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2026年中考数学专题复习：概率 讲义
概率（知识精炼）
重难讲解
1.确定性事件与随机事件
事件类型 定义 举例
确定性事件 必然事件 在一定条件下，必然会发生的事件，称为必然事件. 在一个只装有红球的袋中摸球，摸出红球.
不可能事件 在一定条件下，必然不会发生的事件，称为不可能事件. 在一个只装有红球的袋中摸球，摸出白球.
随机事件 （不确定性事件） 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件. 在一个装有红球和白球的袋中摸球，摸出红球.
【注意】一般地，判断事件的类型是在一定条件下进行的，不同的条件可能会导致不同的事件归类，如标准大气压下，水加热到100℃沸腾是必然事件，但当气压高于标准大气压时，水的沸点提高，水加热到100℃沸腾就不是必然事件了.
2.用直接列举法（枚举法）求概率
当事件涉及的对象比较单一且出现的等可能结果数目较少时，就可以直接列举出所有等可能的结果，再利用概率公式（在一次试验中，有种等可能的结果，事件包含其中的种结果）求事件发生的概率.
【注意】
（1）直接列举试验结果时，要有一定的顺序性，保证结果不重不漏.
（2）用列举法求概率的前提有两个：①所有可能出现的结果是有限个；②每个结果出现的可能性相等.
（3）所求概率是一个准确数，一般用分数表示.
3.用频率估计概率：从长期实践中，人们观察到对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件发生的概率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性.因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率.
适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般通过事件发生的频率来估计其概率.
计算方法：一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定于某个常数，那么估计事件发生的概率.
【注意】用频率估计概率时，必须做足够多的试验才能使频率趋于稳定，并且每次试验必须在相同条件下进行，试验次数越多，得到的频率值就越接近概率，规律就越明显，此时可以用频率的稳定值估计事件发生的概率.
4.频率与概率的区别与联系
频率 概率
区别 试验值或使用时的统计值 理论值
与试验次数的变化有关 与试验次数的变化无关
与试验人、试验时间、试验地点有关 与试验人、试验时间、试验地点无关
联系 试验次数越多，频率越趋向于概率
延伸拓展
1.确定性事件在事件发生前是可以预知结果的，即事件的发生或不发生具有必然性；随机事件在事件发生前是不能预知结果的，也称为“偶然性事件”.
2.一般地，描述真理或客观存在的事实的事件是必然事件；描述违背真理或客观存在的事实的事件是不可能事件.
解题方法
1.解概率意义的理解问题
一般地，对于一个随机事件，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件发生的概率.一个概率很大的事件在某一次试验中不一定会发生，一个概率很小的事件在某一次试验中不一定不会发生.
【方法总结】
如果用表示一个事件（记作）发生的概率，那么.特别地，当为必然事件时，；当为不可能事件时，；当为随机事件时，.无论一个随机事件发生的概率有多大（如99%），也不能说明改时间一定会发生.
2.解简单随机事件发生的概率问题
一般来说，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率，当无法用个数量化时，可用求事件的概率.求简单随机事件发生的概率一般利用概率公式直接计算.
3.用列举法求概率的问题
画树状图或列表是列举所有机会均等的结果的重要方法，通过画树状图或列表，把所有机会均等的结果一一列出，有利于帮助我们分析问题，并且可以避免出现重复和遗漏.
【解法通法】用列表法求概率
当试验含有两个因素，且可能出现的结果比较多时，用直接列举法易出错，为了不重不漏地列出所有可能的结果，用列表法较好.用列表法求概率的步骤：（1）列表，即通过表格计数，确定所有等可能的结果数和关注的结果数；（2）利用概率公式计算出时间的概率.
列表时，将第一张可能出现的结果作为横行（竖列），第二张可能出现的结果作为竖列（横行），注意排除不符合题意的情况.
【解法通法】用画树状图法求概率
当试验有三步时，适合采用画树状图的方法列举出所有可能的结果，用画树状图求概率的步骤：（1）将第一步可能出现的种等可能的结果写在第一层；（2）若第二步有种等可能的结果，则在第一层的每个结果下画出个分支，将这种结果写在第二层，依次类推，画出第三层；（3）根据树状图求出所关注事件包含的结果数及等可能的结果数，再利用概率公式求解.
