资源简介

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2025年暑期衔接课程讲义习题材料
数 学
2025年7月份出版
全国通用
编写： 柯南办公室
校对： 21世纪教育网
地区： 全国通用
适用： 2025年初中学业水平考试毕业生
第01讲 集合的概念与表示
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、理解集合的含义，知道常用数集及其记法． 2、了解属于关系和集合相等的意义；初步了解有限集、无限集、空集的意义． 3、掌握集合的三种表示方法----列举法，描述法及图象法，并能正确地表示一些简单的集合．
知识点一：集合的概念
(1)元素与集合：我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫集合.集合通常用大写字母表示.集合的元素通常用小写字母表示.
知识点二：集合与元素的关系
如果a是集合A的元素，记作，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，记作，读作“a不属于A”.
知识点三：集合中元素的特点
(1)确定性：集合的元素必须是确定的.
(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不相同的.
(3)无序性：集合中的元素可以任意排列.
知识点四：常用数集及其记法
所有非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N;
所有正整数组成的集合称为正整数集，记作N+或N*；
所有整数组成的集合称为整数集，记作Z；
所有有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；
所有实数组成的集合称为实数集，记作R.
知识点五：集合的表示
(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来（相邻元素之间用逗号分隔），放在大括号内，依此表示集合的方法称为列举法，如，等.
使用说明
①用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序.
②如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不致于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.
③无限集有时也可用列举法表示.
(2)描述法：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质为集合 A的一个特征性质，此时集合A可以表示为，这种表示集合的方法称为特征性质描述法，简称描述法.
使用说明
①有些情况下，描述法中竖线“|”及其左边元素的形式均可省略，如{x|x是三角形}，也可表示为{三角形}.
②集合中所有在另一集合I中的元素组成的集合，可以表示为{x∈I|p(x)}.
知识点六：集合的分类
一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集.我们把不含任何元素的集合称为空集，记作.例如，集合就是空集.
考点一：集合的含义
【例1】（2024·高一·新疆·阶段练习）下列对象中不能构成一个集合的是（ ）
A．某校比较出名的教师 B．方程的根
C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形
【变式1-1】（2024·高一·天津南开·期中）下列给出的对象能构成集合的有（ ）
①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值；
③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-2】（2024·高一·重庆·期中）下列叙述能组成集合的是（　　）
A．接近0的数 B．数学成绩好的同学
C．中国古代四大发明 D．跑得快的运动员
【变式1-3】（2024·高一·河北·阶段练习）下列对象能构成集合的是（ ）
A．本班成绩较好的同学全体 B．与10接近的实数全体
C．绝对值小于5的整数全体 D．本班兴趣广泛的学生
考点二：元素与集合关系的判断
【例2】（2024·高一·全国·专题练习）下列关系中，正确的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥.
A．6 B．5 C．4 D．3
【变式2-1】（2024·高一·广东韶关·阶段练习）已知集合，若，则实数的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．4
【变式2-2】（2024·高一·安徽安庆·开学考试）已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（ ）
A．1 B． C． D．与的取值有关
【变式2-3】（2024·高一·江西萍乡·期末）已知集合，若，则a的值可能为（ ）
A．，3 B． C．，3，8 D．，8
【变式2-4】（2024·高一·河南郑州·期中）设集合，若且，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点三：集合的确定性、互异性、无序性
【例3】（2024·高三·重庆沙坪坝·开学考试）若，则的值是（ ）
A．0 B．1 C． D．
【变式3-1】（2024·高一·全国·课后作业）由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（ ）
A． B．1 C． D．2
【变式3-2】（2024·高一·新疆阿克苏·阶段练习）“mooncake”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式3-3】（2024·高一·安徽铜陵·阶段练习）已知正数集合，则以，，，为边长构成的四边形可能是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形
考点四：集合的表示：描述法
【例4】（2024·高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合：
(1)不等式的解组成的集合；
(2)被除余的正整数的集合；
(3)；
(4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合．
【变式4-1】（2024·高一·新疆·期中）用描述法表示下列集合；
(1)不等式的解集．
(2)所有的偶数组成的集合．
【变式4-2】（2024·高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合：
(1)不等式的解集；
(2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合；
(3)二次函数图象上的点组成的集合．
(4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合；
(5)集合.
(6)所有被3整除的整数组成的集合；
(7)方程的所有实数解组成的集合.
【变式4-3】（2024·高一·江苏·专题练习）试用描述法表示下列集合.
(1)方程的所有实数根组成的集合；
(2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合；
(3)二次函数图象上的所有点组成的集合.
考点五：集合的表示：列举法
【例5】（2024·高一·全国·随堂练习）用列举法表示下列集合：
(1)
(2)．
【变式5-1】（2024·高一·全国·专题练习）用列举法表示下列集合：
(1)大于1且小于6的整数；
(2)；
(3)．
(4)．
(5)由＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合.
【变式5-2】（2024·高一·河南濮阳·阶段练习）集合用列举法表示为 ．
【变式5-3】（2024·高一·上海徐汇·期中）集合可用列举法表示为 ．
考点六：集合的综合问题
【例6】（2024·高三·重庆·开学考试）设集合，那么集合满足条件“”的元素个数为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
【变式6-1】（2024·高一·上海杨浦·开学考试）若，则下列结论中正确结论的个数为（ ）
①；
②；
③若，则；
④若且，则；
⑤存在且，满足.
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式6-2】（2024·高一·安徽安庆·阶段练习）设是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有（ ）个.
A．0 B．2 C．4 D．6
【变式6-3】（2024·高一·上海·期末）数集，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．A，，都有可能
【变式6-4】（2024·高一·湖北襄阳·期中）已知集合
(1)若是空集，求的取值范围；
(2)若中只有一个元素，求的值，并求集合.
【变式6-5】（2024·高一·河北·阶段练习）设，已知，求x的值.
1．（2024·高一·辽宁·期中）已知集合，且是中的一个元素，则（ ）
A． B．或3 C． D．或
2．（2024·陕西宝鸡·一模）若集合中只有一个元素，则实数（ ）
A．1 B．0 C．2 D．0或1
3．（2024·高一·四川·阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·高一·安徽芜湖·阶段练习）方程组的解构成的集合是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·高一·广东广州·期末）已知集合只有一个元素，则实数的值为（ ）
A．1或0 B．0 C．1 D．1或2
6．（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，其中.若1是集合中的一个元素，则集合（ ）
A． B． C． D．
7．（多选题）（2024·高一·福建厦门·阶段练习）当一个非空数集满足“任意，则，，，且时，”，我们称就是一个数域，以下关于数域的说法.其中正确的选项有（ ）
A．0是任何数域的元素
B．若数域有非零元素，则
C．集合是一个数域
D．任何一个数域的元素个数必为奇数
8．（多选题）（2024·高一·江苏常州·阶段练习）下列四个命题中正确的是（ ）
A．方程的解集为
B．由所确定的实数集合为
C．集合可以化简为
D．中含有三个元素
9．（多选题）（2024·高一·江苏盐城·阶段练习）已知集合，，则a的值为（ ）.
A． B． C．1 D．
10．（2024·高一·全国·专题练习）若集合中的三个元素分别为,则元素应满足的条件是 ．
11．（2024·高一·全国·专题练习）含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 .
12．（2024·高一·北京·期中）已知集合，,则 （用列举法表示）.
13．（2024·高一·全国·专题练习）已知集合．
(1)若A是空集，求的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；
(3)若A中至少有一个元素，求的取值范围．
14．（2024·高一·新疆·阶段练习）举例说明：设集合M中含有三个元素3，，：
(1)求实数，应满足的条件；
(2)若，求实数的值.
