ②找相等关系： 前年购买量＋去年购买量＋今年购买量＝140； ③列方程：x＋2x＋4x＝140. 【设问2】怎样解这个方程？如何将这个方程转化为x＝a的形式？学生观察、思考： 根据分配律，可以把含x的项合并，即 x＋2x＋4x＝(1＋2＋4)x＝7x. 教师板演解方程过程： ↓合并同类项 ↓系数化为1 【师生活动】以上解方程中的“合并”起了什么作用？学生讨论、回答，师生共同整理：“合并”是一种恒等变形，它使方程变得简单，更接近x＝a的形式． 进一步提出问题：还有不同的设未知数的方法吗？学生思考回答：若设去年购买计算机x台，则得方程＋x＋2x＝140；若设今年购买计算机x台，则方程＋＋x＝140. 【归纳】根据实际问题列一元一次方程，最关键的一步是“找相等关系”，此题的相等关系是“总量＝各部分量的和”，这是一个基本的相等关系．要将方程化为x＝a的形式，需要先在等号左侧合并同类项，再运用等式的性质2将系数化为1. 3.学以致用，应用新知 【例1】解下列方程： (1)2x-x＝6-8； (2)7x-2.5x+3x-1.5x＝-15×4-6×3. 解：(1)合并同类项，得－x＝－2. 系数化为1，得x＝4. (2)合并同类项，得6x＝－78. 系数化为1，得x＝－13. 【例2】有一列数，按一定的规律排列成1，－3，9，－27，81，－243，….其中某三个相邻数的和是－1 701，这三个数各是多少？ 分析：从符号和绝对值两方面观察，可发现这列数的排列规律：后面的数是它前面的数与－3的乘积．如果三个相邻数中的第1个记为x，那么后两个数分别是－3x，9x. 解：设所求三个数分别是x，－3x，9x. 由三个数的和是－1 701，得x－3x＋9x＝－1 701. 合并同类项，得7x＝－1 701. 系数化为1，得x＝－243. 所以－3x＝729，9x＝－2 187. 答：这三个数是－243，729，－2 187. 4.随堂训练，巩固新知 （1）对方程8x＋6x－10x＝6进行合并正确的是( ) A．3x＝6 B．2x＝6 C．4x＝6 D．8x＝6 答案：C （2）解下列方程： ①6x－5x＝3； 解：合并同类项，得x＝3. ②－x＋3x＝7－1； 解：合并同类项，得2x＝6. 系数化为1，得x＝3. ③＋＝9； 解：合并同类项，得3x＝9. 系数化为1，得x＝3. ④6y＋12y－9y＝10＋2＋6. 解：合并同类项，得9y＝18. 系数化为1，得y＝2. （3）今年我校六年级举办艺术节，获一、二等奖的同学共有30名，获得二等奖的人数是获得一等奖的人数的1.5倍，求获一等奖的同学有多少名． 解：设获一等奖的同学有x名，根据题意，得 x＋1.5x＝30.解得x＝12. 答：获一等奖的同学有12名． （4）某市准备用灯笼美化街道，计划用A，B两种不同类型的灯笼200个，如果B种灯笼的个数是A种灯笼个数的2/3，则需A种灯笼 个，B种灯笼_____个. 解： 设需A种灯笼 x 个，则需B种灯笼 2/3x 个. 根据题意，得 x+ 2/3x=200. 解得 x= 120，所以 2/3x= 80. 答：需A种灯笼120个，B种灯笼80个. 5.课堂小结，自我完善 (1)你今天学习的解方程有哪些步骤，每一步依据是什么？ (2)你在本节课的学习中有哪些收获？有哪些进步？学习本节课后，还存在哪些困惑？ 6.布置作业 课本P121练习1-3. 回顾旧知，为新课做铺垫. 提问引入，从故事情境入手，激发学生的学习兴趣. 通过学生身边的事例，以学生身边的实际问题展开讨论，突出数学与实际的联系．老师可采取提问的方式，让学生主动思考，逐步培养学生独立解决问题的能力．指明解题思路，强化本章的中心问题，说明列方程的依据：表示同一个量的式子相等．尝试不同解法，培养发散思维和择优意识. 1.展示解方程的过程，使解法中各步骤的先后顺序清晰，渗透算法程序化的思想． 2．通过学生的思考和教师的讲解，明白解此类方程要先合并同类项．这里不要求学生一定得写汉字． 3．合并同类项的法则是根据分配律的逆应用得出的，使学生意识到解方程的过程是有依据的，知识之间是有联系的． 解决实际问题，体验用方程来解题的优势. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率.
板书设计 合并同类项 1．解形如“ax＋bx＝c”的方程的步骤： ①合并同类项； ②把未知数系数化为1. 2.合并同类项解方程的实际应用 实际问题一元一次方程作答 提纲挈领，重点突出.
教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.
5.2 解一元一次方程
第2课时
课题 移项 课型 新授课
教学内容 教材第122-124页的内容
教学目标 1.理解移项法则，学会解“ax＋b＝cx＋d”类型的一元一次方程，理解解方程的目标，体会解法中蕴涵的化归思想． 2.根据实际问题列方程，并利用移项与合并同类项解决问题.
教学重难点 教学重点： 利用移项与合并同类项解方程. 教学难点： 正确地进行移项并解出方程.
教学活动
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 【问题1】把一些图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则缺25本，这个班有多少名学生？
【师生活动】学生审题之后，教师提出问题：
（1）题中含有怎样的相等关系？
（2）应怎样设未知数，如何根据相等关系列出方程？
学生发表见解后，教师引导学生回顾列方程解决实际问题的基本思路．学生自主分析相等关系，师生共同确定用含x的代数式表示相关的数量．
本题中除班级人数x外，这批书的总数是一个定值，它可以有两种表示方法：
每人分3本，共分出3x本，加上剩余的20本，这批书共有（3x+20）本；
每人分4本，共分出4x本，减去缺少的25本，这批书共有（4x-25）本．
明确表示这批书总数的两个代数式相等，从而列方程3x+20=4x-25. 2.类比探究，学习新知 【问题2】方程3x+20=4x-25与前面学过的一元一次方程在结构上有什么不同？ 【师生活动】教师展示问题，学生独立思考，小组讨论，代表回答：方程3x+20=4x-25的两边都有含x的项（3x与4x）和不含字母的常数项（20与-25)，而上一节课中的方程中含x的项在等号的一侧，常数项在等号的另一侧． 【问题3】怎样才能将它转化为x=a（常数）的形式呢？ 【师生活动】学生思考、探索解决问题的方法：为使方程的右边没有含x的项，等号两边同减去4x，为使方程的左边没有常数项，等号两边同减去20.
