资源简介

1.1 正数和负数
教材分析
本节课内容为正负数的意义，主要介绍了正负数产生的背景及其在生活中的应用，通过温度、海拔、收支等实际情境引出正负数的概念，强调正负数可以表示具有相反意义的量，并指出0既不是正数也不是负数。教学过程可通过具体实例引导学生理解正负数的意义，并结合生活情境进行应用。本节内容与小学阶段学习的自然数、分数、小数相衔接，是后续学习有理数及其运算的基础，也是初中数学由具体数向有理数扩展的起点。本节课的学习有助于学生建立初步的数集扩展意识，提升用数学符号表达现实问题的能力，同时为后续学习有理数的大小比较、运算及实际问题建模奠定基础。
学情分析
七年级学生在小学阶段已经学习了自然数、分数和小数，熟悉非负数的概念和运算，具备基本的数感和实际问题解决能力。进入初中后，学生正处于由具体思维向抽象思维过渡的阶段，对新事物有较强的好奇心和探索欲，但抽象理解能力和符号意识仍需进一步培养。本节课通过生活实例引入正负数的概念，帮助学生理解正负数表示相反意义量的合理性与必要性，使学生能够用正负数描述现实情境中的变化，如温度、盈亏、海拔等，从而拓展数系认知，提升数学建模能力，并为后续有理数运算和代数学习奠定基础。
教学目标
理解正负数的意义，掌握用正数和负数表示具有相反意义的量的方法，通过实际情境提升数学抽象和符号意识，增强对现实问题的数学表达能力。
认识0既不是正数也不是负数，理解正负数在生活中的广泛应用，如温度、海拔、收支等，通过具体例子发展应用意识和数学建模能力。
能结合实例解释正负数的实际意义，并能举出生活中其他用正负数表示的相反意义量的例子，培养观察力与逻辑思维能力，提升数学交流与问题解决能力。
重点难点
重点：
理解正负数的意义，能用正负数表示具有相反意义的量。
难点：
对0既不是正数也不是负数的理解，以及准确识别和运用正负数表示实际问题中的量。
课堂导入
同学们，我们来玩个小游戏。假设老师这里有一个代表起点的点，规定向右走为一种情况，向左走为另一种情况。如果小明向右走了5步，用数字5来表示，那小莉向左走3步，该怎么表示呢？ 其实生活中还有很多这样具有相反意义的情况，比如电梯上升和下降，存钱和取钱。在数学里，为了更准确清晰地表示这类情况，我们就需要引入新的数。今天，我们就一起来学习正负数的意义，看看如何用正负数表示这些相反意义的量。
正负数的意义
探究新知
（一）知识精讲
同学们，让我们从生活中常见的温度说起。观察这张天气预报图：
可以看到，零上3摄氏度记作3℃，而零下3摄氏度则记作-3℃。这里的"-3"就是一个负数。类似地，在商业活动中，盈利50万元记作+50万元，亏损10万元就记作-10万元。这些例子告诉我们，生活中存在着大量具有相反意义的量。
在古代，人们为了满足不同的需求，逐步扩展了对数的认识。如图1.1-1所示：
我国古代为了记数和排序产生了自然数1，2，3...；
古印度为了表示"没有"产生了0；
古埃及为了分物和测量产生了分数，等。
在数学中，我们把大于0的数称为正数，如3，50，7.8%；在正数前面加上"-"号的数称为负数，如-3，-10，-0.7%。有时为了强调相反意义，正数前面也可以加"+"号，如+1800，+3等。特别要注意的是，0既不是正数，也不是负数，它是正负数的分界点。
（二）师生互动
教师提问：同学们，如果某天中午的气温是+5℃，晚上下降了8℃，那么晚上的气温是多少？如何用正负数表示？
学生回答：晚上气温是-3℃，因为5-8=-3。
教师追问：很好！那么如果某公司上个月盈利30万元，这个月亏损25万元，这两个月的盈亏情况如何表示？
学生思考后回答：上个月记作+30万元，这个月记作-25万元。
教师继续引导：非常正确！请大家再思考，为什么说0既不是正数也不是负数？
学生讨论后回答：因为0是正负数的分界点，它既不具有正数的性质，也不具有负数的性质。
（三）设计意图
通过生活中温度、盈亏等实际情境引入正负数的概念，帮助学生建立数学与生活的联系，培养数学应用意识。借助历史发展脉络展示数的扩展过程，让学生理解数学知识的产生源于实际需求。通过师生互动中的层层设问，引导学生深入理解正负数的意义和表示方法，特别是对0的特殊性的认识。这种从具体到抽象的教学方式，有助于学生形成正确的数学概念，培养其观察能力和逻辑思维能力。
新知应用
例1题目：
某校组织学生去劳动实践基地采摘橘子，并称重、封装。一箱橘子的标准质量为2.5 kg。如果用正数表示超过标准质量的克数，那么
(1) 比标准质量多65 g和比标准质量少30 g各怎么表示？
(2) 50 g，-27 g各表示什么意思？
解答：
(1)
我们知道，正数表示超过标准质量的部分，也就是说，如果一箱橘子比标准质量重，我们就用正数来表示它超出的克数。