15．（2024·高一·江苏·专题练习）已知集合中的元素满足，.
(1)若，求实数的值；
(2)若为单元素集合，求实数的值；
(3)若为双元素集合，求实数的取值范围.
16．（2024·高一·宁夏吴忠·阶段练习）用适当的方法表示下列集合：
(1)大于1且不大于17的质数组成的集合；
(2)所有奇数组成的集合；
(3)平面直角坐标系中，抛物线上的点组成的集合；
(4)；
第02讲 子集、全集、补集
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 2、在具体情境中，了解全集与补集的含义. 3、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集.
知识点一：子集
1、一般地如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A为集合B的子集．，记作 A B（或 B A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）．
2、规定：空集是任何集合的子集，即．
3、子集的性质：
（1）任何一个子集都是它本身的子集，即．
（2）若，且，则．
知识点二：韦恩图
韦恩（Venn）图：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为韦恩图．A是B的子集，可用下图表示：
知识点三：真子集
1、如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作（或），读作：A真包含于B（或B真包含A）．
2、真子集的性质
（1）空集是任何非空集合的子集．
（2）若A B，B C，则A C．
知识点四：集合的相等与子集的关系
1、如果A B且B A，则A=B．
2、如果A=B，则A B且B A．
知识点五：有限集合的子集个数
若集合A中有n个元素，则集合A的所有子集的个数为2n，真子集个数为2n－1，非空子集个数2n－1，非空真子集个数为2n－2．
知识点六：补集
1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用表示．
2、如果集合A是全集的一个子集，则由中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在中的补集，记作．
3、数学表达式：．
4、用Venn图表示（阴影部分）如图所示：
5、给定全集的子集及其任意一个子集A，则
①；
②；
③．
考点一：集合的包含关系判断
【例1】（2024·高一·广东韶关·阶段练习）若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2024·高一·陕西榆林·期中）已知集合，那么（　　）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2024·高一·海南·竞赛）已知集合，则集合与的关系是（ ）
A． B． C． D．且
【变式1-3】（2024·高一·重庆长寿·期末）下列命题中，正确的个数有（ ）
①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤ ；⑥.
A．1 B．2 C．3 D．5
【变式1-4】（2024·高一·河南郑州·阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
考点二：集合的相等
【例2】（2024·高一·全国·期末）已知，，若集合，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【变式2-1】（2024·高一·重庆沙坪坝·阶段练习）若，则的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【变式2-2】（2024·高一·宁夏石嘴山·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．整数，整数集
B．，
C．，
D．，
【变式2-3】（2024·云南大理·模拟预测）已知，其中，则（ ）
A．0 B．或 C． D．
考点三：空集的定义、性质及运算
【例3】（2024·高一·四川广安·期中）若集合，则实数a的值的集合为 ．
【变式3-1】（2024·高一·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 .
【变式3-2】（2024·高一·上海黄浦·期中）设集合，只有一个子集，则满足要求的实数 ．
【变式3-3】（2024·高一·全国·课后作业）集合 ．
【变式3-4】（2024·高一·全国·课后作业）下列集合：
①；②；③；④；⑤．
表示空集的有
考点四：子集与真子集的个数问题
【例4】（2024·高一·江苏宿迁·阶段练习）已知集合，则集合的真子集个数为 个
【变式4-1】（2024·高一·四川内江·期末）已知集合，则的非空子集的个数是 ．
【变式4-2】（2024·高一·江苏宿迁·阶段练习）满足的集合的个数为 .
【变式4-3】（2024·高一·天津滨海新·期中）已知集合，则集合的子集有 .
【变式4-4】（2024·高一·福建泉州·阶段练习）已知集合.
(1)写出集合M的子集、真子集;
(2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数;
(3)猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少 真子集的个数及非空真子集的个数呢
考点五：补集及其运算
【例5】（2024·高一·广东茂名·期中）设全集，，则 .
【变式5-1】（2024·高一·江苏·专题练习）已知是非空集合，定义运算且，若，，则 ，
【变式5-2】（2024·高一·全国·专题练习）设，，，则 ； ．
【变式5-3】（2024·高一·河南商丘·期末）已知全集，集合满足，则（ ）
A． B． C． D．
考点六：集合关系中的参数取值问题
【例6】（多选题）（2024·高一·河北张家口·开学考试）若集合，且，则实数的取值为（ ）
A． B． C．0 D．2
【变式6-1】（2024·高一·广东佛山·期末）设集合
(1)若，试判断集合与的关系；
(2)若 ，求的值组成的集合．
【变式6-2】（2024·高一·上海·期末）已知集合.
(1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合；
(2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围.
【变式6-3】（2024·高一·全国·专题练习）已知集合．
(1)若，为常数，求实数m的取值范围．
(2)若，为常数，求实数m的取值范围．
(3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
【变式6-4】（2024·高一·吉林四平·阶段练习）已知集合.
(1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合；
(2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围.
1．（2024·高一·山西长治·期中）已知集合，，若，则（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．2
2．（2024·高一·四川成都·开学考试）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·高一·广东湛江·开学考试）已知全集，集合，则（　　）
A． B．
C．或 D．
4．（2024·高一·云南德宏·期末）设全集，集合满足，则（ ）
A． B． C． D．
5．（多选题）（2024·高一·山西太原·阶段练习）已知集合M满足 ，则这样的集合M可能为（ ）
A． B． C． D．
6．（多选题）（2024·高一·福建三明·期中）设，若，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．0
7．（多选题）（2024·高一·河南郑州·期中）已知集合，，若，则实数m可以是（ ）
A． B．1 C． D．0
8．（多选题）（2024·高一·辽宁鞍山·期中）下列结论正确的是（ ）
A．
B．集合A，B，若且，则
C．集合，，则
D．集合，，若，则或
9．（多选题）（2024·高一·湖北省直辖县级单位·期中）已知集合，，若，则实数的值可以为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
10．（多选题）（2024·高一·广东茂名·期中）已知集合，，若，则实数的值可以是（ ）
A．1 B． C． D．3
11．（2024·高一·北京东城·期中）若集合，则实数a的取值范围 ．
12．（2024·高一·江苏盐城·期中）集合满足 ，则满足条件的集合的个数为 .
13．（2024·高一·内蒙古赤峰·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减加各数.例如的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5.
(1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和；
(2)已知集合，根据提示解决问题.求集合所有非空子集的元素和的总和；
14．（2024·高一·广东揭阳·阶段练习）已知集合．
(1)若，求实数a的值；
(2)若，写出集合A的所有子集；
(3)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值．
15．（2024·高一·上海·期末）若全集，，且，求实数的值
16．（2024·高一·湖南益阳·期末）已知全集，集合，．
(1)求；
(2)若，求实数a的取值范围．
17．（2024·高一·湖南衡阳·阶段练习）已知集合.
(1)若，求的取值范围.
(2)若，求的取值范围.
18．（2024·高一·河北沧州·期中）已知集合，，若，求实数m的取值范围.
19．（2024·高一·重庆·期中）已知集合，集合，且.
(1)求m的值；
(2)若，求的值.
（2024·高一·上海普陀·期中）已知集合，且满足，求实数可能取的一切值．
21．（2024·高一·全国·专题练习）已知全集，求及的值.
22．（2024·高一·全国·专题练习）已知，.
(1)若是的子集，求实数的值；
(2)若是的子集，求实数的取值范围.
