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21.2 解一元二次方程 暑期预习讲义
【知识点讲解】
一、一元二次方程的解法
1.直接开平方法
（1）适用情况：对于形如（）或（）的一元二次方程。
（2）求解步骤：
①当方程是（）时，直接开平方可得，即，。
②当方程是（）时，先开平方得，然后再通过移项、系数化为1等步骤求出的值。即时，；时，。
2.配方法
（1）适用情况：所有一元二次方程都可以用配方法求解，但有些方程用配方法可能相对复杂些，不过它是推导求根公式的基础。
（2）求解步骤：
①把一元二次方程（）变形为的形式（方程两边同时除以）。
②在方程两边加上一次项系数一半的平方，即。
③把左边配成完全平方式。
④当时，用直接开平方法求解，得到。
3.公式法
（1）适用情况：对于任何一元二次方程（）都适用。
（2）求解步骤：
①先确定方程中、、的值（注意要把方程化为一般形式）。
②计算判别式的值。
③当时，将、、的值代入求根公式求出方程的根；当时，方程无实数根。
4.因式分解法
（1）适用情况：当一元二次方程的一边为0，另一边能分解成两个一次因式的乘积时适用。
（2）求解步骤：
①将方程化为一般形式，使方程右边为0。
②把方程左边分解因式，化为两个一次因式乘积的形式，即（）变形为的形式。
③令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程和。
④分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。
二、一元二次方程根的判别式
对于一元二次方程（），其判别式。
1.当时，方程有两个不相等的实数根。
2.当时，方程有两个相等的实数根。
3.当时，方程没有实数根。
三、一元二次方程根与系数的关系
1.对于一元二次方程（），如果方程的两根为、，那么存在以下关系：
（1）两根之和：。
（2）两根之积：。
2.适用条件：韦达定理适用于一元二次方程的一般形式（），且方程必须有实数根或者在复数范围内讨论根的情况（初中阶段主要是在实数范围内，当判别式时有实数根可应用该定理）。
3.推导过程（了解即可，初中阶段不做重点要求）
1.由一元二次方程（），当时，根据求根公式可得方程的两个根为： ，。
（1）两根之和推导：
（2）两根之积推导：
4.应用
（1）已知一根求另一根及相关系数：已知一元二次方程（）的一根，可根据两根之和求出另一根；再根据两根之积，可进一步确定方程中的系数、等相关信息（在一些条件给定的情况下）。
（2）判断方程两根的符号：
①由两根之积的正负来判断两根的符号关系。
②当时，说明与同号，此时再结合两根之和的正负来进一步确定两根同为正还是同为负。例如，若且，则两根同为负；若且，则两根同为正。
③当时，说明与异号。
（3）构造一元二次方程：已知两根、，可构造一元二次方程，即根据韦达定理的逆用，将两根之和与两根之积代入方程的系数中，从而构造出满足条件的一元二次方程。
【巩固练习】
一、选择题
1．用配方法解一元二次方程，两边应同时加上的数是（　　）
A．1 B． C． D．
2．方程的根的情况是（　　）
A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无实数根
3．用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．一元二次方程的根为（　　）
A． B．
C．， D．，
5．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．下列一元二次方程中，两实数根的和为1的方程是（　　）
A． B． C． D．
7．已知，是一元二次方程两个根，则的值为（　　）
A． B．． C． D．
8．关于的方程，下列解法完全正确的是（　　）
①两边同时除以得；
②整理得，∵，，，，∴；
③整理得，配方得，∴，∴，∴，；
④移项得：，∴或，∴，，
A．① B．①③ C．④ D．③④
二、填空题
9．若关于x的一元二次方程配方后得到方程，则c的值为　 　．
10．在中，，，且关于的方程有两个相等的实数根，则边上的中线长为　 　.
11．关于的方程的根的判别式的值为5，则　 　．
12．我们规定一种新运算“★”，其意义为，已知，则x的值为　 　．
13．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为　 　．
14．已知，是方程的二根，则　 　．
三、解答题
15．用适当的方法解关于x的一元二次方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
16．芳芳解方程的过程如表所示
解方程：． 解：， 第一步 ， 第二步 ，．第三步
（1）芳芳是用______（填“配方法”“公式法”或“因式分解法”）来求解的．
（2）芳芳的解题过程是否正确？如果正确，请写出每一步的依据；如果不正确，请你写出正确的求解过程．
17．关于x的一元二次方程．
（1）判断该方程根的情况，并说明理由；
（2）若此方程的一个根为，求m的值及方程的另一个根．
18．已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．
19．阅读材料：
材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，；
材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题．
请根据上述材料解决下面问题：
（1）若实数a，b满足：，则　 　，　 　；
（2）若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值；
（3）已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围．
参考答案
1．D
2．C
3．A
4．C
5．B
6．D
7．A
8．C
9．1
10．2
11．
12．0或4
13．
14．
15．（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵
∴，
∴，
∴原方程没有实数根；
（4）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
16．（1）配方法
（2）解：芳芳的解题过程中，第一步是移项，将左边的移到右边，故第一步正确；而第二步是配方，芳芳的解题错误．
正确的求解过程为：
解：移项，得，
配方，得，
即，
开方，得
∴，．
17．（1）解：方程有两个实数根．
理由∶∵关于x的一元二次方程中，
，，，
∴，
∵无论m为任意实数，，
∴原方程总有两个实数根．
（2）解：∵是方程的一个根，
∴，
∴，
设方程的另一个根为，
∵，
∴．
∴，方程的另一个根为2．
18．解：（1）∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
∴m的取值范围是；
（2）∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
∴的值为-2．
19．（1）-3；-5
（2）解：由题意，得：，，∴，
∴，
当时，，解得：，
∴，
∴，
∴；
当时，，解得：，
∴，
∴，
∴；
综上：或；
（3）解：∵，∴，
又∵，
∴是一元二次方程的两个实数根，，
∴，
∴
；
∵，
∴，
∴，
∴；
∴．

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