3x-4x=-25-20.
归纳：像上面那样把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项. 教师规范解这个方程的具体过程． ↓移项 ↓合并同类项 ↓系数化为1 【问题4】移项的依据是什么？ 【师生活动】学生思考后得出：移项的依据为等式的性质1. 【问题5】以上解方程中“移项”起了什么作用？
【师生活动】学生思考回答，师生共同整理：通过移项，可以简化方程，使含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边，使方程更接近于x=a的形式. 数学文化：约820年，阿拉伯数字家花拉子米著有《代数学》（又称《还原与对消计算概要》），其中，“还原”指的是“移项”，“对消”隐含着移项后合并同类项，我国古代数学著作《九章算术》的“方程”章，更早使用了“对消”和“还原”的方法. 3.学以致用，应用新知 例1 解下列方程： (1)3x＋7＝32－2x；(2)x－3＝x＋1. 解：(1)移项，得3x＋2x＝32－7. 合并同类项，得5x＝25. 系数化为1，得x＝5. (2)移项，得x－x＝1＋3. 合并同类项，得－x＝4. 系数化为1，得x＝－8. 例2 某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200 t；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少100 t．新、旧工艺的废水排量之比为2∶5，采用两种工艺的废水排量各是多少吨？ 解：设新工艺的废水排量为2x t，则旧工艺的废水排量为5x t. 根据题意，得5x－200＝2x＋100. 移项，得5x－2x＝100＋200. 合并同类项，得3x＝300. 系数化为1，得x＝100. 所以2x＝200，5x＝500. 答：新工艺的废水排量为200 t，旧工艺的废水排量为500 t. 4.随堂训练，巩固新知 （1）下列变形过程，属于移项的是( ) A．由3x＝－1，得x＝－ B．由＝1，得x＝4 C．由3x＋5＝0，得3x＝－5 D．由－3x＋3＝0，得3－3x＝0 答案：C （2）解下列方程： ①4x＝9＋x； 解：移项，得4x－x＝9. 合并同类项，得3x＝9. 系数化为1，得x＝3. ②8y－3＝5y＋3； 解：移项，得8y－5y＝3＋3. 合并同类项，得3y＝6. 系数化为1，得y＝2. ③4x＋5＝3x＋3－2x. 解：移项，得4x－3x＋2x＝－5＋3. 合并同类项，得3x＝－2. 系数化为1，得x＝－. （3）A厂库存钢材为100吨，每月用去15吨；B厂库存钢材82吨，每月用去9吨．问经过多少个月后，两厂库存钢材相等？ 解：设经过x个月后，两厂库存钢材相等． 依题意，得100－15x＝82－9x，解得x＝3. 答：经过3个月后，两厂库存钢材相等． （4）由于疫情防控的需要，七(1)班统一购置一定数量的口罩．若每个学生发3个口罩，则多36个口罩；若给每个学生发4个口罩，则少8个口罩．请问该班有多少名学生？ 解：设该班有x名学生， 依题意，得3x＋36＝4x－8，解得x＝44. 答：该班有44名学生． 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： (1）本节课学习了哪些主要内容？ (2）移项的依据是什么？移项起到什么作用？移项时应该注意什么问题？
(3）解ax+b=cx+d型方程的步骤是什么？
6.布置作业 课本P124练习第1-4题. 以学生身边熟悉的实际问题展开讨论，营造一种轻松的学习氛围，激发学生继续学习的愿望．根据学生情况，逐步放手，培养学生独立解决问题的能力． 调动学生进一步学习新知识的积极性，渗透化归的思想． 通过学生的思考、观察和教师的讲解，认识"移项"变形，得出移项的方法，便于学生理解移项的原理.教师应强调移哪些项是根据解方程的需要确定的，移项时注意方程中的某项包括它前面的性质符号，"符号"加"绝对值"是一个整体. 教师通过书写解方程的过程，可以提高学生解题的规范性.而采用框图表示解方程的过程，是为使解法中各步骤的先后顺序清晰，渗透算法程序化的思想．教学中不要求学生也画框图. 使学生进一步认识移项法则是由于解方程的需要而产生的，能在理解的基础上记忆法则. 回答教科书本节最初提出的问题，让学生重视移项的作用，同时感受数学知识悠久的历史． 进一步巩固利用移项、合并同类项解方程的方法．通过练习，及时巩固新知识，加深对化归思想的理解．加强解方程步骤书写的规范性． 解决实际问题，进一步体验用方程来解题的优势. 利用移项解简单的一元一次方程. 通过让学生解决生活中的实际问题，进一步理解移项的概念及法则，培养计算能力，激发学习兴趣. 教师引导学生归纳本节课的知识要点和思想方法，使学生对列方程和解方程有一个整体全面的认识，同时也帮助学生养成良好的学习习惯.
板书设计 移项 提纲挈领，重点突出.
教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.
5.2 解一元一次方程
第3课时
课题 去括号 课型 新授课
教学内容 教材第124-126页的内容
教学目标 1.根据具体问题中的数量关系，列出方程，将实际问题转化为数学问题． 2.探索含有括号的一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的一般步骤，并体会解方程中的化归思想． 3.能够明确实际问题中的数量关系，准确列出方程，体会数学建模思想.
教学重难点 教学重点：用去括号解一元一次方程. 教学难点：熟练地运用去括号法则解带有括号的一元一次方程.