第03讲 交集、并集
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、理解两个集合之间的并集和交集的含义 2、能求两个集合的并集与交集.
知识点一：并集
1、一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作，读作“A并B”，
2、数学表达式：．
3、用Venn图表示（阴影部分）如图所示：
4、并集的性质
对于任意两个集合A与集合B，有：
①；
②；
③；
④如果，则，反之也成立．
知识点二：交集
1、一般地，给定两个集合A，B由既属于A又属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作，读作“A交B”．
2、数学表达式：．
3、用Venn图表示（阴影部分）如图所示：
4、交集的性质
对于任意两个集合A与集合B，有：
①；
②；
③；
④如果，则，反之也成立．
知识点三：区间
（1）设a，b是两个实数，而且a①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为 [a，b]；
②满足不等式a③满足不等式a≤x这里的实数a与b都叫做相应区间的端点．
实数集R可以用区间表示为 （－∞，＋∞），“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．
我们可以把满足x≥a，x>a，x≤b，x（2）区间的几何表示
考点一：有限数集的交集运算
【例1】（2024·高一·云南保山·期中）已知集合，，那么集合等于（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2024·高一·浙江·期中）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2024·高三·全国·专题练习）已知集合，则 ．
【变式1-3】（2024·上海闵行·二模）集合，，则 .
考点二：不等式解集的交集运算
【例2】（2024·高一·广东阳江·阶段练习）设，，则 .
【变式2-1】（2024·高一·上海虹口·期中）已知集合，，则 ．
【变式2-2】（2024·高一·河南南阳·阶段练习）若集合或，则
【变式2-3】（2024·高一·湖南株洲·期中）若集合，或，则 .
【变式2-4】（2024·高一·上海浦东新·期中）已知集合，，则 ．
考点三：有限数集的并集运算
【例3】（2024·高一·北京·期中）已知集合，，那么集合等于（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2024·高二·四川德阳·期末）集合，集合，则集合（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2024·高一·北京·期中）已知集合，，那么集合等于（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2024·高一·北京昌平·期末）已知集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
考点四：不等式解集的并集运算
【例4】（2024·高一·广东江门·阶段练习）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2024·贵州黔东南·二模）设集合.则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】（2024·高一·江苏·阶段练习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
考点五：交、并、补集的混合运算
【例5】（2024·高一·北京·期中）已知：设，，，求：
(1) ；
(2) ；
(3)
【变式5-1】（2024·高一·广东·期末）已知集合．
(1)求；
(2)求．
【变式5-2】（2024·高一·河北承德·期末）已知集合.
(1)求；
(2)求.
【变式5-3】（2024·高一·广西北海·期末）设集合.求：
(1)；
(2).
【变式5-4】（2024·高一·宁夏固原·阶段练习）已知全集，集合或，求：
(1)；
(2).
【变式5-5】（2024·高一·新疆·阶段练习）（1）已知集合，，．求，．
（2）已知集合或，．求，；
考点六：Venn图表达集合的关系及运算
【例6】（2024·高一·湖南衡阳·开学考试）如图，是全集，是的两个子集，则图中的阴影部分可以表示为（ ）

A． B． C． D．
【变式6-1】（2024·高一·四川成都·开学考试）已知全集，能表示集合与关系的图是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】（2024·高一·江苏盐城·期中）已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）

A． B． C． D．
【变式6-3】（多选题）（2024·河北石家庄·三模）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（ ）
A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人
C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人
【变式6-4】（2024·高一·广东珠海·期中）建党百年之际，影片《1921》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止2021年10月底，《长津湖》票房收入已超56亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了若干人进行调查，得知其中观看了《1921》的有51人，观看了《长津湖》的有60人，观看了《革命者》的有50人，数据如图，则图中 ．
考点七：根据集合运算性质求参数范围
【例7】（2024·高一·浙江·期中）已知全集，集合，.
(1)当时，求，；
(2)若，求实数的取值范围.
【变式7-1】（2024·高一·广东佛山·阶段练习）已知集合，.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【变式7-2】（2024·高一·四川成都·期中）已知集合，集合．
(1)求和；
(2)设，若，求实数a的取值范围．
【变式7-3】（2024·高一·安徽铜陵·阶段练习）已知集合，.
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)若，求实数a的取值范围.
【变式7-4】（2024·高二·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知集合或，．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)若，且，求实数m的取值范围．
考点八：区间的表示
【例8】（2024·高一·河北石家庄·期中）用区间表示为 ；用区间表示为 ．
【变式8-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知区间，则a的取值范围是 .
【变式8-2】（2024·高一·上海松江·期中）若为一确定区间，则的取值范围为 .
【变式8-3】（2024·高一·全国·课堂例题）用区间表示下列数集：
（1） ；
（2） ；
（3）且 ；
（4） ；
（5） ．
1．（2024·高一·江苏宿迁·阶段练习）设集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·高一·四川攀枝花·阶段练习）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·高一·浙江温州·开学考试）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·高一·广东汕尾·期末）设集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·浙江杭州·三模）设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·贵州·模拟预测）已知集合，，，若，则的子集个数为（ ）
A．2 B．4 C．7 D．8
7．（多选题）（2024·湖北·模拟预测）设为全集，集合满足条件，那么下列各式中不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·上海崇明·二模）若集合，或，则 ．
9．（2024·高一·安徽合肥·期末）学校举办运动会时，高二（8）班共有30名同学参加比赛，有15人参加田径比赛，14人参加球类比赛，13人参加趣味比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和趣味比赛的有4人，有2人同时参加三项比赛，只参加趣味比赛一项的有 人.
10．（2024·高一·北京·阶段练习）学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的人数是 ，只参加田径一项比赛的人数是 .
11．（2024·高三·上海·期中）已知集合，，则 ．
12．（2024·高一·全国·课后作业）（1）用区间表示且为 ．
（2）已知区间，则的取值范围是 ．
13．（2024·高一·宁夏吴忠·期中）已知集合或，全集.
(1)求；
(2)求.
14．（2024·高一·北京·期中）已知集合，.
(1)当时，求和；
(2)若，求m的取值范围.
15．（2024·高一·天津滨海新·阶段练习）已知集合，集合，.
(1)当时，求：①；②；
(2)若，求实数的取值范围.
16．（2024·高一·河北唐山·阶段练习）已知集合，.
(1)当时，求；
(2)若，求实数a的范围.
第04讲 命题、定理、定义
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、通过已有的经验，分析命题的条件和结论，能够判断命题的真假. 2、熟悉命题的结构，能够用“如果....那么....或“.....则....”的形式对命题进行改写. 3、能够判断命题的真假，并将一些作为推理依据而直接使用的真命题称之为定理. 4、了解定义是对某些对象标明符号，指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵.
知识点一：命题
1、命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，我们将可判断真假的陈述句叫作命题．
2、命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”，我们学习过的定理、推论都是命题．
3、分类
真命题：判断为真的语句
假命题：判断为假的语句
命题的结构：
（1）命题的一般形式为“若p，则q”其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．
（2）确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．
知识点二：定理、定义
在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理．
在数学中，我们经常遇到定义．定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．例如“两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”．定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别，如“平行四边形”就是通过“四边形”与两组“对边”分别“平行”来描述的．
考点一：命题的概念
【典例1-1】（2024·高一·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是　（　　）
①空集是任何集合的真子集；②请起立；
③的绝对值为1；④你是高一的学生吗
A．0 B．1 C．2 D．3
【典例1-2】（2024·高一·甘肃酒泉·期中）下列语句是命题的是（ ）
A．3是偶数吗 B．三角形的内角和等于180°
C．这里的景色山真美啊! D．
【变式1-1】（2024·高一·广西河池·阶段练习）有下列语句，其中是命题的个数为（ ）
（1）数学真有趣
（2）0是自然数
（3）
（4）
（5）素数都是奇数.
