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1.2 有理数及其大小比较
【知识点梳理】
一、有理数的定义与分类
1.有理数的概念：整数和分数统称为有理数。这里的整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数。要注意，有限小数和无限循环小数都可以化为分数形式，所以它们也属于有理数。
2.有理数的分类：
（1）按定义分：
①整数：比如 -2、0、3等。
②分数：像、-0.75（它可化为）、3.25（可化为）等。
（2）按符号分：
①正有理数：例如3、等。
②负有理数：比如 -4、等。
③0：0比较特殊，它既不是正数也不是负数。
二、数轴与有理数的表示
1.数轴的三要素：
（1）原点（0）：这是数轴的基准点。
（2）正方向（通常向右）：规定了数在数轴上的排列方向。
（3）单位长度（需标刻度）：这样就能准确地表示出各个数的位置。
2.有理数在数轴上的表示：任何有理数都能在数轴上找到唯一对应的点来表示它。正数会在原点的右侧，负数就在原点的左侧。比如2就在原点右边距离原点2个单位长度的地方，-3就在原点左边距离原点3个单位长度的地方。
三、相反数
1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数。比如说5和 -5就是互为相反数。
2.性质：0的相反数就是0。而且在数轴上，表示相反数的两点是关于原点对称的，就像3和 -3在数轴上到原点的距离是一样的，并且分别在原点两侧。
3.求法：在一个数前面加上“-”号就能得到它的相反数。比如 -(-2)就等于2。
四、绝对值
1.定义：数轴上表示数a的点到原点的距离，记作|a|。例如|4| = 4，因为4这个点到原点的距离就是4；|-3| = 3，-3这个点到原点的距离也是3；|0| = 0。
2.性质：
（1）正数的绝对值是它本身，比如|5| = 5。
（2）负数的绝对值是它的相反数，像|-2| = -(-2) = 2。
（3）绝对值具有非负性，也就是|a| ≥ 0，任何数的绝对值都不可能是负数。
五、有理数的大小比较
1.利用数轴比较：在数轴上，右边的数总是比左边的数大。比如-1在数轴上位于2的左边，所以 -1 < 2。
2.法则比较：
（1）正数比较：两个正数比较大小，绝对值大的那个数就更大。例如5的绝对值是5，3的绝对值是3，因为5 > 3，所以5 > 3。
（2）负数比较：两个负数比较大小，可就要反过来，绝对值大的那个数反而更小。比如|-4| = 4，|-2| = 2，因为4 > 2，所以 -4 < -2。
（3）正负比较：正数是大于0的，而负数是小于0的，所以正数 > 0 > 负数。
（4）异分母分数比较：如果是异分母分数要比较大小，那就先通分，把它们化为同分母分数，然后再比较分子的大小就可以。比如要比较和，先通分，变为，变为，因为3 < 4，所以 < 。
【巩固练习】
一、选择题
1．下列各数，既是分数又是负数的是（　　）
A． B． C． D．0
2．如图，数轴上点在数表示的点的左侧，则点表示的数可能是（　　）
A． B． C．0.5 D．1.5
3．下列说法正确的是（　　）
A．是最大的负有理数 B．有理数包括整数、分数和零
C．整数只包括正整数和负整数 D．没有最小的有理数
4．的相反数是（　　）
A． B． C． D．
5． 小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，如图所示，此时是墨迹盖住的整数共有（　　）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图所示，表示互为相反数的点是（　　）
A．点A和点D B．点B和点C C．点A和点C D．点B和点D
7．下列各数中，比小的数是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，数轴上的两个点A. B所表示的数分别为a、b，那么a，b， a， b的大小关系是（　　）
A．b< a< bC．b< a9．如图，数轴上点表示数，则是（　　）
A．1 B．2 C． D．
10．下列各组数中，比较大小正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．在中，非负数的个数有　 　个．
12．数轴上，位于原点左边且到原点的距离为的点表示的数是　 　．
13．　 　．（用“>”“<”或“=”填空）．
14．若a的相反数是，则　 　．
15．绝对值小于的整数是　 　；
16．若，则　 　．
三、解答题
17．把下列各有理数填在相应的集合内：
，，，，，，，，
正有理数集合：{ …}，
负有理数集合：{ …}，
整数集合：{ …}，
18．已知数轴上点 A 表示+7，B，C两点所表示的数互为相反数，且点 C 与点 A 之间的距离为2个单位长度，求点 B 和点 C 各对应什么数.
19．在图中将数轴补充完整，并将下列各数在数轴上表示出来：，，，1，，．
20． 写出下列各数的绝对值，并指出哪个数的绝对值最大，哪个数的绝对值最小：
21．已知下列各有理数：，3，，，
（1）在数轴上标出这些数表示的点：
（2）用“”号把这些数连接起来： ；
（3）请将以上各数填到相应的横线上：正有理数： ；负有理数： ．
参考答案
1．C
2．A
3．D
4．B
5．D
6．C
7．D
8．B
9．B
10．A
11．4
12．
13．
14．8
15．、、、、
16．
17．解：正有理数集合：{，，，，，…}，
负有理数集合：{，， ，…}，
整数集合：{，，…}.
18．解：∵ 数轴上点 A 表示+7，点C与点 A 之间的距离为2个单位长度，
∴点C表示的数是+5或+9，
当点C表示+5时，点 B表示-5；当点C表示+9时，点B表示-9.
19．解：如图所示，
20．解：
．
∴-9的绝对值最大， 0的绝对值最小．
21．（1）数轴上表示各点如下：
（2）用“”号把这些数连接起来：，
（3）正有理数有：，；负有理数有：，，