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2026年中考数学专题复习：圆的有关概念及性质 讲义
圆的有关概念及性质（知识精炼）
重难讲解
1.圆心角、弧、弦之间的关系
名称 文字语言 符号语言 图示
定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
重要结论 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等
【注意】
（1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，圆心角所对的弧、弦也不一定相等.如图，两个圆的圆心相同，与对应的圆心角相等，但，
（2）因为弦所对的弧有两条，所以不可以说“在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等”.
2.垂径定理及其推论
名称 文字语言 符号语言 图示
垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
拓展 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
【注意】
（1）定理中“垂直于弦的直径”可以是直径，也可以是半径，甚至可以是过圆心的直线或线段.
（2）推论中“平分弦”中的“弦”一定不能是直径，否则结论不一定成立.如图所示，当弦为直径时，直径平分弦，但结论不成立.
3.圆周角定理及其推论
名称 文字语言 符号语言 图示
定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 是所对的一个圆周角，是所对的圆心角，那么
推论 同弧或等弧所对的圆周角相等. 都是所对的圆周角，那么
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径. 若为直径，则；若或，则为直径.
4.圆内接多边形
1.圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
2.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
延伸拓展
1.在一个圆中，一条直线只要满足下列五个条件中的任意两个，那么它一定具备其他三个：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.简称“知二推三”.
2.利用垂径定理及其推论进行计算时，常涉及弦长，弦心距（圆心到先的距离），半径及弓形高（弦所对的弧的中点到弦中点的距离），如图所示，它们之间的关系时
3.圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角.
解题方法
1.解垂径定理及其应用的问题
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧（优弧与劣弧）.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（优弧与劣弧）.在应用垂径定理及其推论进行计算时，通常利用圆的半径，弦心距，拱高，弦长这几个量来构造直角三角形，然后利用勾股定理及来求有关量.根据上述公式，在这些量中，知道其中任何两个量就可以求出其余两个量.
在圆中，一般利用垂径定理，过圆心作弦的垂线段，连接半径，把半径、垂线段及弦的一半构造在一个之间三角形中，以便运用勾股定理求解.
2.解圆心角、弧、弦之间关系的应用问题
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么这两条弧所对的弦相等，所对的圆心角、圆周角也都相等，运用这些相等关系，可以实现线段相等于角相等之间的相互转化.
【方法总结】
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等.
【解法通法】证弧、弦、圆心角及弦心距关系常用的作辅助线的方法
在同圆或等圆中，要证弧、弦、圆心角及弦心距中的一组量相等，通常可以将其转化成证另外三组量中的一组量相等，一般有多种证法，而连半径或作垂直于弦的直径构造等弧、等弦、等圆心角、等弦心距是常用的作辅助线的方法.
3.解圆周角定理的应用问题
（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，在同圆中可以利用圆周角定理进行角的转化；（2）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；（3）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角.
【敲黑板】
（1）因为圆中一条弦所对的圆周角的大小有两种情况，所以不能根据弦相等得到圆周角相等.
（2）在同圆或等圆中，一条弦所对的圆周角相等或互补，即圆周角在弦的同侧相等，异侧互补.如图所示，都是弦所对的圆周角.在弦的同侧，则在弦的异侧，则.
4.与圆的轴对称有关的多解问题
圆是轴对称图形，当题目中没有明确说明点在圆上的具体位置或弦与弦的具体位置时，应注意分情况进行讨论.
5.解圆的内接四边形问题
主要是根据圆内接四边形对角互补及圆内接四边形的每个外角等于它的内对角这些性质求解.
【注意】每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆.
圆的有关概念及性质（综合测试）
【满分：120】
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.如图，⊙O中，点A、B、C在圆上，且弧长等于弧长的2倍，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.以上结论都不对
2.如图,是的弦,分别以A,B为圆心,以大于的长为半径画弧,两弧相交于圆外一点P,连接,交于点C,连接.若,则的度数是( )
A. B. C. D.
3.如图,活动课中顺顺将直角三角板角的顶点P落在上,两边分别交于点A,B.他发现量出的长,就可求出的半径,当时,的半径为( )
A.3 B. C. D.6
4.在中，直径于点G，A为弧的中点，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
5.如图，为的直径，C、D为上的点，，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
6.已知,作图.
