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第二十一章 一元二次方程 暑假预习讲义
【知识点讲解】
一、一元二次方程的概念
1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2.一般形式：（）。其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。
【易错点提醒】
务必牢记一般形式中这个条件，若，方程就变为一元一次方程了。比如方程是一元二次方程，因为二次项系数；而方程，当时，就不是一元二次方程了，而是一元一次方程。
二、一元二次方程的解法
1.直接开平方法
（1）适用情况：对于形如（）或（）的一元二次方程，可以使用直接开平方法求解。
（2）求解步骤：当（）时，；当（）时，先开平方得，然后再解关于的一元一次方程。
【易错点提醒】
一定要注意的取值范围，只有当时，方程才有实数解。例如方程在实数范围内是无解的，因为负数没有平方根（在实数范围内）。
2.配方法
（1）适用情况：任何一元二次方程都可以用配方法求解，但在实际应用中，当二次项系数为1且一次项系数是偶数时，用配方法较为简便。
（2）求解步骤：
①移项：把常数项移到等号右边，使方程左边只含有二次项和一次项，如。
②配方：在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即，将左边配成完全平方式。
③求解：用直接开平方法求解配成的完全平方式。
【易错点提醒】
在配方过程中，不要忘记在等号两边同时加上一次项系数一半的平方。例如用配方法解方程，移项得，配方时应在两边同时加上，得到，即。若忘记加这一项，就会导致配方错误。
3.公式法
（1）适用情况：对于一元二次方程（），都可以用公式法求解。
（2）求根公式：（），其中叫做一元二次方程的判别式，记作。
（3）求解步骤：
①确定方程中、、的值。
②计算判别式的值，判断方程根的情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根。
③将、、的值代入求根公式求出方程的根。
【易错点提醒】
1.准确确定、、的值，要注意它们的符号。例如方程，这里，，，不能把的值误写成。
2.计算判别式时要仔细，它的值决定了方程根的情况，进而影响后续求根的过程。
4.因式分解法
（1）适用情况：当一元二次方程的一边为，另一边能分解成两个一次因式的乘积时，可用因式分解法求解。
（2）求解步骤：将方程化为一般形式后，通过因式分解把方程化为两个一次因式乘积等于的形式，即，那么或，再分别解这两个一元一次方程得到原方程的根。
【易错点提醒】
因式分解要正确，否则无法得到正确的解。例如解方程，因式分解得，如果分解错误，如写成，就会得出错误的结果。
三、一元二次方程根的判别式
1.判别式：通过计算的值，可以判断一元二次方程（）根的情况。当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根。
【易错点提醒】
牢记判别式与根的情况的对应关系，不要混淆。例如，不能认为时方程就一定有两个不同的实数根，当时方程是有两个相等的实数根。
四、韦达定理
1.内容：对于一元二次方程（），如果方程的两根为、，那么有，。
2.应用：
（1）已知方程的两根，可求方程中系数、、之间的关系。例如，已知一元二次方程的两根为和，那么根据韦达定理，在方程（）中，，。
（2）已知方程的系数，可求两根之和与两根之积，进而解决一些相关的问题。比如在一些几何问题或实际应用问题中，通过求出两根之和与两根之积来进一步推导其他量的值。
【易错点提醒】
1.要准确确定方程的系数、、的值，才能正确运用韦达定理。例如方程，这里，，，不能弄错系数，否则计算两根之和与两根之积就会出错。
2.当方程有两个相等的实数根（即）时，两根是相同的数值，此时运用韦达定理计算两根之和与两根之积要特别注意，不要重复计算或计算错误。比如方程，其根为，那么（这里，），，要准确按照公式计算。
五、一元二次方程的应用
1.常见类型：增长率问题、面积问题、利润问题等。
2.解题步骤：
（1）审清题意，找出题目中的等量关系。
（2）设未知数，一般设所求的量为。
（3）根据等量关系列出一元二次方程。
（4）解方程并检验，舍去不符合实际情况的解。
【易错点提醒】
1.在列方程时，要准确找出等量关系，这是解题的关键。例如在面积问题中，要清楚不同图形面积的计算公式，以及面积变化前后的关系，否则列出的方程可能是错误的。
2.检验解的合理性，因为在实际问题中，有些解可能在数学上成立，但不符合实际情况，如人数不能为负数、长度不能为负等，要舍去这类不合理的解。
【巩固练习】
一、选择题
1．下列选项中，是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．把方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．3，，1 B．3，6，1 C．3，1，6 D．3，6，
3．一元二次方程 配方后可化为（　　）
A． B． C． D．
4．关于 的一元二次方程 化为一般形式后不含一次项，则 的值为（　　）
A．0 B． C．3 D．-3
5．一元二次方程的两个根为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
6．关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是（　　）
A． 且 B．
C． 且 D．
7．已知关于x的一元二次方程的一个根为，则另一根为（　　）
A．8 B．4 C． D．
8．若，是方程的两个根，则（　　）
A． B． C． D．
9．过元旦了，全班同学每两个人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x名同学，列方程为（　　）
A． B． C． D．
10．关于x的方程，下列解法完全正确的是（　　）
①两边同时除以得；
②整理得，，，，，；
③整理得，配方得，，，，；
④移项得：，或，，．
A．① B．② C．④ D．③④
二、填空题
11．把方程化成的形式，则m的值是　 　．
12．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是　 　．
13．关于x的方程有两个相等实数根，则m的值为　 　．
14．已知关于的方程有两个相等的实数根，则　 　．
15．关于x的一元二次方程 的两个实数根分别是x1，x2，且. 则 的值为　 　.
三、解答题
16．解方程：
（1）
（2）
17．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一部分，如图所示．
（1）若所捂的部分为0，求x的值；
（2）若所捂的部分是常数a，若该方程有实数根，求a的取值范围．
18．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：对于任意实数，该方程总有实数根；
（2）若这个一元二次方程的一根大于2，求的取值范围．
19．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，．
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求的值．
20．如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，使其一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为，设矩形垂直于墙的一边的长为．
（1）用含x的代数式表示边的长；
（2）若该矩形养殖场的面积为，求边的长．
21．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元时，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；
（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件．
①每天要想获得504元的利润，每件应降价多少元？
②能不能一天获得520元的利润？请说明理由．
参考答案
1．B
2．A
3．D
4．D
5．B
6．A
7．A
8．A
9．A
10．C
11．11
12．
13．1
14．2
15．4
16．（1）解：
∴
（2）解：
∴，，
∴
∴方程有两个不相等的实数
∴
∴，
17．（1）解：
由题意得：，
即，
∴
∴，
即x的值为：0或
（2）解：由题意得：，整理得：
∵方程有实数根，
∴
解得：.
18．（1）证明：∵关于x的一元二次方程，∴，
∴对于任意实数m，该方程总有实数根；
（2）解：设方程的两个实数根为，，，
∴，，
∵这个一元二次方程的一根大于2，
∴，
解得：，
∴m的取值范围．
19．（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：；
答： 实数的取值范围为：.
（2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，，
由一元二次方程的根与系数的关系得：
，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∵，
∴
答：的值为-1.
20．（1）解：∵栅栏总长度为，的长为，
∴的长为；
（2）解：根据题意得：，整理得：，解得：，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
∴．
21．（1）解：设下降的百分率是，
由题意得：，
解得，（舍去），
答：下降的百分率是；
（2）解：①设每件应降价元，
由题意得：，
解得，，
要尽快减少库存，
每件应降价3元；
②不能，
设每件应降价元，
由题意得：，
整理得：，
，
方程没有实数根，
不能一天的利润是520元．

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