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2026年中考数学专题复习：菱形 讲义
菱形（知识精炼）
重难讲解
1.菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质，总结见下表.
性质 数学语言 图形
边 菱形的四条边都相等 四边形是菱形， .
对角线 菱形的两条对角巷互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 四边形是菱形， ,
对称性 菱形是轴对称图形，有两条对称轴
2.菱形的判定
判定方法 数学语言 图示
边 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）. 在中， 是菱形.
四条边相等的四边形是菱形. 在四边形中， 四边形是菱形.
对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 在中， 是菱形.
延伸拓展
1.菱形的两条对称轴分别是两条对角线所在直线.
2.菱形的两条对角线互相垂直，且把菱形分成四个全等的直角三角形.把菱形的性质与勾股定理相联系，可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于两条对角线一半的平方和.
3.如果菱形的一个内角为60°，那么菱形的两条边与较短的对角线构成的三角形为等边三角形.
4.菱形的面积
公式由来 文字语言 数学语言 图示
菱形的面积公式 菱形是平行四边形. 菱形的面积=底×高.
菱形的对角线互相垂直 菱形的面积=对角线长的乘积的一半
对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半.
解题方法
1.菱形性质的应用问题
菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有下列性质：
（1）菱形的四条边都相等；
（2）菱形的两条对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角；
（3）菱形的两条对称轴分别是两条对角线所在的直线；
（4）菱形的两条对角线互相垂直，且把菱形分成四个全等的直角三角形.把菱形的性质与勾股定理相联系，可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于两条对角线一半的平方和；
（5）如果菱形的一个内角为，那么菱形的两条边与较短的对角线构成的三角形为等边三角形.
利用菱形的性质求线段的长，主要是利用菱形的四条边都相等，且对角线互相垂直平分，通过构造直角三角形进行求解.
2.菱形的判定问题
菱形的判定方法：
（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）四条边都相等的四边形是菱形；
（3）两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
判定一个四边形是菱形时，可先说明它是平行四边形，再说明它的一组邻边相等或它的对角线互相垂直，也可直接说明它的四条边都相等或它的对角线互相垂直平分.
菱形（综合测试）
【满分：120】
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.如图,菱形的对角线,相交于O点,E,F分别是,的中点,连接.若,菱形的面积为12,则的长为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
2.如图，在平行四边形中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，若四边形为菱形时，则a的值为( )

A.1 B.2 C.3 D.4
3.矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直
C.对角线相等 D.对角线相等且互相垂直
4.如图所示，已知四边形为菱形，点E为边上的一点，连接，将线段沿折叠后点B与点C恰好重合在一起.已知菱形的边长为4，则线段的长为( )
A. B.4 C. D.
5.如图，为菱形的对角线，，过点D作，垂足为点E，则( )

A. B. C. D.
6.如图，在中，，点E，F分别是边，的中点，连接，，若四边形是菱形，则菱形的面积是( )
A. B. C.4 D.8
7.如图，在菱形中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接，若，则的长为( )
A. B. C. D.
8.如图，在菱形中，对角线和交于点O，，，点M、Q分别是、的中点，连接，过点M作于点P，连接，则的长为( )
A. B. C. D.
9.如图，在菱形中，E是上的点，连接交于点F，连接，若，菱形面积为24，，则的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
10.如图1是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的长度（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即B，D之间的距离）.在手柄转动过程中，B，D之间的距离y（cm）随的长度x（cm）的变化规律如图2所示，则图2中a的值为( )
A.42 B.46 C.48 D.50
11.如图,若干个形状、大小完全相同的小菱形组成网格,小菱形的顶点称为格点,且小菱形的边长为1,,若在网格中作一个矩形,使得矩形的4个顶点都在格点上,很明显,这样的图形有多种画法,则满足条件的矩形的面积最大值是( )
.
A. B.6 C. D.8
12.如图,等边三角形的边长为4,以边的中点O为原点建立平面直角坐标系,且点B在x轴上,将沿y轴翻折得到,点M,N分别是,的中点,在x轴上有一动点P,若满足的值最小,则点P的坐标是( )
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
13.如图，在菱形中，于点E，，，则的长是_____.
14.如图,四边形中,E,F,G,H分别是边、、、的中点.若四边形为菱形,则对角线、应满足条件______.
15.如图，在中，平分，，则平行四边形的周长为________.
16.如图,菱形中,,点E,F分别在,边上,将沿直线折叠,使点A恰好落在的中点G处,若,则的长为______.
17.如图，四边形是平行四边形，以点B为圆心，的长为半径作弧交于点E，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交的延长线于点F，，，则的长为______.

