资源简介

16.3　乘法公式
16．3.1　平方差公式
1．理解平方差公式，并能灵活运用公式进行计算．
2．通过了解平方差公式的几何背景，体会数形结合的思想方法．
▲重点
平方差公式及其特征．
▲难点
平方差公式的运用．
◆活动1　新课导入
1．你能说一说多项式与多项式相乘的运算法则吗？
答：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
2．计算：
(1)(x＋1)(x＋3)＝　x2＋4x＋3　；
(2)(x＋3)(x－3)＝　x2－9　；
(3)(m＋n)(m－n)＝　m2－n2　.
◆活动2　探究新知
1．教材P112　探究．
提出问题：
(1)观察探究中的算式，它们有什么共同特征？
(2)计算算式，根据结果，你有什么发现？
(3)改变探究中的数字，你的发现还成立吗？
(4)用简洁的方式表示你的发现．
学生完成并交流展示．
2．观察图①和图②.
提出问题：
(1)你能说出图①中这个长方形的长和宽吗？你能表示出这个图形的面积吗？
(2)你能表示图②中这个多边形的面积吗？
(3)观察图①和图②，你能发现它们的面积有什么关系吗？
(4)通过上面的探索你能得出什么结论？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的　平方差　，用字母表示为(a＋b)(a－b)＝　a2－b2　.
2．能用平方差公式进行运算的式子的特征：
(1)二项式与　二项式　的积；
(2)有一项相同，另一项　互为相反数　.
◆活动4　例题与练习
例1　教材P112　例1.
例2　教材P113　例2.
例3　计算：
(1)10.1×9.9；(2)2 024×2 026－2 0252.
解：(1)原式＝(10＋0.1)(10－0.1)＝102－0.12＝99.99；
(2)原式＝(2 025－1)×(2 025＋1)－2 0252＝2 0252－1－2 0252＝－1.
例4　如图①，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形．
(1)设图①中阴影部分的面积为S1，图②中阴影部分的面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式．
解：(1)S1＝a2－b2，S2＝(2b＋2a)(a－b)＝(a＋b)(a－b)；
(2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
练习
1．教材P113～114　练习第1，2，3题．
2．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是 (D)
　A．(2a＋3b)(3a－2b) B．(a＋b)(－a－b)
　C．(－m＋n)(m－n) D．
3．在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是 (C)
　A．(2a＋b)(2a－b) B．(2a＋b)(b－2a)
　C．(2a＋b)(－2a－b) D．(2a－b)(－2a－b)
4．计算0.1253×83＋202×198的结果为 (C)
　A．39 996 B．39 999
　C．39 997 D．40 004
5．先化简，再求值：
(1)(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2；
解：原式＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，原式＝－15；
(2)－4x(x2－2x－1)＋x(2x＋5)(2x－5)，其中x＝－1.
解：原式＝8x2－21x.当x＝－1时，原式＝29.
◆活动5　课堂小结
1．平方差公式及其特征．
2．平方差公式的运用．
1．作业布置
(1)教材P117　习题16.3第1题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
16.3.2　完全平方公式
第1课时　完全平方公式
1．利用多项式相乘的法则推导完全平方公式，并掌握公式的结构特征．
2．会运用完全平方公式，并能灵活运用公式进行计算．
▲重点
完全平方公式的结构特征．
▲难点
完全平方公式的运用．
◆活动1　新课导入
1．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项　乘　另一个多项式的　每一项　，再把所得的　积相加　.
2．试着写出结果：
(1)(x＋1)2＝　x2＋2x＋1　； 　(2)(x－1)2＝　x2－2x＋1　；
(3)(m＋n)2＝　m2＋2mn＋n2　； 　(4)(m－n)2＝　m2－2mn＋n2　.
◆活动2　探究新知
1．教材P114　探究．
提出问题：
(1)观察探究中的算式，找出它们的相同点和不同点；
(2)观察一下，每个式子能否根据幂的意义将其拆成两个多项式相乘的形式？
(3)根据多项式乘多项式的法则，计算出每个式子的结果，观察结果，你能发现什么规律？
(4)用简洁的方式表示你的发现．
学生完成并交流展示．
2．教材P115　思考1.
提出问题：
(1)你能用两种方法表示图16.3－2中大正方形的面积吗？
(2)你能用两种方法表示图16.3－3中左下角的小正方形的面积吗？
(3)比较(1)，(2)中的两种结果，你能得出什么结论？
学生完成并交流展示．
3．教材P115　思考2.
(1)填空：
(a＋b)2＝　a2＋2ab＋b2　，(－a－b)2＝　a2＋2ab＋b2　，则(a＋b)2　＝　(－a－b)2；
(a－b)2＝　a2－2ab＋b2　，(b－a)2＝　b2－2ab＋a2　，则(a－b)2　＝　(b－a)2；
(2)(a－b)2与a2－b2相等吗？为什么？
(3)完成思考中的问题，有什么发现？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．完全平方公式：(a＋b)2＝　a2＋2ab＋b2　，(a－b)2＝　a2－2ab＋b2　.即两个数的和（或差）的平方，等于它们的　平方和　，加上（或减去）它们的　积的2倍　.