教学活动
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2 000 kW·h(千瓦·时)，全年用电150 000 kW·h. 这个工厂去年上半年每月平均用电是多少？ (1)你用什么方法解决这个实际问题，直接计算方便吗？ (2)题目中有哪些量？这些量之间有什么样的相等关系？如果设上半年每月平均用电x kW·h，可列怎样的方程？你会解这个方程吗？ 2.类比探究，学习新知 【探究1】针对上述问题中，若设上半年每月平均用电x kW·h，则下半年每月平均用电(x－2 000)kW·h；上半年共用电 6x kW·h，下半年共用电6(x－2 000)kW·h．根据全年用电150 000kW·h，可列方程6x＋6(x－2 000)＝150 000． 这个方程中含有括号，怎样才能转化为我们熟悉的形式呢？ 【师生活动】引导学生说出：只要将它化成与前几节课所学的方程相同的形式就可以解，即去括号．然后师生共同回忆去括号法则：一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加. 引导学生总结去括号法解方程的基本思路：去括号→移项→合并同类项→系数化为1，以及每一步都需要注意的问题和方法． 6x＋6(x－2 000)＝150 000 ↓去括号 6x＋6x－12 000＝150 000 ↓移项 6x＋6x＝150 000＋12 000 ↓合并同类项 12x＝162 000 ↓系数化为1 x＝13 500 【归纳】1．含有括号的一元一次方程的解法，注意当括号外面是负号时，去掉括号后，括号内各项都改变符号． 2．解一元一次方程的步骤：①去括号；②移项；③合并同类项；④系数化为1. 【探究2】在风速为24 km/h的条件下，一架飞机顺风从A机场飞到B机场要用2.8 h，它逆风飞行同样的航线要用3 h，求两机场之间的航程． 分析： 顺风速度×顺风时间＝逆风速度×逆风时间. 解：设飞机在无风时的速度为x km/h，则在顺风中的速度为(x+24) km/h ，在逆风中的速度为(x-24)km/h. 根据题意，得 2.8(x+24)=3(x 24) . 去括号，得2.8x+67.2=3x-72. 移项及合并同类项，得0.2x=139.2. 系数化为1，得x=696. 两机场之间的航程为 3×(696-24)=2016 (km). 答：两城之间的距离为2016 km. 3.学以致用，应用新知 例1 解下列方程： (1)2x-(x+10)＝5x+2(x-1)； (2)3x-7(x-1)＝3-2(x+3)． 解：(1)去括号，得2x－x－10＝5x＋2x－2. 移项，得2x－x－5x－2x＝－2＋10. 合并同类项，得－6x＝8. 系数化为1，得x＝－. (2)去括号，得3x－7x＋7＝3－2x－6. 移项，得3x－7x＋2x＝3－6－7. 合并同类项，得－2x＝－10. 系数化为1，得x＝5. 例2 一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2 h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5 h．已知水流速度是 3 km/h，求船在静水中的平均速度． 分析：一般情况下可以认为这艘船往返的路程相等，由此填空：顺流速度×顺流时间＝逆流速度×逆流时间． 解：设船在静水中的平均速度为x km/h，则顺流速度为(x＋3) km/h，逆流速度为(x－3) km/h. 根据往返路程相等，列得2(x＋3)＝2.5(x－3)． 去括号，得2x＋6＝2.5x－7.5. 移项及合并同类项，得0.5x＝13.5. 系数化为1，得x＝27. 答：船在静水中的平均速度为27 km/h. 4.随堂训练，巩固新知 （1）将方程3(x－1)＝6去括号，正确的是( ) A．3x－1＝6 B．x－3＝6 C．3x＋3＝6 D．3x－3＝6 答案：D （2）方程2(x－1)＝x＋2的解是( ) A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 答案：D （3）解方程：3(3x＋5)＝2(2x－1)． 解：去括号，得9x＋15＝4x－2. 移项，得9x－4x＝－2－15. 合并同类项，得5x＝－17. 系数化为1，得x＝－. （4）某眼镜厂车间有28名工人，每人每天可生产镜架40个或者镜片60片，已知一个镜架配两片镜片，为使每天生产的镜架和镜片刚好配套，应安排生产镜架和镜片的工人各多少名？ 解：设安排x名工人生产镜片，则安排(28－x)名工人生产镜架． 由题意，得60x＝2×40(28－x)，解得x＝16. 所以28－x＝12. 答：应安排16名工人生产镜片，12名工人生产镜架． （5）甲、乙两人从相距480 km的两地相向而行，甲乘汽车每小时行驶90 km，乙骑自行车每小时行驶30 km，如果乙先行2 h，那么甲出发多长时间后两人相遇？ 解：设甲出发x h后两人相遇. 根据题意，得 90x+30(x+2) =480. 去括号，得 90x+30x+60=480. 移项、合并同类项，得 120x =420. 系数化为1，得 x=3.5. 答：甲出发3.5 h后两人相遇. 5.课堂小结，自我完善 (1)用去括号解一元一次方程的步骤有哪些？ (2)你在本节课的学习中有哪些收获？有哪些进步？学习本节课后，还存在哪些困惑？ 6.布置作业 课本P126练习第1-3题，P130习题5.2第2题. 通过有关用电的实际问题让学生进一步体会方程模型的作用，同时认识到学习求解含有括号方程的必要性，使学生明确本节课的学习目标. 引导学生通过去括号解这个方程，又因为系数是正数，学生接受起来很容易，为下一类括号前是负数的方程的求解做好准备．归纳方法，形成体系. 进一步巩固利用去括号解方程的方法．通过练习，及时巩固新知识，加深对化归思想的理解．加强解方程步骤书写的规范性． 解决实际问题，进一步体验用方程来解题的优势. 加深学生对去括号法则的理解和运用，提高运算能力. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率.
板书设计 去括号 1.用去括号解一元一次方程的步骤： (1)去括号；(2)移项；(3)合并同类项；(4)系数化为1. 2.去括号解方程的实际应用 提纲挈领，重点突出.
教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.
5.2 解一元一次方程
第4课时
课题 去分母 课型 新授课
教学内容 教材第126-129页的内容
教学目标 1.会通过去分母解一元一次方程. 2.归纳一元一次方程解法的一般步骤，体会解方程中化归和程序化的思想方法. 3.体会建立方程模型的思想.
教学重难点 教学重点：解含有分数系数的一元一次方程，归纳解一元一次方程的基本步骤，体会建立一元一次方程模型解决实际问题的思想方法. 教学难点：准确列出一元一次方程，正确地进行去分母并解出方程.