步骤1：以点D为圆心,适当长为半径画弧,分别交,于点M,N；再分别以点M,N为圆心,大于长为半径画弧交于点E,画射线.
步骤2：在上任取一点O,以点O为圆心,长为半径画半圆,分别交,,于点P,Q,C；
步骤3：连接,.
则下列结论不正确的是( )
A. B. C.垂直平分 D.
7.如图，点，，半径为5的经过点M，N，则点A的坐标为( )
A. B. C. D.
8.如图,四边形内接于,交的延长线于点,若平分,,,则的长为( ).
A.2 B.3 C. D.
9.如图，已知A、B、C、D、E均在上，且为直径，则（ ）度.
A.30 B.90 C.60 D.45
10.如图,是的半径,弦,E是上一点,交于点D,,,,则的半径长是( )
A.1 B. C. D.2
11.如图,在直径为的半圆O中,C为半圆弧上的一点,连接,将劣弧沿弦折叠交直径于点D,取劣弧的中点为E,连接.已知,则点E与圆心O距离的最小值为( )
A. B. C. D.
12.如图，，，三角形面积始终为2，则的最大值为( )
A.5 B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
13.如图，为直径，弦交半径于点D，连接，若，则的度数为_______.
14.已知的半径,弦的长为,若在上找一点C,则______°.
15.如图，已知的直径，，则的长为________.
16.如图所示,在扇形中,,半径,点F在上,且.点C、D分别在线段、上,,E为的中点,连接.在滑动过程中(长度始终保持不变),当取最小值时,的长为______.
17.如图，是的直径，C点是上一点，将劣弧沿弦翻折交于点D，E点为弧的中点，若，，则的半径为_____；的面积为______.
三、解答题（本大题共6小题，共计57分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
18.（6分）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理.如图,已知,C是弦上一点,请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程.
(1)尺规作图(保留作图痕迹,不写作法)：
①作线段的垂直平分线,分别交于点D,于点E,连接,；
②以点D为圆心,长为半径作弧,交于点F(F,A两点不重合),连接,,.
(2)直接写出引理的结论：线段,的数量关系.
19.（8分）苏州是一座拥有4000多年历史的文化名城，苏州古城坐落在水网之中，街道依河而建，水陆并行；建筑临水而造，前巷后河，形成“小桥、流水、人家”的独特风貌.如图，某座苏州古桥的桥拱可看作一段圆弧，现测得桥下水面宽度时，拱顶高出水平面.
(1)求此圆弧形拱桥的半径；
(2)若有一艘宽的船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形并高出水面，请通过计算判断，该船能否安全穿过桥洞，并说明理由.
20.（8分）已知是半圆O的直径,,点C在半圆O上,过点A作,垂足为点D,的延长线与弦交于点E,与半圆O交于点F(点F不与点B重合).
(1)如图1,若,求的长；
(2)如图2,若,求的长.
21.（10分）如图1,是的直径,点D为下方上一点,点C为弧的中点,连结,,.
(1)求证：平分.
(2)如图2,延长,相交于点E.
①求证：.
②若,,求的半径.
22.（12分）如图,A,B,C,D是上的四个点,,交于点E,,.
(1)求的长；
(2)若要使,需要添加一个条件.请从“条件1：“”,条件2：是的直径”,“条件3：”中选择添加一个你认为正确的条件,并写出相应的证明过程.
23.（13分）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使.
(1)若，为直径，求的度数.
(2)求证：①；②.
答案以及解析
1.答案：C
解析：如下图，取的中点D，连接，
∵弧长等于弧长的2倍，
∴，
∴，
在中，根据三角形三边关系可得，
∴.
故选：C.
2.答案：B
解析：由作图可知,垂直平分,
∴,
∴,
∴,
故选：B.
3.答案：B
解析：连接,,
,
.
,,
,即.
,即的半径为.
故选∶B
4.答案：C
解析：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵A为弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴.
故选：C.
5.答案：A
解析：如图，连接，，
，
，
，，
，
.