4.用频率估计概率的问题
频率是试验值，具有随机性，是不确定的，因此，只能近似地反映事件出现可能性的大小；概率是理论值，是由事件的本质所决定的，是确定的，可求的，它能精确地反映事件出现可能性的大小.
【技巧点拨】用频率估计概率的方法
对于一个随机事件，当试验的所有可能的结果不是有限个，或各种可能发生的结果的可能性不相等时，可以使用大量重复试验得出的频率来估计事件发生的概率.求出每次试验结果的频率，所有表示频率的数据的集中趋势指向的那个数值近似于事件发生的概率.
【技巧点拨】用频率估计概率确定试验对象个数的方法
利用频率估计概率求试验对象的个数时，通常先设出所求的个数，然后利用频率与概率的关系，结合概率公式列方程求解.
5.判断游戏是否公平的问题
判断游戏是否公平，就是判断游戏双方获胜的概率是否相等.若相等，则游戏就是公平的；否则，游戏就是不公平的.另外，不公平游戏规则的修改，即修改游戏规则使双方获胜的概率相等.
概率（综合测试）
【满分：120】
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列事件中，属于必然事件的是( )
A.明天下雨
B.篮球队员在罚球线投篮一次，未投中
C.掷一枚硬币，正面朝上
D.任意画一个三角形，其内角和是180°
2.2025年3月是全国第62个学习雷锋月，为进一步学习弘扬雷锋精神，学校开展一系列“学雷锋”活动.某班级为响应学校号召，计划从“护绿植绿”、“志愿服务”、“公益环保”、“文化宣讲”4项活动中随机选取2项进行实践，则恰好选中“护绿植绿”和“文化宣讲”的概率是( )
A. B. C. D.
3.下列说法正确的是( )
A.一枚质地均匀的硬币,任意掷一次,正、反两面朝上的可能性相同
B.任意买一张电影票,座位号一定是偶数
C.篮球运动员在三分线罚球,球一定被投入篮球框
D.掷一枚质地均匀的骰子,朝上的点数一定大于3
4.下列事件中,属于随机事件的是( )
A.太阳从东方升起
B.抛一枚硬币,正面朝上
C.用长度分别是,,的细木条首尾顺次相连,可组成一个三角形
D.通常情况下,温度降到以下,纯净的水会结冰
5.斗兽棋是一种传统棋类，双方各有八枚棋子，从大到小的顺序为象、狮、虎、豹、狼、狗、猫、鼠，较大的战胜较小的.在一次对局中，甲手中还剩有的棋子为狮、虎、狼、猫，乙手中还剩有的棋子为象、豹、狗、鼠，若双方将手中棋子的背面向上，随机从自己的棋子中抽取一个进行比较，则甲获胜的概率为( )
A. B. C. D.
6.中国邮政于2022年12月25日发行《中国空间站》纪念邮票一套4张（除正面内容不同外，其余均相 同），如图所示，邮票表现内容分别为：①天地往返；②空间科学；③出舱活动；④太空家园.集邮爱好 者小明收集了这四张纪念邮票，现将这四张邮票背面朝上，洗匀放好，小明从中随机抽取两张邮票，则他抽到的恰好是“②空间科学”和“④太空家园”的概率为( )
A. B. C. D.
7.“过新年，挂新灯，家家户户乐融融”，挂灯笼是我国各地新年的一个传统习俗.如图，欣欣从三个灯笼中随机选择两个挂在门口，则选择A和C两个灯笼的概率为( )
A. B. C. D.
8.斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”.如图，矩形是以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分.在矩形内任取一点，该点取自阴影部分的概率为( )
A. B. C. D.
9.如图，有一个电路中有五个开关，已知电路及其他元件都能正常工作，现任意闭合两个开关，使得小灯泡能正常工作的概率为( )

A. B. C. D.
10.语文课上，同学们以“并州犹是诗故乡——唐代山西诗人群像”为主题展开研习活动.小彬和小颖计划从王维、柳宗元、白居易、王勃四位唐代山西诗人中任选一位撰写研习报告，则他们恰好选择的是同一位诗人的概率是( )