教学活动
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 如图，翠湖在青山、绿水两地之间，距青山50 km，距绿水70 km.某天，一辆汽车匀速行驶，途径王家庄、青山、绿水三地的时间如下表所示.王家庄距翠湖的路程有多远？ 地名王家庄青山绿水时间10：0013：0015：00
【师生活动】学生审题后，教师提问：
（1）题中涉及哪些相等关系？
（2）应怎样设未知数？如何根据相等关系列出方程？
教师展示问题，让学生思考，独立完成分析并列方程 =. 2.类比探究，学习新知 【问题1】这个方程与前面学过的一元一次方程有什么不同？怎样解这个方程呢？
【师生活动】教师出示问题，学生思考、回答，并尝试解这个方程，学生代表将不同的解法在黑板展示交流．
【问题2】不同的解法各有什么特点？通过比较你认为采用什么方法比较简便？ 【师生活动】学生讨论之后，教师通过以下问题明确去分母的方法和依据：
(1）怎样去分母呢？
(2）去分母的依据是什么？ 学生思考后得出结论：
(1）在方程两边同乘各分母的最小公倍数可以去分母； (2）去分母的依据是等式的性质2. 师生共同分析解法：
方程两边同乘各分母的最小公倍数15，得 5(x-50)=3(x+70). 去括号，得5x-250=3x+210. 移项，得5x-3x=210+250. 合并同类项，得2x=460. 系数化为1，得x＝230. 【问题3】解方程：－2＝－. 【师生活动】教师展示问题，师生共同完成如下分析过程． －2＝－ ↓去分母(方程两边乘各分母的最 小公倍数) ↓去括号 ↓移项 ↓合并同类项 ↓系数化为1 教师提问：
(1）解含分数系数的一元一次方程的步骤包括哪些？
(2）以x为未知数的方程逐步向着x=a的形式转化的主要依据是什么？
学生思考，总结并归纳出解一元一次方程的一般步骤，教师提示补充. 解一元一次方程的基本步骤注意事项依据去分母防止漏乘(尤其没有分母 的项)；注意添括号等式的性质2去括号注意符号；防止漏乘分配律移项移项要变号；防止漏项等式的性质1合并同类项注意系数为1或－1的项分配律的逆运算系数化为1分子、分母不要写倒了等式的性质2
3.学以致用，应用新知 【例1】解下列方程： (1)－1＝2＋； (2)3x＋＝3－. 解：(1)去分母，得2(x＋1)－4＝8＋(2－x). 去括号，得2x＋2－4＝8＋2－x. 移项，得2x＋x＝8＋2－2＋4. 合并同类项，得3x＝12. 系数化为1，得x＝4. (2)去分母，得18x＋3(x-1)＝18-2(2x-1). 去括号，得18x＋3x－3＝18－4x＋2. 移项，得18x＋3x＋4x＝18＋2＋3. 合并同类项，得25x＝23. 系数化为1，得x＝. 【例2】A，B两地相距46千米，甲骑自行车从A地前往B地，速度为每小时15千米，1小时后，乙骑摩托车也沿相同的路线从A地前往B地，速度为每小时40千米．若乙到达B地后立即返回，返回途中与甲相遇的地点距B地多少千米？ 解：设返回途中与甲相遇的地点距B地y千米， 依题意，得－＝1，解得y＝10. 答：若乙到达B地后立即返回，返回途中与甲相遇的地点距B地10千米. 【师生活动】教师提出问题，学生独立完成过程，然后分组进行交流．对错例进行展示，找出错误根源，归纳正确方法． 4.随堂训练，巩固新知 （1）解方程－＝1，去分母后的方程为( ) A.3(3x－7)－2＋2x＝6 B．3x－7－(1＋x)＝1 C.3(3x－7)－2(1－x)＝1 D．3(3x－7)－2(1＋x)＝6 答案：D （2）如果式子的值等于5，那么x的值是( ) A.－5 B．－7 C．3 D．5 答案：B （3）解下列方程： ①＝； 解：去分母，得8x－4＝3x＋6. 移项，得8x－3x＝4＋6. 合并同类项，得5x＝10. 系数化为1，得x＝2. ②－＝1； 解：去分母，得5(x－3)－2(4x＋1)＝10. 去括号，得5x－15－8x－2＝10. 移项，得5x－8x＝15＋2＋10. 合并同类项，得－3x＝27. 系数化为1，得x＝－9. ③＝1－. 解：去分母，得5(2x＋1)＝15－3(x－1). 去括号，得10x＋5＝15－3x＋3. 移项，得10x＋3x＝－5＋15＋3. 合并同类项，得13x＝13. 系数化为1，得x＝1. （4）整理一批数据，由一个人做需80小时完成，现在计划由一部分人先做2小时，然后再增加5人与他们一起做8小时，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？ 解：设应先安排x人工作， 根据题意，得＋×8＝1，解得x＝4. 答：具体应先安排4人工作. 【师生活动】学生独立完成，教师巡视，教师注意收集错例进行展示，由学生分析错误原因． 学生完成练习之后，教师提问：
解一元一次方程的一般步骤，是否是固定不变的？
学生带着问题讨论得出：解方程要先观察方程的特点，根据不同特点，选取恰当的、简便的方法，采取灵活、合理的步骤，不能生搬硬套、机械模仿． 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
(1）本节课学习了哪些主要内容？ (2）去分母的依据是什么？去分母的作用是什么？
(3）用去分母解一元一次方程时应该注意什么？
(4）去分母时，方程两边所乘的数是怎样确定的？ 6.布置作业 课本P129练习1-3，P130习题5.2第3题. 由一道有关数学的问题，引出带有分数系数的一元一次方程，进而讨论用去分母解这类方程. 让学生在已有经验基础上，努力尝试新的方法. 通过对同一方程不同解法的探索过程，使学生感受去分母方法的简便，同时理解去分母的目的和依据，进而得出去分母的一般方法. 学生再次认识去分母解一元一次方程的方法，归纳解一元一次方程的一般步骤，进一步体会化归的数学思想.在讨论过程中互相补充思维中不严密、不完善的地方，加深对去分母的认识，避免出现类似错误． 通过解题过程的体验，把含有分数系数的一元一次方程化成不含分数系数的方程，然后求解，使学生对解方程的认识更加完整，渗透了化归的思想．举一反三，灵活熟练. 设出未知数，把其他量用含x的代数式表示出来，根据等量关系列出方程求解. 及时巩固所学知识，至此，前后呼应，体现了本章问题解决的主线.让学生理解解方程的步骤不是固定不变的，而是可以根据一元一次方程的不同形式灵活改变解题顺序的． 复习巩固、提升总结本节课的知识，使学生学会总结反思．
板书设计 去分母 解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等. 提纲挈领，重点突出.
教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.
5.3 实际问题与一元一次方程
第1课时 配套问题
课题 配套问题 课型 新授课
教学内容 教材第133-134页的内容
教学目标 1.掌握利用一元一次方程解决实际问题，根据实际问题中的相等关系列出方程，掌握配套问题，培养分析问题、解决问题的能力． 2.经历分析配套问题中的数量关系，列出方程，并依据乘法的分配律去括号，感悟方程是刻画现实世界的一个有效模型，训练学生运用新知识解决实际问题的能力，体会“建模”思想.
教学重难点 教学重点：根据配套问题中各量的数量关系，找出相等关系. 教学难点：根据相等关系列出正确的一元一次方程.
