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2026年中考数学专题复习：正方形 讲义
正方形（知识精炼）
重难讲解
1.正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质.
元素 性质
边 对边平行，四条边都相等
角 四个角都是直角
对角线 两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
对称性 是轴对称图形，有四条对称轴
【辨析】平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对比
类型 平行四边形 矩形 菱形 正方形
边 共性 对边平行且相等
特性 四条边都相等
角 共性 对角相等且邻角互补
特性 四个角都是直角 四个角都是直角
对角线 共性 对角线互相平分
特性 对角线相等 对角线互相垂直 对角线相等且互相垂直
对称性 特性 轴对称图形
2条对称轴 2条对称轴 4条对称轴
2.正方形的判定
1.先证明是矩形，再从矩形出发：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）对角线互相垂直的矩形是正方形.
2.先证明是菱形，再从菱形出发：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形.
延伸拓展
中点四边形
依次连接任意一个四边形的中点所得的四边形叫做中点四边形.
各四边形的中点四边形如下：
类别 对角线特征 中点四边形
任意四边形 —— 平行四边形
平行四边形 互相平分 平行四边形
菱形 互相垂直平分 矩形
矩形 相等且互相平分 菱形
正方形 相等且互相垂直平分 正方形
中点四边形的形状仅与原四边形的对角线有关，即对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形.
解题方法
1.正方形性质的应用问题
正方形既是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形、菱形，因此正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.
掌握正方形性质的特殊性，对求与正方形有关角的度数及线段的长度问题非常有用，如正方形对角线与边的夹角为；正方形的一条对角线把正方形分成两个完全相同的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成4个完全相同的等腰直角三角形.
2.正方形的判定问题
判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等；或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角；还可以先判定四边形是平行四边形，再判定这个平行四边形有一个角为直角和一组邻边相等.
正方形（综合测试）
【满分：120】
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A.对角线互相垂直 B.对角线互相平分
C.对角线相等 D.四个角都是直角
2.如图,已知线段,按下列步骤作图：分别以A、B为圆心,大于长为半径画弧,两弧相交于点M、N,作直线,交于点O,分别连接、、、,如果四边形是正方形,需要添加的条件是( )
A. B. C. D.平分
3.下列说法正确的是( )
A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
4.如图，正方形中，，点P为线段上一点，且，点K为上的任意一点，则的最小值为( )
A.5 B. C.7 D.4
5.小明用四根长度相等的木条制作了角度能够调整的菱形学具.他先将学具调整为图(1)所示的菱形,其中,然后调整为图(2)所示的正方形,此时对角线,则图(1)中菱形的对角线的长为( )
A.6 B.8 C. D.
6.把边长为5的正方形绕点A顺时针旋转得到正方形,边与交于点O,则四边形的周长是( )
A. B.10 C. D.
7.如图,在正方形中,点E,F分别是,上的点,,相交于点M.点N是的中点,若,,则的长为( )
A. B. C.2 D.
8.如图，在正方形ABCD中，分别以点A和点B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和点F，作直线EF，再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧交直线EF于点G（点G在正方形ABCD的内部），连接DG并延长交BC于点K.若，则正方形ABCD的边长为( )
A. B. C. D.
9.如图,在正方形中,,延长至E,使.连接,平分交于点F,则的长为( )
A. B. C.1 D.
10.如图,E,F分别是正方形的边,上的点,将正方形纸片沿折叠,使得点B的对应点恰好落在边上,要想知道正方形的边长,只需知道( )
A.的长度 B.的周长
C.的周长 D.的面积
11.在正方形中，E、G分别为边、上两点，连接、，，延长交的延长线于点F，若，则的值为( )
A. B. C. D.
12.如图，正方形的边长为4，点分别在边上，且平分，连接，分别交于点是线段上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接.有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④.其中正确的是( )
A.①② B.②③④ C.①③ D.①③④
二、填空题（每小题3分，共15分）
13.正方形ABCD的边长为4,点P在DC边上,且,点Q是AC上一动点,则的最小值为______.
14.如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上.将沿折叠，点C落在点F处.若点F的坐标为，则点B的坐标为___.
