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18.5　分式方程
第1课时　分式方程的概念及解法
1．理解分式方程的概念．
2．了解解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解法．
3．理解分式方程验根的必要性，掌握解分式方程验根的方法．
▲重点
分式方程的解法．
▲难点
分式方程的解题步骤及验根．
◆活动1　新课导入
1．只含有　一　个未知数，并且未知数的指数是　1　的整式方程叫作一元一次方程．
2．解一元一次方程的一般步骤有：　去分母　、　去括号　、移项、　合并同类项　、系数化为1.
3．解方程：＝＋1.
解：去分母，得2(x＋1)＝3(2x－5)＋12.
去括号，得2x＋2＝6x－15＋12.
移项，得2x－6x＝－15＋12－2.
合并同类项，得－4x＝－5.
系数化为1，得x＝.
◆活动2　探究新知
1．教材P164　思考以上的内容．
提出问题：
(1)观察方程＝有什么特征？
(2)它与我们学过的整式方程有什么不同？
(3)什么叫作分式方程？
学生完成并交流展示．
2．教材P164　思考．
提出问题：
(1)你知道怎么解方程＝吗？
(2)能否将分式方程化为整式方程再进行计算？将分式方程化为整式方程的关键步骤是什么？
(3)解分式方程中，得到的整式方程的解一定是分式方程的解吗？
(4)解分式方程的一般步骤是什么？
学生完成并交流展示．
3．教材P164　探究．
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．　分母中　含有未知数的方程叫作分式方程．
2．解分式方程的基本思路是将分式方程化为　整式方程　，具体做法是　去分母　.
3．解分式方程时，　去分母　后所得的整式方程的解有可能使原方程中　分母　为0，因此解分式方程需验根．将整式方程的解代入　最简公分母　，如果　最简公分母　的值不为0，那么整式方程的解是原分式方程的解；否则这个解不是原分式方程的解．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P165　例1.
例2　教材P166　例2.
例3　符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad－bc，请你根据上述规定求出等式＝1中x的值．
解：由题意，得－＝1，解得x＝4.检验：当x＝4时，x－1≠0，∴x的值为4.
例4　若关于x的方程＋＝无解，求k的值．
解：k＝－1或－时，原分式方程无解．
练习
1．教材P166　练习．
2．解下列方程：
(1)＝－2；
解：方程两边乘2x－2，得2x＝3－2(2x－2)，解得x＝.
检验：当x＝时，2x－2≠0.∴原分式方程的解为x＝；
(2)＋2＝.
解：方程两边乘x－2，得1＋2(x－2)＝x－1.
解得x＝2.
检验：当x＝2时，x－2＝0，
因此x＝2不是原分式方程的解．
∴原分式方程无解．
3．如果关于x的方程1＋＝的解也是不等式组 的一个解，求m的取值范围．
解：解分式方程，得x＝－m－2.∵x≠±2，∴－m－2≠±2，∴m≠－4且m≠0.解不等式组，得－3＜x＜5，∴－3＜－m－2＜5，解得－7＜m＜1，∴m的取值范围为－7＜m＜1，且m≠－4且m≠0.
◆活动5　课堂小结
1．分式方程的概念．
2．分式方程的解法．
1．作业布置
(1)教材P169　习题18.5第1，2题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
第2课时　分式方程的实际应用
1．会分析题意，找到等量关系．
2．掌握列分式方程解决简单实际问题的步骤．
3．体会分式方程的数学模型对解决实际问题的重要作用．
▲重点
利用分式方程解决实际问题．
▲难点
列分式方程表示实际问题中的等量关系．
◆活动1　新课导入
1．回顾列方程解应用题的步骤．
2．解方程：(1)＋1＝；(2)＝.
3．列方程解应用题的一般步骤是什么？
◆活动2　探究新知
1．教材P167　例3.
提出问题：
(1)本题的等量关系是什么？
(2)这个题目应该怎么设？设乙队单独施工1个月能完成总工程的，那么乙队施工半个月完成总工程的多少？
(3)根据题目的已知能不能得出甲队施工半个月能完成总工程的多少？两队施工半个月能完成总工程的多少？
(4)根据上面的分析能否列出方程？列出的方程是什么？
(5)这是一个分式方程，应该怎样解这个分式方程呢？对解出的答案是否需要检验呢？如何检验？
学生完成并交流展示．
2．教材P167　例4.
提出问题：
(1)列分式方程解决实际问题有什么方法技巧？
(2)列分式方程解应用题的基本思路和列整式方程解应用题的基本思路是否相同？关键步骤是什么？解出分式方程后要注意什么？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
列分式方程解应用题的一般步骤：(1)审：审清题意；(2)找：找出　等量　关系；(3)设：设　未知数　，一般设所求的量；(4)列：列分式方程；(5)解：解分式方程；(6)验：先检验求出的解是否是　原方程　的解，再检验解是否符合题意；(7)答：写出答案．
◆活动4　例题与练习
例1　某工人原计划在规定时间内恰好加工1 500个零件，改进了工具和操作方法后，工作效率提高为原来的2倍，因此加工1 500个零件，比原计划提前了5个小时，问原计划每小时加工多少个零件？
解：设原计划每小时加工x个零件．
根据题意，得＋5＝，解得x＝150.
检验：当x＝150时，2x≠0，∴x＝150是原分式方程的解．
答：原计划每小时加工150个零件．
例2　甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360 km，有一动车和特快列车分别从A，B同时出发，相向而行．动车的平均速度比特快列车快54 km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135 km处的C站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？
解：设特快列车的平均速度是x km/h，则动车的平均速度是(x＋54)km/h，
根据题意，得＝，解得x＝90.
经检验，x＝90是原分式方程的解，且符合题意．
则x＋54＝144.
答：特快列车的平均速度是90 km/h，动车的平均速度是144 km/h.
练习
1．教材P168　练习第1，2题．
2．甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作，甲队单独工作2天完成总量的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成，那么乙队单独完成总量需要 (D)
　A．6天　　　　　　B．4天　　　　　　C．3天　　　　　　D．2天
3．一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行100 km所用时间与以最大航速逆流航行80 km所用的时间相等．设江水的流速为 v km/h，则可列方程为 (C)
　A．＝ 　　B．＝
　C．＝ 　　D．＝
4．某市为治理污水，需要铺设一段全长为300 m的污水排放管道，铺设120 m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度．
解：设原计划每天铺设管道x m．由题意，得＋＝30，解得x＝9.经检验，x＝9是原分式方程的解，且符合题意．
答：原计划每天铺设管道9 m．
◆活动5　课堂小结
1．探究列分式方程解决实际问题的步骤．
2．列分式方程解决实际问题．
1．作业布置
(1)教材P169　习题18.5第3，4，5，6题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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