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21.2.1 配方法 暑假预习讲义
【知识点讲解】
一、配方法的引入
1.问题提出：对于一元二次方程，我们已经知道它的一般形式是（），那如何求解这类方程呢？这就引出了配方法这种求解一元二次方程的方法。
2.转化思路：配方法的核心思路是将一元二次方程转化为完全平方式的形式，然后利用直接开平方法来求解。
二、完全平方式回顾
1.定义：形如这样的式子叫做完全平方式。例如，其中。
2.特征：完全平方式的展开式中，二次项系数为时，一次项系数是常数项平方根的倍。比如在中，一次项系数是常数项的平方根的倍。
三、用配方法解一元二次方程（二次项系数为的情况）
1.步骤：
（1）移项：把常数项移到等号右边，例如对于方程，先将移到等号右边，得到。
（2）配方：在等式两边加上一次项系数一半的平方。在上述方程中，一次项系数是，一半为，其平方是，所以在等式两边都加上，得到，此时左边式子就构成了完全平方式，即。
（3）直接开平方：对变形后的方程进行直接开平方，得到。
（4）求解：分别求解上述两个一元一次方程，当时，；当时，。
四、用配方法解一元二次方程（二次项系数不为的情况）
1.步骤：
（1）系数化为：先将方程两边同时除以二次项系数，使二次项系数变为。例如对于方程，两边同时除以，得到。
（2）移项：把常数项移到等号右边，即。
（3）配方：在等式两边加上一次项系数一半的平方。一次项系数是，一半为，其平方是，在等式两边都加上，得到，此时左边式子构成完全平方式，即。
（4）直接开平方：对进行直接开平方，得到。
（5）求解：分别求解这两个一元一次方程，当时，；当时，。
五、易错点提醒
1.配方错误：在配方过程中，容易忘记加上一次项系数一半的平方，或者计算一次项系数一半的平方时出现错误。例如对于方程，在配方时应该加上，若忘记加或者加错，后续就无法正确求解方程。
2.符号错误：在进行移项、配方等操作时，要注意符号的变化。比如在将方程系数化为时，两边同时除以，得到，这里要注意各项符号的准确处理，否则在后续步骤中容易出错。
【例题讲解】
一、直接开平方法解一元二次方程
【典型例题】方程的解为（　　）
A． B． C． D．
【变式训练1】方程 的解为　 　．
【变式训练2】解方程：．
二、配方法解一元二次方程
【典型例题】一元二次方程配方后可变形为（　　）
A． B． C． D．
【变式训练1】将方程用配方法化为，则的值是　 　．
【变式训练2】 解方程： ．
【巩固练习】
一、选择题
1．用配方法解一元二次方程时，方程两边都加上（　　）
A． B． C． D．
2．用配方法解一元二次方程，方程可变形为（　　）
A． B． C． D．
3．方程x2－4＝0的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝－2 C．x＝±2 D．x＝±4
4．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是（　　）
A． B． C． D．
5．用开平方的方法解方程，做法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．若关于x的一元二次方程配方后得到方程，则c 的值为（　　）
A． B． C．4 D．
二、填空题
7．方程 的根是　 　.
8．用配方法解方程时，方程的两边同时加上　 　，使得方程左边配成一个完全平方式．
9．用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则m的值为　 　．
10．已知3是一元二次方程的一个根，则另一根是　 　．
11．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为　 　．
三、解答题
12．解下列方程：
（1）；
（2）．
13．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌握住了一部分，形式如图：
（1）当时，则所捂部分的值＝______；
（2）若所捂的值为，求的值．21.2.1 配方法 暑假预习讲义
【知识点讲解】
一、配方法的引入
1.问题提出：对于一元二次方程，我们已经知道它的一般形式是（），那如何求解这类方程呢？这就引出了配方法这种求解一元二次方程的方法。
2.转化思路：配方法的核心思路是将一元二次方程转化为完全平方式的形式，然后利用直接开平方法来求解。
二、完全平方式回顾
1.定义：形如这样的式子叫做完全平方式。例如，其中。
2.特征：完全平方式的展开式中，二次项系数为时，一次项系数是常数项平方根的倍。比如在中，一次项系数是常数项的平方根的倍。
三、用配方法解一元二次方程（二次项系数为的情况）
1.步骤：
（1）移项：把常数项移到等号右边，例如对于方程，先将移到等号右边，得到。
（2）配方：在等式两边加上一次项系数一半的平方。在上述方程中，一次项系数是，一半为，其平方是，所以在等式两边都加上，得到，此时左边式子就构成了完全平方式，即。
（3）直接开平方：对变形后的方程进行直接开平方，得到。
（4）求解：分别求解上述两个一元一次方程，当时，；当时，。
四、用配方法解一元二次方程（二次项系数不为的情况）
1.步骤：
（1）系数化为：先将方程两边同时除以二次项系数，使二次项系数变为。例如对于方程，两边同时除以，得到。
（2）移项：把常数项移到等号右边，即。
（3）配方：在等式两边加上一次项系数一半的平方。一次项系数是，一半为，其平方是，在等式两边都加上，得到，此时左边式子构成完全平方式，即。
（4）直接开平方：对进行直接开平方，得到。
（5）求解：分别求解这两个一元一次方程，当时，；当时，。
五、易错点提醒
1.配方错误：在配方过程中，容易忘记加上一次项系数一半的平方，或者计算一次项系数一半的平方时出现错误。例如对于方程，在配方时应该加上，若忘记加或者加错，后续就无法正确求解方程。
2.符号错误：在进行移项、配方等操作时，要注意符号的变化。比如在将方程系数化为时，两边同时除以，得到，这里要注意各项符号的准确处理，否则在后续步骤中容易出错。
【例题讲解】
一、直接开平方法解一元二次方程
【典型例题】方程的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：，
∴．
故答案为：C．
【分析】直接开平方解方程即可求出答案.