A. B. C. D.
11.已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是( )
A.连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
B.连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上
C.大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上50次
D.通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
12.父母打算带兄妹两人去某个景点旅游，哥哥坚持去黄山，妹妹坚持去泰山，争执不下，父母为了公平起见，决定设计一个游戏，若哥哥赢了就去黄山，妹妹赢了就去泰山.下列游戏中，不能选用的是( )
A.掷一枚硬币，正面向上哥哥赢，反面向上妹妹赢
B.同时掷两枚硬币，两枚都正面向上哥哥赢，一正一反向上妹妹赢
C.掷一枚骰子，向上的一面是奇数则哥哥赢，反之妹妹赢
D.在不透明的袋子中装有2黑2红4个球，除颜色外，其余均相同，随机摸出一个是黑球则哥哥赢，是红球则妹妹赢
二、填空题（每小题3分，共15分）
13.如图是一个可以自由转动的转盘,转盘被等分成四个扇形,转动转盘,当转盘停止时,指针落在红色区域的概率为______.
14.某校在劳动课上，设置了植树、种花、除草三个劳动项目.九年一班和九年二班都通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一个项目，则这两个班级恰好都抽到种花的概率是_________.
15.通常情况下,紫色石蕊试液遇酸性溶液变红色,遇碱性溶液变蓝色,李老师让学生用紫色石蕊试液检测五瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性.这五种溶液分别是：盐酸(呈酸性),氢氧化钠溶液(呈碱性),氢氧化钙溶液(呈碱性),稀硫酸(呈酸性),白醋(呈酸性).小伟同学随机任选一瓶溶液,将紫色石蕊试液滴入其中进行检测,则溶液变红色的概率为______.
16.不透明的口袋中装有3个红球、2个黄球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同.课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在，则n的值最可能是_______个.
17.有四个分别标有的小球，它们除数字不同外其余都相同，现将它们放入一不透明的口袋中，摇匀后从中抽取两个，将球上的数字记为a和，则的概率是_________.
三、解答题（本大题共6小题，共计57分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
18.（6分）小明和小亮设计了如下游戏方案：如图，一个被等分成了3个相同扇形的圆形转盘，3个扇形分别标有数字1，3，6，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停止在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘）.分别转动转盘两次，转盘自由停止后，若指针所指扇形的数字之和大于7，则小明获胜；若数字之和小于7，则小亮获胜.用树状图或表格法表示游戏所有可能出现的结果，这个游戏对双方公平吗？请说明理由.
19.（8分）在一只不透明的口袋里,装有若干个除了颜色外均相同的小球,某数学学习小组做摸球试验,将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回袋中,不断重复.下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601
摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601
(1)上表中的________,________；
(2)“摸到白球的”的概率的估计值是________(精确到0.1)；
(3)如果袋中有18个白球,那么袋中除了白球外,还有多少个其它颜色的球？
20.（8分）字谜是一种文字游戏，也是汉字特有的一种语言文化现象.现有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，依次记作A、B、C、D（如图），将这四张卡片背面朝上洗匀.小虎和小麦两人玩猜字谜游戏，规则为：小虎先从四张卡片中随机抽取一张并猜卡片上字谜的谜底，卡片不放回，然后，小麦再从剩下的三张卡片中随机抽取一张并猜卡片上字谜的谜底.
(1)小虎抽出A卡片的概率是_______；
(2)若小虎能猜出A、D卡片上的谜底，猜不出B、C卡片上的谜底；小麦能猜出A、B、C卡片上的谜底，猜不出D卡片上的谜底.请用画树状图或列表法求小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底的概率.
21.（10分）在一个不透明的盒子里装有只有色不同的黑、白两种球共20个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图.

(1)请估计：当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近________；
(2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？
(3)在(2)条件下，如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？
22.（12分）某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了m名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，按时间分为如下5组：A组；B组；C组；D组；E组，并绘制了以下不完整的频数分布直方图和扇形统计图.根据题中已有信息，解答下列问题：
(1)求m的值，并补全频数分布直方图；
(2)若该校学生有500人，试估计劳动时间在范围的学生人数；
(3)劳动时间在范围的4名学生中有2名男生，2名女生，学校准备从中任意抽取2名学生交流劳动感受.请用画树状图或列表的方法，求抽取2名学生恰好是一名男生一名女生的概率.