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式1-2】（2024·高一·江苏·课后作业）有下列语句，其中是命题的个数为（ ）．
（1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好．
A．3 B．4 C．5 D．6
考点二：命题真假的判断
【典例2-1】（2024·高一·陕西延安·阶段练习）已知，则下列判断中，正确的是（ ）
A．p为真，q为假 B．p为假，q为真
C．p为真，q为真 D．p为假，q为假
【典例2-2】（2024·高一·西藏林芝·期中）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为( )
A．4 B．2 C．3 D．5
【变式2-1】（2024·高二·新疆喀什·期末）下列命题为假命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式2-2】（2024·高一·新疆乌鲁木齐·阶段练习）下列命题为真命题的是（ ）
A．每一个二次函数的图象都是开口向上
B．存在一条直线与两条相交直线都平行
C．梯形的对角线相等
D．有些菱形是正方形
考点三：命题的结构形式
【典例3-1】（2024·高一·江苏·专题练习）指出下列命题中的条件p和结论q．
(1)若，则x，y互为相反数．
(2)如果，则．
(3)当时，．
【典例3-2】（2024·高一·江苏·专题练习）将下列命题改写成“若p，则q”的形式．
(1)在中，大角对大边．
(2)矩形的对角线互相垂直．
(3)相等的两个角的正弦值相等．
(4)等底等高的两个三角形是全等三角形．
【变式3-1】（2024·高一·江苏·课前预习）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)偶数不能被2整除；
(2)当时，；
(3)两个相似三角形是全等三角形．
【变式3-2】（2024·高一·江苏·假期作业）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)奇数不能被2整除；
(2)当时，；
(3)两个相似三角形是全等三角形．
【变式3-3】（2024·高一·江苏·课后作业）将下列命题改写成“若p，则q”的形式．
（1）6是12和18的公约数；
（2）当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根；
（3）平行四边形的对角线互相平分．
考点四：根据命题的真假求参数
【典例4-1】（2024·高一·全国·课后作业）命题存在实数，使得能成为三角形的三边长.若命题为假命题，则的取值范围是 .
【典例4-2】（2024·高二·吉林·期末）若和或都是假命题，则的范围是
【变式4-1】（2024·高一·北京·期中）能够说明“存在不相等的正数，使得”是真命题的一组的值为
【变式4-2】（2024·高一·全国·课后作业）若“方程有两个不相等的实数根”是真命题，则的取值范围是 .
1．（2024·高一·江苏·假期作业）以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（　　）
A．0 B．1
C．2 D．3
2．（2024·高一·全国·课后作业）在下列语句中，命题的个数是（ ）
①空集是任何集合的子集；②若，则；③若，则.
A． B． C． D．
3．（2024·高一·上海闵行·期中）下列命题中：
①关于x的方程是一元二次方程；
②空集是任意非空集合的真子集；
③如果，那么；
④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（ ）
A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④
4．（2024·高一·广东·阶段练习）甲 乙 丙 丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：
甲预测说：我不会获奖，丙获奖；
乙预测说：甲和丁中有一人获奖；
丙预测说：甲的猜测是对的；
丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中．
成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符；已知有两人获奖，则获奖者可能是（ ）．
A．甲和丁 B．乙和丙
C．甲和丙 D．乙和丁
5．（2024·高一·上海·期中）已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列命题，其中真命题的个数是（ ）
①中的元素都不是的元素；②中有不属于的元素；
③中有的元素；④中的元素不都是的元素.
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024·福建泉州·二模）甲 乙 丙三人独立解答同一份试卷，试卷共有5题，每人都至少正确解答其中3题，则下列说法一定正确的是（ ）
A．至少有2题有多于一人正确解答 B．至少有1题三人都正确解答
C．至少有1题三人都无法正确解答 D．至多有1题无人正确解答
7．（2024·高一·新疆阿克苏·阶段练习）已知命题“关于的不等式在上恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 ．
8．（2024·高一·江苏·假期作业）若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是 ．
9．（2024·高一·江苏·课后作业）将下列命题改写成“若p，则q”的形式.
（1）平面内垂直于同一条直线的两条直线平行；
（2）平行于同一条直线的两条直线平行；
（3）两个无理数的和是无理数；
（4）乘积为正数的两个数同号；
（5）两个奇数的和是偶数；
（6）矩形的四个角相等；
（7）等腰三角形的两个底角相等；
（8）直径所对的圆周角是直角.
第05讲 充分条件、必要条件、充要条件
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系. 2、通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系. 3、通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.
知识点一：充分条件、必要条件
1、在“如果p，那么q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论，若“如果p，那么q”是一个真命题，则称由p能推出q，记作，读作“p推出q”；否则，称为由p推不出q，记作pq，读作“p推不出q”．
2、当时我们称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
知识点二：充要条件
一般地，如果，，则称p是q的充分不必要条件；如果pq且，则称p是q的必要不充分条件；如果且，则称p是q的充分必要条件（简称充要条件），记作，也读作“p与q等价”，“p当且仅当q”．
知识点三：充分条件、必要条件和充要条件与数学判定定理、性质定理及数学定义的关系
1、判定定理实际上给出了一个充分条件．
2、性质定理实际上给出了一个必要条件．
3、一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的充要条件．
4、判定定理和性质定理与充分条件、必要条件的关系
（1）数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
（2）数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
考点一：充分条件、必要条件的判断
【典例1-1】（2024·高一·陕西西安·开学考试）已知集合，，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【典例1-2】（2024·高一·河北保定·开学考试）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-1】（2024·高一·湖南株洲·开学考试）“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-2】（2024·高一·河南·开学考试）暖色调会让人感觉温馨，红色、橙色、黄色、水粉色等为暖色，象征着太阳、火焰．新年到，小西购买了一件新大衣，则“小西购买了一件暖色调大衣”是“小西购买了一件红色大衣”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-3】（多选题）（2024·高一·浙江杭州·阶段练习）已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则（ ）
A．p是q的充分条件 B．p是s的必要条件
C．r是q的必要不充分条件 D．s是q的充要条件
考点二：根据充分条件求参数的范围
【典例2-1】（2024·高一·陕西西安·开学考试）已知命题，命题或，其中．若是成立的充分不必要条件，求的取值范围．
【典例2-2】（2024·高一·湖南株洲·阶段练习）已知集合，或，．
(1)求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【变式2-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，或．
(1)当时，求；
(2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【变式2-2】（2024·高一·安徽蚌埠·阶段练习）已知集合，集合为非空集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【变式2-3】（2024·高一·辽宁葫芦岛·期末）已知集合，集合，集合，且．
(1)求实数a的值组成的集合；
(2)若，是的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【变式2-4】（2024·高一·云南昆明·阶段练习）已知集合，.
(1)若集合，求实数的值；
(2)若，“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
考点三：根据必要条件求参数的范围
【典例3-1】（2024·高一·河北衡水·开学考试）已知集合.
(1)若，求；
(2)若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围.
【典例3-2】（2024·高一·湖北恩施·期末）已知集合，，.