三、解答题（本大题共6小题，共计57分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
18.（6分）如图，在平行四边形中，，E，F是对角线上的点，且，连接，，，.求证：四边形是菱形.
19.（8分）如图,在中,D为边上一点,平移线段,使点A与点E重合、点B与点D重合,连接,,.
(1)若,,求的度数..
(2)请再添加一个条件,使四边形为菱形.
20.（8分）如图，在平行四边形中，E为的延长线上一点，且.请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹）
(1)在图1中，作出中边上的高；
(2)在图2中，作出一个菱形.
21.（10分）如图，在等腰中，，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E.
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，求的长.
22.（12分）探究思考：我们知道，菱形的对角线互相垂直.反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
(1)定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程.
已知：在中，对角线，垂足为O.
求证：是菱形.
(2)知识应用：如图2，在中，对角线和相交于点O，.
①求证：是菱形；
②延长至点E，连接交于点F，若，求的面积.
23.（13分）如图①，在菱形中，，.动点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，线段（点M，N分别与点A，D重合）从点D出发，沿方向匀速平移，速度为；线段停止运动时，点P也随之停止运动.交于点E，连接，.设运动时间为t（s）（），解答下列问题：
(1)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
(2)是否存在某一时刻t，使点E在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
(3)设四边形的面积为，求S与t的函数关系式；
(4)如图②，点是点N关于直线的对称点，连接，，当t为何值时，点M，B，在同一条直线上？请说明理由.
答案以及解析
1.答案：C
解析：E,F分别是,的中点,
是的中位线,
,
四边形是菱形,
,
,
,
解得：,
故选：C.
2.答案：B
解析：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∵，
∴，
∴.
故选：B.
3.答案：C
解析：A、矩形和菱形的对角线都互相平分,故此选项不符合题意；
B、矩形的对角线不一定垂直,菱形的对角线垂直,故此选项不符合题意；
C、矩形的对角线相等,菱形的对角线不一定相等,故此选项符合题意；
D、菱形和矩形的对角线都不一定相等且互相垂直,故此选项不符合题意；
故选：C.
4.答案：C
解析：四边形是菱形，
，
线段沿折叠后点B与点C恰好重合在一起，
，，
，
故选：C.
5.答案：B
解析：∵四边形是菱形，
∴，且平分，
∵，
∴
∵，
∴，
在中，
∴，
即，
故选：B.
6.答案：B
解析：作于点M，如图所示，
点E是边的中点，，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
故选：B.
7.答案：A
解析：连接，如图：
由作图痕迹可知，垂直平分，
∴，
∴，
∴，
在等腰中，，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，则
；
故选：A.
8.答案：A
解析：在菱形中，对角线和交于点O，，，
,,
,
是的中点，
,
,
,
,
,
点P是的中点，
是的中点，
是的中位线，
,
故选：A.
9.答案：C
解析：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
故选：C.
10.答案：C
解析：如图，连接交于点O，
四边形是菱形，
，，，
由图象可知，当时，，
此时，，
，
当时，，
，
，
.
故选：C.
11.答案：C
解析：如图所示,四边形即为所求；
根据菱形的对角线互相垂直可得,,
根据网格特点可得,
∴四边形是矩形.
过点D作于N,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵四边形是菱形,
∴,
∵,
∴四边形是平行四边形,
∴,
同理可得,
∴,
∴.
故选：C.
12.答案：B
解析：如图过作N的对称点,连接,则的最小值为,
由题意得,
四边形是菱形,
是等边三角形,
,
,
,
,,,
点M,N分别是,的中点,
,,
,
设直线的解析式为,
,
解得,
直线的解析式为,
直线与x轴的交点为,
故选：B.
13.答案：
解析：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
故答案为：.
14.答案：
解析：应满足的条件为：.
证明：∵E,F,G,H分别是边、、、的中点,
∴在中,为的中位线,所以且；
同理且,同理可得,
则且,
∴四边形为平行四边形,又,所以,
∴四边形为菱形.
故答案为：.
15.答案：
解析：∵平分，
∴.
∵四边形为平行四边形，
∴.
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，
∴的周长为:.
故答案为28.
16.答案：/5.6
解析：过点G作交的延长线于点H,
设,
四边形是菱形,,,
,,,
点G是的中点,
,
在中,
,,
,
在中,
由勾股定理,得,
即,
解得,
故答案为：.
17.答案：
解析：如图所示，连接交于G，连接.

∵四边形是平行四边形，
∴，即.
∴.
∵以点B为圆心，的长为半径作弧交于点E，
∴.
根据作图过程可知是的平分线.
∴.
∴.
∴.
∴.
∴四边形是平行四边形.
∴平行四边形是菱形.
∴，.
∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
故答案为：.
18.答案：见解析
解析：证明：如图，设交于点O，
∵，四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形.
19.答案：(1)
(2),(答案不唯一)
解析：(1)根据平移的性质,可得,,
四边形是平行四边形.
.
在中,,,
.
.
(2)答案不唯一,如,
证明：由(1)知四边形是平行四边形,
∵,
∴四边形为菱形.
20.答案：(1)见解析；
(2)见解析.
解析：如图，即为所求；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即是中边上的高；
(2)解析：如图四边形即为所求.
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形.
21.答案：(1)四边形是菱形，见解析
(2)
解析：(1)四边形是菱形，
理由：，平分，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
，
四边形菱形；
(2)平分，，
，
四边形是菱形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
的长为.
22.答案：(1)见解析
(2)①见解析；②
解析：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
(2)①证明： ∵四边形是平行四边形，.
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴四边形是菱形；
②解析：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，即，
解得：，
∴的面积为.
23.答案：(1)
(2)
(3)
(4)
解析：∵菱形中，，.动点P从点B出发，速度为；同时，线段速度为，
设运动时间为t，则，，，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
当时，四边形是平行四边形，即可证，
于是，，
解得，
故当时，.
(2)解析：∵，
∴，
∵点E在的平分线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
故当时，点E在的平分线上.
.
(3)解析：连接与交于点O，
∵菱形中，，.
∴，，
∴，
过点N作于点G，交于点H，
则为菱形的高，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴
.
(4)解析：连接与交于点O，设与交于点Q，
∵菱形中，，.
∴，，
∴，
∴，
∴，
根据题意，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得.
.

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