教学活动
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 1．配套物品之间具有一定的数量关系，这可以作为列方程的依据． 2．之前我们通过列方程解应用问题的过程中，大致包含哪些步骤？ ①审：审题，分析题目中的数量关系； ②设：设适当的未知数，并表示未知量； ③列：根据题目中的数量关系列方程； ④解：解这个方程； ⑤答：检验并作答. 2.类比探究，学习新知 【探究】配套问题 某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺栓或2 000个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 【师生活动】学生审题，教师提问： (1)“1个螺栓需要配2个螺母”这句话是什么意思，包含着什么等量关系？ (2)本问题中有哪些等量关系？ 教师多媒体展示表格，引导学生填写表格． 产品类型生产人数单人产量总产量螺栓x1 200螺母2 000
教师对学生回答的方向适当给予提示，如先寻求生产螺母的人数如何用含x的式子表示，再去寻求每人每天能生产多少个螺栓，多少个螺母. 教师提问，通过填写表格，你对题目中的螺栓和螺母的数量关系有什么认识？ 学生思考回答，根据学生的回答，教师适当加以引导，利用“1个螺栓需要配2个螺母”的条件，得出每天螺栓生产数量和螺母生产数量之间的关系，从而列出方程：2×1 200x＝2 000(22－x). 注意：教师要关注学生在寻求相等关系时是否准确，是否出现螺栓数量是螺母数量的两倍或直接认为螺栓数量等于螺母数量等配套错误的现象. 学生解方程，教师巡视，注意收集错例进行展示，由学生分析错误原因，师生共同梳理，规范解方程过程. 【答案】解：设应安排x名工人生产螺栓，则(22－x)名工人生产螺母. 依题意，得2 000(22－x)＝2×1 200x. 解方程，得5(22－x)＝6x， 110－5x＝6x， x＝10. 22－x＝12. 答：应安排10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母. 3.学以致用，应用新知 例 东方红机械厂加工车间有90名工人，平均每人每天加工大齿轮20个或小齿轮15个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问一天最多可以生产多少套这样成套的产品？ 解：设安排x名工人加工大齿轮．由题意，得 ×20x＝15(90－x)．解得x＝30. 则90－x＝60. 故需要安排30人加工大齿轮，60人加工小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套. 60×15÷3＝300(套). 答：一天最多可以生产300套这样成套的产品. 4.随堂训练，巩固新知 （1）螺蛳粉是柳州的城市新名片．某包装螺蛳粉厂有80名工人生产包装螺蛳粉料包，已知每袋包装螺蛳粉里有1个汤料包和4个配料包，每名工人每小时可以加工110个汤料包或者200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包刚好配套，请问安排多少名工人去加工汤料包？ 解：设安排x人去加工生产汤料包，则安排(80－x)人生产配料包. 依题意，得4×110x＝200(80－x)，解得x＝25. 答：安排25名工人去加工汤料包. （2）某水利工地派48人去挖土和运土，如果每人每天平均挖土5方或运土3方，那么应怎样安排人员，正好能使挖出的土及时运走？ 解：设安排 x 人去挖土，则安排(48-x)人去运土， 根据题意，得5x=3(48-x).解得x=18. 所以48-x= 30. 答：安排18人挖土，30人运土，正好能使挖出的土及时运走. 5.课堂小结，自我完善 （1）用一元一次方程解决实际问题的基本过程有几个步骤？分别是什么？ （2）配套问题需要注意什么问题？ （3）学习本节课后，还存在哪些困惑？ 6.布置作业 课本P134练习2，3题. 学生在小组内独立完成，并形成统一的答案. 通过提问和学生回答，了解学生对问题中信息的理解能力，引导学生对问题中的信息通过表格做初步梳理和简单加工；通过对表格填空，检验学生是否能够理解问题中信息的含义，并渗透如何寻求相等关系．学生通过对表格信息的探究，参考其他同学对问题中数量关系的观点后再次对问题进行认识，其认识过程与结论已经逐步接近正确而合理的方向，教师在此基础上加以引导和启发，帮助学生确定建立模型的研究方式，使学生的学习由“感性认识”逐步过渡到“理性分析”. 在完成了对例题的探究和一般解题过程的归纳后，通过练习使学生刚刚获取的经验得到进一步的巩固和深化，进一步熟悉利用建模思想解决实际问题的方法和过程，从而提高分析和解决问题的能力. 加强反思，帮助学生养成系统整理知识的习惯.
板书设计 配套问题 列方程解应用问题的一般步骤： 审→设→列→解→答 提纲挈领，重点突出.
教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.
5.3 实际问题与一元一次方程
第2课时
课题 工程问题 课型 新授课
教学内容 教材第133-134页的内容
教学目标 1.掌握利用一元一次方程解决实际问题，根据实际问题中的等量关系列出方程，掌握工程问题，培养分析问题、解决问题的能力． 2.经历分析工程问题中的数量关系，列出方程，并依据乘法的分配律去括号，感悟方程是刻画现实世界的一个有效模型，训练学生运用新知识解决实际问题的能力，体会“建模”思想.
教学重难点 教学重点：根据工程问题中各量的数量关系，找出相等关系. 教学难点：根据相等关系列出正确的一元一次方程.
教学活动
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 做某件工作，甲单独做要8小时才能完成，乙单独做要12小时才能完成，问： ①甲做1小时完成全部工作量的几分之几？____________. ②乙做1小时完成全部工作量的几分之几？____________. ③甲、乙合做1小时完成全部工作量的几分之几？________. ④甲做x小时完成全部工作量的几分之几？____________. ⑤甲、乙合做x小时完成全部工作量的几分之几？________. ⑥甲先做2小时完成全部工作量的几分之几？___________；乙后做3小时完成全部工作量的几分之几？____________；甲、乙再合做x小时完成全部工作量的几分之几？________；三次共完成全部工作量的几分之几？____________； 结果完成了工作，则可列出方程：____________. 工作量＝工作效率×工作时间(常常把总工作量看作1)． 2.类比探究，学习新知 【探究】工程问题 整理一批图书，由一个人整理需要40 h完成，现计划由一部分人先整理4 h，然后增加2人与他们一起整理8 h，完成这项工作． 假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？ 【师生活动】学生先自主探究讨论，教师可以点拨以下问题. (1)人均效率(一个人整理1小时完成的工作量)为__________. (2)设先安排x人，则先整理4小时完成的工作量为________． 再增加2人和前一部分人一起整理8小时，完成的工作量为____________. (3)这项工作分两段完成，两段完成的工作量之和为_______. (4)完成下面表格： 人均效率人数时间工作量前一部分工作x4后一部分工作8