(1)求，；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【变式3-1】（2024·高一·安徽淮南·开学考试）已知全集为R，集合，．
(1)求；
(2)若，且“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围．
【变式3-2】（2024·高一·宁夏银川·期中）设集合，集合．
(1)若，求，；
(2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【变式3-3】（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）已知或，，若p是的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
【变式3-4】（2024·高一·江苏镇江·阶段练习）已知集合，集合.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
考点四：根据充要条件求参数的范围
【典例4-1】（2024·高一·陕西西安·开学考试）命题p：一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是 ．
【典例4-2】（2024·高三·全国·专题练习）已知命题，若是的充要条件，则 ．
【变式4-1】（2024·高一·广东佛山·期中）若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ．
【变式4-2】（2024·高一·云南大理·期末）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为 .
【变式4-3】（2024·高一·重庆沙坪坝·阶段练习）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ．
【变式4-4】（2024·高一·全国·专题练习）设，一元二次方程有实数根的充要条件是 ．
考点五：充要条件的证明
【典例5-1】（2024·高一·广西南宁·期中）求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）.
【典例5-2】（2024·高一·重庆沙坪坝·期中）已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是．
【变式5-1】（2024·高二·福建福州·阶段练习）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为.
【变式5-2】（2024·高一·江苏南京·阶段练习）求证：“关于x的方程有一个根为2”的充要条件是“”．
【变式5-3】（2024·高一·江苏·专题练习）设分别为的三边的长，求证：关于的方程与有公共实数根的充要条件是.
1．（2024·高一·河南濮阳·阶段练习）“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·高一·宁夏吴忠·开学考试）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024·高一·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（ ）
A．或 B．或
C． D．
4．（多选题）（2024·高一·陕西西安·期中）使“”成立的一个必要不充分条件可以是（　　）
A． B．或
C． D．
5．（多选题）（2024·高一·广东韶关·阶段练习）设，是的充分不必要条件，则实数的值可以为（ ）
A． B．0 C．3 D．
6．（多选题）（2024·高一·山东威海·期末）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以为（ ）
A． B． C． D．
7．（多选题）（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）已知是的充分不必要条件，则实数的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（多选题）（2024·高一·安徽亳州·期末）若条件，且是q的必要条件，则q可以是（ ）
A． B． C． D．
9．（多选题）（2024·高一·湖南郴州·阶段练习）在整数集中，被6除余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即．则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．整数属于同一“类”的充要条件是“”
10．（2024·高一·广西钦州·期末）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ．
11．（2024·高一·浙江杭州·期末）已知，若p是q的充要条件，则 ， .
12．（2024·高一·全国·课后作业）已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，则方程有两个大于1的实数根（含相等两根）的充要条件是 ．
13．（2024·高一·广东佛山·阶段练习）在下列所示电路图中，下列说法正确的是 .（填序号）.
（1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件；
（2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件；
（3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件；
（4）如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件.
14．（2024·高一·青海海东·阶段练习）已知或．
(1)若是的充分条件，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
15．（2024·高一·湖南衡阳·期中）已知集合，集合.
(1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
16．（2024·高一·贵州贵阳·阶段练习）已知：关于的方程有实数根，：.
(1)若命题是真命题，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
17．（2024·高一·江苏·假期作业）求证：方程有两个同号且不相等实根的充要条件是.
第06讲 全称量词命题与存在量词命题
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义. 2、能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定. 3、能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.
知识点一：全称量词与全称量词命题
1、全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示.
2、全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题.
3、全称量词命题的形式：对集合M中的所有元素x，，简记为：对.
知识点二：存在量词与存在量词命题
1、全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示.
2、存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题.
3、存在量词命题的形式：存在集合M中的元素x，，简记为：对.
知识点三：命题的否定
1、一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定.
2、如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然.
知识点四：全称量词命题的否定
一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题：.
知识点五：存在量词命题的否定
一般地，存在量词命题“”的否定是全称量词命题：.
知识点六：命题与命题的否定的真假判断
一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假.
知识点七：常见正面词语的否定举例如下：
正面词语 等于 大于(>) 小于(<) 是 都是
否定 不等于 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 不都是
正面词语 至少有一个 至多有一个 任意的 所有的 至多有n个
否定 一个也没有 至少有两个 某个 某些 至少有n＋1个
考点一：全称量词命题与存在量词命题的识别
【典例1-1】（2024·高一·陕西榆林·阶段练习）下列命题是全称量词命题的是（ ）
A．存在一个实数的平方是负数 B．至少有一个整数x，使得是质数
C．每个四边形的内角和都是360° D．，
【典例1-2】（2024·高一·辽宁朝阳·阶段练习）下列结论中正确的个数是（ ）
①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题；
②命题“，”是全称量词命题；
③命题“，”是真命题；
④命题“有一个偶数是质数”是真命题．
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式1-1】（2024·高一·全国·课后作业）下列命题中是存在量词命题的是（ ）
A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等
C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数
【变式1-2】（2024·高一·全国·课后作业）下列命题是全称量词命题的个数是（ ）
①任何实数都有平方根;
②所有素数都是奇数;
③有些一元二次方程无实数根;
④三角形的内角和是．
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式1-3】（2024·高一·河南·期中）下列命题是全称量词命题的是（ ）
A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360°
C．至少有一个整数，使得是质数 D．，
考点二：全称量词命题与存在量词命题的真假的判断
【典例2-1】（2024·高一·辽宁鞍山·期中）下列命题中为真命题的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【典例2-2】（2024·高一·广东广州·期中）下列命题中的假命题是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（2024·高一·江苏·专题练习）下列命题中的假命题是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式2-2】（2024·高一·青海西宁·阶段练习）以下是真命题的（ ）
A．，都有 B．，都有
C．，有 D．，有
【变式2-3】（2024·高一·新疆·阶段练习）下列三个命题中有几个真命题（ ）
①，；②，；③至少有一个实数，使得
A．0 B．1 C．2 D．3
考点三：由全称量词命题的真假确定参数取值范围
【典例3-1】（2024·高一·北京昌平·期中）写出一个使得命题“恒成立”是假命题的实数的值： ．
【典例3-2】（2024·高一·江苏宿迁·期中）若命题“”为假命题，请写出一个满足条件的的值 ．
【变式3-1】（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）若命题“，使”是假命题，则实数的一个可能取值为 .
【变式3-2】（2024·高一·河南三门峡·阶段练习）已知命题是真命题，则的取值范围是 .
考点四：由存在量词命题的真假确定参数取值范围
【典例4-1】（2024·高一·陕西渭南·期中）已知命题：“，”是假命题，则实数a的取值范围是 .
【典例4-2】（2024·高一·四川泸州·期中）命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 .
【变式4-1】（2024·高一·陕西汉中·期末）已知命题“：，”，若是假命题，则实数的取值范围是 .
【变式4-2】（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）若命题“，使得”是真命题，则实数m的取值范围为 ．
考点五：全称量词命题的否定
【典例5-1】（2024·高一·四川成都·开学考试）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【典例5-2】（2024·高三·重庆·阶段练习）命题的否定为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】（2024·高一·吉林延边·阶段练习）命题“”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（2024·高一·江西南昌·阶段练习）“，”的否定是（ ）
A．，使得 B．，
C．，使得 D．，
考点六：存在量词命题的否定
【典例6-1】（2024·高一·安徽马鞍山·阶段练习）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【典例6-2】（2024·高一·广东江门·阶段练习）命题“”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】（2024·高一·江苏苏州·开学考试）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式6-2】（2024·高一·全国·专题练习）命题“，”的否定为（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
考点七：根据全称量词命题的否定求参数
【典例7-1】（2024·高一·辽宁大连·阶段练习）若命题“”是真命题，则实数a的范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
【典例7-2】（2024·高一·四川成都·开学考试）已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为 ．
【变式7-1】（2024·高一·山东枣庄·阶段练习）若命题“”是真命题，则实数的取值范围是 .