23.（13分）某校为增强学生对国防知识的了解,激发青少年的崇军爱国之志,在八、九年级开展国防知识竞赛,两年级随机各抽取5名同学参赛选手的成绩统计如图所示,根据统计图所给信息解答下列问题：
参赛选手成绩数据分析表
年级 平均分 中位数 众数
八年级 85 m 85
九年级 85 90 n
(1)统计表中______,______.
(2)根据统计数据分析本次竞赛,八,九年级中哪个年级成绩更好？说明理由.
(3)赛后,学校决定八、九年级竞赛成绩分列年级前两名的同学与校长合影,校长坐最中间,其余四名同学随机就座,座位号分别记为1,2,3,4(如图所示).请用画树状图或列表的方法,求八年级两名同学均与校长相邻的概率.
答案以及解析
1.答案：D
解析：A、明天下雨是随机事件，故不符合题意；
B、篮球队员在罚球线投篮一次，未投中是随机事件，故不符合题意；
C、掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，故不符合题意；
D、任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件，故符合题意；
故选：D.
2.答案：A
解析：根据题意共有6种等可能的情况：护绿植绿，志愿服务；护绿植绿，公益环保；护绿植绿，文化宣讲；志愿服务，公益环保；志愿服务，文化宣讲；公益环保，文化宣讲；恰好选中护绿植绿和文化宣讲的有1种情况，
恰好选中“护绿植绿”和“文化宣讲”的概率是，
故选：A.
3.答案：A
解析：A、一枚质地均匀的硬币,任意掷一次,正、反两面朝上的可能性相同,故此选项符合题意；
B、任意买一张电影票,座位号是偶数,也可能奇数,故此选项不符合题意；
C、篮球运动员在三分线罚球,球不一定被投入篮球框,故此选项不符合题意；
D、掷一枚质地均匀的骰子,朝上的点数不一定大于3,故此选项不符合题意；
故选：A.
4.答案：B
解析：A.太阳从东方升起,此事件是必然发生的,即必然事件,不符合题意；
B.抛一枚硬币,正面朝上,是随机事件,符合题意；
C.用长度分别是,,的细木条首尾顺次相连,可组成一个三角形,是不可能事件,不符合题意；
D.通常情况下,温度降到以下,纯净的水会结冰,是必然事件,不符合题意.
故选：B.
5.答案：D
解析：画树状图如下：
共有种等可能出现的结果，其中甲获胜的结果有种，
∴甲获胜的概率为，
故选：D.
6.答案：B
解析：列表如下，
共有12种等可能的情况，其中抽到的恰好是“②空间科学”和“④太空家园”的情况有2种，
抽到的恰好是“②空间科学”和“④太空家园”的概率为，
故选：B.
7.答案：B
解析：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中选择A和C两个灯笼的结果有两种，
选择A和C两个灯笼的概率为，
故选：B.
8.答案：B
解析：设最大正方形的边长为a，则正方形的面积，其内部扇形的面积，
其面积之比为，
其它以下图形的面积之比同理可得也是，
由几何概型的概率求解公式可得，矩形内任取一点，该点取自阴影部分的概率为.
故选：B.
9.答案：C
解析：根据题意，任意闭合两个开关的可能有，，，，，，，，，，共有10种可能，
使得小灯泡正常工作的可能有，，，，，，共有6种可能，
故任意闭合两个开关，使得小灯泡能正常工作的概率为，即.
故选：C.
10.答案：A
解析：王维、柳宗元、白居易、王勃四位唐代山西诗人分别用A、B、C、D表示，列表如下：
小明小颖 A B C D
由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中他们选择的诗人相同的结果数有4种，
∴他们选择的诗人相同的概率为，
故选：A.
11.答案：A
解析：A.连续抛一均匀硬币2次必有1次正面朝上，不正确，有可能两次都正面朝上，也可能都反面朝上，故此选项错误；
B.连续抛一均匀硬币10次都可能正面朝上，是一个有机事件，有可能发生，故此选项正确；
C.大量反复抛一均匀硬币，平均100次出现正面朝上50次，也有可能发生，故此选项正确；
D.通过抛一均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，概率均为，故此选项正确.