　 学生讨论交流，分小组展示成果，比比谁快、准．教师适当加以引导，利用人均效率、工作人数、工作时间和工作量之间的关系列出方程. 注意：教师要关注学生在确定两阶段工作量关系时是否准确，同时收集错例展示，并关注去分母解方程的过程是否正确. 【答案】解：设安排x人先做4 h．根据先后两个时段的工作量之和等于总工作量，列出方程＋＝1. 解方程，得4x＋8(x＋2)＝40， 4x＋8x＋16＝40， 12x＝24， x＝2. 答：应先安排2人进行整理. 3.学以致用，应用新知 【例】一条地下管线，若由甲工程队单独完成需要12天，由乙工程队单独完成需要24天，先由乙工程队铺设3天，剩下的甲、乙合作完成．还需多少天铺设完这条管道？ 解：设还需x天铺设完这条管道. 由题意，得＋＝1，解得x＝7. 答：还需7天铺设完这条管道. 4.随堂训练，巩固新知 （1）一个水池有进水管甲和出水管乙，单独开放甲管10分钟可以注满水池，单独开放乙管15分钟可以把满水池的水放尽．一次，由于工作人员的疏忽，在打开甲管后若干分钟才匆忙关闭乙管，又过了相同的时间才注满全池，造成了浪费．问甲管一共注水多少时间？ 解：设甲管一共注水x分钟. 由题意，得－×＝1，解得x＝15. 答：甲管一共注水15分钟. （2）为了保证机场按时通航，通往机场的高速公路需要及时翻修完工，已知甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，若甲、乙两队合作5天后，再由乙队单独完成剩余的工作量，共需要多少天？ 解：设共需 x 天. 根据甲、乙两队合作5天完成的工作量+乙队单独完成剩余的工作量=总工作量， 列出方程 (1/10+1/15)×5+x 5/15=1 ， 解得 x=7.5. 答：若甲、乙两队合作5天后，再由乙队单独完成剩余的工作量，共需要7.5天. 5.课堂小结，自我完善 （1）工程问题需要注意什么问题？ （2）学习本节课后，还存在哪些困惑？ 6.布置作业 课本P134练习第1题，P140习题5.3第3-5题. 学生在小组内独立完成，并形成统一的答案. 通过提问和学生回答，了解学生对问题中信息的理解能力，引导学生对问题中的信息通过表格做初步梳理和简单加工；通过对表格填空，检验学生是否能够理解问题中信息的含义，并渗透如何寻求相等关系．学生通过对表格信息的探究，参考其他同学对问题中数量关系的观点后再次对问题进行认识，其认识过程与结论已经逐步接近正确而合理的方向，教师在此基础上加以引导和启发，帮助学生确定建立模型的研究方式，使学生的学习由“感性认识”逐步过渡到“理性分析”. 通过练习使学生刚刚获取的经验得到进一步的巩固和深化，进一步熟悉利用建模思想解决实际问题的方法和过程，从而提高分析和解决问题的能力. 加强反思，帮助学生养成系统整理知识的习惯.
板书设计 工程问题 列方程解应用问题的一般步骤： 审→设→列→解→答 提纲挈领，重点突出.
教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.
5.3 实际问题与一元一次方程
第3课时
课题 销售问题 课型 新授课
教学内容 教材第135页的内容
教学目标 1.理解商品销售中所涉及的进价、原价、售价、利润、打折、利润率等这些基本量之间的关系． 2.能利用一元一次方程解决商品销售中的实际问题． 3.通过商品销售问题的学习，使学生认识到数学的应用价值，通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心.
教学重难点 教学重点：能根据打折销售这一问题情境中的数量关系列出一元一次方程，能运用方程解决实际问题. 教学难点：将实际问题转化为数学问题，正确分析销售问题中的数量关系，找出相等关系，建立方程并正确求解.
教学活动
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 前面我们结合实际问题，讨论了如何分析数量关系，利用相等关系列方程以及如何解方程．本节开始，我们将进一步探究如何用一元一次方程解决生活中的一些实际问题． 教师课件展示以下问题： 1．某商品原来每件零售价是a元，现在每件降价10%，降价后每件零售价是a(1－10%)元． 2．某种品牌的彩电降价3%以后，每台售价为a元，则该品牌彩电每台原价应为元． 3．某商品按定价的八折出售，售价是14.8元，则原定价是18.5元． 4．某商场把进价为1 980元的商品按标价的八折出售，仍获利10%，则该商品的标价为2 722.5元． 【师生活动】学生独立完成，然后同学间交流，师生共同解决. 2.类比探究，学习新知 一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 【问题1】你估计盈亏情况是怎样的？ 盈利、亏损、不盈不亏 【问题2】销售的盈亏决定于什么？ 总售价？总成本(两件衣服的成本之和) 120＞总成本(盈利) 120＜总成本(亏损) 120＝总成本(不盈不亏) 【问题3】两件衣服的成本各是多少元？ 盈利的一件：设盈利25%的那件衣服进价是x元． 根据题意，得x＋0.25x＝60.解得x＝48. 亏损的一件：设亏损25%的那件衣服进价是y元． 根据题意，得y－0.25y＝60.解得y＝80. 两件衣服的进价是x＋y＝48＋80＝128(元)，而两件衣服的售价是60＋60＝120(元)，进价大于售价，由此可知卖这两件衣服总共亏损8元． 【师生活动】教师提出问题，指出销售中常见的基本量：进价、售价、标价、利润、折扣、利润率．学生解释各基本量的含义和它们之间的关系．教师强调利润和利润率．教师要求学生先独立完成，再在全班展示，其他同学补充或提出不同答案，师生共同归纳出以下关系式： 利润＝售价－进价， 售价＝标价×， 利润率＝×100%， 售价＝进价×(1＋利润率). 3.学以致用，应用新知 【例】太原市开展了“活力太原·乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元(每次只能使用一张)．某品牌电饭煲按进价提高50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元．求该电饭煲的进价． 解：设该电饭煲的进价为x元，则标价为(1＋50%)x元，售价为80%×(1＋50%)x元， 根据题意，得80%×(1＋50%)x－128＝568，解得x＝580. 答：该电饭煲的进价为580元． 4.随堂训练，巩固新知 （1）某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打 八 折． （2）一家商店在销售某种服装(每件的标价相同)时，按这种服装每件标价的八折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价． 解：设这种服装每件的标价是x元， 根据题意，得10×0.8x＝11(x－30)，解得x＝110， 答：这种服装每件的标价为110元． （3）学校准备添置一批课桌椅，原计划订购60套，每套100元，店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方实际订购了72套，每套减价3元，但商店获得了同样多的利润． ①求每套课桌椅的成本； ②求商店获得的利润． 解：①设每套课桌椅的成本为x元， 根据题意，得60×100－60x＝72×(100－3)－72x，解得x＝82. 答：每套课桌椅的成本为82元． ②60×(100－82)＝1 080(元)． 答：商店获得的利润为1 080元． 5.课堂小结，自我完善 （1）你在本节课的学习中有哪些收获？有哪些进步？ （2）销售问题中需要注意什么问题？常见的公式有哪些？ （3）学习本节课后，还存在哪些困惑？ 6.布置作业 课本P136练习，P141习题5.3第10题. 利用一元一次方程解决前面已有所讨论的实际问题，本节内容承上启下，进一步探究用一元一次方程解决生活中的实际问题，通过几个例子引入问题，引起学生的兴趣，激发学生的探究欲望. 通过结合具体问题的思考和讨论得出各数量间的关系．使学生明白在销售问题中各种量之间的相等关系，这是解决销售问题的关键，为进一步的探究活动做铺垫. 进一步强化对销售问题中各基本量间的关系的理解及灵活运用． 通过让学生解决生活中的实际问题，激发学习兴趣. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率.