15.如图,在正方形中,P,Q分别是边和对角线上的动点,且,当的最小值为时,则正方形的边长为______.
16.如图,直线l经过正方形的中心O,分别与和相交于点E和点F,交的延长线于点G,正方形的面积是16,若,则的面积为______.
17.如图，正方形的边长为8，E是平面上一动点，且，连接，将绕点E顺时针旋转得到，M为边上的点，且，则线段长的最小值是_______.
三、解答题（本大题共6小题，共计57分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
18.（6分）如图,在中,,平分交于点P,过点P作于点M,于点N,求证：四边形为正方形.
19.（8分）如图，在正方形中，对角线与相交于点O.
(1)在上求作点E，使得点E到，的距离相等；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在(1)的条件下，若，求点到的距离.
20.（8分）如图,点E为正方形外一点,,将绕A点逆时针方向旋转得到,的延长线交于H点.
(1)试判定四边形的形状,并说明理由；
(2)已知,,求的长.
21.（10分）如图，在中，，是边上的中线，以，为边作平行四边形，连接，分别与，相交于点E，G.
(1)当满足什么条件时，四边形为正方形，并说明理由.
(2)在(1)条件下，若，求的长.
22.（12分）如图，在正方形中，点E是的中点，连结，，过点C作的垂线交，于点G，F.
(1)求证：F是的中点；
(2)求的值；
(3)求与的面积比.
23.（13分）如图,在正方形中,点E在边上(不与点A,B重合),于点O,交于点F,点G在上,,的平分线交于点M,连接并延长与的延长线交于点N.
(1)求证：；
(2)点E在边上运动时,探究的大小是否发生变化？若不变,求出的度数；若变化,说明理由；
(3)若,当点E运动到中点时,求的长.
答案以及解析
1.答案：A
解析：矩形具有的性质为对角线互相平分,对角线相等,四个角都是直角,
正方形具有的性质为对角线互相平分且垂直,对角线相等,四个角都是直角,
故选：A.
2.答案：A
解析：由作法得,
∴四边形为菱形,
∴当时,即时,四边形为正方形.
故选：A.
3.答案：D
解析：A、对角线相等的平行四边形是矩形,原说法错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形,原说法错误；
C、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形,原说法错误；
D、对角线互相垂直的矩形是正方形,原说法正确；
故选：D
4.答案：A
解析：如图，作点P关于的对称点，连接，
则的长即为的最小值，
，
，
，
则的最小值为5，
故选：A
5.答案：C
解析：如图1中,连接,,交点为O,
在图2中,∵四边形是正方形,
∴,,
∵,,
∴,
在图1中,∵,,
∴是等边三角形,
∴
∵菱形,
∴,,,
∴,
∴,
故选：C.
6.答案：A
解析：连接,
四边形是正方形,
,
旋转角,,
,
在对角线上,
,
在中,,
,
在等腰中,,
在中,,
,
四边形的周长是：,
故选：A.
7.答案：B
解析：∵,,
∴正方形的边长为3,
在中,由勾股定理得,
∵,,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵点N是的中点,即为斜边上的中线,
∴,
故选：B.
8.答案：D
解析：方法一：设正方形ABCD的边长为m.如图，连接AG，BG，由作图可知EF垂直平分线段，.又，是等边三角形，，，.易知GH是的中位线，，，解得，即正方形ABCD的边长为.
方法二：如图，连接AG，设EF交AB于点H，正方形ABCD的边长为2x，由作图知，垂直平分，，，.易知，，.，，，，.
9.答案：A
解析：过点F作于点M,作于点N,如图所示。
四边形为正方形,,
,
,
,,,
四边形为矩形。
平分,,,,
.
四边形为正方形.
,
设,则,
,
,
,
,
,
,即,
解得:,
,
在中,由勾股定理得
,
故选:A.
10.答案：C
解析：连接,,过点B作于点K,则,
∵四边形是正方形,
∴,,
由翻折得,,,
∴,
∵,,
∴,
∵,,
∴,
∴,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴的周长为：,
即的周长为正方形边长的2倍,故只需要知道的周长,即可知道正方形的边长,故C符合题意；
对于A、B、D选项条件不足,不能证明,
故选：C.
