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2.2 有理数的乘法与除法
【知识点梳理】
一、有理数乘法
1.有理数乘法法则：
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
①例如：（两个正数相乘，结果为正，绝对值相乘）；
②（两个负数相乘，结果为正，绝对值相乘）。
（2）任何数与相乘，都得。例如：；。
2.多个有理数相乘的法则：
（1）几个不等于的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。
①例如：，这里有个负因数（偶数个），所以积为正，计算过程为。
②再如：，有个负因数（奇数个），积为负，计算可得。
（2）几个数相乘，如果其中有一个因数为，那么积就为。
3.有理数乘法的运算步骤：
（1）先确定积的符号，根据两数相乘的符号法则或多个有理数相乘的符号法则来判断。
（2）再计算绝对值的乘积。
二、有理数乘法的运算律
1.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。即。
例如：。
2.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。即。
例如：，先算，则；先算，则。
3.乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即。
例如：。
（1）对于乘法分配律的逆用也很常见，即。
例如：。
三、有理数除法
1.有理数除法法则：
（1）除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。用字母表示为。
例如：；。
（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
例如：（同号得正，绝对值相除）；（同号得正，绝对值相除）；（异号得负，绝对值相除）；（异号得负，绝对值相除）。
2.有理数除法的运算步骤：
（1）先根据除法法则，将除法运算转化为乘法运算（除以一个数变为乘它的倒数）。
（2）然后按照有理数乘法法则进行计算，确定积的符号并计算绝对值的乘积。
四、有理数乘除法混合运算
1.运算顺序：
（1）无括号时，按照从左到右的顺序依次进行计算，先算乘法，再算除法（实际在转化为乘法后按顺序计算）。
（2）有括号时，先算括号里面的运算，再算括号外面的运算。
2.简便运算：
（1）可以利用乘法交换律、结合律、分配律对有理数乘除法混合运算进行简便计算。
例如：，可先根据除法法则转化为乘法：，然后利用乘法交换律和结合律进行计算：。
【巩固练习】
一、选择题
1．下列算式中，积为负数的是（　　）
A． B．
C． D．
2．要使算式□3的运算结果最小，则“□”内应填入的运算符号是（　　）
A． B． C． D．
3．计算 时，可以使运算简便的是（　　）
A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．加法结合律 D．乘法结合律
4．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．计算 的结果是（　　）
A．-1 B． C．-25 D．1
6．绝对值小于3的所有整数的积是（　　）
A．6 B．-36 C．0 D．36
7．若a＋b＜0， ab＜0，则下列式子成立的是（　　）
A．a＜0，b＜0且a≠b B． ＜0，b＞0且 ＜
C．a＜0＜b，且－a＞b D．a＞0，b＞0且 ＜a
8．从，，，7，5，a（，且a为整数）这6个数中取其中3个不同的数作为因数，则它们积的最小值为（　　）
A． B． C．168 D．无法确定
9．相传有神龟出于洛水，其背上有此图案（图1），史称“洛书”，图2是洛书的数字表示．这也就是术数中常说的“九宫格”，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的“九宫格”中也有类似于图2的数字之和的这个规律，则的值为（　　）
A． B． C．5 D．9
二、填空题
10．若两个数的积是 ，其中一个数是-3，则另一个数是　 　。
11．已知，则a 　 　b（填“”“”“”号）．
12．计算：　 　．
13．在这三个数中，任取两个数相除，其中商最小的是　 　．
14．已知热气球向空中上升时每升高，气温下降3℃，若现在气球的高度为1500米，且地面温度为5℃，则此时气球所在高度的气温为　 　℃．
三、解答题
15．计算：
（1）
（2）
16．用简便方法计算：
（1）
（2）
（3）86×(-17)+86×5-86×(-12)
（4）
（5）
17．个体服装店老板以32元的单价购进30件连衣裙，针对不同的顾客，30件连衣裙的售价不完全相同．若以47元为标准，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，结果如下表所示：
售出件数 7 6 3 5 4 5
售价/元 +3 +2 +1 0 -1 -2
该服装店在售完这30件连衣裙后，盈利情况如何
18．对于有理数、，定义运算：．
（1）计算的值；
（2）计算．
19．老师课上讲了两道利用运算律进行简便运算的题：
①98×12=(100-2)×12=1200-24=1176。
②-16×233+17×233=(-16+17)×233=233。
请你参考老师的讲解，用运算律简便计算(请写出具体的解题过程)：
（1）999×(-15)。
（2）
20．佛手是金华市一大特产，现有10筐佛手，以每筐10千克为标准质量，超过或不足的千克数分别用正数、负数来表示，结果记录在下表：
与标准质量的差值(单位：千克) -0.2 -0.15 0 0.3
筐数 1 2 4 3
（1）这10筐佛手中，与标准质量的差值为-0.15千克的有　 　筐，最重的一筐重　 　千克。
（2）若佛手每千克售价45元，则出售完这10筐佛手总收入多少元
参考答案
1．C
2．C
3．B
4．D
5．B
6．C
7．C
8．A
9．B
10．
11．
12．3
13．
14．
15．（1）解：原式
（2）解：原式
16．（1）=
=
=-2
（2）=
=
=19
（3）86×(-17)+86×5-86×(-12)
= 86×[(-17)+5-(-12)]
= 86×0
=0
（4）=
=
=
=
（5）=
=
=
=
=
17．解：7×3+6×2+3×1+5×0+4×(-1)+5×(-2)=22(元)，
22+47×30-30×32=1432-960=472(元)．
答：盈利472元
18．（1）解：；
（2）解：∵，
∴
．
19．（1）解：原式=(1000-1)×(-15)
=-15000+15
=-14985
（2）解：原式
=375×100
=37500
20．（1）2；10.3
（2）45×[-0.2+2×(-0.15)+4×0+3×0.3+10×10]=45×100.4=4518(元)。
答：出售完这10筐佛手总收入4518元

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