板书设计 销售问题 利润＝售价－进价 售价＝标价× 利润率＝×100% 售价＝进价＋利润＝进价×(1＋利润率) 商品的原价×(1＋提高的百分数)＝商品的现价 商品的原价×(1－降低的百分数)＝商品的现价 提纲挈领，重点突出.
教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.
5.3 实际问题与一元一次方程
第4课时
课题 积分问题 课型 新授课
教学内容 教材第136-137页的内容
教学目标 1.通过对实际问题的分析，掌握用方程计算球赛积分这一类问题的方法． 2.学会解决信息图表问题的方法． 3.经历探索球赛积分中数量关系的过程，进一步体会方程式解决实际问题的数学模型，认识数学与生活的紧密联系、数学题目的形式多样性，培养学生学习数学的兴趣.
教学重难点 教学重点：掌握用方程计算球赛积分问题和信息图表问题的方法. 教学难点：学会从图表中获取有用的信息，找出相等关系列方程.
教学活动
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 某次篮球联赛积分榜如下： 队名比赛场次胜场负场积分前进1410424东方1410424光明149523蓝天149523雄鹰147721远大147721卫星1441018钢铁1401414
学生观察积分榜，并思考下列问题： （1）胜一场和负一场各积多少分？ （2）用代数式表示一支球队的总积分与胜、负场数之间的数量关系. （3）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？ 【师生活动】教师说明积分规则．学生观察表格．教师在学生自由观察表格并发表意见的基础上引导学生观察表格中横行、竖列中所隐藏着的信息，并建立数学模型． 教师重点关注学生能否得出以下关系： (1)胜场积分＋负场积分＝总积分； (2)解决问题的关键：胜一场积几分，负一场积几分. 2.类比探究，学习新知 【问题1】学生继续观察表格，教师提问题： 胜一场和负一场各积多少分？ 【师生活动】设胜一场积x分， 从表中其他任何一行可以列方程，求出x的值. 由第一行得方程10x＋1×4＝24. 解得x＝2. 负一场积1分，胜一场积2分. 【问题2】你能不能用代数式表示一支球队的总积分与胜、负场数之间的数量关系？ 【师生活动】如果一个队胜m场，则负(14－m)场，胜场积分为2m，负场积分为14－m，总积分为2m＋(14－m)＝m＋14. 【问题3】某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？ 【师生活动】设一个队胜了y场，则负了(14－y)场， 若这个队的胜场总积分等于负场总积分，则2y－(14－y)＝0，解得y＝. 【问题4】想一想，y表示什么量？它可以不取整数吗？由此你能得出什么结论？ 【师生活动】解决实际问题时，要考虑得到的结果是不是符合实际， 因为y(胜的场数)的值必须是整数，所以y＝不符合实际，由此可以判定没有哪支球队的胜场总积分等于负场总积分. 3.学以致用，应用新知 【例1】某校七年级举办足球比赛，前四强积分榜如下： 球队比赛场次胜负积分3班770141班761132班752124班74311
(1)某班的负场总积分可能等于它的胜场总积分的2倍吗？ (2)某班的胜场总积分可能等于它的负场总积分的5倍吗？ 解：(1)由3班的成绩可知，胜一场积分为14÷7＝2(分)， 由1班的成绩可知，负一场积分为(13－6×2)÷1＝1(分). 设某班负x场，则胜(7－x)场. 由题意，得x＝2(7－x)×2，解得x＝5.6. 因为x为整数， 所以某班的负场总积分不可能等于它的胜场总积分的2倍. (2)设某班胜a场，则负(7－a)场， 由题意，得2a＝5(7－a)，解得a＝5. 答：某班的胜场总积分可能等于它的负场总积分的5倍. 4.随堂训练，巩固新知 （1）中超联赛中，甲足球队在联赛30场比赛中除输给乙足球队外，其他场次全部保持不败，取得了67个积分的骄人成绩，已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，设甲足球队一共胜了x场，则可列方程为( ) A.3x＋(29－x)＝67 B．x＋3(29－x)＝67 C.3x＋(30－x)＝67 D．x＋3(30－x)＝67 答案：A （2）一张数学试卷有20道选择题，规定答对一道得5分，不做或做错一道扣1分，结果某学生得了76分，则他做对的题数为______道. 答案：16 （3）爷爷与孙子下12盘棋(未出现和棋)后，得分相同，爷爷赢一盘记1分，孙子赢一盘记3分，两人各赢了多少盘？ 解：设爷爷一共赢了x盘，则孙子赢了(12－x)盘． 由题意，得x＝(12－x)×3. 解得x＝9.则12－9＝3(盘). 答：爷爷赢了9盘，孙子赢了3盘. 5.课堂小结，自我完善 （1）你在本节课的学习中有哪些收获？有哪些进步？ （2）球赛积分表问题中需要注意什么问题？ （3）学习本节课后，还存在哪些困惑？ 6.布置作业 课本P137练习. 展示积分表，学生观察，培养学生的观察、思考能力，读图表的能力．在观察表格中培养学生的观察能力，引导学生用数学的方法去观察、思考问题，激发学生的求知欲．让学生明确总积分是如何得出的，建立数学模型，并找到解决问题的关键. 引导、分析，为解决问题建立数学模型．培养学生观察能力的同时，帮助学生建立数学模型，让学生明白列一元一次方程是解决实际问题的一种方法. 从表格中获取信息，列方程求解. 巩固球赛一类问题的比赛场次的求法，体会数学的乐趣. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计 积分问题 提纲挈领，重点突出.
教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.
5.3 实际问题与一元一次方程
第5课时
课题 方案问题 课型 新授课
教学内容 教材第138-139页的内容
教学目标 1.体验建立方程模型解决问题的一般过程． 2.体会分类思想和方程思想，增强应用意识和应用能力.
教学重难点 教学重点：建立方程模型，解决实际问题. 教学难点：由实际问题抽象出数学模型的探究过程.