故选A.
6.答案：D
解析：.由作图可知：,
,垂直平分,故选项A、C正确,不符合题意；
B.为半圆O的直径,
,,
,
,选项B正确,不符合题意；
D.的度数未知,和互余,
不一定等于,
不一定等于,故选项D错误,符合题意.
故选：D.
7.答案：D
解析：如图，连接，过点A作于点E，轴于点F，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的半径为5，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D.
8.答案：D
解析：连接,
∵四边形内接于,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵平分,
∴,
∴,
∴,
∵,,,
∴
∴
故选：D.
9.答案：B
解析：如图，连接，，
为直径，
，
，，
，
故选：B.
10.答案：C
解析：连结,,
是的半径,弦,
,
,
,
,
,
,
,
,,
,
,
或(不符合题意,舍去),
∵,
∴
∴是等边三角形,
∴,即的半径长是.
故选：C.
11.答案：B
解析：把弧的圆补全为,可知点F与点O关于对称,半径为1,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵是弧的中点,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴的最小值为,
故选：B.
12.答案：D
解析：如图，过点C作的垂线，在垂线上取一点E，使得，连接，取的中点O，连接，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵三角形面积始终为2，，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴如图，点D在以点O为圆心、长为半径的圆上（定弦定角），
∴，
又∵（当且仅当等号成立），
∴的最大值为，
故选：D.
13.答案：
解析：连接，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
故答案为：.
14.答案：或
解析：∵,,
∴,
∴,
如图,分别在优弧和劣弧取点和,连接,,,,
∴,
∵四边形是圆内接四边形,
∴,
∴,
故答案为：或.
15.答案：
解析：如图所示，连接，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∵，
∴，
故答案为： .
16.答案：2
解析：如图,连接,,
,,
,
∵E为的中点,
,
,
,
当O,E,F共线时,的值最小,如图,
此时,,
∵,
∴为等边三角形,
∴,则,
故答案为：2.
17.答案： 5 15
解析：连接，
由折叠可得，，
∵，
∴，
∴，
过点C作，
则，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
连接交于点F，
∵E点为弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
.
故答案为：5；15.
18.答案：(1)①见解析；②见解析
(2)
解析：(1)作出线段的垂直平分线,连接,；
以D为圆心,长为半径作弧,交于点F,连接,,,如图示：
(2)结论：.理由如下：
由作图可得：是的垂直平分线,
,
,
,
四边形是圆的内接四边形,
,
,
,
,
,
19.答案：(1)此圆弧形拱桥的半径为
(2)该船不能安全穿过桥洞，理由见解析
解析：（1）如图，连接，设与交于点D，
由题意可得：，，，
，
设半径为，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，解得：，
即此圆弧形拱桥的半径为；
（2）该船不能安全穿过桥洞，理由如下：
如图，在矩形中，、交于点M，，连接，
，，
在中，根据勾股定理得：，
，，
，该船不能安全穿过桥洞.
20.答案：(1)
(2)
解析：(1)∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
在中,,
∴；
(2)∵,
∴,
即,
∴,
∵,
∴,,
∴,
∴,
在中,∵,
∴,
∴,
∴,
∴.
21.答案：(1)证明见解析
(2)5
解析：(1)证明∵点C为弧的中点,
∴,
∴,,
∴平分；
(2)①证明：∵是的直径,
∴,
∴,
∵,
∴
②如图2,连接,则,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
设的半径为r,
则,
∵,
∴,
∵,
∴,
整理得,
解得,(不符合题意,舍去),
∴的半径为5.
22.答案：(1)
(2)选择条件1：,见解析
解析：(1)∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∵,
∴；
(2)选择条件1：,
证明：∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴；
选择条件2：是的直径,如图,
由圆周角定理得,
∵是的直径,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴；
选择条件：,如图,
∵,
∴,
∴,
∴是的直径,
要使,则需是的直径,题意没有说明,
故选择条件：不能证明.
23.答案：(1)
(2)①见详解；②见详解
解析：(1)∵，，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴；
(2)证明①：∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴；
②过点D作平行线交于点G，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵由(1)知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴.

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