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2.1 有理数的加法与减法
【知识点梳理】
一、有理数加法
1.有理数加法法则
（1）同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。
例如：
①（两个正数相加，结果为正，绝对值相加）；
（两个负数相加，结果为负，绝对值相加）。
（2）异号两数相加：绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
例如：
①（因为，取的符号为正，再用的绝对值减去的绝对值）； ②（因为，取的符号为负，用的绝对值减去的绝对值）。
（3）互为相反数的两个数相加得0：
例如：
①；
②。
（4）一个数同0相加，仍得这个数：
例如：
①；
②。
2.有理数加法的运算步骤
（1）先判断两数的符号情况，确定是同号相加、异号相加还是与相加等。
（2）根据相应的加法法则进行计算，注意符号的选取和绝对值的运算。
二、有理数加法的运算律
1.加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即。
例如：。
2.加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即。
例如：，先算，则；先算，则。
三、有理数减法
1.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为。
例如：；（这里减去，就等于加上的相反数）。
2.有理数减法的运算步骤：先根据减法法则，将减法运算转化为加法运算，即将减数变为它的相反数，然后按照有理数加法法则进行计算。
四、有理数加减法混合运算
1.运算顺序
（1）无括号时，按照从左到右的顺序依次进行计算，先算加法，再算减法（实际都转化为加法后按顺序计算）。
（2）有括号时，先算括号里面的运算，再算括号外面的运算。
2.简便运算
（1）可以利用加法交换律、加法结合律对有理数加减法混合运算进行简便计算，通常将互为相反数的数结合在一起，或者将能凑成整数的数结合在一起进行计算。
例如：，可以将和结合，和结合，即。
【巩固练习】
一、选择题
1．如果， 那么的值为（　　）
A． B． C． D．
2．比低的温度是（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算错误的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，某勘探小组测得E点的海拔高度为，F点的海拔高度为（以海平面为基准），则点E比点F高（　　）
A． B． C． D．
5．某食品保存的温度是，以下几个温度中，不适合储存这种食品的是（　　）
A． B． C． D．
6．古代数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，根据刘徽的这种表示法，图①表示算式，则图②表示算式（　　）
A． B． C． D．
7．若，则a的位置落在如图所示数轴上的（　　）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
8．不改变原式的值，把写成省略加号的和的形式为（　　）
A． B．
C． D．
9．若，且，则a、、b、的大小关系为（　　）
A． B．
C． D．
10．把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左（负方向）移动7个单位长度，再向右移动2个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．某人乘电梯从地下5层升至地上8层，电梯一共升了　 　层．
12．手机移动支付给生活带来便捷．如图是小颖某天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小颖当天微信收支的最终结果是　 　．
13．比小5的数是　 　．
14．已知数轴上点，的位置如图所示，点表示的有理数为，点表示的有理数为，，则比大的最小整数为　 　．
15．某同学在计算时，误将“”看成“”，结果是，则的正确结果是　 　．
16．古人讲“三十而立”，如果以30岁为基准年龄，大明36岁，记为岁，那么大刚的年龄记为，大刚今年　 　岁．
三、解答题
17．计算：
（1） （2）
（3）(-52)+(-19)-(+37)-(-24). （4）
18． 用简便方法计算，并说明理由。
（1）
（2）.
19．某高速公路养护小组，乘车沿东西方向公路巡视维护，如果规定向东为正，向西为负，当天行驶记录如下（单位：千米）：．
（1）巡视维护结束时，养护小组在出发点的什么方向？距离是多少？
（2）养护小组一共行驶了多少千米？
20．一次数学测验后，王老师把某一小组10名同学的成绩以平均成绩为基准，高于平均成绩的分数记为“+”，低于平均成绩的分数记为“一”，得到的结果如下：+10，-5，0，+8，-3，+6，-5，-3，+4，-12.已知这10名同学的平均成绩是82分.
（1）这一小组成绩最高分与最低分相差多少分
（2）如果成绩不低于80分为优秀，那么这10名同学在这次数学测验中的优秀率是多少
21．若a，b，c是有理数，|a|=3，|b|=10，|c|=8．
（1）若a，b同号，b，c异号，求a-b-(-c)的值．
（2）若b22．阅读材料，探究规律，解答下列问题.
甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*(加乘)运算.”然后他写出了一些按照*运算的运算法则进行运算的算式：
(+2)*(+3)=+5；(-1)*(-9)=+10；(-3)*(+6)=-9；
(+4)*(-4)=-8；0*(+1)=1；0*(-7)=7.
乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*运算的运算法则了.”聪明的你也明白了吗
（1）请你根据甲同学定义的*运算的运算法则，计算下列式子：
(-2)*(-7)=　 　；(+4)*(-3)=　 　；0*(-5)=　 　.
（2）我们知道有理数的加法满足交换律和结合律，这两种运算律在甲同学定义的*运算中还适用吗 请你任选一个运算律，判断它在*运算中是否适用，并举一个例子验证.
参考答案
1．B
2．D
3．B
4．A
5．A
6．D
7．A
8．A
9．A
10．C
11．12
12．收入6元
13．
14．
15．
16．21
17．（1）解：原式=
=0
（2）解：原式=
=
=
（3）解：原式= -52-19-37+24
=-84
（4）解：原式
=-19
18．（1）解：原式=
（2）解：原式=
19．（1）解：（千米），
答：巡视维护结束时，养护小组在出发点的西方，距离12千米；
（2）解：（千米），
答：养护小组一共行驶了34千米．
20．（1）解：∵10-（-12）=22
∴ 这一小组成绩最高分与最低分相差 22分
（2）解：∵成绩优秀的计数最低为-2
且成绩不低于-2的数有：10，0，+8，+6，+4
∴ 这10名同学在这次数学测验中的优秀率 ==50%
21．（1）解：因为|a|=3，|b|=10，|c|=8，
所以a=±3，b=±10，c=±8，
因为a，b同号，b，c异号，
所以a=3，b=10，c=-8或a=-3，b=-10，c=8，
①当a=3，b=10，c=-8时，a-b-(-c)=a-b+c=-15；
②当a=-3，b=-10，c=8时，a-b-(-c)=a-b+c=15；
综上，a-b-(-c)的值是15或-15
（2）解：因为b①当a=-3时，c=8，a-b-c=-3-(-10)-8=-3+10-8=-1；
②当a=3时，c=8，a-b-c=3-(-10)-8=3+10-8=5．
综上，a-b-c的值是-1或5
22．（1）9；—7；5
（2）“交换律”仍然适用， “结合律”不适用，
例：（﹣2）*（﹣7）＝+9，（﹣7）*（﹣2）＝+9，
所以（﹣2）*（﹣7）＝（﹣7）*（﹣2），
（﹣2）*（﹣7）*0=9*0=9，（﹣2）*[（﹣7）*0]=(-2)*7=-9
∴满足有理数的加法交换律，不满足结合律.-

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