教学活动
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 【问题1】下面表格给出的是两款空调的部分基本信息： 匹数能效等级售价/元平均每年耗电量/ (kW h)1.51级3 0006401.53级2 600800
你了解表格中这些数字的含义吗？
【师生活动】教师提问，学生思考、回答．让学生通过简单计算回答相应的费用． 【问题2】你觉得选择哪种能效的空调更省钱呢？
【师生活动】教师提出问题，学生思考回答．根据学生的回答情况，教师适当加以引导：若学生回答3级能效空调更省钱，可发动其他学生通过举例等方式加以质疑；
若学生的回答中出现分类讨论的趋势，则教师加以肯定并进一步引导学生对分类的关键点、分类后各区间中的变化趋势作进一步的探究．
讨论后安排学生再次思考，可适当讨论． 2.类比探究，学习新知 【问题3】通过大家的讨论，你对空调综合费用问题有什么新的认识？
【师生活动】教师提出问题，学生思考回答，根据学生的回答，教师适当加以归纳引导：引导学生思考“你可以确定在什么使用年数上，两款空调的综合费用相等？”，从而引导学生进行分类，引导学生更合理地解决问题． 设空调的使用年数是t,设空调的使用年数是t，则1级能效空调的综合费用（单位：元）是 3 000+0.5×640t， 即3 000+320t. 3级能效空调的综合费用（单位：元）是 2600+0.5×800t， 即2 600+400t. 先来看t取什么值时，两款空调的综合费用相等， 列方程3 000+320t=2 600+400t，解得t=5. 【问题4】为了比较两款空调的综合费用，我们把3级能效空调的综合费用的式子2 600+400t变形为1级能效空调的综合费用与另一个式子的和，即 （3 000+320t）+(80t-400),也就是3 000+320t+80（t-5）. 这样，当t<5时，80(t-5)是负数，这表明3级能效空调的综合费用较低；当t>5时，80(t-5)是正数，这表明1级能效空调的综合费用较低. 【师生活动】由此可见，同样是1.5匹的空调，1级能效空调虽然售价高，但由于比较省电，使用年份长（超过5年）时综合费用反而低.根据相关行业标准，空调的安全使用年限是10年（从生产日期计起），因此购买、使用1级能效空调更划算. 3.学以致用，应用新知 【例1】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如表(注：水费按一个月结算一次)：请根据价目表的内容解答下列问题： 价目表每月用水量(m3)单价(元/m3)不超出26 m3的部分3超出26 m3不超出34 m3的部分4超出34 m3的部分7
(1)填空：若该户居民1月份用水20 m3，则应收水费60元；若该户2月份用水30 m3，则应收水费94元； (2)若该户居民3月份用水a m3(其中a＞34)，则应收水费多少元？(结果用含a的代数式表示) (3)若该户居民4月份的平均水价为3.8元/m3，求该户4月份用水量是多少立方米？ 解：(2)应收水费为3×26＋4×(34－26)＋7(a－34)＝(7a－128)元． (3)设该户4月份用水量是x m3. 当26＜x≤34时， 3×26＋4(x－26)＝3.8x，解得x＝130(不合题意，舍去)． 当x＞34时，7x－128＝3.8x，解得x＝40. 答：该户4月份用水量是40 m3. 【例2】某班将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价40元，乒乓球每盒10元，经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的九折优惠，该班需买球拍6副，乒乓球若干盒(不少于6盒)． (1)当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样？ (2)当购买20盒乒乓球时，你打算去哪家商店购买，为什么？ (3)当购买40盒乒乓球时，你打算去哪家商店购买，为什么？ 解：(1)设购买x盒乒乓球时，两家优惠办法付款一样． 由题意，得40×6＋10(x－6)＝(40×6＋10x)×90%. 解得x＝36. 答：购买36盒乒乓球时，两种优惠办法付款一样． (2)当购买20盒乒乓球时， 甲店需付款：40×6＋10×(20－6)＝380(元)； 乙店需付款：(40×6＋10×20)×0.9＝396(元)． 因为380＜396，所以去甲店购买合算． (3)当购买40盒乒乓球时， 甲店需付款：40×6＋10×(40－6)＝580(元)， 乙店需付款：(40×6＋10×40)×0.9＝576(元)． 因为580＞576，所以去乙店购买合算． 4.随堂训练，巩固新知 （1）某市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费，如果超过60立方米，超过部分按照每立方米1.2元收费，已知12月份某用户的煤气费为平均每立方米0.96元，那么12月份该用户用煤气多少立方米？ 解：设12月份该用户用煤气x立方米． 由题意，得0.8×60＋1.2×(x－60)＝0.96x. 解得x＝100. 答：12月份该用户用煤气100立方米． （2）为庆祝商场正式营业，商场推出了两种购物方案．方案一：非会员购物所有商品价格可获九五折优惠；方案二：交纳300元会费成为该商场会员，则所有商品价格可获九折优惠． ①以x(元)表示商品价格，分别用含有x的式子表示出两种购物方案中支出金额； ②若某人计划在商场购买价格为5 880元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱？ ③哪种情况下，两种方案下支出金额相同？ 解：①方案一：0.95x；方案二：300＋0.9x. ②当x＝5 880时， 方案一：0.95×5 880＝5 586(元)， 方案二：300＋0.9×5 880＝5 592(元)． 因为5 586＜5 592， 所以方案一更省钱． ③由题意，得0.95x＝300＋0.9x，解得x＝6 000. 所以当购买价格为6 000元的商品时，两种方案下支出金额相同． 5.课堂小结，自我完善 请学生回顾空调综合费用问题的探究过程，回答以下问题：
(1）探究解题的过程大致包含哪几个步骤？ (2）空调综合费用问题的核心问题是什么？
(3）在探究过程中用到了哪些方法，你有哪些收获？ 6.布置作业 课本P139练习，P141习题5.3第14题. 通过提问和学生的回答，了解学生对表格信息的理解能力，引导学生对表格信息做初步梳理和简单加工. 学生对空调综合费用问题是有生活基础的，所以也具备一定的认识基础，在给出探究问题之后让学生充分的发言，表达自己对问题的直观认识，这也是学生对问题的第一次认识.在此基础上学生之间通过发表意见，互相借鉴，为对问题的进一步探究进行准备． 学生在参考了其他同学的观点之后再次对问题进行认识，其认识过程与结论已经逐步接近正确而合理的方向，教师在此基础上加以引导和启发，帮助学生确定分类讨论的研究方式，并在总结学生发言的基础上归纳出“分类的关键点”，使学生的学习由“感性认识”逐步过渡到“理性分析”. 这一问是本节课的关键，学生通过分类讨论得到"方程模型"，并利用方程求出关键数据，这可以使学生认识到方程的重要性和应用价值，增强学生对模型的应用意识和应用能力. 进一步巩固所学新知，增强学生对模型的应用意识和应用能力. 在总结了本节课的知识性问题之后，继续引导学生总结本节课的过程与方法，使学生原来模糊的意识、零散的经验得以梳理，从而初步掌握探究同类问题的一般思路.
板书设计 方案问题 提纲挈领，重点突出.
教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.
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