2．互为　相反数　的两个数的平方相等．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P115　例3.
例2　教材P115　例4.
例3　利用完全平方公式计算：2 0242－4 050×2 024＋2 0252.
解：原式＝2 0242－2×2 024×2 025＋2 0252
＝(2 024－2 025)2
＝1.
例4　已知a＋b＝3，ab＝1，求(a－b)2的值．
解：(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝9－4×1＝5.
练习
1．教材P115～116　练习第1，2，3题．
2．下列各式计算结果是m2n2－mn＋1的是 (C)
　A． B．
　C． D．
3．填空．
(1)(2x＋　3y　)2＝　4x2　＋　12xy　＋9y2；
(2)x2＋10x＋　25　＝(x＋　5　)2.
4．先化简，再求值：2a(a＋2b)－(a＋2b)2，其中a＝－1，b＝.
解：原式＝a2－4b2.当a＝－1，b＝时，原式＝－11.
5．已知(x＋y)2＝18，(x－y)2＝6，求x2＋y2和xy的值．
解：由题意，得(x＋y)2＋(x－y)2＝2(x2＋y2)＝24，
∴x2＋y2＝12，
∴(x＋y)2－(x2＋y2)＝2xy＝6，
∴xy＝3.
◆活动5　课堂小结
1．完全平方公式及其特征．
2．完全平方公式的运用．
1．作业布置
(1)教材P117　习题16.3第2题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
第2课时　添括号法则
1．类比去括号法则，理解添括号法则．
2．能准确运用添括号法则进行计算．
3．通过对添括号法则的探究，培养逆向思维能力．
▲重点
掌握添括号法则的运用．
▲难点
添括号法则在乘法公式中的运用．
◆活动1　新课导入
1．将下列各式去括号：
(1)4＋(5＋2)＝　4＋5＋2　；
(2)4－(5＋2)＝　4－5－2　；
(3)a＋(b＋c)＝　a＋b＋c　；
(4)a－(b－c)＝　a－b＋c　.
2．去括号法则：去括号时，如果括号前是　正号　，去掉括号后，括号里的各项都　不变号　；如果括号前是　负号　，去掉括号后，括号里的各项都　变号　.
反过来，你能尝试得到添括号法则吗？
◆活动2　探究新知
在括号内填上适当的项，使等式成立：
(1)a＋b＋c＝a＋(　　)；
(2)a－b－c＝a－(　　).
提出问题：
(1)你知道怎么添加括号吗？添括号后每一项的符号有什么变化？
(2)添括号有什么规则吗？
(3)怎么验证你添的括号是正确的？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都　不变　符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都　改变　符号．
2．可以用去括号来检验所添括号是否正确．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P116　例5.
例2　按下列要求给多项式－a3＋2a2－a＋1添括号．
(1)使最高次项系数变为正数；
(2)把奇数次项放在前面是“－”号的括号里，其余的项放在前面是“＋”号的括号里．
解：(1)－(a3－2a2＋a－1)；
(2)－(a3＋a)＋(2a2＋1).
例3　已知a－b＝－3，c＋d＝2，求(b＋c)－(a－d)的值．
解：原式＝b＋c－a＋d
＝－(a－b)＋(c＋d)
＝－(－3)＋2
＝5.
例4　已知(2a＋2b＋1)(2a＋2b－1)＝63，求a＋b的值．
解：由题意，得[(2a＋2b)＋1][(2a＋2b)－1]＝(2a＋2b)2－1＝63，
∴4(a＋b)2＝64，
∴(a＋b)2＝16，
∴a＋b＝±4.
练习
1．教材P117　练习第1，2，3题．
2．下列添括号正确的是 (C)
　A．a－b＋c＝a－(b＋c) B．a＋b－c＝a－(b－c)
　C．a－b－c＝a－(b＋c) D．a－b＋c－d＝(a＋c)－(b－d)
3．运用乘法公式计算(x＋3y－2)(x－3y＋2)时，下列变形正确的是 (B)
　A．[x－(3y＋2)]2 B．x2－(3y－2)2
　C．(x－3y)2－22 D．[x＋(3y＋2)]2
4．计算：
(1)(a＋b＋c)(a＋b－c)；
解：原式＝[(a＋b)＋c][(a＋b)－c]
＝(a＋b)2－c2
＝a2＋2ab＋b2－c2；
(2)(x－y－z)2.
解：原式＝[(x－y)－z]2
＝(x－y)2－2(x－y)z＋z2
＝x2＋y2－2xy－2xz＋2yz＋z2.
◆活动5　课堂小结
1．添括号法则的运用．
2．利用添括号法则进行计算．
1．作业布置
(1)教材P117　习题16.3第3题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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