故选A.
12.答案：B
解析：A选项，掷一枚硬币，正面向上的概率为，反面向上的概率为，概率相等；B选项，掷两枚硬币，有4种等可能情况，分别为（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），所以两枚都正面向上的概率为，一正一反向上的概率为，概率不相等；C选项，掷一枚骰子，向上的一面是奇数的概率为，是偶数的概率为，概率相等；D选项，随机摸出一个是黑球的概率为，是红球的概率为，概率相等.
13.答案：
解析：根据题意,一共有4种等可能性,其中红色的等可能性只有1种,
故当转盘停止时,指针落在红色区域的概率为.
故答案为：.
14.答案：
解析：把植树、种花、除草三个劳动项目分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中九年一班和九年二班恰好都抽到种花的结果有1种，
这两个班级恰好都抽到种花的概率是，
故答案为：.
15.答案：
解析：∵将紫色石蕊试液滴入盐酸(呈酸性),稀硫酸(呈酸性),白醋(呈酸性)中,溶液变红色,
∴溶液变红色的概率.
故答案为：.
16.答案：
解析：由大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在0.5，可得摸到蓝球的概率为0.5，
解得，
经检验，是原方程的解，
因此n的值最可能是5.
故答案为：5.
17.答案：
解析：根据题意，作出列表如下，
0 3
0
3
由列表可知，共有12种等可能的结果，其中两数相乘结果小于等于0的结果有10种，
所以，的概率是.
故答案为：.
18.答案：这个游戏对双方不公平，理由见详解
解析：这个游戏对双方不公平，理由如下：
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中指针所指区域的数字之和大于7的结果有3种，数字之和小于7的结果有4种，
∴小明获胜的概率，小亮获胜的概率，
∵，
∴这个游戏对双方不公平.
19.答案：(1)0.59,116
(2)0.6
(3)除白球外,还有大约12个其它颜色的小球
解析：(1),.
故答案为：0.59,116；
(2)“摸到白球的”的概率的估计值是0.6；
故答案为：0.6；
(3)(个).
答：除白球外,还有大约12个其它颜色的小球.
20.答案：(1)
(2)
解析：∵共有4张卡片，
∴小虎抽出A卡片的概率是，
故答案为：；
(2)解析：根据题意画树状图如下：
由图可知，小虎和小麦抽取的结果有12种，其中小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底有5种，
∴小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底的概率为.
21.答案：(1)
(2)白球有10个，黑球有10个
(3)5个
解析：由折线统计图可知：当摸球次数很大时，摸到白球的频率稳定在0.50左右，
故答案为：0.50；
(2)（个），
（个），
答：白球有10个，黑球有10个；
(3)解析：设再放x个白球，
，
，
，
，
，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
答：再放入5个白球.
22.答案：(1)，并补全频数分布直方图见解析
(2)估计劳动时间在范围的学生人数约180人
(3)
解析：由题意得，，
∴D组的人数为（人）.
补全频数分布直方图如图所示.
(2)解析：（人）.
∴估计劳动时间在范围的学生人数约180人.
(3)解析：列表如下：
男 男 女 女
男 （男，男） （男，女） （男，女）
男 （男，男） （男，女） （男，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女）
共有12种等可能的结果，其中抽取2名学生恰好是一名男生一名女生的结果有8种，
∴抽取2名学生恰好是一名男生一名女生的概率为.
23.答案：(1)85,90
(2)九年级成绩更好,理由见解析
(3)
解析：(1)将八年级5名参赛选手的成绩按照从小到大的顺序排列,排在第3名的成绩为85,
八年级参赛选手成绩的中位数.
由统计图可知,九年级参赛选手成绩的众数.
故答案为：85；90.
(2)九年级成绩更好.
理由：八年级和九年级的平均分相同,但九年级成绩的中位数大于八年级成绩的中位数,九年级成绩的众数大于八年级成绩的众数,
所以九年级成绩更好.
(3)八年级两名同学的所有等可能的就座情况列表如下：
1 2 3 4
1
2
3
4
共有12种等可能的结果,其中八年级两名同学均与校长相邻的结果有：,,共2种,
八年级两名同学均与校长相邻的概率为.

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