11.答案：C
解析：连接，，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，，
∴，
∵，
∴A、E、C、F四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
故选：C.
12.答案：D
解析：∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，
故①正确；
连接交于点O,Q，
∵正方形，且,
∴，
∵垂直平分，
∴点M，点G关于直线对称，
故的最小值是点P与点Q重合时，取得，且为,
故的最小值是，
故②错误；
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故③ 正确；
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
故④正确.
故选D.
13.答案：5
解析：如图,连接BP,
由正方形ABCD的性质可知点B和点D关于直线AC对称,
∴,
则BP就是的最小值,
∵正方形ABCD的边长是4,,
∴,
∴,
∴的最小值是5.
故答案为5.
14.答案：
解析：设正方形的边长为a，
∴，
∵折叠，
∴，
∵点A的坐标为，点F的坐标为，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴
∴点B的坐标为，
故答案为：.
15.答案：2
解析：设正方形的边长为a,
在正方形中,,,,
则,
延长至点E,使得,连接,,
在与中,
,
∴,
∴,
∴,当点Q在上时,取得最小值,
∵的最小值为,即：,
在中,,即,
解得：(负值舍去),
故答案为：2.
16.答案：1
解析：如图：连接,
∵正方形的中心O,面积是16,
∴,,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴
∵,
∴,
∴,即,解得：,
∴的面积为.
故答案为：1.
17.答案：
解析：连接，如图：
∵四边形是正方形，
，，
，
∵绕点E顺时针旋转得到，
，
，
∴，
，
∴，
∵，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，，
，
，
∴点F落在上时，最小，最小值为，
故答案为：.
18.答案：详见解析
解析：∵平分交于点P,
∴,
∵过点P作于点M,于点N,
∴,
∵,
∴四边形为矩形,
∴,
∴,
∴,
∴四边形为正方形.
19.答案：(1)见解析
(2)
解析：如图所示，点E就是所求的点.
(2)解析：与是正方形的对角线，
，，.
过点E作于点F.
由(1)得，
.
由勾股定理，得，
.
.
设，则.
由勾股定理，得，
∴.
解得：（舍去）.
点E到的距离为.
20.答案：(1)正方形,理由见解析
(2)17
解析：(1)四边形是正方形,理由如下：
根据旋转：,,,
∵四边形是正方形
∴
∴
∴
∴四边形是矩形,
又∵
∴矩形是正方形.
(2)连接
∵,
在中,
∵四边形是正方形
∴
在中,,又,
∴.
故答案是17.
21.答案：(1)当满足时，四边形为正方形，理由见解析
(2)
解析：(1)当满足时，四边形为正方形，理由如下：
∵，，是边上的中线，
∴，
∵四边形是平行四边形，且，
∴平行四边形是菱形，
∵，
∴四边形为正方形；
(2)由(1)得，，
∵，，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
在和中，
，
∴()，
∴，，
∴.
22.答案：(1)见解析
(2)
(3)6∶1
解析：(1) 四边形是正方形，
，，
于点G，交于点F，
，
，
在和中，
，
，
点E是的中点，
，
是的中点.
(2)解析：设正方形的边长为，则，
，
，
，
，，
∴，，
，
，
的值为.
(3)解析： 由(2)得，，，，
，
，
，
，
，
与的面积比为6∶1.
23.答案：(1)证明见解答过程
(2)的大小不会变化,
(3)
解析：(1)证明：四边形是正方形,
,,
,
,
,
,
,
；
(2)的大小不会变化,理由如下：
过点D作,与的延长线交于点K,连接,如图：
,
,
又,
,
平分,
,
,
,
,
又,
,
,,
,
,
,
,
,
又,
,
,
平分,
；
(3)连接,如图：
为中点,
,
,,
,
,
四边形是正方形,
是等腰直角三角形,
,
由(2)知,为定值,且,
是等腰直角三角形,
,
,
,
,
,
,
,即,
.

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