【变式7-2】（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）命题“，使”是真命题，则的范围是 .
考点八：根据存在量词命题的否定求参数
【典例8-1】（2024·高一·山西运城·阶段练习）若命题“存在，使”是假命题，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例8-2】（2024·高一·贵州六盘水·期中）命题是假命题，则的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-1】（2024·高一·江苏连云港·阶段练习）若命题“”是假命题，则实数a的范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2024·高二·陕西咸阳·阶段练习）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为 ．
1．（2024·高一·广东揭阳·阶段练习）下列命题中全称量词命题的个数是（ ）
①任意一个自然数都是正整数；②有的平行四边形也是菱形；③边形的内角和是．
A． B． C． D．
2．（2024·高二·广西·学业考试）下列命题中，含有存在量词的是（ ）
A．存在一个平行四边形是矩形 B．所有正方形都是平行四边形
C．一切三角形的内角和都等于 D．任意两个等边三角形都相似
3．（2024·高一·天津红桥·阶段练习）下列命题中错误的有（ ）个
① ；
②；
③ ；
④
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2024·高一·四川乐山·期中）命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．（2024·高一·安徽亳州·期末）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·高一·全国·专题练习）命题“”的否定是（ ）
A．不存在 B．
C． D．
7．（2024·高一·全国·专题练习）已知命题p：存在一个无理数，它的平方是有理数，则为（ ）
A．任意一个无理数，它的平方不是有理数
B．存在一个无理数，它的平方不是有理数
C．任意一个无理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方是无理数
8．（2024·高一·山西大同·阶段练习）命题“为偶数”，下列说法正确的是（ ）
A．该命题是假命题 B．该命题是真命题
C．该命题的否定为：不是偶数 D．该命题的否定为：不是偶数
9．（2024·高一·贵州毕节·期末）已知命题：是素数，则为（ ）
A．不是素数 B．不是素数
C．不是素数 D．不是素数
10．（2024·高一·北京·期中）命题“存在”的否定是（ ）
A．存在 B．任意的
C．任意的 D．任意的
11．（2024·高一·江苏宿迁·阶段练习）设命题，则的否定为（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024·高一·云南红河·开学考试）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
13．（2024·高一·福建泉州·阶段练习）已知命题，.若为真命题，则实数的取值范围 .
14．（2024·高三·山西吕梁·阶段练习）若命题：“，”为假命题，则实数m的取值范围为 .
15．（2024·高三·山东聊城·期中）若命题“是假命题”，则实数的取值范围是 .
16．（2024·高二·河南三门峡·期中）若命题“，使得”为真命题，则实数的范围为 ．
17．（2024·高一·全国·单元测试）能够说明“对任意，”是假命题的一个值为 ．
18．（2024·海南·模拟预测）能够说明“，”是假命题的一个x值为 ．
19．（2024·高一·河北承德·期中）解答：
(1)已知命题p：“，”是真命题，求实数a的取值范围；
(2)已知命题q：“满足，使”为真命题，求实数a的范围.
20．（2024·高一·青海海东·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假．
(1)，；
(2)有一个素数是偶数；
(3)任意两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，那么这两个三角形相似．
21．（2024·高一·云南曲靖·期中）已知集合．
(1)若，求实数的值；
(2)若命题为真命题，求实数的值．
22．（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）（1）“，使得方程有两个不同的实数解”是真命题，求集合A.
（2）若命题“， ”为真命题，求实数a的最小值.
23．（2024·高一·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合
(1)若，求实数的取值范围.
(2)命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围.
24．（2024·高一·湖南·期中）已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为.
(1)求集合；
(2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
25．（2024·高一·四川泸州·阶段练习）已知命题为真命题.
(1)求实数的取值范围；
(2)命题：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
第07讲 不等式的基本性质
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、能用不等式(组)表示实际问题的不等关系. 2、初步学会作差法比较两个实数的大小. 3、掌握不等式的基本性质. 4、运用不等式的性质解决有关问题.
知识点一、符号法则与比较大小
实数的符号：
任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立．
两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：
①两个同号实数相加，和的符号不变
符号语言：；
②两个同号实数相乘，积是正数
符号语言：；
③两个异号实数相乘，积是负数
符号语言：
④任何实数的平方为非负数，0的平方为0
符号语言：，．
比较两个实数大小的法则：
对任意两个实数、
①；
②；
③．
对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立．
知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据．
知识点二、不等式的性质
不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分
基本性质有：
（1）对称性：
（2）传递性：
（3）可加性：（c∈R）
（4）可乘性：a>b，
运算性质有：
（1）可加法则：
（2）可乘法则：
知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据．
知识点三、比较两代数式大小的方法
作差法：
任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小．
①；
②；
③．
作商法：
任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小．
①；
②；
③．
中间量法：
若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量．
考点一：用不等式（组）表示不等关系
【典例1-1】（2024·甘肃酒泉·高一统考期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【典例1-2】（2024·甘肃庆阳·高一校考阶段练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度（单位：厘米）应满足的不等式为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2024·全国·高一专题练习）铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（ ）
A．a + b + c ≤M B．a +b +c >M C．a + b + c ≥M D．a + b+ c 【变式1-2】（2024·高一课时练习）用不等式表示，某厂最低月生活费a不低于300元 （ ）.
A． B．
C． D．
考点二：作差法比较两数（式）的大小
【典例2-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知，试比较与的大小.
【典例2-2】（2024·高一·河北保定·阶段练习）设，，.
(1)证明：；
(2)若，证明.
【变式2-1】（2024·高一·陕西榆林·阶段练习）比较下列各题中两个代数式值的大小.
(1)与；
(2)与.
【变式2-2】（2024·高一·新疆·阶段练习）（1）比较与的大小：
（2）已知，都是正实数，比较与的大小．
考点三：利用不等式的性质判断命题真假
【典例3-1】（2024·高一·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
【典例3-2】（2024·高一·广东深圳·期末）已知，则下列一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（2024·高一·安徽宣城·自主招生）已知实数a，b，则下列选项中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式3-2】（2024·高一·北京·期中）对于任意实数，命题①若，，则；②若，则；
③若，则 ；④若，则；⑤若，，则．
其中真命题的个数是（ ）
A． B． C． D．
考点四：利用不等式的性质证明不等式
【典例4-1】（2024·高一·黑龙江鸡西·期末）已知三个不等式：①a，b，x均为正数 ② ③
请你以其中两个作为条件，余下一个为结论组成一个不等式命题，并判断其真假，若真请给出证明，若假请举出反例说明.
【典例4-2】（2024·高一·全国·专题练习）给出三个不等式．（1）；（2）；（3）．写出一个：以其中任意两个不等式为条件，剩下的一个不等式为结论的真命题，并加以证明．
【变式4-1】（2024·高一·陕西榆林·期中）证明下列不等式：
(1)已知，求证：；
(2)已知，求证：.
【变式4-2】（2024·高一·全国·课后作业）若，，求证：.
【变式4-3】（2024·高一·上海·专题练习）（1）已知，求证：；
（2）已知，求证：
（3）已知，求证：
考点五：利用不等式的性质比较大小
【典例5-1】（2024·高一·云南曲靖·期中）若且，则 0．（填“”、“”或“”）
【典例5-2】（2024·高一·江苏·期中）比较大小： 4.（请从“”“”“”中选择合适的符号填空）
【变式5-1】（2024·高一·北京西城·期中）已知a，b，c为实数，能说明“若，则”为假命题的一组a，b，c的值是 .