反之，负数表示低于标准质量的部分，也就是比标准质量轻了多少克。
因此：
比标准质量多65 g，就是超过标准质量65克，用正数表示为：+65 g；
比标准质量少30 g，就是低于标准质量30克，用负数表示为：-30 g。
(2)
我们再来分析给出的两个数值：
50 g：这是一个正数，表示这箱橘子的质量比标准质量多50克；
-27 g：这是一个负数，表示这箱橘子的质量比标准质量少27克。
总结
1. 题目考查内容
① 正负数的实际意义；
② 利用正负数表示具有相反意义的量（如“超过”与“不足”）；
③ 数学语言与生活实际问题之间的转换能力。
2. 题目求解要点
① 明确题干中“用正数表示超过标准质量的克数”，从而确定负数表示的是“不足”的部分；
② 理解正负数在具体情境中的含义，能将数学符号转化为生活语言进行解释；
③ 注意单位统一（题中质量单位为kg，但问题中使用g，需保持一致）。
新知巩固
题目：第1题
解答：
题目中规定“商品涨价为正”，因此涨价记作 。
降价与涨价是具有相反意义的量，因此降价应记作负数。
乙商品降价 ，所以应记作 。
答案：A．
总结：
1. 题目考查内容
本题考查正负数在实际问题中的应用，特别是用正负数表示具有相反意义的量。
2. 题目求解要点
明确题设中“涨价为正”的规定；
理解“降价”与“涨价”是相反意义的量；
将“降价”对应为负数形式。
3. 同类型题目解题步骤
找出题干中规定的正负意义（如“涨为正”、“收入为正”等）；
判断所给量是否与规定意义相同或相反；
相同则用正数表示，相反则用负数表示。
题目：第2题
解答：
题目中规定“零上温度”记作正数，例如 表示零上 。
“零下温度”与“零上温度”是具有相反意义的量，因此应记作负数。
冷冻室温度为零下 ，所以应记作 。
答案：C．
总结：
1. 题目考查内容
本题考查正负数在温度表示中的应用，理解正数表示零上温度、负数表示零下温度。
2. 题目求解要点
明确“零上为正”的规定；
理解“零下”是“零上”的相反意义；
将“零下”温度转化为负数形式。
3. 同类型题目解题步骤
确定题设中正负数的意义（如“零上为正”）；
判断所描述的量是否属于正数范围还是其相反意义；
根据意义选择正数或负数表示。
题目：第3题
解答：
题目中给出乒乓球的直径标准为 ，
即允许的直径范围是：
也就是说，合格的乒乓球直径应在 范围内。
逐个分析选项：
A．：小于 ，不合格
B．：在范围内，合格
C．：在范围内，合格
D．：等于上限，合格
答案：A．
总结：
1. 题目考查内容
本题考查正负数在误差范围中的应用，理解“±”符号的含义，并据此判断数值是否在允许范围内。
2. 题目求解要点
理解“±”表示的是误差范围；
计算出上下限值；
判断每个选项是否落在该区间内。
3. 同类型题目解题步骤
看清题设中给出的标准值和误差范围（如 ）；
计算出最小值 和最大值 ；
检查各选项是否在该区间内；
找出不符合要求的选项。
正负数的实际应用
探究新知
（一）知识精讲
同学们，我们已经知道0以外的数可以分为正数和负数。在实际生活中，正数和负数常常用来表示具有相反意义的量。让我们来看一个具体的例子：海拔高度的表示方法。
如图所示，这是位于山东省青岛市的"中华人民共和国水准零点"标志。在表示海拔高度时，我们以海平面为基准，用0米表示海平面的高度。高于海平面的高度用正数表示，比如世界最高峰珠穆朗玛峰的海拔为8848.86米；低于海平面的高度则用负数表示，比如我国新疆吐鲁番盆地的艾丁湖，其海拔为-154.31米。
再来看两个生活中的例子：
这是地理中的分层设色地形图，图中不同颜色区域的正负数表示该地区相对于海平面的高度。
这是手机中的收支账单，正数表示收入，负数表示支出。
（二）师生互动
教师提问：同学们，除了海拔高度和收支情况，你们还能想到哪些可以用正负数表示相反意义的量的例子呢？
学生回答：温度计上零上温度用正数表示，零下温度用负数表示；电梯楼层中地面以上用正数表示，地下楼层用负数表示。
教师追问：很好！那如果某地今天的温度是-5℃，明天的温度是3℃，温度变化了多少度呢？
学生思考后回答：温度上升了8度，因为从-5到0是上升5度，从0到3又上升3度，总共上升了8度。
（三）设计意图
通过展示实际生活中的具体实例，帮助学生理解正负数表示相反意义的量的概念。利用直观的图片和生活中的常见现象，让学生从具体到抽象地理解数学概念。通过师生互动，引导学生联系生活实际，培养数学应用意识，同时通过温度变化的计算，帮助学生建立数轴概念，为后续学习有理数运算打下基础。
新知应用
例x题目：