【变式训练1】方程 的解为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：
则 ，
∴
故答案为： ．
【分析】根据直接开方法即可解答．
【变式训练2】解方程：．
【答案】解：∵，
∴，
解得，．
【解析】【分析】已知方程是形如x2=a的形式，因此利用直接开平方法解方程.
二、配方法解一元二次方程
【典型例题】一元二次方程配方后可变形为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：，移项，得，方程两边同加上16，得，即.
故答案为：A.
【分析】先将常数项移到等号右边，再在方程两边同加上一次项系数一半的平方即可.
【变式训练1】将方程用配方法化为，则的值是　 　．
【答案】7
【解析】【解答】解：∵，
∴x2-6x+9-n=0，
∵，
∴-m=-6，9-n=8，
则m=6，n=1．
∴m+n=6+1=7
故答案为：7．
【分析】利用完全平方公式可得x2-6x+9-n=0，再结合利用待定系数法可得-m=-6，9-n=8，求出m、n的值，最后将m、n的值代入m+n计算即可。
【变式训练2】 解方程： ．
【答案】解：
X=1+ 或者x=1-
【解析】【分析】观察方程的特点，难以利用因式分解法求解，则可选用配方法求解，即先将常数项移到方程的右边，由于二次项次数为1，则直接给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后两边同时开方，进而可求解.
【巩固练习】
一、选择题
1．用配方法解一元二次方程时，方程两边都加上（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解： ，
，
，
故D正确，A、B、C错误.
故答案为：D.
【分析】配方法解一元二次方程，当二次项系数为1时，配一次项系数一半的平方。
2．用配方法解一元二次方程，方程可变形为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得，
，
，
，
故答案为：A
【分析】根据题意配方，进而即可求解。
3．方程x2－4＝0的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝－2 C．x＝±2 D．x＝±4
【答案】C
【解析】【解答】x2-4=0，
∴x2=4，
开平方得：x=±2．
故选C．
【分析】根据已知推出x2=4，开平方后就能求出答案．
4．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】A. 应在方程左右两边同时加上1，不符合题意；
B. 应在方程左右两边同时加上4，符合题意；
C. 应在方程左右两边同时加上2，不符合题意；
D. 应在方程左右两边同时加上1，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据配方法的定义以及应用对各项进行分析即可．
5．用开平方的方法解方程，做法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】∵方程为，
∴利用开平方法可得，
故答案为：C.
【分析】利用直接开方法求解一元二次方程的计算方法分析求解即可.
6．若关于x的一元二次方程配方后得到方程，则c 的值为（　　）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【解析】【解答】因为x2-8x+c=0，
所以x2-8x=-c，所以x2-8x+16=-c+16，
即(x-4)2=-c+16，
又因为(x-4)2=4c，
所以-c+16=4c，
解得c=，
故选：D.
【分析】先对x2-8x+c=0进行配方可得(x-4)2=-c+16，结合已知条件(x-4)2=4c，列出等式关系-c+16=4c，解方程求出c的值即可.
二、填空题
7．方程 的根是　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：
，
∴ ，
故答案为： .
【分析】利用直接开平方法解方程.
8．用配方法解方程时，方程的两边同时加上　 　，使得方程左边配成一个完全平方式．
【答案】9
【解析】【解答】解：x2﹣6x+32=2+32，
（x﹣3）2=11．
故答案为：9
【分析】根据方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可求出答案.
9．用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则m的值为　 　．
【答案】4
【解析】【解答】解：由方程，可得，
所以，即，所以.
故答案为：4．
【分析】把常数项移到右边，再两边加上16，变形成完全平方的形式，进而得到m的值，得到答案.
10．已知3是一元二次方程的一个根，则另一根是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意，3是一元二次方程的一个根，
∴将代入方程，
可得，解得，
∴该方程为，
解该方程，可得，，
∴该方程的另一根是．
故答案为：．
【分析】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程．根据一元二次方程的解可将代入方程，通过计算可求出的值，进而可得方程：，利用开平方法可求出该一元二次方程的解，进而可求出该方程的另一根．
11．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：进行移项得，
二次项系数化为1得，
配成完全平方式得，即，
因为用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，
所以，，则；
故答案为：．
【分析】根据配方法可得，再根据对应值相等可得a，b，再代入代数式即可求出答案.
三、解答题
12．解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
，；
（2）解：
，．
【解析】【分析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程即可求解；
（2）根据配方法解一元二次方程即可求解.
13．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌握住了一部分，形式如图：
（1）当时，则所捂部分的值＝______；
（2）若所捂的值为，求的值．
【答案】（1）121
（2）解：根据题意得：，
整理得：，
∴，
即，
∴，
解得，．
【解析】【解答】（1）解：当时，所捂部分的值为
，
故答案为：；
【分析】（）把代入，即可求出答案.
（）根据题意可得，再根据配方法解方程即可求出答案.

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