【变式5-2】（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）比较大小： （用“>”或“<”符号填空）．
【变式5-3】（2024·高一·浙江嘉兴·阶段练习）已知，则按从小到大的顺序排列是 .
考点六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围
【典例6-1】（多选题）（2024·高一·吉林延边·阶段练习）已知实数x，y满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
【典例6-2】（多选题）（2024·高一·河北·阶段练习）已知，则以下命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知，，则的取值范围为 .
【变式6-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知且，则的取值范围是 .
【变式6-3】（2024·高一·全国·专题练习）已知且满足，则的取值范围是 .
1．（2024·高一·北京·期中），则正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·高一·北京·期中）若a，b是任意实数，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·高一·甘肃天水·开学考试）下列命题中的真命题是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．（多选题）（2024·高一·江苏徐州·期中）下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，且，则
C．若，则
D．若，，则
5．（多选题）（2024·高一·广东深圳·期中）下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
6．（多选题）（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）已知，，则的值可能是（ ）
A． B． C．3 D．5
7．（2024·高三·江苏南通·开学考试）写出满足且的一组数对 .
8．（2024·高三·河南·开学考试）已知：，则大小关系是 ．
9．（2024·高一·浙江杭州·期末）若实数，满足，则的取值范围为 .
10．（2024·高一·河北·期末）已知，，则的取值范围是 .
11．（2024·高一·全国·期末）已知，，则的取值范围是 .
12．（2024·高一·辽宁葫芦岛·期中）已知，则的取值范围是 .
13．（2024·高一·北京·期中）已知a，，试比较与的大小，并证明．
14．（2024·高一·云南红河·期中）比较下列两式大小：
(1)与
(2)与
15．（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了.
(1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式.
(2)利用（1）的结论证明命题：“若在中a、b、c分别为角A、B、C所对的边长，则”
第08讲 基本不等式
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、掌握基本不等式. 2、能灵活应用基本不等式解决一些证明、比较大小问题. 3、进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值. 4、能够利用基本不等式解决实际问题.
知识点一：基本不等式
1、对公式及的理解．
（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”．
2、由公式和可以引申出常用的常用结论
①（同号）；
②（异号）；
③或
知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：．
知识点二：基本不等式的证明
方法一：几何面积法
如图，在正方形中有四个全等的直角三角形．
设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有．
得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）
特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：
如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）．
通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”）
方法二：代数法
∵，
当时，；
当时，．
所以，（当且仅当时取等号“=”）．
知识点诠释：
特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：
如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）．
通常我们把上式写作：
如果，，，（当且仅当时取等号“=”）．
知识点三：基本不等式的几何意义
如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、．
易证，那么，即．
这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立．
知识点诠释：
1、在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
2、如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．
知识点四：用基本不等式求最大（小）值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等．
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．
知识点诠释：
1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数．
2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解．
3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值．
4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：
①各项都是正数；
②和（或积）为定值；
③各项能取得相等的值．
5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：
①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
③在定义域内，求出函数的最大或最小值；
④写出正确答案．
考点一：对基本不等式的理解及简单应用
【典例1-1】（多选题）（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）下列关于使用基本不等式说法正确的是（ ）
A．由于，所以x＋＝x＋2＋－2≤－2－2＝－4
B．由于， 所以
C．由于，故最小值为2
D．由于，所以，故最大值为
【典例1-2】（多选题）（2024·高一·河北秦皇岛·阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．若，且，则
B．若，，则
C．对任意、，，均成立
D．若，则
【变式1-1】（多选题）（2024·高一·江苏宿迁·期中）下列各式最小值正确的有（ ）
A． 的最小值为2
B．当时，的最小值为2
C．当时，的最小值为4
D．的最小值为2
考点二：利用基本不等式比较大小
【典例2-1】（多选题）（2024·高一·全国·专题练习）若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2-2】（多选题）（2024·高一·广东珠海·期中）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（多选题）（2024·高一·广东茂名·期末）小王从甲地到乙地往返的速度分别为和，其全程的平均速度为，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（多选题）（2024·高一·浙江金华·阶段练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
考点三：利用基本不等式证明不等式
【典例3-1】（2024·高一·全国·专题练习）（1）已知，求的取值范围；
（2）设，，均为正数，且，证明：；
【典例3-2】（2024·高一·全国·课堂例题）设，为正数，证明下列不等式：
(1)；
(2)．
【变式3-1】（2024·高一·广西河池·阶段练习）已知，求证.
【变式3-2】（2024·高三·江苏·专题练习）利用基本不等式证明：已知都是正数，求证：
考点四：直接法求最值
【典例4-1】（2024·高一·湖南娄底·期末）若，，且，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
【典例4-2】（2024·高一·新疆·期末）若正实数、满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2024·高一·云南昆明·期末）已知，为正实数，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2024·高一·陕西宝鸡·期中）取最小值时的取值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【变式4-3】（2024·广西桂林·高一统考期末）设x，，且，则的最小值为（ ）
A．10 B． C． D．18
考点五：常规凑配法求最值
【典例5-1】（2024·高一·广东韶关·阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】（2024·高三·全国·专题练习）函数的最小值为 ．
【变式5-1】（2024·高一·上海·专题练习），则的最小值是 ，此时a＝ ．
【变式5-2】（2024·高一·江西南昌·期末）当时，函数的最小值为 ．
考点六：消参法求最值
【典例6-1】（2024·安徽·泾县中学高一阶段练习）设正实数、、满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】（2024·贵州遵义·高一期末）负实数、满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2024·高一·安徽马鞍山·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 .
【变式6-2】（2024·高一·江苏常州·阶段练习）已知，且，则最大值为 ．
考点七：换元求最值
【典例7-1】（2024·全国·高三专题练习）求下列函数的最小值
（1）；
（2）.
【典例7-2】（2024·上海·高一专题练习）求下列函数的最小值
（1）；
（2）；
（3）.
【变式7-1】（2024·全国·高一单元测试）若正数a，b满足，则的最小值是__．
【变式7-2】（2024·高一·全国·专题练习）函数 的最小值为 ．
考点八：“1”的代换求最值
【典例8-1】（2024·高一·湖南邵阳·阶段练习）若，且，则的最小值为 ．
【典例8-2】（2024·陕西咸阳·一模）已知，且，则的最小值为 ．
【变式8-1】（2024·高一·云南昭通·期末）已知实数，，且，则的最小值是 ．
【变式8-2】（2024·高一·河北张家口·开学考试）设且，则的最小值为 ．
【变式8-3】（2024·高一·江苏盐城·期中）已知，且，那么的最小值为 .
【变式8-4】（2024·高三·陕西·阶段练习）已知正数a，b满足，则的最小值为 ．
考点九：条件等式求最值
【典例9-1】（2024·高一·江苏宿迁·阶段练习）设为正实数，且，则的最小值为
【典例9-2】（2024·高一·江苏无锡·期末）已知，且，则的最大值为 .
【变式9-1】（2024·高一·贵州六盘水·阶段练习）已知实数a，b满足，则的最大值为 .
【变式9-2】（2024·高一·河南·开学考试）设正实数满足，则的最小值是 ；当取得最小值时，的最小值为 .