图1.1-4是地理中的分层设色地形图，图1.1-5是手机中的部分收支款账单，其中的正数和负数的意义分别是什么？你能再举一些用正数、负数表示具有相反意义的量的例子吗？
解答：
我们先来看图1.1-4：这是一张分层设色地形图。在这类地图中，不同的颜色代表不同的海拔高度。
图中用正数表示高于海平面的海拔高度，例如绿色、黄色、棕色等颜色可能对应不同的正数范围（如+100米、+500米等）。
用负数表示低于海平面的区域，比如深蓝色可能代表-100米以下的区域。
因此，正数和负数在这里分别表示“高于基准面”和“低于基准面”的地形高度。
再来看图1.1-5：这是手机中的一张收支账单截图。
图中用正数表示收入金额，例如“+500元”表示账户增加了500元；
用负数表示支出金额，例如“-200元”表示账户减少了200元。
通过正负数的使用，可以清楚地看出资金的流入与流出情况。
接下来我们再举几个生活中常见的正数和负数表示相反意义的例子：
温度：零上温度用正数表示（如），零下温度用负数表示（如）。
盈利与亏损：盈利用正数表示（如元），亏损用负数表示（如元）。
电梯楼层：地面以上楼层用正数表示（如+5楼），地下楼层用负数表示（如-2楼）。
比赛得分：得分增加用正数表示，扣分则用负数表示。
总结
1.题目考查内容
① 正数和负数在实际生活中的应用；
② 理解正负数表示具有相反意义的量；
③ 数学建模思想的初步认识。
2.题目求解要点
① 结合具体情境理解正负数的实际含义；
② 能够从图表中提取信息并进行数学语言表达；
③ 联系生活实际，举例说明正负数的应用场景。
新知巩固
题目：第1题
解答：
题目规定“商品涨价为正”，那么涨价记作 。降价与涨价是相反意义的量，因此降价应记作负数。乙商品降价了 ，所以应记作：
因此，正确答案是：
总结：
1.题目考查内容
本题考查正负数在实际生活中的应用，特别是用正负数表示具有相反意义的量。
2.题目求解要点
明确题目中规定的正数代表的意义（涨价）；
理解负数表示与正数相反的意义（降价）；
将具体数值转化为对应的正负数形式。
3.同类型题目解题步骤
找出题目中正数所代表的实际意义；
确定与之相反意义的量应表示为负数；
根据数值大小写出对应的正负数表达式。
题目：第2题
解答：
题目中规定“零上温度”记作正数，例如零上 记作 。
那么“零下温度”就是与“零上”相反的意义，应记作负数。
背阴坡气温为零下 ，即记作：
因此，正确答案是：
总结：
1.题目考查内容
本题考查正负数在温度表示中的应用。
2.题目求解要点
理解“零上”和“零下”是相反意义的量；
掌握正数表示零上温度，负数表示零下温度；
正确写出对应温度的正负数形式。
3.同类型题目解题步骤
明确哪一种情况被规定为正数；
判断与之相反的情况应表示为负数；
根据数值写出对应的正负数。
题目：第3题
解答：
题目给出小颖某天微信账单的收支明细如下：
转账——来自小明： 元（收入）
微信红包——发给小红： 元（支出）
计算当天的最终收支结果：
即小颖当天微信收支的最终结果是收入6元，应表示为：
因此，正确答案是：
总结：
1.题目考查内容
本题考查正负数在日常收支中的应用，以及简单的加法运算。
2.题目求解要点
收入用正数表示，支出用负数表示；
对多个正负数进行加法运算；
根据运算结果判断最终收支状态并用正负数表示。
3.同类型题目解题步骤
分析每项收支的正负意义；
列出所有收支数据；
进行加法运算得出结果；
根据结果判断是收入还是支出，并用正负数表示。
板书设计
正负数的意义
├─数的产生
│ ├─记数、排序：1，2，3，...
│ ├─表示“没有”“空位”：0
│ └─分物、测量：，，...
├─正负数概念
│ ├─正数：大于0的数，如3，50，7.8%
│ ├─负数：正数前加“-”，如 -3，-10，-0.7%
│ └─0：既不是正数，也不是负数
├─正负数表示相反意义的量
│ ├─温度：零上（+）、零下（-）
│ ├─盈利亏损：盈利（+）、亏损（-）
│ ├─增长减少：增长（+）、减少（-）
│ └─海拔高度：高于海平面（+）、低于海平面（-）
└─正负数实际应用
├─分层设色地形图
└─收支款账单
教学反思
本节课围绕正负数的意义展开，通过生活实例引导学生理解正负数如何表示相反意义的量，并结合地理、财务等实际情境加深认识。教学目标明确，内容贴近学生生活，课堂活动设计合理，学生参与度较高，基本达成了教学目标。成功之处在于通过问题引导和讨论激发了学生的思维，增强了数学与实际的联系；但在负数符号的理解及正负数分类的严谨性上部分学生仍存在模糊认识，今后需加强符号语言的训练，并通过更多具体例子帮助学生内化概念。

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