考点十：利用基本不等式求解恒成立问题
【典例10-1】（2024·高一·上海·期中）对任意满足的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
【典例10-2】（2024·高一·云南昆明·期中）已知，若恒成立，写出符合条件的正整数 ．（写出一个即可）
【变式10-1】（2024·高三·全国·专题练习）若正实数满足，且恒成立，则的最大值为 ．
【变式10-2】（2024·高一·上海浦东新·期中）当，，且满足时，有恒成立，则k的取值范围是 ．
【变式10-3】（2024·高一·江苏·专题练习）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为 ．
考点十一：基本不等式在实际问题中的应用
【典例11-1】（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店内购买黄金，店员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．记顾客实际购得的黄金为xg，则与20的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
【典例11-2】（2024·高一·浙江杭州·期中）2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（ ）
A． B．
C． D．
【变式11-1】（2024·高一·四川乐山·期中）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值．
【变式11-2】（2024·高一·河南·阶段练习）中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会(SEMI)的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出.
(1)已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式.
(2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润.
1．（2024·高一·安徽·开学考试）已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．8
2．（2024·高一·湖南娄底·期末）已知，则的最小值为（ ）
A．5 B．3 C． D．或3
3．（2024·高一·安徽芜湖·期末）若实数满足，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．（2024·高一·贵州贵阳·阶段练习）已知，则的最大值是（ ）
A． B．3 C．1 D．6
5．（2024·高一·全国·期中）小王准备用的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，小王需要合理安排矩形的长 宽才能使菜园的面积最大，则菜园面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（多选题）（2024·高一·全国·课后作业）下列推导过程，其中正确的是（ ）
A．因为为正实数，所以
B．因为，所以
C．因为，所以
D．因为，所以，当且仅当时，等号成立
7．（多选题）（2024·高一·全国·课后作业）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且，，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为点E.则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ）
A．（，） B．（，）
C．（，） D．（，）
8．（多选题）（2024·山西·模拟预测）已知正实数a，b满足，则（ ）
A． B． C． D．
9．（多选题）（2024·高一·河北沧州·期中）已知都是正实数，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（多选题）（2024·高一·江苏南通·期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若，则
D．若，则
11．（2024·高一·全国·专题练习）已知，则的最大值是
12．（2024·高一·江苏泰州·阶段练习）已知，则的最小值为 .
13．（2024·高一·广东东莞·期末）若、，且，则的最大值为 ．
14．（2024·高一·天津西青·期中）若函数（）在= 时取得最小值，则最小值为
15．（2024·高一·江苏苏州·期末）已知正数，满足，则的最小值为 .
16．（2024·高三·贵州·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 ．
17．（2024·高一·浙江·期中）已知正实数a，b满足，若恒成立，则实数m的取值范围是 .
18．（2024·高一·湖南郴州·期末），不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
19．（2024·高一·天津红桥·期中）已知，若不等式 恒成立，则实数m的最小值为 .
20．（2024·高三·全国·专题练习）若不等式对一切恒成立，则的最小值为 ．
21．（2024·高一·河南新乡·阶段练习）若，且恒成立，则的最大值是 ．
22．（2024·高一·上海·期中）已知对任意，不等式恒成立，则实数a的最小值为 ．
23．（2024·高一·安徽池州·期中）（1）已知，，且，证明：；
（2）若a，b，c是三角形的三边，证明：.
24．（2024·高一·江苏宿迁·阶段练习）已知，为正数，证明下列不等式成立：
(1)
(2)（其中）
25．（2024·高一·江苏连云港·阶段练习）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？
26．（2024·高一·全国·随堂练习）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）

27．（2024·高一·江苏扬州·阶段练习）已知、、、为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题．
(1)请根据基本不等式，证明：；
(2)请利用（1）的结论，证明：；
(3)如图，将边长为米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，折成一个无盖纸盒．如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米
第09讲 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义. 2、能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 3、借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 4、能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.
知识点一：一元二次不等式的概念
一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或（其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式．
知识点二：二次函数的零点
一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点．
知识点三：一元二次不等式的解集的概念
使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集．
知识点四：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集．
二次函数 （）的图象
有两相异实根 有两相等实根 无实根
知识点诠释：
（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；
（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；
（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集．
知识点五：利用不等式解决实际问题的一般步骤
（1）选取合适的字母表示题中的未知数；
（2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）；
（3）求解所列出的不等式（组）；
（4）结合题目的实际意义确定答案．
知识点六：一元二次不等式恒成立问题
（1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立
（2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题．
知识点七：简单的分式不等式的解法
系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”
考点一：解不含参数的一元二次不等式
【典例1-1】（2024·高一·湖南娄底·期末）不等式的解集是 ．
【典例1-2】（2024·高一·广东江门·期末）一元二次不等式的解集为 .
【变式1-1】（2024·高一·江苏宿迁·阶段练习）不等式的解集为 .
【变式1-2】（2024·高一·河南濮阳·阶段练习）解下列一元二次不等式：
(1)；
(2)．
【变式1-3】（2024·高一·北京·期中）解关于的不等式.
(1);
(2)
(3).
考点二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇
【典例2-1】（2024·高一·吉林延边·阶段练习）已知不等式的解集为,则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．的解集为
【典例2-2】（2024·高一·河南濮阳·阶段练习）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C． D．
【变式2-1】（2024·高一·安徽马鞍山·阶段练习）若关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则实数的取值集合是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【变式2-2】（2024·高一·河北张家口·开学考试）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
考点三：含有参数的一元二次不等式的解法
【典例3-1】（2024·高一·安徽马鞍山·阶段练习）解关于的不等式：.
【典例3-2】（2024·高一·北京·期中）（1）若命题“R，”是真命题，求实数a的取值范围；
（2）求关于的不等式的解集．
【变式3-1】（2024·高一·福建·阶段练习）已知不等式的解集为或
(1)求的值
(2)解不等式．
【变式3-2】（2024·高一·湖南长沙·期末）当时，解关于的不等式.
考点四：一次分式不等式的解法
【典例4-1】（2024·高一·河北沧州·期末）不等式的解集为 ．
【典例4-2】（2024·高二·上海·开学考试）不等式的解集为 .
【变式4-1】（2024·高三·北京·开学考试）不等式的解集是 ．
【变式4-2】（2024·高一·北京·期中）不等式的解集为 .
【变式4-3】（2024·高三·上海·开学考试）不等式的解集是 ．
考点五：实际问题中的一元二次不等式问题
【典例5-1】（2024·全国·高一专题练习）年月日，迎来了香港回归祖国周年，为了迎接这一历史性时刻，某商店购进一批香港回归周年纪念章，每枚的最低售价为元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出枚，每枚售价每提高元，日销售量将减少枚，为了使这批纪念章每天获得元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价（单位：元）的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】（2024·高一课时练习）某文具店购进一批新型台灯，每盏的最低售价为15元，若每盏按最低售价销售，每天能卖出45盏，每盏售价每提高1元，日销售量将减少3盏，为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2024·全国·高一专题练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（2024·高一课时练习）某村办服装厂生产某种风衣，月销售量x（件）与售价p（元/件）的关系为p=300-2x；生产x件的成本r=500+30x（元），为使月获利不少于8600元，则月产量x满足（ ）
A．55≤x≤60 B．60≤x≤65 C．65≤x≤70 D．70≤x≤75
【变式5-3】（2024·全国·高一假期作业）某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出万本.根据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就减少本.设每本杂志的定价为元，要使得提价后的销售总收入不低于万元，则应满足（ ）
A． B． C． D．
考点六：不等式的恒成立问题
【典例6-1】（2024·高一·广东江门·期中）关于的不等式对于任意恒成立，则的取值范围是 .
【典例6-

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